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数学質問箱

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109.掲示板の移行について 返信  引用 
名前:PSY(管理人)    日付:2012/1/24(火) 18:25
掲示板の投稿を一時停止しておりましたが、スパム対策が煩雑なため、新しい掲示板へ移行する事とし、このページは、閲覧専用とさせていただきます。
左上「ホームページ」をクリックして親ページへ飛び、そこから「新数学質問掲示板」へ入ってください。

108.投稿の一時停止について 返信  引用 
名前:PSY(管理人)    日付:2012/1/24(火) 18:22
スパム投稿のため、投稿機能を一時停止します。
本来の目的でご利用の方にはご迷惑をおかけします。
近いうちに何らかの対策を講じる予定です。

106.群論を使って 返信  引用 
名前:石田    日付:2011/12/17(土) 22:55
新聞等にもよく載っている「数独」を解くのに、群論を作用させるらしいですが、具体的にはどういうことをするのですか?

98.関数の極大の問題 返信  引用 
名前:すずき 高2    日付:2011/11/21(月) 16:32
数V教科書の問題です。解答の一部に関して質問します。

●問題
y=sin^2+2sinx(0≦x≦2π)の極限を求めよ

●模範解答
y'=(sin^2)'+2(sinx)'=2sinx・cosx+2cosx
=2cosx(sinx+1)
0<x<2πでy'=0とすると cosx=0またはsinx+1=0
よって x=π/2 または x=(3/2)π
よって、0≦x≦2πにおけるyの増減表は次のようになる。
(増減表は、質問に影響しないため省略いたします)
ゆえにyはx=π/2で極大値3、x=(3/2)πで極小値-1をとる。



この解答文中で、0<x<2πと0≦x≦2πが使われてますが、これらの範囲の開閉の区別はそれぞれ何を意味しているのか教えてください。



104.Re: 関数の極大の問題
名前:PSY(管理人)    日付:2011/11/21(月) 19:0
開区間での極限を求める場合、区間の端では微分可能性(連続性)の問題があるため、閉区間でf'(x)=0を求めることになっている、と言えばいいでしょうか。
ただ、この点が問題になるのは、大学に行ってからです。
高校で扱う問題では、区間の端でf'(x)=0となる問題は、ないのではないかと思います。
ですから、今のうちは開区間、閉区間を区別しなくても一見変わりはないのですが、先へ行ったときに混乱しないため(テストで減点されないため)、模範解答のように書くよう心がけるのがいいかと思います。


105.Re: 関数の極大の問題
名前:すずき 高2    日付:2011/11/21(月) 19:20
ご回答有難うございました。
そうなんですか。教科書側がわざわざ微分可能性(連続性)の問題が起きないように区間で求める解き方で簡単に書いてくれていたのですね。
未熟な質問文になってしまってすみません。
有難う御座いました。

99.教科書ガイドの指針文(関数の極致) 返信  引用 
名前:すずき 高2    日付:2011/11/21(月) 16:50
数Vの教科書ガイドの、問題を解くにあたっての指針の文の一部について質問します。

●y=|x+1|の極限を求めよ。
●指針
微分可能でない点における極限
関数f(x)がx=aにおいて微分可能でない場合にも、x=aの前後でf'(x)の符号が変化すればf(a)が極限になる。そこで、微分可能である範囲におけるf'(x)の符号と、微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号を調べて増減表を書けばよい。この場合、x=-1で微分可能でない。



この文中の、『微分可能である範囲におけるf'(x)の符号』と『微分可能でないxの値の符号の前後におけるf'(x)の符号』が区別されて書かれているように読み取ったのですが、どちらも同じ意味で、重複しているように思ったのですが、この考えで正しいですか?
それぞれの文の意味と、異なる点を教えていただきたいです。

宜しくお願いします。



101.Re: 教科書ガイドの指針文(関数の極致)
名前:PSY(管理人)    日付:2011/11/21(月) 18:21
論理を進める方向性が逆のように思います。

ある範囲で関数の増減を考えるとき、定義域では、区間の端、
f(x)=0となるx、f'(x)=0となるxに注目して、符合の変化を調べますよね。
でも微分不可能点では、f'(x)が求まらないけれども、f(x)が極限値の可能性もあるから、素通りしないで、不可能点を(増減表上で)区別して、その前後の導関数の符号の変化を調べなさいよ、という意味合いに考えればよいと思いますが。

数学の厳密性は、言語のあいまいさとは相容れない部分があり、数式や記号は、言語のあいまいさを排除してくれますが、言語で表されたものについて、数式的厳密さを期待しても、あまり意味はないと思います。


103.Re: 教科書ガイドの指針文(関数の極致)
名前:すずき 高2    日付:2011/11/21(月) 18:55
PSY(管理人)さんご回答ありがとうございます。
その通りですね。
PSY(管理人)のおっしゃったことを踏まえて読んでみると、教科書の流れでこのような文になったのだと理解できました。
有難う御座いました!

97.関数の増減の問題 返信  引用 
名前:すずき 高2    日付:2011/11/21(月) 16:9
こんにちは。
数V教科書の問題です。以下の解答の一部について質問します。

●問題
関数y=x+1/xの増減を調べよ。

●解答
関数yの定義は、x≠0である。
y'=1-1/x^2
 =(x+1)(x-1)/x^2
y'=0とすると x=±1
よって、yの増減は次のようになる。

x|…|-1|…|0|…|1
y'|+ |0 |- |/|0|+
y |↗ |-2 |↘ |/|2|↗

ゆえに、yは区間x≦-1、1≦xで単調に増加し、
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ここまではできたのですが、単調に減少する区間は

・区間-1≦x≦1で減少する。
・区間-1≦x<0、0<x≦1で単調に減少する。

のどちらにすればいいのか分かりません。
『y=x^3は単調に増加する』と習ったので、前者(上の文)が正しいように思ったのですが、適切な方をお手数ですがご説明と共に教えていただきたいです。

宜しくお願いします。



100.Re: 関数の増減の問題
名前:PSY(管理人)    日付:2011/11/21(月) 16:58
すずきさん、こんにちは。

問題の関数は、定義域でx=0を取らないので、解答前者の区間では、連続していません。
解答後者のように分けるべきでしょう。


102.Re: 関数の増減の問題
名前:すずき 高2    日付:2011/11/21(月) 18:46
PSY(管理人)さんご回答有難うございます。
なるほど、定義域に含まれるかどうかで判断するのですね。
幼稚な質問ですみません。
有難う御座いました!

94.極限値を求める基礎問題 返信  引用 
名前:英伸    日付:2011/11/8(火) 4:22
こんにちは、自分は高校2年です。

数V教科書の以下の問題で悩んでます。

●問題
lim[x→-∞]{√(4x^2+2x)+2x}の極限値を求めよ。

●模範解答(別解)
lim[x→-∞]{√(4x^2+2x)+2x}
=lim[x→-∞]{2x/(√(4x^2+2x)-2x))}
=lim[x→-∞]2/{-√(4+2/x)-2}・・・・・・⇐★
=-1/2


模範解答の★の行の√に掛かっているマイナス(-)はどこから来たのかご教授頂きたいです。

√x=-√{x(-1)^2}=-√x・・・これが成り立てば納得できるのですが、実際成り立つのかと疑問に思いました。

また、x=-tとおいて解くのが一般的ですが、どの時点でx=-tとおいて解くという指針を立てるのか分かりません。

これも加えて宜しくお願いします。



95.Re: 極限値を求める基礎問題
名前:PSY(管理人)    日付:2011/11/8(火) 17:2
こんにちは、管理人のPSYです。

最初の質問ですが、問題の箇所は、根号内からxをくくり出してxで約分しています。
x→−∞なので、x<0と考え、x^2≧0ですから、
√x^2=lxl=−xとなり、xで約分すれば、商は−1となるわけです。

次の質問ですが、x→−∞だから、x=−tとおけば、
x→−∞はt→∞と置き換えられるので、そうした方が計算上都合がよければそうする、といった認識でよいと思います。
問題をこなしていくうちに、勘が身についてくると思います。


96.Re: 極限値を求める基礎問題
名前:英伸    日付:2011/11/8(火) 18:36
PSY(管理人)さんご回答有難う御座います。

なるほど。x→−∞だからx<0と考えるのですね。
よく理解せずに進んできてしまっていたようです。
とりあえずt→∞となるようにtを適切に定めていくと楽に計算できるのですね。
大変分かりやすかったです。
またよろしくお願いします。

92.友人と作成した問題について 返信  引用 
名前:日渡淳一    日付:2011/11/2(水) 18:7
こんにちは。

私は高校2年です。

友人と以下のような問題を作ったのですが、ざっと見て、これは問題として成り立ってると言えるか教えていただけませんか。

●問題
A、B、Cの3つの店があり、どの店にもX、Y、Z、の3種類の商品が各1個当たり1円で売られている。
一度の買い物で買う種類は1種類でなければならない。
一度の買い物でどれか1種類を
1〜3個買うとその内0個、
4〜7個買うとその内1個、
8〜11個買うとその内2個、
12〜15個買うとその内3個、
・・・・・・・・・・
だけ、それぞれの種類に対応したX△、Y△、Z△が含まれる。
それぞれの店では、買った直後に、一度だけその時買った数と同じだけ、その時買った種類の自分の物と、それとは別の種類の店の商品とを交換する権利を得られる。
この権利は、その次に買い物をした瞬間に無効になる。
ただし、手元にある△がついた商品は自分から店への交換に使えず、店から受け取る商品に含まれる△がついた商品の割合は買う時と同じとする。
50円までお金を使えるとすると、最高で何個の△とついた商品が手に入るか求めよ。


幼稚な文章であり、推敲を怠ったため無駄な文が多いですが、よろしくお願いします。

不明瞭な部分があれば補足いたしますので、ご指摘ください。



93.Re: 友人と作成した問題について
名前:日渡淳一    日付:2011/11/3(木) 3:44
問題内容に、面倒な部分がございましたので、以下のように訂正いたします。

訂正の内容は、店を一つにし、商品を2つにしたということです。

『A、B、Cの3つの店』→『ある店』
『X、Y、Z、の3種類の商品』→『X、Y、の2種類の商品』
『12〜15個買うとその内3個、・・・・・・』
→『12〜15個買うとその内3個、・・・、4n〜(4n+3)個買うとその内n個』
『種類に対応したX△、Y△、Z△』→『種類に対応したX△、Y△、』
『それぞれの店では』→『店では』

宜しくお願いします。

90.高1数学 返信  引用 
名前:とかげ    日付:2011/10/20(木) 22:50
△ABCと内部の点Pがあり、等式4AP+3BP+2CP=0がなりたっている。(1)APの延長とBCの交点をQとする。AP:PQを求めよ。(2)△PAB:△PAC:△PCBを求めよ。



91.Re: 高1数学
名前:PSY(管理人)    日付:2011/10/21(金) 9:48
とかげさん、こんにちは。

AP≧0、BP≧0、CP≧0であり、AP=0、BP=0、CP=0は同時には成立しないので、4AP+3BP+2CP=0は成立しません。
矛盾します。
式は合っていますか?


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