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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:y    日付:2019/1/22(火) 23:53
(n!)^2>n^n
はnが自然数のとき、nより小さい2以上の自然数kに対して
k(n-k+1)=k(n-k)+k
>(n-k)+k
=n
だから、{1*n}{2(n-1)}{3(n-2)}…{(n-1)*2}{n*1}>n*n*n…
より(n!)^2>n^nを得ると問題集の解説にかいてありました。

上記の
k(n-k+1)=k(n-k)+k
>(n-k)+k
=n
が何を表しているのか理解できません。よろしくお願いします。

無限等比級数の収束、発散 返信  引用 
名前:SO    日付:2019/1/22(火) 22:33
度々の投稿になってしまい申し訳ありません。どなたかご教授ください。

rを正の実数、kを正の整数とする。

1.等比数列の和の公式を用いて、r≠1のとき、(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k=1/(1-r)(X-1)となるXを求めよ。

2.級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の収束、発散を調べよ。


1.r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k={1/(1-r)}*(X-1)

[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/{r^k*(1-k)}=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/(r^k)=X-1

X=(1-r^k)/(r^k)+1

X=(1-r^k+r^k)/(r^k)

X=1/r^k

1については、この計算で合っていますか?

2.条件より、rを正の実数、kを正の整数だから、級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の第k部分和をS[k]とおくと、r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

S[k]=[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)

S[k]=(1-r^k)/{r^k*(1-r)}

S[k]=1/{r^k*(1-r)}-(r^k)/{r^k*(1-r)}

2について、ここまでの計算は合っていますか?
これ以降の計算方法が分かりません。恐らくrの値について場合分けをして考えるのだと思いますが、その場合どのように場合分けするべきか分かりません。

よろしくお願いします。

三角関数(1対1対応の演習) 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/1/22(火) 22:16
【問題】
0°<θ<180°のθに対して,a_n = cos(2nθ) (n=1,2,3...)を考えるとき,数列{a_n}の初項から第n項までの和S_n=1/2[{sin(2n+1)θ}/(sinθ) - 1] を "2a_nsinθ"を考えることより証明せよ。
※ a_n はaという変数の下に添え字nがついていることを表しています。
【解答】
2a_nsinθ = 2cos(2nθ)sinθ=sin(2nθ+θ)-sin(2nθ-θ)=sin(2n+1)θ-sin(2n-1)θ
∴a_n = {sin(2n+1)θ - sin(2n-1)θ}/2sinθ
よって,f_k = {sin(2k-1)θ}/2sinθ とおくと a_k = f_(k+1)-f_kとなる。
S_n=Σ_(k=1~n){a_k} = Σ_(k=1~n){f_(k+1) - f_k} 〜(略)

式変形やΣの計算は問題ないのですが,a_nを求めた後にf_kを考えて,a_kの表現方法をわかりやすくしていますが,このf_kはどのように考えればだすことができるのでしょうか?
自分自身では絶対に考えつかないように思えてしまうため,どのようなところに着目してこの式を考えようとしたのかを教えていただけると幸いです。



Re: 三角関数(1対1対応の演習)
名前:けんけんぱ    日付:2019/1/23(水) 7:25
sin(2n+1)θ =sin(2(n+1)-1)θ

級数の収束 返信  引用 
名前:ねたろ    日付:2019/1/22(火) 20:41
問題:一般項 f(k) = log2(k)/2^k が収束することを示せ

分子は「底が2、真数がk」です。分母は2のk乗です。
よろしくお願いします。

微分(テイラー展開)の問題 返信  引用 
名前:ねたろ    日付:2019/1/22(火) 20:40
問題:x>0において、x-x^2 < cosx + sinx を示せ

微分、おそらくテイラー展開の問題だと思うのですが、解りません。
どなたかご教示いただければ幸いです。



Re: 微分(テイラー展開)の問題
名前:IT    日付:2019/1/22(火) 21:11
f(x)=cosx+six+x^2-x とおいて 2回微分してf(x)の増減を調べれば証明できます。

指数 返信  引用 
名前:計算間違い    日付:2019/1/22(火) 15:11
2^{n}*3^{n-1}*4^{n}と2^{n+1}*3^{n-2}*4^{n-1}の最大公約数を求めよ。
最大公約数は
2^{n}*3^{n-2}*4^{n-1} = 2^{n}*3^{n-2}*2^{2(n-1)}
= 2^{n}*3^{n-2}*2^{2n-2}
= 2^{3n-2}*3^{n-2}
と計算しました。
模範解答では先に与式を式変形していました。
与式について
2^{n}*3^{n-1}*4^{n} = 2^{n}*3^{n-1}*2^{2n}
= 2^{3n}*3^{n-1}

2^{n+1}*3^{n-2}*4^{n-1} = 2^{n+1}*3^{n-2}*2^{2(n-1)}
= 2^{3n-1}*3^{n-2}
よって、2^{3n}*3^{n-1}と2^{3n-1}*3^{n-2}の最大公約数を求めればよく
最大公約数は2^{3n-1}*3^{n-2}となる。

とありました。私のだした解答である2^{3n-2}*3^{n-2}とは2の指数部分が違うのですが、どこで間違ったのかわかりません。
ご指摘お願い致します。



Re: 指数
名前:けんけんぱ    日付:2019/1/22(火) 18:5
nに2を入れて具体的に考えてみると良いと思います。

簡略のため因数3は省きます。

2^2・4^2 と 2^3・4^1

最大公約数は?

タカハトゲーム 返信  引用 
名前:たべ    日付:2019/1/21(月) 21:48
それぞれの戦略者の子孫の増え方を比較検討するために、仮想の戦いを設定し、勝敗に得点を与えることにする。とりあえず、勝者に50点を与えよう。戦いに勝つことで餌にありつけて寿命が延びたり、交尾できたリすることで、50点分多く子孫を残せたとするのである。勿論、敗者は0点である。また、定義により負けたタカ派は重傷となるので(たとえば、1か月ほど洞窟に引きこもって傷口をペロペロなめて回復に努めるため、その間は子孫を増やそうとする戦いには打って出られない)、ペナルティとしてマイナス100点、ハト派同士の戦いでは時間がかかるのでにらみ合っている間に、第三者に漁夫の利を占められることだってある)、ペナルティとしてマイナス10点をあたえるとしよう。これらの点数をいろいろな組み合わせの戦いについて計算し高い平均得点を得た個体が遺伝子プール内に多くの遺伝子を残すことができた「成功した」個体とするのである。個体群を構成する個体の全てがハト派であった場合、資源をめぐる戦いはすべてハト派対ハト派となるこの時の勝者は50点をそのままもらえない。時間の浪費があるので、10点のペナルティを引き算し、40点となる。敗者も同様に時間のペナルティを引き受けるので、0点ではなく、マイナス10点となってしまう。これらの個体が生涯に無限大の戦いを行うとすると、勝敗は時の運。すなわち、勝ちと負けは半々になるだろう。したがって、具体的な戦いでは、勝てば40点、負ければマイナス10点をもらうとしても、長い目で見れば、一戦当たりの平均獲得点数は15点と計算できる。従って、どのハト派個体も、15点ずつ子孫を増やしていくことになる。ここにタカ派が1個体加わるとそのタカ派は、どの戦いでも相手はハト派しかいないので、必ず勝ち、なんのペナハティもなく、50点丸儲けとなってしまう。したがって、タカ派の子孫はハト派よりも35点分多いので、の世代では、タカ派の割合が増加することになる。逆に、全員タカ派であった場合、タカ派対タカ派の勝者は50点もらえるものの、敗者はマイナス100点となる。ハト派のように平均点を計算すれば一戦当たりの平均獲得点数はマイナス点となる。したがって、ここにハト派が1個体加わると、そのハト派は、どの戦いでも相手はタカ派なので必ず負けるものの、なんのペナルティもないため、0点もらえることになるすなわち、タカ派よりも25点分得をしてしまう。次の世代ではハト派の割合が増加するのである。

ここ問題です。ハト派とタカ派がどの割合で落ち着くかは、個体群中のハト派の割合をPとして(Pは0と1の間しか動かない)、ハト派が得る点数とタカ派が得る点数をPで表わし、両者の割合が落ち着くのは、どちらも同じ点数を得るときであるので両者をイコールとして解いてみよう。解を得るための一次方程式とハト派の割合Pを求めよ。またその時、ハト派とタカ派が一戦当たりに得られる点数は何点か?を求めよ。

三角関数について 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/1/21(月) 19:10
具体的な問題ではないのですが気になったことがあったので質問させていただきます。

xとyの対称式は「x+y」と「xy」を用いて表現することができることの証明はありますか?
また,それと同様にsinx+cosxの対称式は「sinx+cosx」のみを用いて表現することができることの証明もありますか?

三角関数の問題においてsinxとcosxの対称式がでてきたら,t=sinx+cosxとおいて解いていく解説において,上のような内容が事実としてだけ書かれてあったので気になって質問させていただきました。
しっかりとした証明でなく,直観的に何となく成立しそうだなといったヒントだけでもいいので教えていただけると幸いです。

微分 返信  引用 
名前:むんた    日付:2019/1/21(月) 17:38
y=x^2の曲線上の(n,n^2)を通る接線の式ってどうやったら出せるんですか?
答えだけでも良いので教えてほしいです!

標準化 返信  引用 
名前:統計    日付:2019/1/21(月) 8:28
二つのデータの散布図について、データを二つとも標準化したときの縦軸、横軸の幅が「-2〜2」となるのはなぜでしょうか?下のURLにあるような散布図です。
https://scrapbox.io/kimiyuki/x,y%E3%82%92%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%8C%96%E3%81%97%E3%81%A6%E3%80%81%E6%95%A3%E5%B8%83%E5%9B%B3%E3%81%AB%E3%81%99%E3%82%8B

回答お願い致します。



Re: 標準化
名前:統計    日付:2019/1/21(月) 8:32
失礼しました。
URLは
【https://scrapbox.io/kimiyuki/x,yを標準化して、散布図にする】
です。
お願い致します。

大学受験程度の確率の問題なのですが 返信  引用 
名前:田中    日付:2019/1/20(日) 17:50
【問】
n面のサイコロをm回振る。
すべての目が少なくとも1回以上出る確率を求めよ。


ふと思い浮かんだ問題ですが解けなくて悩んでいます。

1の目が少なくとも1回以上でる確率であれば、
 1-(1の目が出ない確率)
でよいですが、すべての目であればどう処理したらいいでしょうか?
よろしくお願いします!



Re: 大学受験程度の確率の問題なのですが
名前:通りすがり    日付:2019/1/20(日) 19:29
m回の試行で、出る目がある特定のk個(k=1,2,…,n-1)の値の組である確率は
(k/n)^m
∴m回の試行で、出る目がk個の値の組である確率は
(nCk)(k/n)^m
よって求める確率をpとすると
p=1-Σ[k=1〜n-1](nCk)(k/n)^m


Re: 大学受験程度の確率の問題なのですが
名前:通りすがり    日付:2019/1/20(日) 19:31
ごめんなさい。上記の方針は誤りです。
上記の私の回答は無視して下さい。

大学の数学ついての質問です 返信  引用 
名前:タカシ    日付:2019/1/20(日) 17:14
1 座標空間上に直線l:3x+4y-5=0がある、次の質問に答えよ

⑴ lの方向余弦を求めよ
⑵ 点(ー2,2)を通り、lと垂直な直線を求めよ
⑶ lと直線2x-y+10=0との交点を

通り、原点からの距離が1である直線の方程式を求めよ

2 座標空間内に平面α : x+3y-2z+12=0がある、以下の設問に答えよ

⑴ αと垂直で、点(0,-1,3)を通る直線の方程式を求めよ
⑵ αのヘッセの標準形を求め、αと原点との距離を求めよ

回答よろしくお願いします



Re: 大学の数学ついての質問です
名前:タカシ    日付:2019/1/20(日) 23:8
1 座標空間上に直線l:3x+4y-5=0がある、次の質問に答えよ

⑴ lの方向余弦を求めよ
⑵ 点(ー2,2)を通り、lと垂直な直線を求めよ
⑶ lと直線2x-y+10=0との交点を

通り、原点からの距離が1である直線の方程式を求めよ

2 座標空間内に平面α : x+3y-2z+12=0がある、以下の設問に答えよ

⑴ αと垂直で、点(0,-1,3)を通る直線の方程式を求めよ
⑵ αのヘッセの標準形を求め、αと原点との距離を求めよ

回答よろしくお願いします

ガウス分布の式導出についてわからないことがあります。 返信  引用 
名前:うんちくん    日付:2019/1/20(日) 11:26
以下のサイトの式が出てくる終盤にて、
微分方程式で便宜的においていた定数aを、
明確な説明なくa=-1/σ^2とおいてます(σ^2:母分散)。
なぜこのようにおくことができるのでしょうか?

http://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/7.html

ページ: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> >| 

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