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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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確率・統計 返信  引用 
名前:jinton    日付:2018/7/19(木) 21:42
二つのコインABを同時に100回なげたところ
コインA 表58回 裏42回
コインB 表59回 裏41回
という結果を得た。

問1 二つのコインがどちらも歪んでいないという仮説を検定せよ。
問2 いまコインAを観察したところ、コインAに歪みを発見した。この結果をもとにコインBが歪んでいないという仮説を検定せよ。

問1については基本的な成功確率の検定を用いて解いたのですが、問2がどうもわかりません。方針だけでもどなたかご教授願えないでしょか。

漸化式の解法 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2018/7/18(水) 4:7

ある確率の問題を解いていて、漸化式を立てると、次の式が得られました。
自然な発想で立式したつもりですが、高校で普通は習わない形になりました。
自分でも大学以降の本を調べてみますが、解き方を教えてください。
6a(n+2)=6a(n+1)-4/3(a(n))+(1/2)^(n+1)(n≧1)
a(1)=0,a(2)=1/12



Re: 漸化式の解法
名前:aaaaaaa    日付:2018/7/18(水) 9:9
方針だけ書きます。
はじめは初期条件は無視して漸化式だけを考えます。

STEP1
6a(n+2)=6a(n+1)-4/3(a(n))
の一般解を求める。これはいいでしょう。
多分a(n)=C1(1/3)^n+C2(2/3)^nとなる。

STEP2
6a(n+2)=6a(n+1)-4/3(a(n))+(1/2)^(n+1)
の特殊解を求める。解を1つだけ求めればいい。
a(n)=b(n)(1/2)^nと置けば求められる。
計算すれば多分
3b(n+2)=6b(n+1)-8/3・b(n)+1
となる。特殊解としてb(n)=-3 ∴a(n)=-3(1/2)^n

STEP3
a(n)=C1(1/3)^n+C2(2/3)^n-3(1/2)^n
は漸化式を満たす。あとはこれが初期条件を満たすように
C1,C2を決めればいい。

初期条件はa(1)=0,a(2)=1/12でもいいがやや計算が面倒そう
である。漸化式をn=0でも成り立つようにa(0)を定めると
a(0)=0となるのでa(0)=a(1)=0でやった方がいいでしょう。


Re: 漸化式の解法
名前:ハワイ    日付:2018/7/18(水) 9:29
やってみます。
ありがとうございました。


Re: 漸化式の解法
名前:ハワイ    日付:2018/7/18(水) 22:39
線形漸化式という項目で検索し、ネット上で得られるような資料は手に入れたのですが、
一般解、特殊解など線形漸化式の一般的な話が書かれているような本が見つからず、ネットで得られる資料だけでは理解をすることが難しいです。
大学以降の本で、漸化式の解法の一般論(微分方程式みたいな感じで書かれているもの)をどなたか紹介していただけませんか?


Re: 漸化式の解法
名前:Keも    日付:2018/7/19(木) 2:25
この問題は道のりは少し長くなりますが、
地道にやれば高校レベルの知識で答にたどり着くことができます。

a[1]=0, a[2]=1/12,
6a[n+2]=6a[n+1]-(4/3)a[n]+(1/2)^(n+1)

見やすくするため6a[n]=b[n]とおくと
b[1]=0, b[2]=1/2,
b[n+2]=b[n+1]-(2/9)b[n]+(1/2)^(n+1)
漸化式の両辺を2^(n+2)倍すると
b[n+2]2^(n+2)=2b[n+1]2^(n+1)-(8/9)b[n]2^n+2
となる。

見やすくするためb[n]2^n=c[n]とおくと
c[1]=0, c[2]=2,
c[n+2]=2c[n+1]-(8/9)c[n]+2
漸化式を変形すると
{c[n+2]+18}=2{c[n+1]+18}-(8/9){c[n]+18}
となる。

見やすくするためc[n]+18=d[n]とおくと
d[1]=18, d[2]=20,
d[n+2]=2d[n+1]-(8/9)d[n]

(中略)

よって
d[n]=9(4/3)^n+9(2/3)^n
c[n]=d[n]-18=9(4/3)^n+9(2/3)^n-18
b[n]=c[n]/2^n=9(2/3)^n+9(1/3)^n-18(1/2)^n
a[n]=b[n]/6=(3/2)(2/3)^n+(3/2)(1/3)^n-3(1/2)^n

(答)a[n]=(2/3)^(n-1)-(3/2)(1/2)^(n-1)+(1/2)(1/3)^(n-1)

  *  *

漸化式c[n+2]=2c[n+1]-(8/9)c[n]+2を
{c[n+2]+18}=2{c[n+1]+18}-(8/9){c[n]+18}
と変形するのは、
恒等数列{-18,-18,-18,…}が数列{c[n]}と同様の漸化式を満たすことから、
差の数列を考えたものです。
漸化式を満たす恒等数列があるかどうかは、
一次方程式x=2x-(8/9)x+2が解を持つかどうかを調べれば分かります。

また漸化式d[n+2]=2d[n+1]-(8/9)d[n]の解法については、
以下のように説明できます。
2つの等比数列
 {(4/3),(4/3)^2,(4/3)^3,…}
 {(2/3),(2/3)^2,(2/3)^3,…}
は、それぞれ数列{d[n]}と同様の漸化式を満たします。
そのような等比数列があるかどうかは
二次方程式x^2=2x-(8/9)を解いてみることによって分かります。
さらにp,qを定数とするとき
数列{p(4/3)^n+q(2/3)^n}もまたd[n]と同様の漸化式を満たします。
ここで特に(p,q)=(9,9)の場合を考えれば
数列{9(4/3)^n+9(2/3)^n}={18,20,24,…}は初項と第二項がd[n]と一致し、
それ以降についてはd[n]と同様の漸化式に従うことから
数列として一致することが分かります。
初項と第二項がd[n]と一致するようなp,qは
連立方程式p(4/3)+q(2/3)=d[1]、p(4/3)^2+q(2/3)^2=d[2]
を解いてみることで発見できます。


Re: 漸化式の解法
名前:aaaaaaa    日付:2018/7/19(木) 15:38
安易に一般解とか特殊解という言葉を使ってしまいました。
使う必要はありませんでした。

STEP1
a(n)=r^n(r≠0)の形の数列で漸化式を満たすものがないか調べる。
代入して整理すれば9r^2-9r+2=0となりr=1/3,2/3
a(n)=(1/3)^n,a(n)=(2/3)^nは漸化式を満たすから
a(n)=C1(1/3)^n+C2(2/3)^nも漸化式を満たす。
逆(即ち漸化式を満たすのはこの形に限る)も言えるが必要ない。

STEP2
これは特殊解という言葉を使うのをやめれば何も問題ない。

STEP3
初期条件からC1,C2を決めれば漸化式と初期条件を満たす数列が
得られる。漸化式と初期条件を満たす数列が一意的であることは
ただちにわかるからそれが求めるものである。

私がやってみたらC1=C2=3/2となりました。従って
a(n)=3/2{(1/3)^n+(2/3)^n}-3(1/2)^n
これはkeもさんの結果と同じです。

論理的には高校数学の範囲内です。
背景には大学数学の線形代数がありますが。

高校数学のやり方との違いを感じるのはSTEP1かと思います。
公比がrの等比数列で漸化式を満たすのはないかと考えてみたと
いうことです。r=1/3とr=2/3とわかったらそれらの線形結合
C1(1/3)^n+C2(2/3)^nも解だとわかるということです。
線形漸化式だからです。大学で線形代数を学習すればわかりやすく
なりますが、高校数学の範囲でも理解はできると思います。

中学3年、式の値 返信  引用 
名前:名無し    日付:2018/7/17(火) 23:9
次の問題が解けずに困っています、
教えていただけないでしょうか?

問題
(a+b)/2=(b+c)/3=(c+a)/4で、abcは0ではないとき、
a/b+b/c+c/aの値を求めなさい



Re: 中学3年、式の値
名前:IT    日付:2018/7/17(火) 23:44
(a+b)/2=(b+c)/3
(a+b)/2=(c+a)/4 を b,c の連立方程式と見て解くと

b=(1/3)a,c=(5/3)a となります。


Re: 中学3年、式の値
名前:IT    日付:2018/7/17(火) 23:54
(a+b)/2=(b+c)/3=(c+a)/4=k とおくと
a+b=2k…@
b+c=3k…A
c+a=4k…B

@+A-B 2b=k などとするほうが簡単ですね。


Re: 中学3年、式の値
名前:名無し    日付:2018/7/20(金) 0:19
ありがとうございます。

領域の最大値 返信  引用 
名前:僕ポメラニアン    日付:2018/7/17(火) 21:52
円:x^2+y^2=r^2は点A(-2,1)を通る。また点Aにおける接線をmとするただし、rは正の定数である
(1)rの値を求めよ。また接線mの方程式を求めよ
A, r=5 m:y=2x+5

(2)点Aと点B(0,5)を通り、中心が接線m上にある円をKとする。
円Kの方程式をx^2+y^2+ax+by+c=0とするとき、定数a,b,cの値をそれぞれ求めよ。
A, a=2 b=-6 c=5

(3),(2)のとき
連立不等式 x^2+y^2≦r^2,x^2+y^2+ax-by+c≦0の表す領域をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、y/x+3の最大値を求めよ。

(3)の解法について、解説よろしくお願いします!
     



Re: 領域の最大値
名前:僕ポメラニアン    日付:2018/7/18(水) 15:47
訂正 (3)−by→+by


Re: 領域の最大値
名前:通りすがり    日付:2018/7/18(水) 20:40
回答の前に、間違っている箇所の指摘と、質問内容の確認を。

(1)
>>A, r=5
間違えています。r=√5のタイプミスですか?

>>y/x+3
とありますが
y/(x+3)
のタイプミスではありませんか?


Re: 領域の最大値
名前:僕ポメラニアン    日付:2018/7/18(水) 23:19
本当に申し訳ありません、指摘していただいた二箇所、通りすがりさんが推測された通りタイプミスをしてしまっていました… 以後気を付けます。


Re: 領域の最大値
名前:通りすがり    日付:2018/7/19(木) 20:24
では方針を。

y/(x+3)=k
と置くと
y=k(x+3) (A)
これは定点(-3,0)を通る、y軸平行でない直線
を表し、kはその傾きになっています。
そこで、座標平面上にDを図示し、その図の中に
点(-3,0)を通る直線(A)を描き込み、Dを通り
尚且つ(A)の傾きが最大となる場合を考えます、
すると、傾きが最大となるのは
(1)で求めた
円x^2+y^2=5 (B)
のうち、Dとの境界線となっている部分
と(A)が接するときであることが分かります。

後は(A)(B)の接点のx座標に関する二次方程式
を導き、そこから解の判別式に対する条件を
使って、kの方程式を立てて解きます。

(untitled) 返信  引用 
名前:こんにちは    日付:2018/7/17(火) 17:58
点(0.1.2)を通り、球x^2+y^2+(z-1)=1と接する直線の全体を考える。これらの直線がxy平面と交わる点の全体はxy平面上の曲線となる。この曲線の方程式を求めよ。
という問題で

球と直線の接点を(x.y.z)とおき直線とxy平面の交点を(X.Y.Z)とおき、
(xyz)=(0.1.2)+s(X.Y-1.-2)と式を立てて
与式の球の方程式に代入してsの二次方程式を得ました。
ここでsが重解をもつ理由がいまいち分かりませんので教えてください



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/7/17(火) 18:20
二次元平面における放物線の接線の方程式を求める場合
接点のx座標に関する二次方程式の解が重解となるのと同じです。
球の接線ですので、接点以外に球との共有点がありません。
ですので、接点に関する方程式が二次方程式であれば
重解でないと矛盾します。


Re: (untitled)
名前:こんにちは    日付:2018/7/17(火) 18:34
言われてみれば当たり前でした、、ありがとうございます。分かりやすかったです

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