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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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複素数平面の問題の疑問です。 返信  引用 
名前:やまだ    日付:2019/3/26(火) 14:45
複素数平面の問題です。
P(α)、Q(β)を通る直線をl,原点からlに引いた垂線とlの交点をR(ω)とする。
このとき、『ω=αβであるための必要十分条件は、P(α)、Q(β)が中心A(1/2)、半径1/2の円周上にあることである』を示せ。
という問題です。
解答では、R(ω)=S(αβ)とおき、
α≠1かつβ≠1の場合に、
❴OS⊥PSかつOS⊥QS❵・・・・㋐
から、解いていっています。
これは、理解できるのですが、私は
❴QP⊥OSかつSは直線PQの延長線上にある❵・・・・㋑
からも、解けるのではないかと考えました。
すると、|α-1/2|=1/2は導けましたが、|β-1/2|=1/2がどうしても、導けません。これは、㋑の考え方が間違っているのでしょうか?それとも、私の計算力が足りないのでしょうか?
どなたか、宜しくお願いします。
実際に立式しますと、以下の2つの式になりますが、
αβ/β-α=ki,β-αβ/β-α=l
この式だと、質問文中にも、述べさせて頂いた様にαが円周上にあることは示せても、βも円周上にあることがうまく導けません…
お手数ですが、式変形を教えて頂けると幸いです。



Re: 複素数平面の問題の疑問です。
名前:IT    日付:2019/3/26(火) 17:35
> αβ/β-α=ki,β-αβ/β-α=l

カッコを適切に入れない正しく伝わりません。

α、βは対称(位置的な意味ではないです)なので
(α-αβ)/(β-α)=m でもあるのでは?

微分 返信  引用 
名前:いお    日付:2019/3/25(月) 22:11
2006年新潟大学の問題です
(1)x>0のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
log(x+1)-logx<1/x
(2)x≧1のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
x⁢log⁡x≧(x−1)⁢log⁡(x+1)
(3)整数n(n≧3)に対して,不等式(n!)^2>n^nが成り立つことを示せ.

(1)(2)は何とかできました。
問題は(3)なんですが、(1)(2)の結果を使うんだろうなと思いながら考えましたが分からず、
答えから逆算して行こうと思い、
対数を取ってlog(n!)^2=2log(n!)=2Σ(k=1,n)logk…(ア)
log(n^n)=nlogn…(イ) 和と差の形でうまく表せればk=1からnまで代入して辺々を加えたときに打ち消し合うと考え
2log2-1log1
3log3-2log2
(中略)
nlogn-(n-1)log(n-1)
(イ)よりnlogn=Σ(k=1,n-1){(k+1)log(k+1)-klogk}…(ウ)
(ア)と(ウ)で項数が違うがlog1=0なので(ア)より2Σ(k=1,n)logk=2Σ(k=1,n-1)log(k+1)
つまり2log(x+1)>(x+1)log(x+1)-xlogx が示せればx=1,2,…n-1を代入して辺々を加えればいいことになる。
(2)の結果の両辺に2log(x+1)を加えて整理すると
2log(x+1)≧(x+1)⁢log⁡(x+1)-xlogx(x≧1) (等号成立はたぶんx=1のときだけ)
これで示せたと思うですが、
整数n(n≧3)、この条件はどこから来たのでしょうか。
確かにn=1,2のときは両辺同じ値になって成り立たないですが。
よろしくお願いします。



Re: 微分
名前:IT    日付:2019/3/25(月) 23:16
御質問の答えにはなっていませんが

(3)を単独に解くなら
(n!)^2=Π[k=1,n]{k(n-k+1)}
ここでf(x)=x(n-x+1)とおくと
 y=f(x)のグラフは上に凸の放物線で
 f(0)=f(n+1)=0,f(1)=f(n)=n なので
1<k<nなる整数(n≧3なのでこのようなkが1つ以上存在)について
 f(k)>nとなる。

よって(n!)^2=Π[k=1,n]{k(n-k+1)}>Π[k=1,n]n=n^n


Re: 微分
名前:IT    日付:2019/3/26(火) 0:4
f(0)=f(n+1)=0,f(1)=f(n)=n なので
は f(1)=f(n)=n なので だけで良いですね。


Re: 微分
名前:いお    日付:2019/3/26(火) 17:15
ITさんありがとうございます


Re: 微分
名前:黄桃    日付:2019/3/26(火) 22:53
>整数n(n≧3)、この条件はどこから来たのでしょうか。
n=1の時、(ウ)の形には書けないので別扱いが必要です。
n=2の時、(ウ)の形でkが取りうる値は1だけですから、ご自身が述べているようにx=1の場合に相当し等号成立です。
n>2の時、(ウ)のkが1以外の値を取る場合があるので、最終的に>が成立します。

(3)の想定される解法

(2)で等号成立はx=1 の時のみ、といっておきます。
2Σ_[k=1,n]log(k)>nlog(n)を示します。

(2)より、k<n に対して、
log(k)≧(k-1)/k *log(k+1) だから、これを繰り返すと、
≧(k-1)/k* k/(k+1)*log(k+2)=(k-1)/(k+1)log(k+2)≧...≧(k-1)/(n-1)*log(n)
となります。等号は、k=1 の時のみ成立します。
k=nの時も log(n)=(n-1)/(n-1)log(n)で等号の場合としてこの不等式が成立します。
よって、n-1≧2 (つまりn≧3)であれば、いずれかのk (実はk=2,3,..,n-1)で等号が成立しません。
したがって、
2*Σ_[k=1,n]log(k)
>2*Σ_[k=1,n] (k-1)/(n-1)*log(n)
=2/(n-1)*log(n)*Σ_[k=1,n](k-1)
=2/(n-1)*log(n)*(1/2)n(n-1)
=nlog(n)
となり、証明終わりです。


Re: 微分
名前:いお    日付:2019/3/27(水) 12:27
黄桃さんありがとうございます。
k=1とk=nのとき等号が成立していて、1とnの間の2,3,…,n-1の一番大きいn-1が2以上なら
等号が成立しなくなるということで理解しました。
k=2,3,…,n-1では等号が成立しないので。
等号が成立しないkの番号が1とnの間に出現するようになるイメージです。

「図形の性質」 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/3/25(月) 13:21
具体的な問題に対する質問ではないのですが,ヒントをいただきたいと思い投稿させていただきます。

数学IAにおける「図形と計量・図形の性質」の問題が壊滅的に苦手です。"方べきの定理","接弦定理","円に内接する四角形の性質","角の二等分線の性質","内心・外心・重心の性質","正弦定理","余弦定理","メネラウスの定理","チェバの定理"etc...
考えなければいけない項目が多いのも苦手な要因だとは思うのですが,1つ1つの公式や性質自体はある程度,理解しているつもりです。
しかしながら,実際の問題になると,これらを組み合わせて解く必要がでてきて,どこでどの方法を用いればよいのかが全くわからずに答えを見てしまうという行為が続いてしまいます。
「図形を大きく描いて,既知の部分を書き込んでいく」,「問題の量をこなして問題のパターンに慣れていく」といったよくある意見もしていますが,一向に改善するように思えません。

みなさんは,図形問題を解いていくときに,どのような部分をみて用いる手法を考えているのですか?
皆さんの着眼点をヒントにして,なんとか苦手な図形問題を克服したいと思っていますので,ご意見をいただければありがたいです。



Re: 「図形の性質」
名前:けんけんぱ    日付:2019/3/25(月) 21:37
抽象的な質問よりも、具体的な問題を提示して質問したほうが答えやすいと思いますよ。


Re: 「図形の性質」
名前:sx    日付:2019/3/26(火) 2:36
まず問題文から数式を作ったり図に書き込むまえに、使えそうな定理がないか探してみるといいと思います。
例えば問題文に「角の二等分線が〜」てかいてあったら、角の二等分線の定理を思い出して、角A=角B=1/2角Cのような数式でなく、定理を思い出せるようなことをどこかにメモしておくとか
「三角形の各頂点を通る3つの直線が1点で交わり、〜〜」ならチェバとメネラウスの出番かも!って感じでメモる


Re: 「図形の性質」
名前:sx    日付:2019/3/26(火) 2:38
 色んな定理をどう組み合わせればいいのかわからないとのことですが、正解に繋がるかどうかわかんなくても、まず求める部分を適当に文字でおいて、それを含む式をなんでもいいので思い付いたらかいてみる。するとどこか他にもわからない辺などが出てくるのでそれを求める方法がないかさがしてみる。といったように答えから逆算することと、とりあえず書いてみることが後先が見えてないけど意外となんとかなるのでオススメです。


Re: 「図形の性質」
名前:sx    日付:2019/3/26(火) 2:39
あと、使う文字の数は極力へらす。例えば長さ3の線分abの中に点cを置いてac=xとしたときcbは6-xとなりますが、大抵この6-xが別の式で表せるのでイコールの形を作れるので解けたりします。
 もし途中まで解いて行き詰まったら、使ってない要素がないか探す。役に立たない情報は問題文の中にありません(基本的に)。すべての情報をしっかり使ったか確認するといいです。ただ、「角C=90°の直角三角形」の角C=90°は定義のための式なのでこういうのは無視!


Re: 「図形の性質」
名前:Haru    日付:2019/3/26(火) 18:42
具体的な質問ではないにも関わらず丁寧に答えていただきありがとうございます!
「問題文から使える定理や公式のあたりをつける」,「とりあえず求めたい部分を文字でおいて逆算していく」のを念頭に置きながら問題に取り組んでみたいと思います!
ありがとうございました!

正七角形の面積の求め方 返信  引用 
名前:Sai    日付:2019/3/24(日) 19:45
ド・モアブルから求められると思ったのですが、ほかの綺麗な方法がありましたら教えてください。

数2bの二次方程式の解の問題 返信  引用 
名前:sx    日付:2019/3/24(日) 19:31
2x^2+4x+3の2つの解をα、βとする。このとき、
(α-1)(β-1)=問題1     であり、
(α-1)^4+(β-1)^4=問題2  である。

この問題の解答では、α-1=γ 、 β-1=δと置き、
α=γ+1を二次方程式に代入して、
γ、δを解とする二次方程式 2x^2+8x+9
二次方程式と解の関係から、 γ+δ=-4とγδ=2/9を導いて、それを問題1と2の式に代入していました。
問題2の解説では、
与式=γ^2+δ^2=(γ^2+δ^2)^2 -2(γδ)^2
=[(γ+δ)^2-2γδ]^2 -2(γδ)^2
ここでγ+δ=-4、γδ=2/9を代入して、
       =(16-9)^2 -2(2/9)^2
=17/2   となっています。

最初の二次方程式からα+β=-2とαβ=3/2を導けば
問題1は、 与式=αβ-(α+β)+1
=-4
問題2は計算しやすいようにα-1=A、β-1=Bとおけば、あとの式は解説と同じような流れになってすぐに解けますよね。
なんででα-1=γ、β-1=δとおいてわざわざ新しく二次方程式を新しく作るのかよくわかりません。そんなことしなくても解けると思うのですが、どんな意味があるのでしょうか?
また、ここではα、β、γ、δの文字を使っていますが、二次方程式の問題ではこれが定番なんですか?γとδを書く練習した方がいいのかな?



Re: 数2bの二次方程式の解の問題
名前:IT    日付:2019/3/24(日) 20:3
いろいろな解き方があるということで良いのではないでしょうか?
その問題集の解き方が唯一とかベストとかいうことはないと思います。

γまでは出てきますがδはめったに出てこないと思います。
自分で設定するのなら ωとかでも良いですし ギリシャ文字でなく普通のアルファベットでもいいですね

大学数学ではギリシャ文字がけっこう出てきます。
(読み書きできないと 理解や思考も難しいので覚えるしかないですが)


Re: 数2bの二次方程式の解の問題
名前:sx    日付:2019/3/26(火) 1:39
参考書の解答にあんま深い意味とか求めちゃいけないんですね
ギリシャ文字調べて見てみます!
ありがとうございました!


Re: 数2bの二次方程式の解の問題
名前:IT    日付:2019/3/26(火) 7:25
>参考書の解答にあんま深い意味とか求めちゃいけないんですね
中には、応用範囲が広い技法や、定義などから発生する基本的な性質を使っているものもあると思います。

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