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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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面積分 返信  引用 
名前:kokoro    日付:2017/12/11(月) 17:7
次のスカラー場の面積分を求めよ。
(1)∬[S]Tan^-1 y/x dS , S:x^2+y^2=a^2とz=0,z=1で囲まれる部分の表面
(2)∬[S]√x^2+y^2 dS , 輪環面S:[√(x^2+y^2)-b]^2+z^2=a^2 (0<a<b)

この問題がわかりません。お願いします。



Re: 面積分
名前:Delta    日付:2017/12/11(月) 23:9
解答をズラーッと書くのも辛いので、
とりあえず考え方だけ述べておきます。

S上の点をr(ベクトル)とし、r=r(u,v)という形で表されるとき、
面積要素はdS=|r_u×r_v|dudv と表されます。
(r_uはrをuで微分したベクトルなどとしている)
ざっくりした説明としては、S上の点r(u,v)から
uが微小量duだけ動いたときのrの変化量はr_u*du
vが微小量dvだけ動いたときのrの変化量はr_v*dv
であり、面積要素dSはこの2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積で表されているから上のような式で表されます。

上のようにdS=|r_u×r_v|dudvという形で表せれば、あとは重積分をすればいいだけです。
今回の問題の注意点としては
(1)
・Sが円柱の表面を表しているため、側面と底面を分けて考える
・Tan^(-1)は逆三角関数の主値を表す
(2)
・輪環面(トーラス)上の点は三角関数を上手く使って表せば計算量が減る
(調べれば表し方がわかるはず)

具体的なやり方は書いてないですが、上記を踏まえて考えてみてください。

極限 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2017/12/11(月) 0:3
√2m≦rを満たす最大のm∈Nにたいして、
r→∞のとき、m→∞とあるのですが、どうしてですか?



Re: 極限
名前:・。・    日付:2017/12/11(月) 1:39
√m≦rを満たす最大のmの値はr^2だからかな

実数解条件 返信  引用 
名前:・。・    日付:2017/12/10(日) 22:46
x^2+y^2≦1を満たすx,yについてs=x+y t=xyと変数変換して(s,t)の存在領域を図示せよという超有名な問題ありますよね??

条件1 x^2+y^2≦1
条件2 x,yは実数

2について、解と係数の関係よりuの2次方程式u^2-su+t=0の判別式D≦0 ⇔t≦(s^2)/4を得るのはこのやり方が一般的だと思います。


学校の授業で先生は発展的な解法を言っていて、
xが実数⇔x^2≧0という同値性を考えれば、
この問題の条件2において
(x-y)^2≧0 ⇔ t≦(s^2)/4 でもxとyの実数解条件を出せるって言ってたけど疑問が残ります。

なぜx-yを使うのですか?
(x-y)^2≧0で示せるのはx-yが実数であってxとyそれぞれ実数だとは言えないのでは??



Re: 実数解条件
名前:IT    日付:2017/12/10(日) 23:14
s=x+y は実数だからなのでは?


Re: 実数解条件
名前:IT    日付:2017/12/10(日) 23:19
s=x+y は実数 なので
 x-y が実数ならば x,y は実数となります。


Re: 実数解条件
名前:・。・    日付:2017/12/10(日) 23:28
なるほど!ありがとうございます

確率について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2017/12/10(日) 22:41
次の問題で、なぜ、pn-1をかけるのでしょうか?教えていただけると幸いです。
http://6900.teacup.com/cgu135/bbs/277



Re: 確率について。
名前:☆ミ    日付:2017/12/11(月) 5:35
掲示板にあった解答をそのまま以下に引用しますね。
分からないのはどの部分でしょうか。どこまで理解できましたか?

----- ----- ----- ----- -----
(3)2枚とも表となる事象をA,1枚が表で1枚が裏となる事象をB,2枚とも裏となる事象をCとする。
事象A,B,Cが起こる確率をそれぞれP(A),P(B),P(C)とすると、P(A)=1/4,P(B)=1/2,P(C)=1/4

ここで、xn=f(xn-1)
      =g(xn-1)
        =h(xn-1) から、横軸がxn-1,縦軸がxnの関数と考えて、f(x)=x/2,g(x)=x,h(x)=(x+1)/2の直線のグラフを描くとこちら。http://userimg.teacup.com/userimg/6900.teacup.com/cgu135/img/bbs/0000272_2.jpg(ただし、横軸と縦軸のxn-1とxnが逆になって間違っている。)

まず、pnをpn-1,qn-1,rn-1で表すと、pnは0<xn≦1/3である確率より縦軸の0〜1/3の範囲を横に見ていくと、xn-1が0〜1/3の範囲では2本の直線xn=f(xn-1),xn=g(xn-1),1/3〜2/3の範囲では1本の直線xn=f(xn-1),2/3〜1の範囲では直線がないので、

pn=pn-1{P(A)+P(B)}+qn-1・P(A)+rn-1・0=(3/4)pn-1+(1/4)qn-1 ∴pn=(3/4)pn-1+(1/4)qn-1―――@

次に、qnをpn-1,qn-1,rn-1で表すと、qnは1/3<xn≦2/3である確率より縦軸の1/3〜2/3の範囲を横に見ていくと、xn-1が0〜1/3の範囲ではxn=h(xn-1),1/3〜2/3の範囲ではxn=g(xn-1),1/3〜2/3の範囲ではxn=f(xn-1)があるので、

qn=pn-1・P(C)+qn-1・P(B)+rn-1・P(A)=(1/4)pn-1+(1/2)qn-1+(1/4)rn-1 ∴qn=(1/4)pn-1+(1/2)qn-1+(1/4)rn-1―――A

最後に、rnをpn-1,qn-1,rn-1で表すと、rnは2/3<xn≦1である確率より縦軸の2/3〜1の範囲を横に見ていくと、xn-1が0〜1/3の範囲では直線はなく、1/3〜2/3の範囲ではxn=h(xn-1),2/3〜1の範囲ではxn=h(xn-1),xn=g(xn-1)があるので、

rn=pn-1・0+qn-1・P(C)+rn-1{P(C)+P(B)}=(1/4)qn-1+(3/4)rn-1 ∴rn=(1/4)qn-1+(3/4)rn-1―――B


(4)@−Bより、pn−rn=(3/4)(pn-1−rn-1) また、p1−r1=0−3/4=−3/4 よって、数列{pn−rn}は、初項−3/4,公比3/4の等比数列。
∴pn−rn=(−3/4)(3/4)^(n-1) ∴pn−rn=−(3/4)^n―――C

(5)pn+qn+rn=1であるから、Aは、qn=(1/4)(pn-1+rn-1)+(1/2)qn-1=(1/4)(1−qn-1)+(1/2)qn-1=(1/4)qn-1+1/4 ∴qn=(1/4)qn-1+1/4

ここで、qn−α=(1/4)(qn-1−α)と置いて展開すると、qn=(1/4)qn-1+(3/4)α よって、(3/4)α=1/4とすると、α=1/3

∴qn−1/3=(1/4)(qn-1−1/3) また、q1−1/3=1/4−1/3=−1/12 よって、数列{qn−1/3}は、初項−1/12,公比1/4の等比数列である。

∴qn−1/3=(−1/12)(1/4)^(n-1) ∴qn=(−1/3)(1/4)^n+1/3

ところで、pn+rn=1−qnより、pn+rn=(1/3)(1/4)^n+2/3―――D

C+Dより、2pn=(1/3)(1/4)^n−(3/4)^n+2/3 ∴pn=(1/6)(1/4)^n−(1/2)(3/4)^n+1/3

----- ----- ----- ----- ----- 引用ここまで

(3)のヒントになるかわかりませんが
[p(n-1)] 0<x(n-1)≦1/3のとき
n回目の試行で二枚とも表のとき0<xn≦1/6 →p(n)に含まれる
      表と裏一枚ずつのとき0<xn≦1/3 →p(n)に含まれる
      二枚とも裏のとき1/2<xn≦2/3 →q(n)に含まれる
以下、[q(n-1)]、[r(n-1)]も同様に考えてみてください。
そして表二枚の確率は1/4、表と裏一枚ずつの確率は1/2、裏二枚の確率は1/4なので
これを用いて連立漸化式を立てます。

(untitled) 返信  引用 
名前:高1    日付:2017/12/10(日) 16:23
ペル方程式x^2-ay^2=-1は常には整数解を持たないということについて、
証明をご教示願います.



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/12/10(日) 16:54
aの条件はなんですか?
a≦0 なる整数の場合は、整数解をもたないことは容易に示せます。
aが正整数ということならa=3 の場合整数解をもたないことを示せば良いと思います。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/12/10(日) 17:15
xを3で割った余りで場合分けします。

(untitled) 返信  引用 
名前:こんにちは    日付:2017/12/8(金) 18:32
画像の問題なのですが、マーカー部分の意味がわかりません。マーカーより上は理解出来たのですが、二回符号変化する条件がマーカーになる理由が分からないので教えて頂ければ幸いです(>_<)
https://imgur.com/gallery/tziOo



Re: (untitled)
名前:Delta    日付:2017/12/8(金) 19:8
@f'(p)>0
増減表からx=pでf'(x)は最大となることが分かります。
よって、f'(p)≦0とするとf'(x)は正にはなりません。
符号変化とは正から負、もしくは負から正に変化する点なので、
f'(x)が正にはならないのならば、符号変化は起きません。
よって、符号変化が起きるためにはf'(p)>0である必要があります。

以下、f'(p)>0とします。
Af'(0)<0
f'(0)≧0とすると0≦x≦pに対してf'(x)は負にはならないので@と同様に
0≦x≦pの範囲で符号変化は起こりません。
なので、p≦x≦πの範囲で符号変化が起こらなければなりません。
しかし、p≦x≦πの範囲でf'(x)は単調減少するのでf'(s)=0となるようなsは高々1つしか存在しません。
よって、p≦x≦πの範囲で符号変化は高々1回しか起きないので2回符号変化が起きるにはf'(0)<0である必要があります。

Bf'(π)<0
Aと同様の議論で言えます。

文ばっかで分かりにくいとは思いますが、増減表からグラフの概ねの形を考えるとイメージしやすいのではないかと思います。


Re: (untitled)
名前:こんにちは    日付:2017/12/8(金) 19:34
とても分かりやすい説明ありがとうございます。
すんなり理解できました(__)

Σの定義について 返信  引用 
名前:たかし    日付:2017/12/8(金) 17:42
お世話になります。

Σの定義は、高校数学では数列の和であり、kは自然数に限るという理解でよいでしょうか?

また、正式なΣ(Σ関数?)の定義は、kは整数全体ですか?



Re: Σの定義について
名前:Delta    日付:2017/12/8(金) 18:19
Σのkの範囲が自然数に限定されているということはないです。

高校数学の範囲でも区分求積法あたりでΣ[k=0,n-1]が出てきたような気がします。
ただ、気をつけなければいけないのは、Σ[k=m,n]となっていた場合は、
必ずm≦nでなければいけません。

高校では出てきませんが、大学などでは、
Σ[x∈X]f(x) (Xの全ての要素xに対しf(x)を足し合わせたもの)
という書き方も出てたり、いろいろ省略されることもあるので、
Σのkの範囲など、あまり定義に固執せずに柔軟に対応した方がいいと思います。


Re: Σの定義について
名前:たかし    日付:2017/12/10(日) 13:51
有難うございました!

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