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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板 2
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お願いします
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名前：
凛
日付：7月3日(金) 0時48分
実数x,yが4x^2-2xy+y^2=4を満たす時
xyの最大値と最小値、及びそれらを与えるx,yの組をすべて求めよ。
因数分解できるか考えてみましたが出来ませんでしたが
次に二次形式から楕円を傾けたことが分かったんですが
結局問題を解くまでには至りませんでした
教えてください！
Re: お願いします
名前：
雀
日付：7月3日(金) 7時16分
xy=k ---------(1)
2x+y=t --------(2)
とおくと
4x^2-2xy+y^2=4は
k=(t^2-4)/6 --------(3)
となる。またx,yが実数なので
(1)(2)式より
k≦t^2/8 ---------(4)
(3)(4)から
最大値k=2 (t=±4のとき)
最小値k=0 (t=0のとき)
(1)(2)より最大値、最小値を与える(x,y)はそれぞれ
(x,y)=(1,2)または(-1,-2)
(x,y)=(1/√3,-2/√3)または(-1/√3,2/√3)
間違っていたらすみません。
ベクトル？
返信
引用
名前：
マックス
日付：7月2日(木) 22時11分
四面体OABCでOA,AB,BC,COをそれぞれ、s:1-s,t:1-t,t:1-t,s:1-s(0<s<1,0<t<1)に内分する点をそれぞれP,Q,R,SとしてP,Q,R,Sが同一平面上にあるときのsとtの満たす条件式を出し，四角形PQRSが台形であることを示しなさい。
よろしくお願いしますm(_ _)m
Re: ベクトル？
名前：
tetsuya
日付：7月2日(木) 23時8分
ベクトルという着眼点はよいと思います.
P,Q,R,Sなどの位置ベクトルを表すこともできませんか？
まずはそのあたりから復習していただかないと,
ベクトルといっても説明のしようがありません.
Re: ベクトル？
名前：
マックス
日付：7月2日(木) 23時19分
それぞれの設問の方針だけでもお教えいただけないでしょうか。
Re: ベクトル？
名前：
.
日付：7月3日(金) 0時47分
質問者は tetsuya さんの言っていることが理解出来ないのだろうか？
次元
返信
引用
名前：
シュー
日付：7月2日(木) 22時0分
M(2,3)の次元を求めよという問題なんですが
具体的な行列を与えてくれれば次元を求められるんですが…
教えてください
Re: 次元
名前：
tetsuya
日付：7月2日(木) 23時5分
M(2,3)が何らかの体K上の2行3列行列のなすK-vector space
だとすれば,そのK上の次元は2×3=6になります.
どんなものが基底として取れるのかもすぐにわかると思いますが,
#各行列に対して｢次元｣というものは定まらないと思います.
#｢階数｣と取り違えていませんか？
微分積分学
返信
引用
名前：
一年
日付：7月2日(木) 18時49分
f(x,y)=x^3+y^3-3xyとする。
(i)
f(a,b)=f_x(a,b)=0,f_y(a,b)≠0となる(a,b)をすべて求めよ。
(ii)
求めた点の近傍で定義される陰関数y=φ(x)は
φ'(x)=0を満たすことを示せ。
φ(a)が極値になるか判定せよ。
(i)
a^3+b^3-3ab=0
a^2=b
a≠b^2
という条件まで出ました
ここからa^3(a^2+2a+2)(a-2)=0となり
a-0のときは条件に当てはまらないので
(a,b)=(2,√2),(2,-√2)となりました。
(ii)
φ'(2)=0となることも確かめましたが
極値について(i)で求めた式で虚数解が出ると思うのですが
これは(ii)では用いられないのでしょうか？
また極値か判定するためにはどうすればいいでしょうか？
教えてください！
Re: 微分積分学
名前：
KINO
日付：7月2日(木) 21時3分
> (a,b)=(2,√2),(2,-√2)となりました。
もういちど a と b の関係を見直すことをおすすめします。
>φ(a)が極値になるか判定せよ。
ということを要求しているだけなので，1変数関数の極値の判定法，つまり2階導関数 φ ' ' (x) の x=a での値がどうなっているかを調べよ，ということだと思います。
f の偏導関数を用いて φ ' ' (x) を表す式を習っていないか，調べてみてはいかがでしょうか。
Re: 微分積分学
名前：
一年
日付：7月2日(木) 21時39分
すいませんっ！
間違えました(2,4)でした！！
KINOさんの助言をもとに(2)を解いてみたいと思います。
ちなみに虚数解は問題に影響を与えないのでしょうか？
Re: 微分積分学
名前：
KINO
日付：7月2日(木) 22時49分
これって，実数変数実数値関数として取り扱ってるんですよね？
もしそうなら虚数解を気にする意味はありませんよ。
g(x)=x^3+3x のとき，g ' (x)=3(x^2+1) だから，x=±√(-1) のとき g は極大値や極小値を取るというんでしょうか？
# そもそも極大値や極小値という大小関係がからむ事柄を扱っている以上，複素数を持ち出すほうが不自然な気がしますし。
積分
返信
引用
名前：
ミルク
日付：7月2日(木) 17時44分
nは自然数である。
∫[0,n]|θsin(πθ)|dθを計算せよ。
計算方法を詳しく教えてください。
Re: 積分
名前：
通りすがり
日付：7月2日(木) 20時24分
部分積分する
∫[k-1,k]|θsin(πθ)|dθ=(2k-1)/π
∫[0,n]|θsin(πθ)|dθ
=∫[0,1]|θsin(πθ)|dθ+∫[1,2]|θsin(πθ)|dθ+∫[2,3]|θsin(πθ)|dθ+…+∫[n-1,n]|θsin(πθ)|dθ
=1/π+3/π+5/π+…+(2n-1)/π
=n^2/π
Re: 積分
名前：
ミルク
日付：7月2日(木) 21時33分
分かりました。
有難うございました。
行列式
返信
引用
名前：
匿名
日付：7月2日(木) 12時57分
行列Ａは４×４の正方行列であり、
Ａ＝{(0,a,b,c),(-a,0,d,e),(-b,-d,0,f),(-c,-e,-f,0)}
である。(a〜fは0でない実数とする。)
この行列Ａの行列式detＡを一次の項まで因数分解せよ。
という問題で質問があります。
|tA|＝|A|を利用して|tA*A|＝(detA)^2を考えたり、
b/a倍、c/a倍したものを行に加えたりしましたが
うまくいきませんでした。どなたかわかる方教えてください。
お願いします。
Re: 行列式
名前：
KINO
日付：7月2日(木) 21時24分
僕にはうまい手は浮かびませんでしたので，ここは観念して掃き出し法で行列式を変形してある程度簡単にしてから余因子展開することにしてはいかがでしょうか。
1 列目と2列目からそれぞれ -b, -c と -d，-e を掃き出してみたところ，
detA=(af-be+cd)^2 となりました。
もっとも，符号は間違えているかもしれませんが，(af-be+cd)^2 はあっているんじゃないかなぁ。
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