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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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大学数学 返信  引用 
名前:    日付:2017/7/28(金) 3:56
A=(3,2,1)
(2,2,1)
(0,0,3)
の3*3行列Aの固有値は1,3,4である。
A^6-26A^4+169A^2+10A-144Iを求めよ。

この問題なのですが、解が
Aをxとした多項式f(x)=x^6-26x^4+169x^2+10x-144
において、f(1)=30,f(3)=30 f(4)=40であるから
A^6-26A^4+169A^2+10A-144I
=10PDP^(-1)…(1)
=10A

となっていました。

(1)の式変形が分かりません。
どうかご教授いただけると幸いです。
宜しくお願いします。

無限級数 返信  引用 
名前:レモン    日付:2017/7/27(木) 20:28
Σ[n=1,∞](1/(9n^2+3n-2))の収束値の求め方を教えてください。



Re: 無限級数
名前:けんけんぱ    日付:2017/7/27(木) 21:22
たとえば

1/k - 1/(k+1)

を、k=1からnまで足すと

1/1 - 1/2 + (1/2 - 1/3) +(1/3 - 1/4) +・・・+(1/n -1/(n+1))
=1 - 1/(n+1)

となり、
n→∞とすれば、

1に収束します。


Re: 無限級数
名前:IT    日付:2017/7/27(木) 21:33
けんけんぱ さんのヒントに加えて
もうひとつヒントを
 9n^2+3n-2 を因数分解してみてください。


Re: 無限級数
名前:レモン    日付:2017/7/27(木) 22:23
9n^2+3n-2を(3n-1)(3n+2)に因数分解した後、どうやって
1/k - 1/(k+1)の形に変形するのか分からないので教えてください。


Re: 無限級数
名前:IT    日付:2017/7/27(木) 22:36
1/(3n-1)(3n+2)
=a{1/(3n-1) - 1/(3n+2)}
=a{1/(3n-1) - 1/(3(n+1)-1)}

a は自分で求めてください。


Re: 無限級数
名前:けんけんぱ    日付:2017/7/27(木) 23:17
1/k - 1/(k+1)
のような分数の引き算にすると
k=1からnまで足すとき、途中がプラスとマイナスが消えて残る項が少なくなる例
としてあげました。

このようなものを見たことがないのであれば、
この問題の例として 1/k - 1/(k+1)は適切では無かったかも知れません。

お詫びします。

演習量を多くして、いろいろなパターンにあたってください。

(untitled) 返信  引用 
名前:はるか    日付:2017/7/27(木) 17:31
dy1/dx=-cy1+√3cy2
dy2/dx=√3cy1-3cy2
(x=0でy1=(√3-1)/2、y2=(√3+1)/2)
これを解くとき行列で考えて固有値を求めると0と-4cが出てきました。それを元に解を出したんですが代入しても合いません。なぜでしょうか。

(untitled) 返信  引用 
名前:    日付:2017/7/27(木) 13:58
円に内接する四角形ABCDにおいてDA=2AB,角BAD=120度であり、対角線BD,ACの交点をEとするとき、Eは線分BDを3:4に内分する。
(1)線分の長さの比 AB:BC:CD:DAを求めよ
(2)線分の長さの比 AE:ECを求めよ
(3)線分の長さの比 AB:BDを求めよ

まったくアイデアが湧かないです。教えてください。



Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2017/7/27(木) 15:1
相似な三角形を探すことと、余弦定理によるABとBDの長さの比の算出。
もちろん円周角や三角形の相似条件は知っているものとしています。

(untitled) 返信  引用 
名前:りく    日付:2017/7/27(木) 10:43
お世話になってます


x=(x1,...,xn),y=(y1,...,yn)∊R^nに対してx・yを、
x・y=x1*y1+...+xn*yn
と定義する。
E={x∊R^n|x・x<1}
とおくとき次を示せ。
(1)連続関数f:cl(E)→R^nが、次を満たす。
・任意のx∊∂Eと任意の非負の数cに対して、f(x)+cx≠0
このとき、あるx∊Eが存在して、f(x)=0となることを示せ。
(2)連続関数f:cl(E)→R^nが、次を満たす。
・任意のx∊∂Eに対してf(x)・x<1
このとき、f(x)はEに不動点を持つことを示せ

うまいホモトピーを考えることで証明できる、と聞いたのですが、アイデアが浮かびません
どのように考えればいいのでしょうか?

積分 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/7/27(木) 10:36
0<a<1とし、連立不等式a≦x,logx≦y≦0が表す平面内の領域をD(a)とする。また、D(a)をy軸の周りに一回転してできる立体の体積をV(a)とする。

 下の方で勘違いしたので、y軸回転をやってみたのですが、解答が出せません。
y=logx と x=a の交点のy座標が loga なので回転体の体積V(a)は

 V(a)=π∫(loga→0)e^2ydy-πa^2

と考えました。式か計算か、何が間違いかお分かりの方、お願いします。



Re: 積分
名前:ハロー    日付:2017/7/27(木) 10:57
 上の式でダメなら

 v(a)=∫(loga→0){e2y-a^2}dy かと思い、計算したら

 π/2(1-e^2loga+2a^2loga) となりました。これは、解答と(と聞いたものと)比較したら e^2loga がa^2 になっているだけでした。
先の考え方と、この式の違いがよく分からず、また自分の解答の第二項と解答の第二項が同じものであることは分かるのですが、書き換えなければダメなのかの判断がつきません。


Re: 積分
名前:通りすがり    日付:2017/7/27(木) 20:11
何をもって「書き換えた」としているのか分かりませんが
>>V(a)=π∫(loga→0)e^2ydy-πa^2
は誤りです。
>>-πa^2
は恐らく中空になっている円柱部分の断面積を
指していると思いますが、それでしたら
被積分関数として積分の中に入っていなければなりません。


>>v(a)=∫(loga→0){e2y-a^2}dy

V(a)=∫[loga→0]{e^(2y)-a^2}dy
の意味であるのであれば、これで立式は正解です。
これを計算すると
V(a)=[(1/2)e^(2y)-ya^2][loga→0]
=1/2-(1/2)a^2+(a^2)loga
となります。


Re: 積分
名前:ハロー    日付:2017/7/27(木) 21:8
ありがとうございます。スッキリしました。やっぱり、変数があるのに、独立して中空部分を積分の外に出したらダメなんですね。よく分かりました。

平均値の定理 返信  引用 
名前:高3微積分    日付:2017/7/26(水) 23:46
平均値の定理の応用の仕方がわかりません
(1)sin(x)≦x (0<x<1)
(2)1/(1+x^2)<Tan^(-1)/x<1 (x>0)
(3)1+x<e^x<1+xe~x (x>0)

これらを証明したいのですが…
一つずつでも構いません。よろしくお願いします。



Re: 平均値の定理
名前:IT    日付:2017/7/27(木) 0:6
(1)f(x)=x-sin(x) とおくと,f'(x)=1-cos(x)≧0
   平均値の定理より f(x)-f(0) = (x-0)f'(c)となる 0<c<x がある。
   よって      f(x)=xf'(c)≧0 (0<x<1)

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