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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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『整数と平面格子の数学』P.86 返信  引用 
名前:りんご    日付:2017/5/22(月) 23:27
以下の補題の証明でわからないところがあります.教えて頂けませんかm(_ _)m


原点 O に関して点xと対称な点を -x で表す.
図形Xをベクトル Op→ に沿って平行移動した図形を X+p で表す.
大きな正方形で覆うことができる図形は有界であるという.

[補題]
有界な図形Xの面積が1より大きいならば
(X+p)∩(X+q)≠∅
となるような相異なる格子点p,qが存在する.

[証明]
相異なる格子点p,qに対して,常に(X+p)∩(X+q)=∅ となると仮定して矛盾を導く.Xは有界な図形だから,十分大きな整数Mをとれば,4つの点(±M,±M)を頂点とする正方形でXを覆うことができる.整数n>0に対して,R(n)を(±nM,±nM)を頂点とする正方形とすると,p∈R(n)のとき,X+p⊂R(n+1)である.R(n)では,格子点が縦方向にも横方向にも 2nM+1 個ずつ並ぶから,R(n)の含む格子点数は (2nM+1)^2 個である.各格子点 p∈R(n)に対してX+pたちは共有点をもたないから,R(n+1)の面積(2(n+1)M)^2 は Xの面積A(X)の (2nM+1)^2 倍以上である.
ゆえに (2(n+1)M)^2≧(2nM+1)^2 × A(X) である.
これから,任意の n>0 について
{(2(n+1)M)/(2nM+1)}^2 ≧ A(X)
となることがわかる.すると,n→∞ のとき,左辺→1であるから,
1≧A(X)となり,A(X)>1 という仮定に反する.□


「各格子点 p∈R(n)に対してX+pたちは共有点をもたないから,
R(n+1)の面積(2(n+1)M)^2 は Xの面積A(X)の (2nM+1)^2 倍以上である.」

ここの記述がよくわかりません…。



Re: 『整数と平面格子の数学』P.86
名前:IT    日付:2017/5/23(火) 0:11
「各格子点 p∈R(n)に対してX+pたちは共有点をもたないから,

R(n+1)の面積(2(n+1)M)^2 は Xの面積A(X)の (2nM+1)^2 倍以上である.」

(1)各格子点 p∈R(n)に対してX+pたちは共有点をもたない

(2)R(n+1)の面積(2(n+1)M)^2 は Xの面積A(X)の (2nM+1)^2 倍以上である

(1) がなぜか分かりませんか?
相異なる格子点p,qに対して,常に(X+p)∩(X+q)=∅ となると仮定したからです。

「(1)なので(2)」が分かりませんか?

実数の構成法に関して 返信  引用 
名前:そら    日付:2017/5/22(月) 20:48
お世話になってます。

以下の問題がわからず困っています。

任意のr∊Rと、任意のn∊Nに対して、次の条件を満たす正の数x∊Rが存在することを証明せよ。
x^n=r

ヒントとして、集合
S={r∊Q|r≦0 または r^n<a}
の上限を考えよ、とあるのですが・・・



Re: 実数の構成法に関して
名前:noname    日付:2017/5/22(月) 21:18
>ヒントとして、集合
>S={r∊Q|r≦0 または r^n<a}
>の上限を考えよ、とあるのですが・・・

aの定義は何でしょうか?


Re: 実数の構成法に関して
名前:そら    日付:2017/5/22(月) 21:26
返信ありがとうございます
すみません、タイプミスです

正しくは

S={s∊Q|s≦0 または s^n<r}

となります


Re: 実数の構成法に関して
名前:noname    日付:2017/5/22(月) 21:46
>正しくは
>S={s∊Q|s≦0 または s^n<r}
>となります


了解致しました.ところで,今しがた気が付いたのですが,

>任意のr∊Rと、任意のn∊Nに対して、次の条件を満たす正の数x∊Rが存在することを証明せよ。
>x^n=r

に関してもタイプミスはありませんか.実際,この記述が正しいのであれば,例えばr=-2とn=4に対して,x^4=-2を満たす正の実数xは存在しませんよ.


Re: 実数の構成法に関して
名前:そら    日付:2017/5/22(月) 22:3
返信ありがとうございます

度々すみません
確かにそうです、
正しくは


任意のr∊R(r>0)と、任意のn∊Nに対して、次の条件を満たす正の数x∊Rが存在することを証明せよ。
x^n=r

ヒント、
集合
S={s∊Q|s≦0 または s^n<r}
の上限を考えよ

となります

線形代数 返信  引用 
名前:    日付:2017/5/21(日) 1:46
Aを正方行列、H,H1,H2を対称行列とふる
次の事を証明せよ
(1)AH^tAは対称行列である
(2)H1+H2,H1H2+H2H1はいずれも対称行列である
(3)H1,H2が対称行列であるための必要十分条件はH1H2=H2H1である
よろしくお願いします…



Re: 線形代数
名前:noname    日付:2017/5/21(日) 16:15
(1),(2)に関しては「2つの行列の和と積に関する転置の性質」を使って計算すればよいかと思います.もしこの性質についてピンと来ない様であれば,適当な線形代数の本或いはpdf資料などを使ってふりかえっていただくとよいかと思います.


一方,(3)についてですが,問題文の次の記述

>H1,H2

は積H_[1]H_[2]に関する誤植でしょうか.もしそうであれば,この設問についても対称行列の条件式と2つの行列の転置の性質を使って計算すればよいです.ただ,もし同値性を保った議論が難しいようであれば,

・H_[1]H_[2]が対称行列の時に,H_[1]H_[2]=H_[2]H_[1]が成り立つことを示す
・H_[1]H_[2]=H_[2]H_[1]が成り立つ時に,H_[1]H_[2]が対称行列であることを示す

をそれぞれ順番に考えていただくとよいかもしれません.

集合論:証明 返信  引用 
名前:なるせ    日付:2017/5/21(日) 0:21
今年から集合論を学んでおり、どのような流れでまたどういった方法で証明すればよいのかわかりません。
証明のコツなども教えていただければ幸いです。
<問題>
n∈Nに対し、Bn=[-1/n,1/n]とおく。
このとき
⋂(n∈N)Bn={0}を示せ。



Re: 集合論:証明
名前:IT    日付:2017/5/21(日) 2:4
(1) 0 ∈⋂(n∈N)Bn である.
(2) x≠0のとき x∈⋂(n∈N)Bnでない.

(1)(2)を示せば良いと思います。


Re: 集合論:証明
名前:なるせ    日付:2017/5/21(日) 2:19
ITさん返信ありがとうございます。
ぼんやりですが、イメージはできました。
加えて1点質問があります。
・証明の過程なのですが、(0,1/n]の範囲を示すことができれば[-1/n,0)も成り立つと思ったのですが、そのような指針でも大丈夫でしょうか?
まだまだ素人なのでわからないことだらけです。
馬鹿げている質問とは思いますが、ご回答お願いします。


Re: 集合論:証明
名前:IT    日付:2017/5/21(日) 2:42
> (0,1/n]の範囲を示すことができれば[-1/n,0)も成り立つ
質問の意味が良く分かりません。


Re: 集合論:証明
名前:noname    日付:2017/5/21(日) 16:1
マルチポスト先にも回答が付いている様です.一度ご覧になられるとよいかと思います.

http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=51130

陰関数の存在定理に関して 返信  引用 
名前:りく    日付:2017/5/20(土) 15:35
お世話になってます。
以下に示す陰関数の存在定理について再度質問です

陰関数の存在定理
F:R^m×R^n→R^nをC^s級ベクトル値関数とし、(a,b)∊R^m×R^nをとる。(以降、F(x,y)(x∊R^m,y∊R^n)とかく)
F(a,b)=0とし、F_y(a,b)≠0(Fの、変数yについての(a,b)におけるヤコビアンが0でない)と仮定する。
このとき、aの近傍U,bの近傍V、C^1級写像φ:U→R^nが存在して、
F(x,φ(x))=0かつφ(a)=bを満たす

この定理の証明に関して、手持ちの本では以下のように証明すると記されています(概略のみ書かれています)
1 
G(x,y)=F(x,y)-F_y(a,b)(y-b)
f(x,y)=(-F_y(a,b))^{-1}*G(x,y)
とおくと、適切な(a,b)の近傍U×Vがあって、fはそこでリプシッツ条件を満たす

g_0(x)=b
g_{l+1}(x)=b+f(x,g_{l}(x))
として関数列g_lを定義すると、逐次近似法によりφの存在と一意性が言える。

φは仮定の条件を満たす

前回の質問から考えてみました。
1番は証明ができ、3番についても平均値の定理を用いて証明を行うことができました。
しかし、2番については、逐次近似法を用いる前段階での、「g_lの定義がwell-definedである」ことがうまく示せません。
fの定義域はR^m×R^n→R^nなので、実は当たり前なのではないか・・・、とも考えたのですが、引っかかっています。

長方形領域{||x-a||≦r,||y-b||≦ρ}でのwell definednessを証明するには
||g‗l(x)-b||≦ρ
を言わないといけないと思うのですが、この証明がうまくできませんでした
どのように式変形を行えばいいのか、ご教授いただけると助かります。よろしくお願いします



Re: 陰関数の存在定理に関して
名前:noname    日付:2017/5/21(日) 16:24
>g_lの定義がwell-definedである


well-definidという言葉の意味が「写像として矛盾なく定義されている」ということであれば,

・Gは,2つのwell-definedな写像の和で定義されているため,well-definedである
・fは,well-definedな写像と定行列の積で定義されているため,well-definedである
・各g_[ℓ]に関しては,g_[0]はwell-definedであり,g_[ℓ+1]はwell-definedな写像F,g_[ℓ]を使って定義されているためwell-definedである
(g_[ℓ+1]を構成する段階ではg_[ℓ]はwell-definedなものと仮定されている筈である)

により,写像の列{g_[ℓ]}の各項はどれもwell-definedではないのでしょうか?



※見当違いなことをコメントしている様であれば,申し訳ありません.


Re: 陰関数の存在定理に関して
名前:noname    日付:2017/5/21(日) 16:29
>長方形領域{||x-a||≦r,||y-b||≦ρ}でのwell definednessを証明するには
>||g‗l(x)-b||≦ρ
>を言わないといけないと思うのですが、この証明がうまくできませんでした


各g_[ℓ]の変数はxであるので,g_[ℓ]の定義域が

>長方形領域{||x-a||≦r,||y-b||≦ρ}

というのは変ではないでしょうか.g_[ℓ]の変数がx,yであれば意味をなしますが.


Re: 陰関数の存在定理に関して
名前:りく    日付:2017/5/22(月) 20:42
返信ありがとうございます

well-defined性はそのように、機能的に関数の合成からいえるのですね。
ありがとうございます。参考になりました

(untitled) 返信  引用 
名前:ちーた    日付:2017/5/20(土) 9:21
回答ありがとうございます。
申し訳ありません。
大分抜けていました。

sinα=(D/2−d/2)/(H−D/2)−(h−d/2)@
   =(D−d)/(2H−D)−(2h−d)A
=(D−d)/2(H−h)−(D−d)B

例図から角度を求める例題なのですが、@からAへの過程が理解できません。
よろしければもう一度お願い致します。



Re: (untitled)
名前:noname    日付:2017/5/20(土) 19:32
>(D/2−d/2)/(H−D/2)−(h−d/2)
>(D−d)/(2H−D)−(2h−d)
>(D−d)/2(H−h)−(D−d)


それぞれの式は,

(D/2-d/2)/((H-D/2)-(h-d/2))
(D-d)/((2H-D)-(2h-d))
(D-d)/(2(H-h)-(D-d))

のことを表しているのですか?

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