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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:TAKE    日付:2017/6/24(土) 21:12
nは2以上の自然数の時
x^n+y^n+z^n
で表すことが出来ない数が無限にあることを示せ
という問題をご存知の方いらっしゃるでしょうか。



Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2017/6/24(土) 22:34
この質問をすることの
お考えをお聞かせください。

締め切りはまだ先ですよね。


Re: (untitled)
名前:キタノ    日付:2017/6/25(日) 1:44
東進数学コンクールの今回の問題ですよね。
注意事項7に反します。
不正行為をしてまで名誉を得たいのですか?

解説求む 返信  引用 
名前:KOUKOUSEI    日付:2017/6/24(土) 15:30
このページの最後の問題の解説を分かりやすく説明してくれる方を探しています。
http://mathtrain.jp/hokan

特に疑問点は、

>R(x)=2F(x)−Q(x)
なぜ(F)じゃなくて2(F)なのですか?

問題
任意の n 次モニック多項式(最高次の係数が1の多項式)F(x) が,n 個の実根を持つ2つの n次モニック多項式の和で表されることを示せ。



Re: 解説求む
名前:IT    日付:2017/6/24(土) 17:43
> 特に疑問点は、
>
> >R(x)=2F(x)−Q(x)
> なぜ(F)じゃなくて2(F)なのですか?
>
Rをn 次モニック多項式(最高次の係数が1の多項式)にするためです。

0にならないことの証明 返信  引用 
名前:K    日付:2017/6/24(土) 15:6
ln(1+x^b)+x^b/(1+x^b) (bは正の実数)
が0を含むある開区間から0を除いた点において、0にならないことを示したいのですが、どうすれば良いのか分かりません。
宜しくお願いします。



Re: 0にならないことの証明
名前:IT    日付:2017/6/24(土) 16:40
x<0 も考えるのですか?


Re: 0にならないことの証明
名前:K    日付:2017/6/24(土) 17:20
そうです。

(線形代数)基底になるかどうかの判定 返信  引用 
名前:らい    日付:2017/6/24(土) 14:21
次のベクトルの組はR[3]の基底であるかどうかを判定せよ。

Q1
a[1]=M{(1),(0),(0)}, a[2]=M{(0),(1),(1)}

Q2
a[1]=M{(1),(0),(-1)}, a[2]=M{(0),(1),(1)}, a[2]=M{(3),(4),(5)}, a[2]=M{(0),(1),(0)}

初歩的なことかもしれませんが、お願いします。

(untitled) 返信  引用 
名前:miki    日付:2017/6/24(土) 8:59
x^n+y^n は(x+y),xy,x,yの和、差、積で表せるのでしょうか。
つまり
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)という具合に。



Re: (untitled)
名前:miki    日付:2017/6/24(土) 9:4
表せます。

Re:帰納法でWISさんが証明しています。

フーリエ展開 返信  引用 
名前:大学生    日付:2017/6/23(金) 18:53
f(x) = { 0 (-π < x < 0)
{ cos x (0 < x < π)

をフーリエ展開せよという問題で
答えが 1/2*cosx +2/π(sin2x/(2^2-1) + sin4x/(4^2-1) + sin6x/(6^2-1)・・・) となってるのですが
合ってるのでしょうか?
1/2*cosx + 2/π*Σ n=2 ~ ∞ sin (nx) *n(1-n*(-1)^(n+1))/ (n^2-1) まで出たのですが、 答案のほうは分子の部分がおそらく sin(nx)*(1-(-1)^(n+1))になってると思うのですが、nが一体どこにいったのか・・・

帰納法 返信  引用 
名前:@    日付:2017/6/23(金) 18:52
実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.
このとき,x^n+y^nは偶数になることを示せ.
(x+y)^nを二項定理を用いて展開してx^n+y^n=
の形に表して証明することは可能でしょうか?



Re: 帰納法
名前:miki    日付:2017/6/23(金) 19:14
可能です。
(x+y)^nはx+yが偶数であることから偶数。
(x+y)^n = x^n + nC1x^(n-1)y + … + nC(n-1)xy^(n-1) + Y y^n
となるが、x^n,y^n以外の項はxyが偶数であることから、偶数。
ゆえに、偶数と偶数の和と差はともに偶数であるから、
x^n + y^nは偶数である。


Re: 帰納法 y^nの項を書き間違えました。
名前:miki    日付:2017/6/23(金) 19:15
(x+y)^nはx+yが偶数であることから偶数。
(x+y)^n = x^n + nC1x^(n-1)y + … + nC(n-1)xy^(n-1) + y^n
となるが、x^n,y^n以外の項はxyが偶数であることから、偶数。
ゆえに、偶数と偶数の和と差はともに偶数であるから、
x^n + y^nは偶数である。


Re: 帰納法
名前:IT    日付:2017/6/23(金) 19:43
横から失礼します。
> x^n,y^n以外の項はxyが偶数であることから、偶数。
には飛躍があると思います。

x,y は実数であり整数とは限りません。
よって x(xy) は必ずしも偶数とは限らないと思います。

(x^(n-1)+y^(n-1))xy とセットにして数学的帰納法を使う必要があると思います。


Re: 帰納法
名前:IT    日付:2017/6/23(金) 19:45
(x^(n-1)+y^(n-1))xy とセット は、次数がおかしいですね。
適当に直して考えてください。


Re: 帰納法
名前:IT    日付:2017/6/23(金) 19:58
x,yが整数でない例。x=√2,y=-√2


Re: 帰納法
名前:WIZ    日付:2017/6/23(金) 23:52
別解


x+y = p, xy = qとおくと、題意より、p, qは偶数の整数です。


x, yはt^2-pt+q = 0の解となり、t^2 = pt-qとなります。

nを2以上の自然数、p[n], q[n]を整数として、t^n = p[n]t+q[n]とおけることを示します。
n = 2のとき、p[2] = p, q[2] = -qです。
kを2以上の自然数としてt^k = p[k]t+q[k]だったとすると、
t^(k+1) = p[k]t^2+q[k]t = p[k](pt-q)+q[k]t = (p*p[k]+q[k])t-q*p[k]となり、
p[k+1] = p*p[k]+q[k], q[k+1] = -q*p[k]とすれば良いことになります。
以上から、数学的帰納法により、
nが2以上の自然数の場合、p[n], q[n]を整数としてt^n = p[n]t+q[n]とおけると言えます。

x, yはt^2-pt+q = 0の解ですから、x^n = p[n]t+q[n], y^n = p[n]y+q[n]を満たしますので、
x^n+y^n = p[n](x+y)+2q[n]と偶数であると言えます。

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