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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:ななし    日付:2018/2/22(木) 13:26
I[n]+I[n+1]=1/(2n+1) (n∈N) で与えられる数列があって、
lim[n→∞](I[n]) を求める場合、

n→∞のとき、I[n]+I[n+1]=2*I[n]となり、
またlim[n→∞](I[n]+I[n+1])=0より
n→∞で2*I[n]=0
よってlim[n→∞](I[n])=0

としても大丈夫でしょうか?
ちなみに答えは「lim[n→∞](I[n])=0」となります。



Re: (untitled)
名前:mochi    日付:2018/2/22(木) 15:6
大丈夫ではありません.(記述問題だとxです)
一般に数列{a[n]}が
n→∞で a[n]+a[n+1]=2a[n] が成り立つとは限りません.
また,
lim_{n→∞} (a[n]+a[n+1]) = 0
を満たすとしてもa[n]が収束するとは限りません.

例としてはb[n]=(-1)^nがあります.(b[n]はn→∞で発散(振動)する)

もう少し詳しく言うと,
ななしさんの方法では収束しない数列にも存在しないはずの極限値が求まってしまう場合があります.なので,この方法では収束することを証明できていないのです.
(逆に収束することが分かっていて値だけ求めればいい場合にはこの方法は有効です.検算に使いましょう.記述だとxです)

(untitled) 返信  引用 
名前:名無し    日付:2018/2/22(木) 0:46
z=2{cos(11/12)π+isin(11/12)π}
1/z=1/2{cos(11/12)π-isin(11/12)π}
z-1/z=3/2cos(11/12)π+5/2isin(11/12)π

(1)|z-1/z|^2=9/4cos^2(11/12)π+25/4sin^2(11/12)π

(1)が何故こうなるのかよく分かりません。
解説お願い致します。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/2/22(木) 4:49
一般に
z=x+iy
(x,yは実数)
のとき
|z|^2=x^2+y^2
です。


Re: (untitled)
名前:名無し    日付:2018/2/22(木) 5:54
ありがとうございました。

数学の記号の意味 返信  引用 
名前:もみの木    日付:2018/2/21(水) 23:41
x1∈/N
はどのような意味でしょうか?
/がどんな意味で入ったいるのか教えてください。



Re: 数学の記号の意味
名前:IT    日付:2018/2/21(水) 23:49
x1 はN の元(要素)ではない。 という意味では?
直接表す記号(∈の中に/が入る)が パソコンで表示できにくいのでそうしたのではないかと推察します。


Re: 数学の記号の意味
名前:もみの木    日付:2018/2/22(木) 0:1
質問文には書きませんでしたが、前後の文脈からもお答えいただいた意味だと思われます。
自分では気づけませんでした。
ありがとうございます。

根本的な問題ですが、 返信  引用 
名前:サカナ    日付:2018/2/21(水) 18:33
225^n > 10^99+1のnの求め方を教えて下さいm(__)m



Re: 根本的な問題ですが、
名前:通りすがり    日付:2018/2/21(水) 18:55
問題の不等式の両辺の常用対数を取ると
2n(log3+log5)>log(10^99+1)
n>{log(10^99+1)}/{2(log3+1-log2)}
ここで
99/{2(log3+1-log2)}<{log(10^99+1)}/{2(log3+1-log2)}<(99+log2)/{2(log3+1-log2)}
であることから
log2=0.3010,log3=0.4771
なる近似値を使うと
42.1<{log(10^99+1)}/{2(log3+1-log2)}<42.2
よって求めるnの最小値は
43
となります。


Re: 根本的な問題ですが、
名前:IT    日付:2018/2/21(水) 19:54
nが自然数のとき、225^n の1位の数字は5、10^99+1の1位の数字は1 なので

225^n > 10^99+1 ⇔ 225^n > 10^99 である。
ことを使うと少しだけ計算がスッキリすると思います。

(untitled) 返信  引用 
名前:名無し    日付:2018/2/20(火) 21:55
次の極限値を求めよ
lim[x→1]log[2](|x-1|)
答え:-∞

導出方法がよくわかりません。解説お願い致します。



Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2018/2/20(火) 22:18
何も難しく考える必要はないと思います。

x→1のとき、|x-1|→+0

log[2](0)は(グラフを考えれば)-∞になります。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/2/20(火) 23:22
どのへんまで基礎から示すのかによると思いますが

lim[x→1]log[2](|x-1|)=lim[x→+0]log[2]x を調べればよい。

x>0 でlog[2]x は狭義単調増加なので 
自然数nについて 0<x <1/2^n のときlog[2]x<log[2](1/2^n)=-n
n→∞のとき -n→-∞
よって x→+0のときlog[2]x→-∞


Re: (untitled)
名前:名無し    日付:2018/2/22(木) 0:20
ありがとうございました。

不定方程式 返信  引用 
名前:浪人    日付:2018/2/20(火) 5:9
画像と方針をご覧ください。答えがどうしても合わず困っています。教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。
https://imgur.com/u318Y6K



Re: 不定方程式
名前:浪人    日付:2018/2/20(火) 6:5
解決しました

(untitled) 返信  引用 
名前:満足人    日付:2018/2/20(火) 0:31
定規とコンパスで作図する方法を教えて下さい。
AD=BCの台形ABCDがあり、∠BAO=∠CDOとなるBC上の点O の作図。
A B
/ ̄ ̄\
D / \C
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄



Re: (untitled)
名前:Delta    日付:2018/2/20(火) 11:21
結構、難しいですね...。
もしかしたらもっと簡単な方法があるかもしれませんが自分が思いついた方法を書いていきます。

AB=x,CD=yとします。
[長さ√(xy)の線分の作図]
まず長さがx+yである線分PQを描き、PQを直径とする半円を描きます。
その後、線分PQ上にPR=x,QR=yとなるような点Rを取ります。
このとき、点Rを通るPQの垂線と弧PQの交点をSとするとRS=√(xy)となります。

[点Oの作図]
半直線AB上にBE=√(xy)となる点Eを取ると線分BCと線分DEの交点がOになります。


Re: (untitled)
名前:Delta    日付:2018/2/20(火) 11:35
BE=√(xy)の導出

DOとAB,AOとDFの交点をそれぞれE,Fとすると
四角形AEFDはAEとDFが平行でAD=EFを満たす台形となります。
ここでBE=CF=zとし、AE,DFの中点をそれぞれM,Nとすると
三角形AMOとDNOの相似よりOM:ON=AM:DN=(x+z)/2:(y+z)/2 ...@
三角形BMOとCNOの相似よりOM:ON=BM:CN=(z-x)/2:(y-z)/2 ...A
@Aよりz=√(xy)となります。

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