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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:小山    日付:2018/9/20(木) 18:37
数学の問題集を解いていても、途中でわからなくなってしまいます。わかりやすく解説していただきたいです。よろしくお願いします。

(untitled) 返信  引用 
名前:ぽん    日付:2018/9/20(木) 15:56
後式について等号が成り立たないのはどのような場合か。

1. f(∪λ∈∧ Aλ)=∪λ∈∧ f(Aλ)
2. f(∩λ∈∧ Aλ) ⊂ ∩λ∈∧ f(Aλ)


解答よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:s    日付:2018/9/20(木) 17:9
例えばAλ達がdisjointなら積集合をfで写した結果は空集合ですね.
この場合右辺が空とはならない場合を考えてみてください

区分求積法 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/9/20(木) 10:54
nを2以上の自然数として Sn=Σ(k=n→n^3-1)1/klogk とおく。以下の質問に答えよ。
(1) ∫(n→n^3)dx/xlogxを求めよ。
(2) kを2以上の自然数とするとき 1/(k+1)log(k+1)<∫(k→k+1)dx/xlogx<1/klogkを示せ。
(3) lim(n→∞)Snの値を求めよ。

 この問題の(1)(2)は出来たのですが、(3)は与えられた条件をそのまま代入して
lim(n→∞)Sn=lim(n→∞)Σ(k=n→n^3-1)1/klogk
と見ると、区分求積法が使える形のように見えるのですが、積分区間がnの倍数のものしか見たことがなく、解答の log3 は別の方法で解いてありました。
区分求積法は、こんな関数のような積分範囲では適用できない。あるいは、高校の範囲では使えないという理解で良いのでしょうか?
 よろしくお願いします。



Re: 区分求積法
名前:WIZ    日付:2018/9/20(木) 16:33
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
また、「1/klogk」は1/(k*log(k))の意味と解釈してコメントします。

(1)(2)を誘導として(3)を解くという流れからして、極限の値を区分求積で求めるのではなく、
定積分で計算できる値で挟み打ちを用いることを出題者は想定していると思います。
しかし、(1)(2)の誘導を無視して、区分求積を用いるのなら以下の通りです。

先ず、定積分を区分求積で近似する場合の、積分区間の分割数にnを用いることは多いですが、
その分割数と本問題で用いられているnには何の関係もありません。
分割数をmとすれば
∫[a, b]f(x)dx = lim[m→∞]{Σ[j=0, m-1]{f(a+(b-a)j/m)*(b-a)/m}}
です。

a = n
b = n^3
m = b-a = n^3-n
f(x) = 1/(x*log(x))
ととれば
(b-a)/m = (n^3-n)/(n^3-n) = 1
なので
S[n] = Σ[k=n, n^3-1]{1/(k*log(k))}
= Σ[j=0, m-1]{1/((n+j)*log(n+j))
= Σ[j=0, m-1]{(1/((a+(b-a)j/m)*log(a+(b-a)j/m)))*(b-a)/m}
です。

またn→∞のときm→∞ですから、
lim[n→∞]{S[n]}
= lim[m→∞]{Σ[j=0, m-1]{(1/((a+(b-a)j/m)*log(a+(b-a)j/m)))*(b-a)/m}}
= ∫[a, b]{1/(x*log(x))}dx
= ∫[n, n^3]{1/(x*log(x))}dx
= log(3)
となります。


Re: 区分求積法
名前:ハロー    日付:2018/9/20(木) 16:47
どうもありがとうございます。
すぐに理解できるほど賢くないので、熟読吟味させてもらいます。
区分求積法というアプローチでも解けるらしいので、考えてみます。
 詳しく書いて頂き有難うございました! 


Re: 区分求積法
名前:WIZ    日付:2018/9/20(木) 17:6
訂正と言うか、撤回します。

私の示した数式だと、n→∞つまりm→∞であっても、常に(b-a)/m = 1ですね。
区分求積が定積分を近似する為には、aやbの値とは無関係にmが大きくなれる、
つまり(b-a)/mはいくらでも小さくなれないとダメですね。

修正をすぐには思い付けそうにないので、私のコメントは無視してください。
スレ主がもう反応してしまっていますが、ごめんなさい。


Re: 区分求積法
名前:ハロー    日付:2018/9/20(木) 18:23
この上の式から、下の式にいたるところで、最後の *(b-a)/m が必要なのか考えていました。

= Σ[j=0, m-1]{1/((n+j)*log(n+j))
= Σ[j=0, m-1]{(1/((a+(b-a)j/m)*log(a+(b-a)j/m)))*(b-a)/m}

 それと、「またn→∞のときm→∞ですから」の部分が理解できず考えていました。
安直ですが、大学入試の準備の場合、積分区間の最初が文字というのはあるのでしょうか。無ければ、とりあえず放置しても大丈夫ということになりますけど。

対称性 返信  引用 
名前:A    日付:2018/9/20(木) 8:56
一辺の長さが2の正方形ABCDがある.正方形ABCDの内部の点Pから辺AB,BC,CD,DAに下ろした垂線の足をそれぞれP1,P2,P3,P4とするとき,次の条件を満たす点Pの存在する領域を図示せよ.
(条件)4つの線分PP1,PP2,PP3,PP4のどの3つの線分を用いても鋭角三角形ができる.

<質問>
解答と合わないのですが、どこが間違っているかご指摘お願いします。

PP1=x,PP2=2-y,PP3=2-x,PP4=yとおき、0<x⩽y<1とすると
0<x⩽y⩽1⩽2-y⩽2-x<2より
PP1⩽PP4⩽PP2⩽PP3
PP1~PP4のどの3つの線分を用いても鋭角三角形ができる
⇔PP1^2+PP4^2-PP3^2>0 かつ PP1+PP4-PP3>0 かつ 0<x⩽y<1
⇔x^2+y^2-(2-x)^2>0 かつ 0<x⩽y<1
これを原点、x軸、y軸、y=±xに関して対称移動を繰り返す



Re: 対称性
名前:del    日付:2018/9/20(木) 14:39
x,yは正のはずなのに最後に原点、x軸、y軸、y=±xに関して対称移動となっているのがおかしいです。
座標で考えたい場合はA,B,C,Dも座標を与えてあげると議論しやすいです。

例えば、A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1),P(x,y)とおくと
対称性を用いて議論することができます。


Re: 対称性
名前:A    日付:2018/9/20(木) 17:10
座標を導入してやり直してみます。ありがとうございました!

お茶の水女子大 1999年の問題 返信  引用 
名前:田中一郎    日付:2018/9/19(水) 19:54
以下の問題の(3)が分かりません。

a,b,c,dを定数とする。またwはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。以下の命題を考える。

命題1: x≧0かつy≧0かつz≧0 ⇒ w≧0

命題2: 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」 ⇒ w≧0

命題3: z≧0 ⇒ w≧0

以下の問いに答えよ。

(1) b=0かつc=0のとき、命題1が真であれば、a≧0かつd≧0であることを示せ。

(2) 命題1が真であれば、a,b,c,dはすべて0以上であることを示せ。

(3) 命題2が真であれば、命題3も真であることを示せ。


という問題なんですが、これは青チャートの総合演習にも載っている問題です。なので答えも書かれてあるんですが、(1)と(2)は解答を見たら理解できたのですが、(3)が解答を見ても理解できません。

(3)の解答を以下に載せます。

命題2が真であるとする。
この時、「x≧0かつy≧0かつz≧0」は
 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
に含まれるから、命題1も真である。
よって、(2)から a≧0,b≧0,c≧0,d≧0
命題2が真であるから、
y=z=0の時
 w=ax+d≧0
この不等式は、全ての実数xに付いて成り立つ。
よって、関数w=ax+dのグラフを考えると
 a=0かつd≧0
また、命題2が真であるから、x=z=0の時
 w=by+d≧0
この不等式も全ての実数yについて成り立つから
 b=0かつd≧0
ゆえに、a,b,c,dについて
 a=0,b=0,c≧0,d≧0
a=b=0であるから w=cz+d
c≧0,d≧0であるから、z≧0のとき w=cz+d≧0
したがって、命題2が真であれば、命題3も真である。

この解答の

この時、「x≧0かつy≧0かつz≧0」は
 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
に含まれるから、命題1も真である。

という部分が理解できません。
「x≧0かつy≧0かつz≧0」が「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」に含まれるのは分かるんですが、これで何故命題1が真になるのか分かりません。
命題2が真なら、何故命題1も真だと言えるんでしょうか。
どなたか教えて頂けると幸いです。



Re: お茶の水女子大 1999年の問題
名前:通りすがり    日付:2018/9/19(水) 22:17
「x≧0かつy≧0かつz≧0」 (A)

「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」 (B)
に含まれるので、(A)は(B)の特別な場合となります。
従って命題2において(B)のところを(A)に入れ替えた命題、
つまり命題1と等価となる命題も成立します。

スーパーコピーブランド 返信  引用 
名前:スーパーコピーブランド    日付:2018/9/19(水) 18:31
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関数?図形? 返信  引用 
名前:うりぼー    日付:2018/9/18(火) 19:23
点A(a,0)、B(0,b)、C(b,0)、D(0,-a)であり、点Eは直線AB、CDの交点。
ただし、a>b>0とする。

(1)三角形ECA、三角形BOA、三角形BDEの面積比は?

(2)三角形ECA、三角形BOA、三角形BDEの外心を、それぞれP、Q、Rとする。
それぞれの座標を求めよ。

(3)三角形PQRの面積を求めよ。

(1)は、相似比から面積比を出しました。
しかし、(2)は通常、垂直二等分線の交点を求めることになりますが、
点Eの座標が複雑なので、結構時間がかかります。
おそらく(3)も普通に計算すると、複雑で時間がかかります。

何か性質などを利用して簡単に解ける方法はありますか?

ちなみに中3生対象の問題です。



Re: 関数?図形?
名前:うりぼー    日付:2018/9/18(火) 21:7
解決しました、ありがとうこまざいました。


Re: 関数?図形?
名前:とあるパソコン部の部長    日付:2018/9/19(水) 19:37
こまざいました…??←うち間違いですか?w
※馬鹿にしてるわけではございません

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