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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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等角写像の問題です。 返信  引用 
名前:にゃー    日付:2019/7/22(月) 20:56
円C:|z-1| の内部を第一象限に移す等角写像を1つ求めたいのですが、やり方がわかりません…。 単位円と上半平面の等角写像がポイントなのかなと勝手に思っているのですが…。 どなたかご教示いただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。



Re: 等角写像の問題です。
名前:関数電卓    日付:2019/7/22(月) 21:17
円Cの半径は?


Re: 等角写像の問題です。
名前:にゃー    日付:2019/7/22(月) 21:54
ご返信ありがとうございます。
失念していました。申し訳ありません。
円C:|z-1|=1 です。

順列の問題です。 返信  引用 
名前:あきら    日付:2019/7/22(月) 0:47
1からnまでの自然数n個を1列に並べたとき、符号の変化が2回起こる
順列の総数
a1<a2<・・・・<ak>・・・・>aj<・・・・または
a1>a2>・・・・>ak<・・・・<aj>・・・・を満たす物は
何通りあるのでしょうか?特別な知識が必要なのでしょうか。
よろしくお願いします。



Re: 順列の問題です。
名前:あきら    日付:2019/7/22(月) 1:19
色々試して見たのですが、収拾がつかなくなってしまいました。
なにか良い方法がないものかと助けを求めたく投稿しました。
詳しい方おられましたら、ご教示いただければと思います。


Re: 順列の問題です。
名前:関数電卓    日付:2019/7/22(月) 21:1
> 符号の変化
とは?


Re: 順列の問題です。
名前:IT    日付:2019/7/22(月) 21:39
完全には、やっていませんが

増加、減少、増加 のパターンを調べて2倍すればいい。

最初のピーク値をa,次の谷の値をbとすると a>b
aの手前までの部分列をA,aの次からbの手前までの部分列をB,bの次からの部分列をCとする。

(条件1)A、C内の数字は各1個以上。

A内の数字は 1以上a未満
B内の数字は b+1以上、a-1以下
C内の数字は bより大でn以下
なので
 1以上b-1の数字はAに属す。
 b+1以上、a-1以下 の数字はA、B、Cのどこにでも属せる。
 a+1以上n以下の数字はBに属す。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(a,b) を決める。
(a,b) それぞれについて
 各数字のA,B,Cへの属させ方が何通りあるか調べる。
 そのうち(条件1)を満たさないものを除く。

問題集の解説がわからん 返信  引用 
名前:ななし    日付:2019/7/20(土) 18:23
素因数分解の問題です
「1から100までのすべての自然数の積をNとする。Nを素因数分解したとき、指数が2である最大の素因数を求めなさい。」という問題で、
解説には「100までの自然数の中で2*(素数)と表せる最大の自然数は94(=42*2)であるから、求める素因数は 47」とあった。
なぜ、「2*(素数)と表せる最大の自然数」なのでしょうか。

教えてください!



Re: 問題集の解説がわからん
名前:通りすがり    日付:2019/7/20(土) 19:20
求める最大の素因数をMとすると、素因数にMを含む
自然数のうちで大きい方は
aM (A)
(aは2以上の素因数にMを含まない自然数)
と置くことができ
aM≦100 (B)
ここで
M≠2
に注意すると(B)より
M≦100/a≦100/2
(中辺と右辺との間の等号はa=2のときに成立)
ということでMを考えるためには、少なくとも
a=2
でなければならず、これを(A)に代入すると、
大きい方の自然数は
2M
となります。


Re: 問題集の解説がわからん
名前:IT    日付:2019/7/20(土) 19:32
通りすがり さんの解説でいいと思いますが、

具体的な素数について考えてみると理解し易いかもしれません。

例えば、素数7であれば1から100までの自然数の中に
1*7、2*7、3*7、..7*7..14*7=(2*7*7) と3回以上出てきます。

素数43であれば
1*43、2*43=86 のちょうど2回出てきます。


Re: 問題集の解説がわからん
名前:ななし    日付:2019/7/21(日) 20:28
とてもよくわかりました!
お二方とも、どうもありがとうございました!

(untitled) 返信  引用 
名前:名無し    日付:2019/7/20(土) 15:24
∫[0,x]|xt-9|dt=9xを満たす正の実数xを求めよ



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/7/20(土) 17:9
方針を。

問題の方程式を(A)とします。
x>0
に注意すると
(i)0<x<9/x、つまり0<x<3のとき
(A)は
-∫[0→x](xt-9)dt=9x
∴…
(ii)9/x≦x、つまり3≦xのとき
(A)は
-∫[0→9/x](xt-9)dt+∫[9/x→x](xt-9)dt=9x
∴…

複雑な場合わけの書き方 返信  引用 
名前:a2    日付:2019/7/17(水) 20:42
|4x-12|=|(|x-9|-|x+2|)|を求めよ。
絶対値の問題をxの値で場合分けするとき、x-9とx+2のようにxの係数が等しいならそれぞれが0になるxの値を境にするだけなので単純ですが、この問題の場合xの係数が1と4の2つあるので3つの上下関係が入れ替わるので場合わけは複雑になってしまいます。このときの場合わけの書き方の書き方で質問があります。

(1)4x-12≧0 (x≧3)のとき、|4x-12|=4x-12
このときのxの値による|(|x-9|-|x+2|)|の場合わけは以下のようになる。
 (a)x≧9のとき、4x-12=|x+9-(x+2)|
 (b)3≦x<9のとき、|x-9|=-(x-9)、|x+2|=x+2

 (1-a) x≧9のとき、与式から4x-12=|x-9-(x+2)|
 (1-b) 3≦x<9のとき、4x-12=|-(x-9)-(x+2)|

(2)4x-12<0 (x<3)のとき、|4x-12|=-(4x-12)
 (2-a) -2≦x<3のとき、与式から-(4x-12)=|-(x-2)-(x+2)|
 (2-b) x<-2のとき、-(4x-12)=|-(x-2)+(x+2)|


こういう書き方をして解くのはありなんでしょうか?
(a)、(b)と書いたものを(3)から(6)にあてはめて
「(1)かつ(3)のとき・・・」みたいな書き方が確実で無難な方法かなと思ったんですが、個人的にこれだとわかりにくい気がするので質問してみました。
何かいい表し方ご存じの方いましたら教えてください!



Re: 複雑な場合わけの書き方
名前:ast    日付:2019/7/18(木) 5:14
そのような場合分けに別に論理的に間違っている点は無いので, そういうふうに書いて構いません.

ただし, 構わないのはよいのですが, ご提示の答案は下位の場合分け (a or b) には上位の場合分けの条件 (3未満か3以上か) が既に反映されているので, そもそも (1-a),(1-b),(2-a),(2-b) の四つの場合だけ書けばよいように見えます. そしてその四つの場合分けは, 符号が変わる点 x= -2, 3, 9 を順番に境にしているだけなので, 質問者さんが
> それぞれが0になるxの値を境にするだけなので単純
と仰るまさにその状況でしかないはずです. なので, フラットに四つの場合を順番に並べるだけで既に読みやすい答案になっているのではないでしょうか.

(計算用紙の時点では自分が間違えないようにいろいろ冗長にメモ書きを加えてあってももちろん構わないことなので, 解答用紙に清書する前によく検討して必要な部分だけを整理して答案にまとめ直すことができれば, それで十分だと思います)

# なお初めから予想できる範疇ではありますが, 解いてる途中で, これらの場合のいくつかでは |-2x+7| (=|2x-7|) の絶対値を外す必要が出るはずなので,
# 念を入れるなら x=7/2 も境界の値の仲間に入れて五つの場合に分けるのとどっちが読みやすいだろうと検討するかもしれません.

念のためWolfram Alpha の結果を提示しておきます.


Re: 複雑な場合わけの書き方
名前:IT    日付:2019/7/18(木) 19:37
地道に場合分けするのが結局早道とは思いますが、下記の様な解法もあります。

|4x-12|=|(|x-9|-|x+2|)|

±(4x-12) =|x-9|-|x+2|

x≦-2のとき
  ±(4x-12)=-(x-9)+(x+2)=11
4x=23 または -4x=-1
  解なし。

-2<x<9のとき
  ±(4x-12)=-(x-9)-(x+2)=-2x+7
  4x-12=-2x+7 または -(4x-12)=-2x+7
  6x=19 または -2x=-5
x=19/6 または x=5/2

x≧9のとき
 ±(4x-12)=(x-9)-(x+2)=-11
 4x=1 または -4x=-23
解なし。


Re: 複雑な場合わけの書き方
名前:IT    日付:2019/7/19(金) 19:8
±(4x-12) =|x-9|-|x+2| も場合分けですね。


Re: 複雑な場合わけの書き方
名前:a2    日付:2019/7/20(土) 19:13
確かに左辺と右辺でわざわざ分けて場合分けすることも相当な手間でした。
絶対値の記号を外して、場合分けも両方行うのもスマートでいいですね!
皆さんご丁寧にありがとうございました!

ベクトル解析 証明問題 返信  引用 
名前:むー    日付:2019/7/17(水) 16:36
v(a)をベクトル関数、v(r)を位置ベクトルとするとに、次の等式を証明せよ。ただし、積分領域Vは任意の体積領域で、Sはその表面である。

∫(v(r)・rotv(a))dV= ∫(v(a)× v(r))dv(S)


分かる方いらっしゃいましたら教えていただきたいです。よろしくお願いします。



Re: ベクトル解析 証明問題
名前:通りすがり    日付:2019/7/17(水) 19:12
ガウスの発散定理により
(右辺)=∭[V]div(↑a×↑r)dV (A)
ここで
↑a=(a[x],a[y],a[z])
とすると
div(↑a×↑r)=(∂/∂x)(a[y]z-a[z]y)+(∂/∂y)(a[z]x-a[x]z)+(∂/∂y)(a[x]y-a[y]x)
∴↑r・rot↑a=x(∂a[z]/∂y-∂a[y]/∂z)+y(∂a[x]/∂z-∂a[z]/∂x)+z(∂a[y]/∂x-∂a[x]/∂y)
=(∂/∂x)(a[y]z-a[z]y)+(∂/∂y)(a[z]x-a[x]z)+(∂/∂y)(a[x]y-a[y]x)
=div(↑a×↑r) (B)
(A)(B)により証明すべき等式は成立します。

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