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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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測度の減少列連続性の証明 返信  引用 
名前:初学者    日付:2018/4/26(木) 22:29
測度(Σ, μ)の減少列連続性の証明の中で分からないことがあります。
{B^n}を集合族とします。
ΣB^nという記号で任意の二つの集合が非交差な集合の和集合を表します。

記号が出せないので、文章で書きます。読みにくくて、すみません。
今{A}U{An}n≧1はΣに含まれているとします。
A^(n+1)はA^nを含んでいます。
lim(n -> ∞)[A^n] = Aとします(つまり、A^n↘Aです)。
μ(A^1) < ∞なら、lim(n -> ∞)[A^n] = μ(A)を示せ。

[証明]
A^1\A^2で、A^1∩(A^2の補集合)を表す.
任意のn≧1に対し、A^n = A + Σ(k≧n)A^k\A^(k + 1).
したがって、
(a) μ(A^n) = μ(A) + Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)) .
特にn = 1とすれば ∞>μ(A^1)≧Σ(k≧1)μ(A^k\A^(k + 1)) が分かるので、
lim(n -> ∞)[Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)] = 0
したがって、(a)よりlim(n -> ∞)[μ(A^n)] = μ(A) [証明終わり].

上の証明で、
特にn = 1とすれば ∞>μ(A^1)≧Σ(k≧1)μ(A^k\A^(k + 1)) が分かるので、
lim(n -> ∞)[Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)] = 0
というのが分かりません。なぜ、 ∞>μ(A^1)≧Σ(k≧1)μ(A^k\A^(k + 1)) が分かれば、
lim(n -> ∞)[Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)] = 0
となるのでしょうか。

運動方程式 返信  引用 
名前:トム    日付:2018/4/25(水) 22:37
質量mの質点の運動
a)x軸上を運動する質点の位置が時刻tの関数としてx=e^(-at)sinbt(bは正の定数)で与えられるとき、質点に作用する力fは、速度v及び位置xを用いてf=αv+βxと書けた。定数α、βを求めよ。
b)xy平面上を運動する質点の位置が
x(t)=αe^(-γt)+β, y(t)=ρe^(-γt)-ξt+η
で与えられる(α,β,γ,ξ,η,ρは正の定数)とき、質点に作用する力ベクトル↑fを求め、速度ベクトル↑v↑を用いて表せ。また、tが十分大きいときの速さを求めよ。
c)質点の位置ベクトルが↑r=cos(ωt^2)↑ex+sin(ωt^2)↑ey(ωは定数)で与えられるとき、速度ベクトルと位置ベクトルが常に直交することを示せ。

よろしくお願いいたします。



Re: 運動方程式
名前:通りすがり    日付:2018/4/26(木) 6:4
a)
条件から
v=x'=-a{e^(-at)}sinbt+b{e^(-at)}cosbt (A)
f=mv'=m{(a^2){e^(-at)}sinbt-2ab{e^(-at)}cosbt-(b^2){e^(-at)}sinbt} (B)
(A)(B)と
x={e^(-at)}sinbt

f=αv+βx
に代入して整理をすると
(a^2-b^2)msinbt-2abmcosbt=(β-αa)sinbt+αbcosbt
両辺の係数を比較して
(a^2-b^2)m=β-αa (C)
-2abm=αb (D)
(C)(D)をα、βの連立方程式として解きます。

b)
↑r=(x(t),y(t))
とします。
前半)
条件から
↑v=(d/dt)↑r=(x'(t),y'(t))
=(-γαe^(-γt), -γρe^(-γt)-ξ)
=-γ(αe^(-γt), ρe^(-γt))+(0,-ξ) (E)
↑f=m(d/dt)↑v=(m(γ^2)αe^(-γt), (mγ^2)ρe^(-γt))
=m(γ^2)(αe^(-γt), ρe^(-γt)) (F)
(E)(F)より
↑f=m(γ^2){-(1/γ)↑v+(0,-ξ/γ)}
=-mγ↑v+(0,-mξγ)
後半)
(E)よりtが十分大きいとき
↑v≒(0,-ξ)
∴速さは
|↑v|=|ξ|=ξ

(C)
速度ベクトルを↑vとすると
↑v=(d/dt)↑r=-2ωtsin(ωt^2)↑ex+2ωtcos(ωt^2)↑ey
∴↑r・↑v=-2ωtsin(ωt^2)cos(ωt^2)+2ωtcos(ωt^2)sin(ωt^2)
=0
となるので
↑r⊥↑v


Re: 運動方程式
名前:トム    日付:2018/4/26(木) 7:29
ありがとうございます!
本当に助かります

直観的に発散しそうな無限級数について 返信  引用 
名前:微小    日付:2018/4/25(水) 22:24
数学系ではない者です。一時期、一見収束しそうにない無限級数に興味があり、いろいろと自分なりに研究したことがありました。
興味をもったきっかけが、自然数の無限和が収束することを知ったことですので、最初はそれの証明から始めることにしました。
その証明がきっかけで、他に三つの一見収束しそうにない無限級数を求めることができました。
しかし、その三つの内の二つはインターネット上で検索してもみつからず、残りの1つはゼータ関数でも計算できるそうなのですが、
ゼータ関数で計算した結果が、私の導出した結果と異なっていました。
以下にその導出過程を記述しますので、数学に詳しい方、どこが間違っているのか教えて頂けませんか。よろしくお願いします。


↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓自然数の無限和に関する証明↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

1+2+3+4+.....=-1/12 を証明する。
まず、準備として、



Re: 直観的に発散しそうな無限級数について
名前:微小    日付:2018/4/25(水) 22:27
質問がすべてうまく映っていませんね。
申し訳ありません。

微積分の穴埋め 返信  引用 
名前:ore    日付:2018/4/25(水) 21:40
放物線C: y=x^2の接線で、点(3/2,0)を通るのは
A: y=ア , B: y=イ(x-3/2) である。

CとBの接点は(ウ,エ)であり、2つの直線A,Bと放物線Cで囲まれる図形の面積Dは オ/カ である。

微積の問題らしいです。おねがいします。



Re: 微積分の穴埋め
名前:miki    日付:2018/4/27(金) 0:24
AとC、BとCとの接点をを(t,t^2)とおく.

y=x^2を微分して
y'=2x

ゆえに直線A、Bの傾きは2t.
ゆえに 2t = (t^2-0)/(3/2-t)
これを解いて t = 0,3

したがって、A:y = 0, y = 6(x-3/2)
CとBの接点は(3,9)

また、Dの面積は
∫1→3(x^2)dx - 1/2*(3-3/2)*9 = 27/4

3乗根の連分数展開について 返信  引用 
名前:vow256    日付:2018/4/25(水) 20:3
高校2年生で連分数について研究している者です。
3乗根√2を正則連分数に直す方法を教えていただきたいです。
答え自体はネットで調べるとすぐに出るのですが、途中計算が分かりません。
一応、フラクタル連分数での表記法には辿り着いている(はずな)ので、そこから直せるのであればその方法でも大丈夫です。
宜しくお願いします。
http://twitter.com/vow256



Re: 3乗根の連分数展開について
名前:WIZ    日付:2018/4/26(木) 9:19
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

# あくまで参考意見ですので、期待せずに読んでください。

ニュートン法により、2^(1/3)の近似値を求めてみます。
y = f(x) = x^3-2という曲線を考え、2^(1/3)の近似値をa[1], a[2], a[3], ・・・とします。

kを自然数として、x = a[k]における接線は、
y-f(a[k]) = f'(a[k])(x-a[k])
⇒ y-(a[k]^3-2) = (3*a[k]^2)(x-a[k])
⇒ y = (3*a[k]^2)x-2(a[k]^3+1)

y = 0とおくと、x = a[k+1] = 2(a[k]^3+1)/(.3*a[k]^2) = (2/3)(a[k]+1/a[k]^2)

a[1]として有理数を選べば、全てのkについてa[k]は有理数となります。


次に有理数は有限の正則連分数で表せます。
具体的にはユークリッドの互助法を使います。

u. vを自然数として、u/vを正則連分数で表すには、
n, q[1], q[2], q[3], ・・・を自然数、r[1], r[2], r[3], ・・・を非負整数として、
u = q[1]*v+r[1]
v = q[2]*r[1]+r[2]
r[1] = q[3]*r[2]+r[3]
・・・
r[n-1] = q[n+1]*r[n]

よって、
u/v = (q[1]*v+r[1])/v
= q[1]+r[1]/v
= q[1]+1/(v/r[1])
= q[1]+1/((q[2]*r[1]+r[2])/r[1])
= q[1]+1/(q[2]+r[2]/r[1])
= q[1]+1/(q[2]+1/(r[1]/r[2]))
= q[1]+1/(q[2]+1/((q[3]*r[2]+r[3])/r[2]))
= q[1]+1/(q[2]+1/(q[3]+r[3]/r[2]))
・・・
= q[1]+1/(q[2]+1/(q[3]+・・・1/q[n+1]))


Excelなどを使って、無理数の整数部分と少数部分に分け、
小数部分の逆数を更に整数部分と少数部分に分けということを繰り返して
連分数展開する方法もあるようですが、浮遊小数の計算をする以上誤差が蓄積するので
あまり深く連分数展開できません。
私が紹介した方法は整数計算しか用いないので誤差は出ませんが、
2^(1/3)の連分数展開をしているのではなく、2^(1/3)の近似値である有理数の連分数展開をしているので、
大同小異ですね。

ただ、プログラミングをご存じなら、プログラミング言語の取り扱える浮遊小数点の値の精度に
依存せずに、いくらでも近似値を計算できるというメリットはあります。
# 但し、私がJavaでプログラミングしてみたところ、a[1] = 1としてスタートしても、
# a[4] = 18029104/14309568と既に分子・分母共に8桁の自然数となり、
# 連分数展開は[1; 3, 1, 5, 1, 1, 5, 2, 9, 3, 1, 1, 6, 1]となりますが、
# Wikipediaによれば2^(1/3)の連分数展開は[1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, ・・・]ということなので、
# 6項目までしか合ってませんね。
# a[5]は分子・分母が25桁くらいになりそうで、もはやJavaの整数としては扱えませんので、
# 私の提示した方法は実用的ではないですね。
# もっと整数の桁数が多くても扱えるプログラミング言語ならマシな結果が得られるかもしれませんが。

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