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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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固有値1に対する固有ベクトルの見つけ方 返信  引用 
名前:Yossy    日付:2019/5/20(月) 23:29
(A-E)x=0を解くとx成分とz成分が等しい.つまりX=(a,b,a)という関係が出ます.
a(1,0,1)+b(0,1,0)と考えられるので,固有ベクトルとして
(1,0,1)と(0,1,0)をとることができます.



Re: 固有値1に対する固有ベクトルの見つけ方
名前:Taro    日付:2019/5/20(月) 23:47
回答ありがとうございます!
なるほど、惜しいところまで来ていたのですね。
助かりました!

固有値固有ベクトル 返信  引用 
名前:Taro    日付:2019/5/20(月) 22:21
3×3行列の固有値、固有ベクトルを求めよ。という問題です。
A={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}
________________________________________________________________
・固有値は-1,1(重解)とわかりました。
・-1の固有ベクトルは[1,0,-1]とわかりました。
・固有値が1の時の固有ベクトルの答えが分かりません。どなたか教えてください。
[1,0,1]みたいになってしまい、重解なのに2つ固有ベクトルが出てこない場合はどうすればよいでしょうか

代数 正則条件について 返信  引用 
名前:Taro    日付:2019/5/20(月) 22:17
5×5の正方行列について
A=M{(-2,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,-1,0,0),(0,0,0,a,1),(0,0,0,0,a)}

のとき、
1)行列Aの固有値を全て求めよ
2)Aが正則になるaの値の必要十分条件を求めよ。理由も述べよ。
--------------------------------------------------------------
1)については簡単で固有値は-2,1,-1,a(重解)
2)は、
・行列式が0でない
・Aが逆行列を持つ
という正則条件からaが0でないということが必要十分条件だと考えたのですが、あっていますでしょうか?
また、ほかの条件があればご教授ください。



Re: 代数 正則条件について
名前:IT    日付:2019/5/21(火) 7:38
2)は、
>・行列式が0でない
>・Aが逆行列を持つ
> という正則条件からaが0でないということが必要十分条件だと考えたのですが、あっていますでしょうか?

あっていると思いますが、書き方に不安があります。

Aが正則行列⇔(定義)Aが逆行列を持つ⇔Aの行列式が0でない
です

この問題の場合、実際はどうやって Aが正則行列⇔a≠0を示しましたか?

円錐曲線について 返信  引用 
名前:にゃん    日付:2019/5/20(月) 22:11
円錐を斜めに切ると色々な曲線やら楕円やらが出てきますが、反比例の式を表す曲線を出すためにはどうすればよいでしょうか?
それとも普通に斜めに切ればそれが全部反比例の双曲線に成ってるんでしたっけ? 良く分からなくなってしまったので誰か回答お願いします。



Re: 円錐曲線について
名前:まうゆ    日付:2019/5/21(火) 7:56
母線に平行でない平面で切ったときに1本できます。
もう1つは2つの合同な円錐を頂点を合わせて底面が平行になるように固定
してから同じことをやるとできます。

ベクトルの問題 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/5/20(月) 13:14
【問題】
△OABについて,OA=√2,OB=√3,AB=2とする。点Oから辺ABに下ろした垂線の足を点L,辺OBに関してLと対称な点を点Pとする。
→OA=→a,→OB=→b とする、(「→a」は「aベクトル」を表しています)
(1)→a・→bは?また,→OLを→aと→bを用いて表せ。
(2)→OPを→aと→bを用いて表せ。

【解答】
(1)→a・→b = 1/2
→OL = (5/8)→a + (3/8)→b
(2)→OP = (-5/8)→a + (7/12)→b

(1)は自力で解けたのですが,(2)の解答の仕方がわからず困っています。
△OLPが二等辺三角形になっているので,そこをうまく利用して解いていきそうな気がして,Webページで二等辺三角形を利用したベクトルの内積の類題を調べてみましたが,少し違った部分があり,私の力量では,本問にその解き方を落とし込むことができませんでした。
ご教授をお願いします。



Re: ベクトルの問題
名前:通りすがり    日付:2019/5/20(月) 19:7
>>△OLPが二等辺三角形になっているので,そこをうまく利用して解いていきそうな気がして

着眼点は問題ありません。
ということで
辺OBが辺PLを垂直に二等分する
ことを利用します。

↑OP=x↑a+y↑b (A)
と置くと、まず条件から辺PLの中点は辺OB上にあるので
(↑OP+↑OL)/2=z↑b (B)
(但し0<z<1)
と表すことができます。
(B)に(A)と(1)の後半の結果を代入すると
(1/2)(x+5/8)↑a+(1/2)(y+3/8)↑b=z↑b (B)'
ここで
↑a//↑bでなく、かつ↑a≠↑Oかつ↑b≠↑O
∴(B)'の両辺の係数を比較することができ
(1/2)(x+5/8)=0 (C)
(1/2)(y+3/8)=z (D)

次にPL⊥OBにより
↑PL・↑OB=0
これより
(↑OL-↑OP)・↑b=0 (E)
(E)に(A)と(1)の後半の結果を代入し、左辺を展開すると
(1/2)(-x+5/8)↑a・↑b+(1/2)(-y+3/8)|↑b|^2=0
更に(1)の前半の結果を代入すると
(1/4)(-x+5/8)↑a・↑b+(3/2)(-y+3/8)=0 (E)'
(C)(D)(E)'をx,y,zの連立方程式として解きます。


Re: ベクトルの問題
名前:通りすがり    日付:2019/5/20(月) 19:8
ごめんなさい。訂正します。
誤:(1/4)(-x+5/8)↑a・↑b+(3/2)(-y+3/8)=0 (E)'
正:(1/4)(-x+5/8)+(3/2)(-y+3/8)=0 (E)'


Re: ベクトルの問題
名前:Haru    日付:2019/5/21(火) 18:5
ありがとうございます!
二等辺三角形を利用して解いていく方法でも大丈夫だということで一安心しました。
二等辺三角形を利用する時は,(本問の記号を用いるならば),"辺LPと辺OBが垂直 = 内積が0","辺OBと辺LPの交点が辺LPの中点である"," |↑OL| = |↑OP| "などを用いることを確認はしていましたが,上手く本問に適用することができなかったのですが,通りすがりさんの解答では,前半2つを用いて解かれているので,説明を吟味しながら他の類題でも扱えるように再考してみたいと思います!
ありがとうございました!

接線近似について 返信  引用 
名前:ayu782    日付:2019/5/20(月) 11:1
微分の接線近似について質問です。

なめらかな関数f(x)において、Δxが微小である時、
Δyの変化分は接線近似が出来ると教わりました。
ここで疑問なのですが、
微分するということは、f(x)の次数を一つ落とすということになるので、
f(x)が二次関数であるならば、直線の接線近似が出来ることは納得がいくのですが、
三次関数以上になると、微分係数は二次以上になるため、曲線の接線近似ということになると思います。
曲線の接線近似というとイメージが湧かないので、
この考え自体が間違っているか、正しく理解が出来ていないかのどちらかであると思います。
アドバイスを頂ければ幸いです。



Re: 接線近似について
名前:まうゆ    日付:2019/5/21(火) 8:16
微分して出てくるのは接線の式でなく接線の傾きを表す関数なので
少し違います。なので3次式を微分して2次式が出ても直線の接線を持ちます。(接線の定義内に直線という条件が入ります。)
ただ直線ではなくても接することはあります。
たとえば円の外接、内接,t=x^2とy=-x^2などです。曲線同士が接す条件は
その2曲線の傾きある点で等しくその点で交わっていることつまり
共通接線を持つことです。


Re: 接線近似について
名前:まうゆ    日付:2019/5/21(火) 8:18
内接の後のtはyの間違いです


Re: 接線近似について
名前:まうゆ    日付:2019/5/21(火) 8:21
「曲線同士が接する」でした。何回もすいません


Re: 接線近似について
名前:ayu782    日付:2019/5/21(火) 13:6
とても分かりやすい説明で、感覚として分かりました。
ありがとうございますm(_ _)m

(高校数学)順列・組み合わせ 返信  引用 
名前:エディ    日付:2019/5/18(土) 13:54
問題:3個のa,4個のb,5個のcをならべる順列の総数を答えよ.
解答:12!/(3!×4!×5!)=27720

以上は当方が保有する問題集の質問と解答を抜粋したものです。

当方の質問:この問題は解答を見る限り順列の総数ではなく、
組み合わせの数を聞いてる質問ではないでしょうか?

他方で問題文には3個のa(または4個のb,5個のc)の並び方(aの場合3!通りある)を同じものとして扱ってよい(組み合わせの問題である)とはどこにも書いていません。

仮に題意が順列の総数を聞いている場合は解答は12!になるのではないでしょうか。

誤植の可能性も考えましたがネットで検索した限りそのような情報は見つかりませんでした。
誤植ではない場合、当方の問題の解釈のどこに漏れがあるのでしょうか。

数学の順列・組み合わせの問題に、3個のaがある、その順列を答えよと言われた場合にそれが全て同等のaであり→
順番は関係ない→故に組み合わせの問題である、という解釈を行うものなのでしょうか。

ご教示いただけると幸甚です。



Re: (高校数学)順列・組み合わせ
名前:a2    日付:2019/5/18(土) 16:56
同じ3つのaや4つのbを1つずつ区別する必要はありません。1つずつ区別したいのなら、同じアルファベットのものが複数個あることに意味はなく、abcdefg...とそれぞれ別のアルファベットを張りあてればいいからです。
このことについて問題文に注釈があるべきかどうかは、僕はまだ2年生で、教員ではないのでわかりません。ごめんなさい。

組み合わせは「n個のなかからr個とりだす組み合わせ」だったはずです。
あなたのいう組み合わせを考えるなら、同じアルファベットはもちろん、aとbのように違うアルファベットの順番も考えないことになります。
組み合わせは、「取り出したものなかで、全体の順番を無視する」ものです。

この問題で考慮しないのは、同じアルファベットどうしの順番だけなので、a、b、cそれぞれで順番を消す必要があります。
解答で(3!×4!×5!)とそれぞれのアルファベットの個数を階乗してるのは、アルファベットごとに同じ順番になるものを取り除いているからです。

この問題では「アルファベットごとの組み合わせを考える」わけでもありません。
「それぞれのアルファベットに着目して順番を消した」んです。
順番を消すことは、組み合わせそのものではありません。
確かに数字で書いた式の上ではそのように見えますが、そういう手段を使っているだけで本質は違うものです。


Re: (高校数学)順列・組み合わせ
名前:a2    日付:2019/5/18(土) 17:0
組み合わせは、「取り出したものなかで、全体の順番を無視する」ものです。
順番を無視するっていうのは数式上でのお話です。大事なのは「取り出したも物の中で」っていう部分です。


Re: (高校数学)順列・組み合わせ
名前:けんけんぱ    日付:2019/5/18(土) 21:31
a2さんの説明で事足りていると考えます。
これから書くことは蛇足です。

順列と組み合わせ、言葉の定義はどこかのサイトを参照してください。

順列の例を挙げれば
c,b,a,c,c,c,c,a,b,a,b,b
b,a,c,b,a,c,a,b,b,c,c,c
などです。
ここでもう一度
c,b,a,c,c,c,c,a,b,a,b,b (一つ目と同じ)
と書けば、
これは順列の数としてはすでに出てきているので数えません。
これが順列の考え方です。

さらに、組み合わせは
a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,c
の一通りです。これ以外に組み合わせはありません。

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