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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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帰納法 返信  引用 
名前:@    日付:2017/6/23(金) 18:52
実数x,yについて,x+y,xyがともに偶数とする.
このとき,x^n+y^nは偶数になることを示せ.
(x+y)^nを二項定理を用いて展開してx^n+y^n=
の形に表して証明することは可能でしょうか?



Re: 帰納法
名前:miki    日付:2017/6/23(金) 19:14
可能です。
(x+y)^nはx+yが偶数であることから偶数。
(x+y)^n = x^n + nC1x^(n-1)y + … + nC(n-1)xy^(n-1) + Y y^n
となるが、x^n,y^n以外の項はxyが偶数であることから、偶数。
ゆえに、偶数と偶数の和と差はともに偶数であるから、
x^n + y^nは偶数である。


Re: 帰納法 y^nの項を書き間違えました。
名前:miki    日付:2017/6/23(金) 19:15
(x+y)^nはx+yが偶数であることから偶数。
(x+y)^n = x^n + nC1x^(n-1)y + … + nC(n-1)xy^(n-1) + y^n
となるが、x^n,y^n以外の項はxyが偶数であることから、偶数。
ゆえに、偶数と偶数の和と差はともに偶数であるから、
x^n + y^nは偶数である。


Re: 帰納法
名前:IT    日付:2017/6/23(金) 19:43
横から失礼します。
> x^n,y^n以外の項はxyが偶数であることから、偶数。
には飛躍があると思います。

x,y は実数であり整数とは限りません。
よって x(xy) は必ずしも偶数とは限らないと思います。

(x^(n-1)+y^(n-1))xy とセットにして数学的帰納法を使う必要があると思います。


Re: 帰納法
名前:IT    日付:2017/6/23(金) 19:45
(x^(n-1)+y^(n-1))xy とセット は、次数がおかしいですね。
適当に直して考えてください。


Re: 帰納法
名前:IT    日付:2017/6/23(金) 19:58
x,yが整数でない例。x=√2,y=-√2


Re: 帰納法
名前:WIZ    日付:2017/6/23(金) 23:52
別解


x+y = p, xy = qとおくと、題意より、p, qは偶数の整数です。


x, yはt^2-pt+q = 0の解となり、t^2 = pt-qとなります。

nを2以上の自然数、p[n], q[n]を整数として、t^n = p[n]t+q[n]とおけることを示します。
n = 2のとき、p[2] = p, q[2] = -qです。
kを2以上の自然数としてt^k = p[k]t+q[k]だったとすると、
t^(k+1) = p[k]t^2+q[k]t = p[k](pt-q)+q[k]t = (p*p[k]+q[k])t-q*p[k]となり、
p[k+1] = p*p[k]+q[k], q[k+1] = -q*p[k]とすれば良いことになります。
以上から、数学的帰納法により、
nが2以上の自然数の場合、p[n], q[n]を整数としてt^n = p[n]t+q[n]とおけると言えます。

x, yはt^2-pt+q = 0の解ですから、x^n = p[n]t+q[n], y^n = p[n]y+q[n]を満たしますので、
x^n+y^n = p[n](x+y)+2q[n]と偶数であると言えます。

わかりません 返信  引用 
名前:    日付:2017/6/23(金) 9:7
kを実数とする。関数y=f(x)がf'(x)=-k{f(x)}^2、f(0)=1を満たすとき、f(x)を求めよ。
全然わからないので解答よろしくお願いします



Re: わかりません
名前:ググ    日付:2017/6/23(金) 10:39
g(x) = 1/f(x)
と置くと
g'(x) = -f'(x)/{f(x)^2} = k
なので
g(x) = kx + C
積分定数Cはg(0)=1から1と分かります

よってf(x) = 1/(kx+1)

軌跡 返信  引用 
名前:クッキー    日付:2017/6/23(金) 1:23
x^2+y~2-2≦0のとき,y/(x+2)の最大値と最小値および,その時のx,yの値を求めよ
という問題がわかりません.

平方完成した式は
(x-1)~2+y~2=1
です.
y/(x+2)=kとおいて直線の式を考えると,式変形からx=y/k-2となり,(-2,0)を必ず通るので,円と直線の接線の式を考える?としたのですがうまくいきませんでした.



Re: 軌跡
名前:クッキー    日付:2017/6/23(金) 1:31
度々失礼いたします.問題文の式
x^2+y~2-2≦0
ではなく
x^2+y^2-2x≦0
でした.


Re: 軌跡
名前:ググ    日付:2017/6/23(金) 10:54
>> y/(x+2)=kとおいて直線の式を考えると,式変形からx=y/k-2となり,(-2,0)を必ず通るので,円と直線の接線の式を考える?


そのやり方で正しいです、おっしゃる通り
y = k(x+2)
は(-2,0)を通り傾きkの直線です

半径√2の円(周+内部)とこの直線が交点を持つ範囲で、傾きkを色々と動かして最大値・最小値を探せばいいので、まさに円と接線の式を考えればいいです

絵を描いて考えればわかりやすいです
直線は点A(-2,0)を必ず通り、円と直線の接点をP(p,q)と刷れば、原点をO(0,0)として
OP = √2
OA = 2
∠OPA = 90°
です。よって△PAOは直角二等辺三角形なので、Pのx座標pはAのx座標-2とOのx座標0のちょうど中間の-1です
P(p,q)は円周上の点なのでp^2+q^2=2を満たし、q=±1であると分かります

直線が(1,-1)を通る時kが最小に
(1,1)を通るとき最大になります

二階微分方程式 返信  引用 
名前:ロビン    日付:2017/6/23(金) 0:18
(b)まで自分なりに解いてみましたが自信がなく、(c)以降は解けません。
問題数が多いため、分かる範囲で結構ですので、教えていただければ幸いです。
解答はありません、、
問題はURLに貼っています。


自分が出した答え
(a)m=1のとき
u(x)=(e^(-2/ε)/(e^(2)-e(-2/ε))) e^(2x) - (e^(-2/ε)/(e^(2)-e(-2/ε))) e^(-2x/ε) + 1
x=0のとき
lim=1
x=1のとき
lim=1

m=2のとき
u(x)=(e^(2/ε)/(e^(-2)-e(2/ε))) e^(-2x) - (e^(-2)/(e^(-2)-e^(2/ε))) e^(2x/ε) + 1
x=0のとき
lim=1
x=1のとき
lim=1


(b)u0(x)=1
http://imgur.com/a/qlEXn

(untitled) 返信  引用 
名前:エリ    日付:2017/6/22(木) 22:50
次の問題になやんでおります。

「関数f:X→R(Xは非空の凸集合かつコンパクト)が凸関数であるとき、
最大値が存在するか?存在するなら証明、存在しなければ反例を示せ。」

存在しそうな気がするのですが、うまく示せません。
方針をご教示いただけますでしょうか。。。



Re: (untitled)
名前:ググ    日付:2017/6/22(木) 23:8
凸関数をキーワードにググると凸関数は連続だという記述がいくつか見つかります

これを信じるならコンパクト集合上ではかならず最大値をとります


単なる凸集合は線形空間上に定義されますが、コンパクトうんぬんということは線形位相空間の中での話でしょうか。いずれにせよXの設定や凸集合、凸関数の定義をしっかり書いたほうが回答がつきやすいと思います

(untitled) 返信  引用 
名前:キタノ    日付:2017/6/22(木) 18:50
(yx^2 +2)/(xy^2 +2)の値が整数となるような正の整数x,yの組を求めよ

解法の指針をお願いします_(┐「ε:)_



Re: (untitled)
名前:ググ    日付:2017/6/22(木) 22:11
= k (仮定よりkは正整数) と置くと

xy(x-ky) = 2(k-1)
と変形できます

k=1の場合はx=y
そうでなければ右辺が正なので左辺もそうで、x>ky
つまり 2(k-1)=xy(x-ky)≧x>ky なので
y<2(k-1)/k = 2 - 2/k
これはyとして1以外ありえないことを意味します

ここまで絞れれば簡単ですね


Re: (untitled)
名前:キタノ    日付:2017/6/22(木) 22:17
ありがとうございます。やってみます!

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