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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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微分 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/6/16(土) 15:27
xの関数f(x)=8^x+8^(-x)-9(4^x+4^(-x))+27(2^x+2^(-x))-26について、次の問いに答えよ。
(1) t=2^x+2^(-x)とおく。f(x)をtの関数としてあらわしたものをg(t)とするとき、g(t)を求めよ。
(2) t=2^x+2^(-x)のとる値の範囲を求めよ。
(3) tが(2)で求めた範囲を動くとき、関数y=g(t)の増減を調べよ。
(4) x≧0のとき、関数f(x)の最小値とその最小値を与えるxの値を求めよ。

 この(1)(2)(3)は、それぞれ g(t)=t^3-9t^2+24t-8 t≧2 となり増減表もできました。
ただ、(4)で、tの関数とxの関数をどう結び付けるのか分からなくなりました。
どなたか、お願いします。



Re: 微分
名前:通りすがり    日付:2018/6/16(土) 15:54
t=2^x+2^(-x)
において
u=2^x
と置くと
t=u+1/u
これより
u^2-tu+1=0
∴u={t±√(t^2-4)}/2
uを元に戻して
2^x={t±√(t^2-4)}/2
∴x=-1+log[2]{t±√(t^2-4)} (A)
(A)にf(x)が最大、最小のときのtの値を代入します。
(注:(A)の±を見てわかる通り、最大、最小のときのxの値は
それぞれ二つづつあります)


Re: 微分
名前:ハロー    日付:2018/6/16(土) 17:32
 式を変形して x=-1+log[2]{t±√(t^2-4)} (A)となるところまでは理解できたのですが、ここに「f(x)が最大、最小のときの t の値を代入」のところがよく分かりません。
f(x)の元の式では考えづらいので置き換えて t の関数として考えたのだと思います。(1)ででた t の関数を(2)の範囲で書くと、最小値は t=4 のとき 12 となりました。
最大値はないように思います。これを(A)の t に代入すると、x の最小値が出るだけで f(x) の最小値とどう関係しているのでしょうか。


Re: 微分
名前:ハロー    日付:2018/6/16(土) 17:34
 あれ?これは、置換したから最小値は12で、その時のxを求めているのでしょうか。


Re: 微分
名前:通りすがり    日付:2018/6/16(土) 18:26
>>最大値はないように思います。
ごめんなさい。最大値は存在しませんね。

>>あれ?これは、置換したから最小値は12で、その時のxを求めているのでしょうか。
その通りです。


Re: 微分
名前:ハロー    日付:2018/6/16(土) 21:0
お手数をおかけしました。スッキリしました!!どうもありがとうございました

(untitled) 返信  引用 
名前:ぷん    日付:2018/6/16(土) 0:0
0<1/x<1 0<1/y<1のとき、k=2x+yのとりうる範囲を求めよ。
log(x+y)=log[a]x+log[a]yをみたす整数x,yの組をすべて求めよ。ただしa>0,a≠1
どなたかお助けください。



Re: (untitled)
名前:ぷん    日付:2018/6/16(土) 0:3
すみませんlog[a](x+y)=log[a]x+log[a]yです。


Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2018/6/16(土) 1:11
>0<1/x<1 0<1/y<1のとき、k=2x+yのとりうる範囲を求めよ。

0<1/x<1からx>1
0<1/y<1からy>1
よって、k=2x+y>3


log[a](x+y)=log[a]x+log[a]y=log[a]xy
よって x+y=xy
x+y=xy
xy-x-y+1=1
(x-1)(y-1)=1

x-1=±1,y-1=±1
真数条件よりx>0,y>0だから
(x,y)=(2,2)


Re: (untitled)
名前:ぷん    日付:2018/6/16(土) 8:46
ありがとうございます。
やっぱりkについてはそうなりますよね…
解答がk≧3+2√2になってるんです泣


Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2018/6/16(土) 23:53
初版本の問題集なら校正ミスもありますから。

たぶん問題が間違っていると思います。

整数について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2018/6/15(金) 13:48
自然数a,b,c,dが 3a=b^3 5a=c^2を満たし、d^6がaを割り切るような
自然数dはd=1に限るとする。

(1)aは3と5で割り切れることを示せ。
(2)aの素因数は3と5以外にないことを示せ。
(3)aを求めよ。
この問題の(3)で、なぜ、x、yは、5以下なのでしょうか?
x≧7、y≧7とかは、なぜ、NGなのでしょうか?
教えていただけると幸いです。



Re: 整数について。
名前:ヨッシー    日付:2018/6/15(金) 14:51
その前に、x、yとは何ですか?
教えていただけると幸いです。
http://yosshy.sansu.org/


Re: 整数について。
名前:コルム    日付:2018/6/15(金) 17:32
x,yは、それぞれ、3と5の指数です。教えていただけると幸いです。


Re: 整数について。
名前:ヨッシー    日付:2018/6/15(金) 23:22
>d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限るとする。
に反するからです。
http://yosshy.sansu.org/


Re: 整数について。
名前:コルム    日付:2018/6/15(金) 23:45
もう少し詳しく教えていただけると幸いです。


Re: 整数について。
名前:ヨッシー    日付:2018/6/19(火) 13:29
a=3^x・5^y であるとき、例えば、x=6 だとすると
aは3^6 で割り切れるので、
>d^6がaを割り切るような自然数dはd=1に限る
に反します。

yについても同様。

よって、x,yは5以下。
http://yosshy.sansu.org/


Re: 整数について。
名前:コルム    日付:2018/6/19(火) 16:58
ありがとうございました。

周辺確率分布の求めかた 返信  引用 
名前:F    日付:2018/6/15(金) 10:17
二次元離散確率変数(X,Y)の同時確率分布が以下のように与えられています。
P(0,0)=1/60
P(0,1)=1/30
P(0,2)=1/20

P(1,0)=1/30
P(1,1)=1/15
P(1,2)=1/10

P(2,0)=1/20
P(2,1)=1/10
P(2,2)=3/10

P(3,0)=1/15
P(3,1)=2/15
P(3,2)=1/5
※表を打ち込むことが難しいためXを固定してまとめました。

ここからX,Yの周辺確率分布を求めたいのですが、何度計算しても確率の合計が1になりません。そもそも同時確率分布とは、確率をあらわすものではなく、1になる必要は無いのでしょうか?もしそうなら、同時確率分布が何を表すのか、また同時確率分布から周辺確率分布を求める方法を教えていただきたいです。



Re: 周辺確率分布の求めかた
名前:黄桃    日付:2018/6/16(土) 7:12
このままでは確かにすべての確率の和が1を越えてますので、同時確率分布ではありません。問題の誤りか、写し間違えではないでしょうか。

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