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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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数学2 微分積分 返信  引用 
名前:名無し    日付:2019/5/17(金) 21:4
集合Cを
C={y=f(x)|f(x)はすべての実数xで定義されていて、f(x)は極大値と極小値をそれぞれ1つづつもつ}
として定める。
(1)3次関数y=f(x)で、Cに属するものの例を挙げよ。
(2)4次関数y=g(x)で、Cに属するものは存在しないことを証明せよ。

(1)はわかります。y=x^3-3xなどです。
(2)がどのように証明すればよいか難しいです。グラフをかけば、極大値が2つ、極小値が1つになるか、極大値・極小値のどちらか1つしかもたないことはわかるのですが・・・
方針をおしえていだだけないでしょうか?



Re: 数学2 微分積分
名前:ast    日付:2019/5/17(金) 21:41
(2) は−∞での極限値と+∞での極限値がどうなるか調べればいいでしょう.
 [a] 極大値と極小値をそれぞれ1つづつもつ=増・減・増または減・増・減のどちらかのパターンしかない
 [b] 多項式函数でそのようなパターンだとxが−∞から∞まで動く間に函数の値も[−∞から増・減・増で∞まで]または[∞から減・増・減で−∞まで]と変化するしかない
 [c] 4次函数は明らかに−∞への極限と∞への極限での値は(最高次係数の符号に従って)同じ符号を持つ無限大へ行くからそういうことは起こり得ない


Re: 数学2 微分積分
名前:IT    日付:2019/5/17(金) 23:12
(別解)
4次式をf(x)とする。
f(x)のx^4の係数をa>0とする。(a<0のときも 増と減、極大と極小が入れ替わるだけ)
f'(x)は3次式でx^3の係数は3a.

f'(x)=0 の解の状況で場合分けします。
f'(x)=0 が
(1)3つの異なる実数解α<β<γをもつとき
  x<αで f'(x)<0:f(x)は減少
   f'(α)=0:f(α)は極小、
  α<x<βで f'(x)>0:f(x)は増加
   f'(β)=0:f(β)は極大
  β<x<γで f'(x)<0:f(x)は減少 
f'(γ)=0:f(γ)は極小、
  γ<xで f'(x)>0:f(x)は増加

(2)2重解αとαと異なる解βを持つとき
  x<βでf'(x)≦0:f(x)は減少
  f(β)=0:f(β)は極小
  β<xでf'(x)≧0:f(x)は増加

(3)3重解αを持つとき
  ・・・・

(4)1つの実数解αと2つの虚数解(互いに共役)を持つとき
  f'(x)=3a(x-α)(x^2+bx+c) とおけて 任意の実数xについてx^2+bx+c>0
  x<αで f'(x)<0:f(x)は減少
  f'(α)=0:f(α)は極小
  α<xで f'(x)>0:f(x)は増加

入力ミスなどがあるかも知れません。確認はお願いします。


Re: 数学2 微分積分
名前:IT    日付:2019/5/17(金) 23:13
4次関数g(x)でしたね。


Re: 数学2 微分積分
名前:IT    日付:2019/5/17(金) 23:44
g'(x)のx^3の係数は4aです。


Re: 数学2 微分積分
名前:IT    日付:2019/5/18(土) 1:37
「方針を・・」とのリクエストだったのに書きすぎてしまいました。

積分 返信  引用 
名前:ささ    日付:2019/5/17(金) 18:44
東京大学の編入試験の問題からです。

4b/a^2刀縺ix^2+a^4/4b^2)dxの定積分で積分範囲は0→a
の問題が解けません。

試した手法は
@√x^2+a^2なのでx=a^2/2b×tanθとおいた
Aそのまま部分積分
B少し形は違うもののt=x+√x^2+a^4/4b^2とおいた

もしかするとどこかで間違えた可能性もありますが、解けませんでした。どなたかよろしくお願いします。



Re: 積分
名前:ast    日付:2019/5/17(金) 22:13
東大の試験問題解いてるくらいだから細かい点はお任せして大丈夫ですよね

> @√x^2+a^2なのでx=a^2/2b×tanθとおいた
「@ A = a^2/(2b) とおくと √x^2+A^2 の形なので x=A×tanθとおいた」と修正して読んでみても, "√x^2+A^2" ではなく "x^2+A^2" や "1/(x^2+A^2)"(根号が付かない)ときでないと "x=A×tanθ" の置換は上手く行かないと思います. この「三角函数で置換」の発想から一番近い修正版は、双曲線函数を使って "x=A×sinh(θ)" と置く方法かな.
>Aそのまま部分積分
(通用するビジョンが浮かばないのでスキップ)
>B少し形は違うもののt=x+√x^2+a^4/4b^2とおいた
これを正しく修正すれば解けるはず. 本質的に@と同じ解法なので, 正しい式は "x=A×sinh(θ)" を e^θ について解いたもので置換すると考えれば確認が取れるでしょう.


Re: 積分
名前:ささ    日付:2019/5/18(土) 15:26
Bを進めてみました。
→x=Asinhθで置いていく。
確かに計算はできましたが、積分範囲がめちゃくちゃになり、最後にxへ戻すことができなかった。
計算すると a^2/b(coshθ)^2dθとなりますが、積分範囲が0からsinh(2b/a)^-1となるのでうまくいかないです。
→Bの変換を用いる。変換の時点でxが残ってしまう。(ここを計算ミスしてる恐れがあるが何度確認しても同じになりました)

ちなみにAは解答の過程が少しかかれていて、
=2b/(a^2)[x√(x^2+a^4/4b^2)+a^4/4b^2log|x+√(x^2+a^4/4b^2)|] (0〜a)
となっていたので、積分範囲が変わっていないから部分積分を疑いました。
x+√x^2+a^4/4b^2という形が答えに出てきてるのでBも考えましたがうまくいかず。

この過程からどれを用いるべきかわかりますかね?


Re: 積分
名前:ast    日付:2019/5/19(日) 11:32
> 変換の時点でxが残ってしまう。

∫√(x^2+A^2)dx で t-x=√(x^2+A^2) と置くと
x について解いて x=(t^2-A^2)/2t なので,
 dx=(t^2+A^2)dt/(2t^2)
および
 √(x^2+A^2)(=t-x)=(t^2+A^2)/2t
に注意してもとの積分から x を消すと
 ∫(t^2+A^2)^2/4t^3)dt
= (1/4)∫(t + 2A^2/t + A^4t^(-3))dt
= (1/4)[t^2/2 +2A^2log(t) - A^4/2t^2]

というような計算になると思います.
# 個人的には, こういう問題だと
#  ∫√(x^2+A^2)dx = 1/2(x√(A^2+x^2)+A^2log(x+√(A^2+ x^2)))
# を公式扱いでいいやという感覚だったので, 実は手間取りました.
# 特に, 上の計算に間違いがあるかもしれませんので確認は怠りなく願います.
# 公式と上で求めた式が (定数分の違いを除いて)一致するかすらも
# ちょっと確認できていません.

## あと, 部分積分を用いる方法でもできるみたいですね.
## (x)'=1 で部分積分して少し整理するともとと同じ積分が出てくるので
## 方程式として解けば求まるというパターンになるようです.

> 積分範囲が0からsinh(2b/a)^-1となる
としても, θ=sinh(2b/a)^-1 の代入先が sinh(θ) になるように式を書けばいけるのでは
# と思ったら 生の θ が残るのかな…… (正確には未確認)

東大入試2008年文系第3問 返信  引用 
名前:教員志望    日付:2019/5/16(木) 11:11
座標平面上の3点A(1,0)B(-1,0)C(0,-1)に対し、∠APC=∠BPCをみたす点Pの軌跡を求めよ。ただしP≠A,B,Cとする。

本問で、垂直を扱えないのでtanの加法定理は筋はよくないと思うのですが、仮にtanの加法定理を用いた場合に
PAの傾き(-Y)/(1-X)=tanAとおく
PCの傾き(-1-Y)/(-X)=tanCとおく
PBの傾き(-Y)/(-1-X)=tanBとおく

X≠-1,0,1の場合
|(tanA-tanC)/(1+tanAtanC)|=|(tanC-tanB)/(1+tanCtanB)|
は題意と同値になっていますでしょうか?

(tanの加法定理からなす角を出す場合に、大小関係や鋭角鈍角の扱いがよくわからず、絶対値をつけておけば、どちらから引いてもなす角が出ると考えていいのでしょうか?)



Re: 東大入試2008年文系第3問
名前:通りすがり    日付:2019/5/17(金) 18:40
同値になっていません。

以下
PAの傾きに対し(-Y)/(1-X)=tana
PCの傾きに対し(-1-Y)/(-X)=tanb
PBの傾きに対し(-Y)/(-1-X)=tanc
(但し-π/2<a,b,c<π/2)
と置いたときの角であるa,b,cを考えます。
(A,B,Cは既に点の名前で使っているので角の名前として
使うのは不適切です。)
ここでa,b,cはx軸「の正の向き」と各線分のなす角
となっていることに注意します。

線分PA,PB,PCの傾きで考える場合は、点Pの直線CA,BCに関する
位置関係で場合分けする必要があります。

(i)点Pが直線CA,BCに関し、いずれも上側にある場合
図示することにより
∠APC=∠BPC⇔a-c=c-b

(ii)点Pが直線BCに関し下側にあるとき
図示すると分かりますが、点Pは
点Bを端点としたx軸の負の向きの半直線(但し点Bを除く)上
にしか取れません。

(iii)点Pが直線CAに関し下側にあるとき
これも(ii)と似ていますが、点Pは
点Aを端点としたx軸の正の向きの半直線(但し点Aを除く)上
にしか取れません。

偶奇で形が異なる漸化式(1対1対応の演習 数学B 「数列」例題13 ) 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/5/15(水) 10:18
【問題】
a_[1]=1,a_[n+1]=a_[n]+(n+1)/2 (n=1,3,5,・・),a_[n+1]=a_[n]+n/2 (n=2,4,6,・・)で定められた数列{a_[n]}がある。a_[39]とa_[40]は?

【自分の考え】
(i) n=2k-1(k=1,2,3,・・)の時(つまりnが奇数の時)
a_[2k-1+1]=a_[2k-1]+{(2k-1)+1}/2
⇒ a_[2k]=a_[2k-1]+k ⇒ a_[2k]-a_[2k-1]=k −@
(ii) n=2k(k=1,2,3,・・)の時(つまりnが偶数の時)
a_[2k+1]=a_[2k]+2k/2 ⇒ a_[2k+1]=a_[2k]+k ⇒ a_[2k+1]-a_[2k]=k −A
@,Aより,a_[2k+1]-2a_[2k]+a_[2k-1]=0 と表せる。

nが奇数と偶数の場合で漸化式が異なるため,nをすべての整数であるkを用いて場合分けし,kを用いた漸化式を新しくつくることで,考えやすくしようと思い,先述した考え方をしました。
導出した(kを用いた新しい)漸化式は,隣接3項間漸化式の形をしているので,基本的な解法で解こうと思ったのですが,3項間漸化式の特性方程式の解が重解となるため,2解をα,βとおいて,
a_[n+2]-βa_[n+1]=α(a_[n+1]-βa_[n])
a_[n+2]-αa_[n+1]=β(a_[n+1]-αa_[n])
を作成して,解いていく方法が使えず止まっています。

そもそも,隣接3項間漸化式を作成すること自体が間違っている可能性もあるので,質問が定まらず申し訳ないのですが,解けるのであれば,上の隣接3項間漸化式の解き方を,もともとの考え方が間違っているのであれば,どのように考えていけばよいのかを教えていただけると幸いです。



Re: 偶奇で形が異なる漸化式(1対1対応の演習 数学B 「数列」例題13 )
名前:ast    日付:2019/5/15(水) 12:22
全部書き出す泥臭いやり方しか思いつきませんけど (それでも階差数列は非常にシンプルだし困らないと思う),
a[n] = (n^2+3)/4 (n:奇数)
   = (n^2+4)/4 (n:偶数)

でしょうかね…….
# まともに確認してないですが.

> a_[2k+1]-2a_[2k]+a_[2k-1]=0 と表せる。
は k が 1 増えると, すべて一斉に 2 項ずれるだけで, 任意の三項間での関係式ではなく, 結局偶数番目と奇数番目で異なる式を導くだけ (しかも片方しか導いていない) なので
> kを用いた漸化式を新しくつくることで,考えやすくしようと思い
という目論見は完全に外していることになります.

まあそれはそれとして,
> 3項間漸化式の特性方程式の解が重解となる
場合もド定番中のド定番な問題なので, ウェブ検索でいくらでも解説が出てくるでしょう? (というかむしろ普通は教科書か少なくとも傍用参考書には載ってる気がするのだけど…)


Re: 偶奇で形が異なる漸化式(1対1対応の演習 数学B 「数列」例題13 )
名前:Haru    日付:2019/5/15(水) 21:39
ご教授ありがとうございます!

確かに,本問の場合は,偶奇で区別して一般式を生成しても問題ないため,無理にすべての整数kを用いた一般式で考える必要はないのかなと思いました。

ご指摘いただいたとおり,3項間漸化式の特性方程式が重解をもつ場合の解法もWebページで確認しました。
今回の場合は,ご指摘いただいた通り,導出した3項間漸化式が任意のものではなかったため,使うことはできませんでしたが,類似問題がでてきた際には使っていこうと思います。
ありがとうございました!

加えて質問なのですが,今回のような偶奇で場合分けが必要な漸化式の一般的な考え方としては,どのような解法の流れをとればよいのでしょうか?
今回の場合は,たまたま階差数列がシンプルであったため,解けたように見えたため,一般的にはどのような目的意識をもって,問題を解き進めていくのかを教えていただけると非常に助かります。


Re: 偶奇で形が異なる漸化式(1対1対応の演習 数学B 「数列」例題13 )
名前:ast    日付:2019/5/15(水) 22:16
偶数番目の項・奇数番目の項それぞれのみからなる部分列に完全に分けて、それらを二つの異なる数列として個々に求めるのが筋ではないかと思います.


Re: 偶奇で形が異なる漸化式(1対1対応の演習 数学B 「数列」例題13 )
名前:ast    日付:2019/5/16(木) 2:30
あとそもそも論として, 漸化式を解いて一般項が既知函数の閉じた式で表せる数列なんて (集合の濃度的な意味で) ほとんど存在しないし, 解ける数列なんてそれこそ
> たまたま〜シンプルであったため,解け
るようなものしかないことは自覚して欲しいです. 大学未満の教科としての数学は
「たまたま」調べられるものや「たまたま」よく知られているようなもののオンパレード
でしかない (それも学習の進行度・理解度の関係上厳密に記述できないなどの理由でわりと誤魔化してる) という理解でほぼ間違ってないです.

# 「濃度的な意味でほとんどない」というのは, いくらでもあるとおもったって
# 全体から見たら大したことないという程度の意味と思ってください.

## こういうのは個別の対象をいくら見ても全体の統制は分からないので
## 解の全体を一つの空間と看たりして, 層の理論やガロア理論などを構築して
## クラス分けするような方向性を考えることになりますかね
## (「その漸化式が初等函数で解けるか」みたいな話は微分ガロア理論の離散版みたいなのが必要)

### 高校数学に対する一般論としては, 高校数学の問題すべてについて
### 理屈付けがしたいなんて言い始めると
### 高校レベルの知識しかない前提では相当無茶苦茶な話ということになるかと.
### 少なくとも学部4年間を修めてそこそこ優秀な人になら卒論にでもしたらと
### 言えるかもしれない程度には高度な話ではないかと考えます.

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