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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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関数の連続性(大学数学) 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2018/4/17(火) 1:14
微分積分学(笠原)のp29で、
(例1)無理数全体集合A=R−Qにおいて次の関数f(x)=0(x<0),1(x>0)これはAの各点で連続である。
とあり、定義域が完備であることが大切。との記述があります。
A上のx0(無理数)に対して、f(x0)からのε近傍をとると、それに対して、x0周辺においてδ近傍をとることができ、x0周辺には少なくとも1つは無理数が存在するという理由で、A上のすべての点において連続が示されるとおもうのですが、
完備性とは、どういうことなのでしょうか?
(実数の完備性については、出てきたのですが、デデキントの切断、区間縮小法など同値なものがいくつもありどのような性質を言っているのかがぴんと来ていません)



Re: 関数の連続性(大学数学)
名前:IT    日付:2018/4/17(火) 22:48
> 微分積分学(笠原)のp29で、
> (例1)無理数全体集合A=R−Qにおいて次の関数f(x)=0(x<0),1(x>0)これはAの各点で連続である。
> とあり、定義域が完備であることが大切。との記述があります。
原文の肝心なところを省略しておられるので原書の意図が読者に正確に伝わらないと思います。

> A上のx0(無理数)に対して、f(x0)からのε近傍をとると、それに対して、x0周辺においてδ近傍をとることができ、x0周辺には少なくとも1つは無理数が存在するという理由で、A上のすべての点において連続が示されるとおもうのですが、
「x0周辺には少なくとも1つは無理数が存在するという理由で・・・」というのは、まちがっていると思います。

> 完備性とは、どういうことなのでしょうか?
原書では、定義は1つでは?

> (実数の完備性については、出てきたのですが、デデキントの切断、区間縮小法など同値なものがいくつもありどのような性質を言っているのかがぴんと来ていません)
同値なら同じでは?


Re: 関数の連続性(大学数学)
名前:IT    日付:2018/4/17(火) 23:27
「同値なら同じでは?」 というのは、少し乱暴な議論と思いますので撤回します。


Re: 関数の連続性(大学数学)
名前:ハワイ    日付:2018/4/19(木) 16:43
ありがとうございます

定義域と値域 返信  引用 
名前:ムート    日付:2018/4/16(月) 23:6
Y=√(x-2)/(x²-2x-2)
この関数の定義域を求めよ。
分子分母が同符号ならいいのでは?回答と違う答えになるので解説お願いします



Re: 定義域と値域
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 23:18
回答と , 違う答え の両方を教えてもらえますか。


Re: 定義域と値域
名前:ムート    日付:2018/4/17(火) 8:57
自己解決しました。

答えまで教えてください。 返信  引用 
名前:    日付:2018/4/16(月) 21:55
x^2-xy-2y^2+ax-y+1 が1時式の積に因数分解されるように定数aの値を求めよ。
よろしくお願いいたします。



Re: 答えまで教えてください。
名前:WIZ    日付:2018/4/16(月) 23:18
整数係数の範囲での因数分解と解釈して回答します。

A, B, C, Dを整数として、
x^2-xy-2y^2+ax-y+1 = (x+Ay+B)(x+Cy+D)
と因数分解されるものとします。

右辺を展開して係数を比較すると、
x^2-xy-2y^2+ax-y+1 = x^2+(A+C)xy+ACy^2+(B+D)x+(BC+AD)y+BD

よって、
A+C = -1・・・・・(1)
AC = -2・・・・・(2)
B+D = a・・・・・(3)
BC+AD = -1・・・・・(4)
BD = 1・・・・・(5)

(1)(2)より、AとCは2次方程式t^2+t-2 = 0の根です。
AとCに区別はないので、A = 1, C = -2と取ります。

すると(4)は、
-2B+D = -1
⇒ D = 2B-1・・・・・(6)

(6)を(5)に代入すると、
B(2B-1) = 1
⇒ 2B^2-B-1 = (2B+1)(B-1) = 0

Bは整数なので、B = 1となり、(6)よりD = 2*1-1 = 1となります。

以上から、(3)より、a = 1+1 = 2となります。

教えてください 返信  引用 
名前:そう    日付:2018/4/16(月) 21:52
x,y,zが x-2y+z=4 および 2x+y-3z=-7 を満たす時、
ax^2+2by^2+3cz^2=18 が常に成立するような定数 a,b.cの値を求めよ。



Re: 教えてください
名前:WIZ    日付:2018/4/16(月) 22:52
x-2y+z = 4・・・・・(1)
2x+y-3z = -7・・・・・(2)
a(x^2)+2b(y^2)+3c(z^2) = 18・・・・・(3)

(1)より、
z = 4-x+2y・・・・・(4)

(4)を(2)に代入すると、
2x+y-3(4-x+2y) = -7
⇒ 5x-5y-12 = -7
⇒ y = x-1・・・・・(5)

(5)を(4)に代入すると、
z = 4-x+2(x-1) = x+2・・・・・(6)

(5)(6)を(3)に代入すると、
a(x^2)+2b((x-1)^2)+3c((x+2)^2) = 18
⇒ (a+2b+3c)(x^2)+(-4b+12c)x+(2b+12c) = 18
⇒ (a+2b+3c)(x^2)+4(-b+3c)x+2(b+6c-9) = 0

上記が恒等式である為には、
a+2b+3c = 0・・・・・(7)
-b+3c = 0・・・・・(8)
b+6c-9 = 0・・・・・(9)

(8)と(9)を加えると、
9c = 9
⇒ c = 1・・・・・(10)

(10)を(8)に代入すると、
b = 3c = 3・・・・・(11)

(10)(11)を(7)に代入すると、
a = -2b-3c = -2*3-3*1 = -9

# 計算間違いしているかもしれないので、スレ主さんにて良く検算してみてください。

どなたか教えてください・・・ 返信  引用 
名前:たろう    日付:2018/4/16(月) 20:36
nを1から2019の整数とする
[2019/n]はいくつ整数あるか?
[x]はxを超えない最大の整数です。



Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 22:19
44<√2019<45

1≦n≦44 (nは自然数)について
nb=2019 のとき
b>45>n で
 (n+1)(b-1)=nb+b-n+1=2019+b-n+1>2019 なので
 2019/(n+1)<b-1
よって [2019/n]>[2019/(n+1)]
したがって {[2019/n]|n=1,...,45)}の元はすべて互いに異なる。
[2019/45]=44
{[2019/n]|n=45,....,2019}は,44から1までのすべての自然数になります。
(ご自分でやってみてください)

よって求める個数は88個


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 22:32
天下り的な解答に見えるかもしれませんがn=1,2,3,4,5...,44,45 で実験して規則性を見つけました。

[30/n] あたりで実験するといいと思います。


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 23:10
{[2019/n]|n=45,....,2019}は,44から1までのすべての自然数になることを示す。。

1≦m≦44(mは自然数)に対して n=[2019/m]とおくと、
 nは自然数で1≦n≦2016.
 (2019/m)-1<n≦2019/m なので、
 m≦2019/n<2019/((2019/m)-1)=m+(m^2)/(2019-m)<m+1
よって[2019/n]=m となる。


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 23:53
「{[2019/n]|n=1,...,45}の元はすべて互いに異なる。」は、表現がおかしいですね。
「{[2019/n]|n=1,...,45}の元の個数は45個である。」に訂正します。


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/18(水) 7:8
a[n]=2019/n,b[n]=[2019/n] とおくと
数列{a[n]}は単調減少で、また隣接項間の差が単調減少なので
a[n]-a[n+1]≧1のときは b[n]-b[n+1]≧1 となりすべて互いに異なる。
a[n]-a[n+1]<1になると b[n]-b[n+1]=0,1 となり隙間(の整数)がない。

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