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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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整数の性質 返信  引用 
名前:MAMI    日付:2018/8/11(土) 11:19
問題)97で割ると1余り、61で割ると6余る自然数のうち、最も小さい数。
➡️解答 1165

この問題を、何回も解いているのですが解答と違う答えがでてしまいます。また、解説がないのでどこが間違っているのかわからないです。
私の解法はこんな感じです⇩

N=97n+1=61m+6
=97n-61m=5

ユークリッド互除法を使って、
97n-61m=1 (n=-22, m=-35)

両辺を五倍して
97x5n=5+61x5m  (n=-22, m=-35)
-10670=-10670

97と61の倍数である数の周期は5917よって、
-10670+5917x2=1164

以上です。
どなたか教えていただけたら幸いです。よろしくお願いします。



Re: 整数の性質
名前:IT    日付:2018/8/11(土) 12:53
求めるのは N=97n+1 です。

三角関数 返信  引用 
名前:安藤    日付:2018/8/10(金) 2:13
f(x) = 1-cosx/1+cosx 区間 (-1/6π,1/4π) においての最大値と最小値を
求める場合次の答えでよいのでしょうか?

1-cosx/1+cosx = (1/sinx - 1/tanx)^2

x = 0のとき sinx = 0 , tanx = 0より

(0-0)^2 = 0 →最大値

x = 1/4πの時 sinx = 1/√2 , tanx = 1

((1/(1/√2))-(1/1))^2
= (√2-1)^2
= 2-2√2+1
= 3-2√2 →最小値

以上です。
分かる方いましたら教えて頂けると幸いです。



Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:2018/8/10(金) 7:29
致命的に間違っているのは、
・1/sinx や 1/tanx にx=0 を代入して分母を0にしてしまっていること
・最大値より最小値の方が大きいこと
の2つです。

また、x=π/4 が最小値(?)を与えることが説明できていないこと
区間 (-1/6π,1/4π) は、−π/6<x<π/4 を表すので、x=π/4 は取れない
−π/6≦x≦π/4 を表すのは、[−π/6, π/4]。

ネット上での式の書き方として
 f(x) = 1-cosx/1+cosx は f(x) = 1-(cosx/1)+cosx =1
 と見なされるので、f(x) = (1-cosx)/(1+cosx) と書くべき。
 同様に −1/6π → −(1/6)π または −π/6、1/4πも同様。

本問ですが、微分を履修済みなら、それを使うのが堅実かと。
http://yosshy.sansu.org/


Re: 三角関数
名前:由香    日付:2018/8/11(土) 11:39
分母子をsinxで割っているようですが、 f(x) = (1-cosx)/(1+cosx)= (1/sinx - 1/tanx)^2 は、間違いです。

分母子に変数xが入ってる場合、分母子ともに変動があって、全体式の値の動きが見えません。
そこで、分子に変数xが入り込まないような式変形ができればよい、と考えると
分子の一部が分母で割り切れることと、余り部分の『定数』が分子に残るようにすればよいです。

(1-cosx)/(1+cosx) = (2-1-cosx)/(1+cosx) = 2/(1+cosx) - 1 ・・・A 
(言葉でいうと、部分分数分解です)

今、定義域が [-π/6,π/4]ですから  1/√2 ≦cosx≦1  
1+1/√2 ≦1+cosx≦2
・・・・
あとはお任せします
Aの式変形を習熟してください。


Re: 三角関数
名前:安藤    日付:2018/8/12(日) 19:36
-π/6のとき
f(-√3/2) = (2/(1+(-√3/2)))-1
= (2/(2-√3/2))-1
=(4/(2-√3))-1
=8+4√3-1
=7+4√3

π/4のとき
f(1/√2) = (2/(1+(1/√2)))-1
=(2/(√2+1/√2))-1
=(2√2/√2+1)-1
=2-√2-1
=-√2

πが最大のとき
f(1) = (2/(1+1))-1
=1-1
=0

以上より
f(x) = 1-cosx/1+cosx 区間 (-1/6π,1/4π) においての
最大値 = 0 →π/4
最小値 = -√2 →-π/6
ですか?


Re: 三角関数
名前:IT    日付:2018/8/12(日) 21:2
f(x) = (1-cosx)/(1+cosx) ですよね?
分子も分母も0以上なので f(x)は負になることはないはずです。

> -π/6のとき
> f(-√3/2) = (2/(1+(-√3/2)))-1

意味不明です。f(-π/6)とf(-√3/2) は通常異なります。


Re: 三角関数
名前:IT    日付:2018/8/13(月) 7:31
上の続きです。細かいことは書きませんが
> f(-√3/2) = (2/(1+(-√3/2)))-1
のf としているところは、別の名前をつけなければいけません。

平均の出し方 返信  引用 
名前:タナカユキ    日付:2018/8/10(金) 0:9
【平均の算出方法に関して】月別平均を、全体の平均に算出し直したのですが、解き方が間違いだと言われました。ただ、何が間違いなのか分かりません。
どなたか教えて頂けますと嬉しいです!
==========
・問題
次のお店の、かき氷注文率は以下の通りです。1~9月までの全期間の中で、かき氷注文率は何%でしょう?
 5月のかき氷購入率:10%(客数20人)
 6月のかき氷購入率:20%(客数30人)
 7月のかき氷購入率:30%(客数60人)
 8月のかき氷購入率:40%(客数90人)

・私の解き方
 =(10%+20%+30%+40%)/4 = 25%
==========



Re: 平均の出し方
名前:ヨッシー    日付:2018/8/10(金) 6:28
1〜9月と言いながら、データは5〜8月分しかないので、計算は出来ません。

ただ、「私の解き方」の根本的な誤りは、以下の例で明らかでしょう。
 1月は客が2人来て、注文者は0人。注文率は0%
 2月は客が1000人来て、注文者は1000人。注文率100%。
1月と2月の平均注文率は
 (0%+100%)÷2=50%
1002人中1000人が注文したのに、注文率50%はおかしいでしょう。
http://yosshy.sansu.org/

京大2001理系第三問 返信  引用 
名前:教員志望    日付:2018/8/9(木) 21:44
整数nに対しf(n)=(n(n-1))/2とおき
a_n=i^f(n)と定める
a_(n+k)=a_nが任意のnで成立するような正の整数kを全て求めよ。


合同式を用いた解きたいのですがうまくいきません。

求める条件は任意のnに対して
f(n)≡f(n+k) (mod 4)
2f(n)≡2f(n+k) (mod 4) (ここで同値が崩れているから?)
n^2-n≡n^2+nk-n+nk+k^2-k (mod 4)
0≡k(2n+k^2-k) (mod 4)
k≡0 または2n+k^2-k≡0 (mod 4)が必要?

うまく解けません。
合同式では解けないのでしょうか?
よろしくお願いします。



Re: 京大2001理系第三問
名前:IT    日付:2018/8/9(木) 21:52
> 0≡k(2n+k^2-k) (mod 4)
> k≡0 または2n+k^2-k≡0 (mod 4)が必要?

ここは間違いですね。 2*2≡0(mod 4) です。


Re: 京大2001理系第三問
名前:教員志望    日付:2018/8/9(木) 22:2
ITさま返信ありがとうございます。

確かにその部分はk≡2かつ2n+k^2-k≡2でも成立ですね。

本問の解答はkは8の倍数なのですが、そもそもたどり着く方法はありますでしょうか?


Re: 京大2001理系第三問
名前:IT    日付:2018/8/9(木) 22:3
f(n)≡f(n+k) (mod 4)
2f(n)≡2f(n+k) (mod 8)  としたほうが良いのでは?


Re: 京大2001理系第三問
名前:教員志望    日付:2018/8/9(木) 22:9
同値が崩れているということでしょうか?

なかなか教科書に合同式の同値変形について扱っているものがなく
自分でも使い方がよくわからなくなってしまっています。

2と4が互いに素でないから同値は崩れる
互いに素なものをかける場合(この場合3とか)は同値は崩れないということでいいのでしょうか?


Re: 京大2001理系第三問
名前:IT    日付:2018/8/9(木) 22:16
n^2-n≡n^2+nk-n+nk+k^2-k (mod 4)
0≡k(2n+k^2-k) (mod 4) この右辺は間違いでは?


Re: 京大2001理系第三問
名前:IT    日付:2018/8/9(木) 22:18
>同値が崩れているということでしょうか?
同値かどうかも大切ですが、まず途中式変形(計算)に間違いがないか確認してください。
必要条件で押して行く手もあります。


Re: 京大2001理系第三問
名前:教員志望    日付:2018/8/9(木) 22:20
ほんとですね。。。
0≡k(2n+k-1)でした。


Re: 京大2001理系第三問
名前:aaaaaaa    日付:2018/8/9(木) 22:35
横から失礼します。

a≡b (mod m)⇒ca≡cb (mod cm)⇒ca≡cb (mod m)
はいつでも成り立ちます。そしてc≠0であれば
a≡b (mod m)⇒ca≡cb (mod cm)の逆も成り立ちます。
証明は合同式の定義から直ちに出ます。

(なおこの問題には関係ないけどcとmが互いに素であれば
a≡b (mod m)⇒ca≡cb (mod m)の逆も成り立ちます。)

だからf(n)≡f(n+k) (mod 4)と
2f(n)≡2f(n+k) (mod 8)は同値です。

k(k+2n-1)≡0 (mod 8)
これがすべての整数nで成り立つことから
k≡0 (mod 8)を示せばいいことになります。


Re: 京大2001理系第三問
名前:教員志望    日付:2018/8/9(木) 22:47
aaaaaaaさま

ありがとうございます。
教科書には「a≡b (mod m)ならばca≡cb (mod m)」が成り立つ
のみの記載しかなかったので、整理していただき理解できました。

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