[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

わからない算数・数学の問題を質問して教えてもらいましょう。
回答できる人は積極的に回答し、みんなで教えあいましょう。
利用前に数学質問掲示板の注意事項を読んでください。
数式の書き方がわからない人は数学質問掲示板での数式の書き方を参考にして下さい。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容
   タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL



有限集合のσ加法族は何通りあるか 返信  引用 
名前:De-sync    日付:2017/10/18(水) 16:23
X={x_1,x_2,…,x_n}とした時、X上のσ加法族の取り方は何通りあるのかを考えています。
Xをの分割をX'とし、X'={x'_1,x'_2,…,x'_m}とします。
この時、X'の部分集合族はXのσ加法族になるので、Xのσ加法族は少なくとも分割の数だけ存在し、その取り方はベル数以上である事は分かりました。
ベル数ピッタリである事を証明しようとしてるのですが、上手く行きません。どうしたら良いでしょうか。



Re: 有限集合のσ加法族は何通りあるか
名前:De-sync    日付:2017/10/18(水) 16:28
すみません、X'の部分集合族ではないですね。
X'の任意のいくつかの元の直和です。
例えば、m=3ならば
{φ,x'_1,x'_2,x'_3,x'_1⊕x'_2,x'_2⊕x'_3,x'_3⊕x'_1,x'_1⊕x'_2⊕x'_3}です

楕円関数の性質について 返信  引用 
名前:かい    日付:2017/10/17(火) 14:57
問題を考えていてうまく証明できないため質問させていただきます。

Zを整数全体の集合、Cを複素数全体の集合とする。
fを楕円関数とし、M(f(x))をfの周期全体の集合とする。
このとき、任意のω1,ω2∊M(f(x))に対して
M(f(x)) ⊃(≠) {ω∊C|ω=a*ω1+b*ω2を満たすa,b∊Zが存在する}=Zω1+Zω2
が成り立つならば、fは定数関数であることを証明せよ。

ここで、集合A,Bに対して
A ⊃(≠) B
は、AはBを真に含んでいることを表します。

この問題の証明を考えているのですが、どう表せばいいのかよくわかりません。
教えていただけないでしょうか?



Re: 楕円関数の性質について
名前:かい    日付:2017/10/17(火) 14:58
補足です。
M(f(x))の厳密な定義は、
M(f(x))={ω∊C|f(x+ω)=f(x)}
です。

ルベーグ積分(ボレル可測の問い)2問目 返信  引用 
名前:ルベーグ解析    日付:2017/10/17(火) 10:7
大学数学について質問したいです。

ルベーグ積分のボレル可測関数についての質問です。

以下の問題の解き方がわかりません。教えてください。

以下のR上の実数値関数はボレル可測関数
か?

(1)f(x)={(sinx)/x(x≠0),1(x=0)}
(2)f(x)={sin(1/x)(x≠0),1(x=0)}

どうすれば示せるかわかりません。教えてください。よろしくお願いします。



Re: ルベーグ積分(ボレル可測の問い)2問目
名前:    日付:2017/10/18(水) 14:58
関数の可測性に関する常識として
(区分的に)連続な関数は可測
というのがあります

よって両方可測です ((1)は全体で連続だし(2)はx=0を境に左と右で連続)
初等関数(連続関数)を四則演算した程度では非可測関数は作れない(簡単に思いつく関数のほとんどは可測)と認識しておくのがいいです


ps.
テストの解答ならより定義に近い形でかくのがいいかも
授業や教科書のやり方にもよるけど開区間の引き戻しがBorel集合であることを示すなど
その場合も(1)は連続性から自明で、(2)は開区間が0を含むかどうかで場合分けすれば(1)とほぼ同様です

ルベーグ積分(ボレル可測の問い) 返信  引用 
名前:ルベーグ解析    日付:2017/10/17(火) 10:6
大学数学の問題について質問したいです!

ルベーグ積分のσ-加法族についての質問です。

以下の問題の解き方がわかりません。教えてください。

f:X→Rに対してσ[f]={f^(−1)(F):F∈B(R
)}とします。B(R)はボレル集合族です。σ[f]はfが可測となる最小のσ-加法族である。この時、次の問いに答えなさい。

(1)σ[f]={φ,X}ならば、fは定数であることを示せ。

(2)X=R,f(x)=xの時、σ[f]を求めよ。

考えれば考えるほど混乱します。教えてください。よろしくお願いします。



Re: ルベーグ積分(ボレル可測の問い)
名前:ルベーグ解析    日付:2017/10/17(火) 10:9
質問の補足です。

Rは実数全体の集合です。

ボレル集合族B(R)の定義は、Rの全ての開集合からなる族をOとするときに、Oのσ-加法族σ[O]をB(R)と定義しています。

可測関数の定義は(X,B)を可測空間として、fをX上の拡張された実数値関数、すなわちf:X→R∪{±∞}とする。この時fがB‐可測であるというのは、任意の実数αに対して{x∈X:f(X)>α}∈Bとなることと定義します。

σ‐加法族の定義はXの部分集合からなる族Bが、@φ∈B、AE∈B⇒X\E∈B、BE_n∈B⇒∪[n=1,∞]E_n∈Bを満たすものです。


Re: ルベーグ積分(ボレル可測の問い)
名前:    日付:2017/10/18(水) 14:47
ルベーグ積分やσ-加法族の問題というよりは、集合と写像に関する基本的なこと(逆像f-1の意味とか)が分かっているかを聞いているだけの問題です

(1)
f(X)の元を適当に(任意に)ひとつとってaとすれば、1点集合{a}は可測(つまりB(R)の元)なので
f-1({a}) ∈ σ[f]
つまり f-1({a}) = X です
これはどんな点もaに写像されるということを意味するのでfは定数関数

(2)
自明すぎて何がわからないのかが逆に分かりませんが、σ[f]=B(R)以外ありえますか?
ひょっとしてf-1の定義(意味)が分かっていないのでは という気がしてきました

大学数学積分の問題です 返信  引用 
名前:数学    日付:2017/10/17(火) 7:51
https://i.imgur.com/ykDpxAC.jpg
タイプの仕方があまり分からないので問題の画像を上げました

解説付きで回答よろしくお願いします
https://i.imgur.com/ykDpxAC.jpg



Re: 大学数学積分の問題です
名前:通りすがり    日付:2017/10/17(火) 17:28
これは
∫xe^{(-x^2)/2}dx=-e^{(-x^2)/2}+C
(Cは積分定数)
lim[x→±∞](x^k)e^{(-x^2)/2}=0
(kは0又は自然数)
であることから、部分積分を使って
m[k]についての漸化式を導くこと
を考えてみてはどうでしょうか。

(untitled) 返信  引用 
名前:MIYAVI    日付:2017/10/17(火) 4:0
cos2/9π+cos16/9π=2cosπ・cos7/9π

この式について、どのようにして左辺から右辺に変形しているのかがわかりません。

2+16=18が関係しているようなのですが。。。



Re: (untitled)
名前:MIYAVI    日付:2017/10/17(火) 5:54
三角関数の和積の公式を忘れていました。
この公式を応用しただけですね。

cos x+cos y=2cos(x+y/2)・cos(x−y/2)

区分求績法 返信  引用 
名前:みかん    日付:2017/10/15(日) 23:21
lim[n→∞](1+2+3+…+n)^5/(1+2^4+3^4+…+n^4)^2の極限値を求めよ。
よくわからないので途中式含め解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。



Re: 区分求績法
名前:pqr    日付:2017/10/16(月) 0:7
区分求積法ではなくて, すみません. (どうやるのでしょう?)
Σk^2やΣk^3 を求めるときのアイデアによるずっと素朴な解法なのですが,

n^5-(n-1)^5=5n^4-10n^3+10n^2-5n+1
(n-1)^5-(n-2)^5=5(n-1)^4-10(n-1)^3+10(n-1)^2-5(n-1)+1
・・・
3^5-2^5=5・3^4-10・3^3+10・3^2-5・3+1
2^5-1^5=5・2^4-10・2^3+10・2^2-5・2+1
1^5-0^5=5・1^4-10・1^3+10・1^2-5・1+1

をすべて足し合わせると,

n^5=5(k^4の和)-10(k^3の和)+10(k^2の和)-5(kの和)+n

となりますから,

(k^4の和)=(1/5)(n^5+10(k^3の和)-10(k^2の和)+5(kの和)-n)
(1+2^4+3^4+…+n^4)^2=(1/25)(n^5+(nの4次以下の式))^2

です. 一方,

(1+2+3+...+n)^5=(n(n+1)/2)^5=(1/32)n^5(n+1)^5

なので,

lim[n→∞](1+2+3+…+n)^5/(1+2^4+3^4+…+n^4)^2
=lim[n→∞](25/32)(1+(1/n))^5/(1+...)^2
=25/32

となります.


Re: 区分求績法
名前:pqr    日付:2017/10/16(月) 0:48
わかりました。もっとうまくできるのかもしれませんが,
k^4 を取り出すためにルートや逆数を取った上で, はさみうちの原理を使うとできますね。

(1/2)n^2<1+2+3+...+n<(1/2)(n+1)^2

なので,

(1/32)n^10<(1+2+3+...+n)^5<(1/32)(n+1)^10

ルートを取り, 逆数を取ると

4√2/(n+1)^5<1/(1+2+3+...+n)^(5/2)<4√2/n^5

さらに, 1^4+2^4+3^4+...+n^4=Σ[k=1..n]k^4 をかけると

4√2 (n/(n+1))^5 (1/n^5)(Σ[k=1..n]k^4)<Σ[k=1..n]k^4/(1+2+3+...+n)^(5/2)<4√2(1/n^5)Σ[k=1..n]k^4

4√2(1/(1+1/n))^5 (1/n)Σ[k=1..n](k/n)^4
<Σ[k=1..n]k^4/(1+2+3+...+n)^(5/2)<4√2(1/n)Σ[k=1..n](k/n)^4

となり, 区分求積法より,

lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1..n](k/n)^4 =∫[0..1] x^4dx=[x^5/5]_0^1=1/5

であるから, はさみうちの原理より,

lim[n→∞]Σ[k=1..n]k^4/(1+2+3+...+n)^(5/2)=4√2/5

となり,

lim[n→∞](1+2+3+…+n)^5/(1+2^4+3^4+…+n^4)^2
=lim[n→∞]1/(Σ[k=1..n]k^4/(1+2+3+...+n)^(5/2))^2
=1/(4√2/5)^2
=25/32

となります。


Re: 区分求績法
名前:通りすがり    日付:2017/10/16(月) 20:34
では区分求積法を使った別解を。

(与式)=lim[n→∞]({Σ[k=1〜n]k}^5)/{Σ[k=1〜n]k^4}^2
=lim[n→∞]{{(1/n)Σ[k=1〜n](k/n)}^5}/{(1/n)Σ[k=1〜n](k/n)^4}^2
={(∫[0→1]xdx)^5}/{∫[0→1](x^4)dx}^2
={(1/2)^5}/(1/5)^2
=25/32


Re: 区分求績法
名前:pqr    日付:2017/10/16(月) 23:37
>通りすがりさん
なるほど, そう変形するのですね。勉強になります。

ページ: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> >| 

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb