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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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線形代数 返信  引用 
名前:桑田ロード    日付:2018/10/20(土) 12:33
すみません.以下の問題がわかりません.
どなたかわかりましたら,回答していただけますか.
問題:
Mat(n)をn次複素行列の集合とする.A\in Mat(n)に対して,線形写像
f_A:Mat(n)\to Mat(n), f_A(X)=AX-XA を定義する.
行列Aの固有値は互いに素であると仮定する.行列Oはn次零行列とする.以下の問いに答えよ.
i)n=2とし,a\in Cとする.X\in Mat(2)はdet(f_A(X))=a となると仮定する.f_A(X)の固有値をa に関して書け.



Re: 線形代数
名前:del    日付:2018/10/20(土) 20:57
固有値が互いに素というのが分からなかったのでAの固有値が相異なるとします。
このとき、ある正則行列Pに対し A = P^(-1)ΛP と表すことができます。
ただし、Λは対角成分が相異なるAの固有値を成分に持つ対角行列です。

このとき、
AX-XA
= P^(-1)ΛPX-XP^(-1)ΛP
= P^(-1) (ΛPXP^(-1)-PXP^(-1)Λ) P
ここで Y = PXP^(-1) とすると
= P^(-1) (ΛY-YΛ) P
∴ det(AX-XA) = det(P^(-1) (ΛY-YΛ) P)
∴ det(ΛY-YΛ) = det(AX-XA) = a

AX-XAの固有値をλとすると
det(AX-XA-λI) = det(ΛY-YΛ-λI) = a + λ^2 = 0
(ΛY-YΛの対角成分は0なのでこのような形で書くことができます)


Re: 線形代数
名前:桑田ロード    日付:2018/10/21(日) 4:7
なんと恥ずかしいミスをしてしまいました.「相異なる」で合っております.またお助けいただいてありがとうございます.

URL画像の通り、X'X行列の逆行列(X'X)^-1のB22成分のように導出できません。 返信  引用 
名前:行列の問題    日付:2018/10/20(土) 3:52
重回帰分析の偏回帰係数の推定量の計算で、逆行列を計算するのですが、
自分で試行錯誤しても参考書の形に持っていくことができず、困っております。
逆行列の定義など見直したのですが、解決できません…

どうすれば、B22の形に持っていくことができるのでしょうか。

ご回答いただけますと幸いです。
https://multimedia.okwave.jp/image/questions/26/265678/265678_original.jpg



Re: URL画像の通り、X'X行列の逆行列(X'X)^-1のB22成分のように導出できません。
名前:行列の問題    日付:2018/10/20(土) 9:44
自己解決できました。
ありがとうございました。
https://multimedia.okwave.jp/image/questions/26/265678/265678_original.jpg

作図と軌跡 返信  引用 
名前:03    日付:2018/10/19(金) 18:30
どうか教えてください。
半径は任意として次の質問に答えよ。

1、点Aを通り、直線lに接する円Cを作図せよ。2、円Cの半径の長さを変えた時、円Cの中心の軌跡はどのような図形ですか?
また、それはなぜですか?


この2問なんですが、全くわかりません。。。。
1は作図方法だけでもいいので教えてくださるとありがたいです。
2についてはどうやって求めるのか教えてください。



Re: 作図と軌跡
名前:IT    日付:2018/10/19(金) 23:51
1 AがL上にないとき
 L上の点Pを取る。
 Pを通りLに垂直な直線Hを引く
 線分APの中点の垂直二等分線とHとの交点をOとする
 Oを中心としA,Pを通る円を描く
 AがL上にあるときは容易


Re: 作図と軌跡
名前:IT    日付:2018/10/19(金) 23:55
「線分APの中点の垂直二等分線」は、
「線分APの垂直二等分線」 です


Re: 作図と軌跡
名前:IT    日付:2018/10/20(土) 0:14
2 定点Aとこれを通らない定直線lとから等距離にある点の軌跡を放物線といいます。

(untitled) 返信  引用 
名前:-e[c]    日付:2018/10/19(金) 17:16
1^i={e^(2πni)}^i=e^(-2πn) (ただしnは整数)
となるそうですが、同様に
1^(1/2)={e^(2πni)}^(1/2)=e^(πni)=±1.となって,おかしくないでしょうか?
どこが間違っているか教えて欲しいです。
また、このように(-1)^πや(-1)^iを計算してしまっても良いのでしょうか?



Re: (untitled)
名前:桑田    日付:2018/10/19(金) 17:46
式はあってますが、実数の範囲だけで考えてしまうと「ん?」となりますよね。
√1は複素平面上でどのようになっているか図示して考えるとわかると思います。また、両辺を二乗すれば、確かに成り立つこともわかります。


Re: (untitled)
名前:-e[c]    日付:2018/10/19(金) 18:55
ありがとうございます!
完全ではないですが, 分かったような気がします。
一つ, 腑に落ちない点があります。
上の式より, 1^(1/2)=±1 やはりこれがわかりません。
x^2-1=0を解くことと1^(1/2)は同値なのでしょうか?
1^(1/2)⇔√1ではないのでしょうか?
1^(1/2)は一意的ではないということでしょうか?

疑問形が続いてしまいすみません。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/10/19(金) 22:48
断片的な質疑応答をされるより、

下記「複素関数の基礎のキソ」の18ページまでを読まれると良いと思います。
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/kansuron.pdf


Re: (untitled)
名前:-e[c]    日付:2018/10/19(金) 23:33
ありがとうございます!
無事解決しました。

数理統計 χ^2分布について 返信  引用 
名前:aaa    日付:2018/10/19(金) 16:31
教科書の演習問題についてですが自力でなかなか解けません..
[問題]
{Yn}がn=1,2,...について自由度nのχ^2分布に従う確率変数のとき、
(Yn-n)/√(2n)が標準正規分布に法則収束することを示せ。

という問題です。
積率母関数を求めて極限を取る方法で示そうとしているのですがどうもうまくいきません。。。

(untitled) 返信  引用 
名前:複素数    日付:2018/10/19(金) 13:19
複素平面上の点(2,0)の偏角は「0+2nπ(nは整数)」と書くのですか?それとも「0」と答えていいのでしょうか。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/10/19(金) 19:6
以下のURLを参照してみて下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%81%8F%E8%A7%92

(untitled) 返信  引用 
名前:大学数学 解析学 数列    日付:2018/10/19(金) 1:4
相加平均と相乗平均の関係を用いて2以上の全ての自然数n∈Nに対して、an≧bnが成り立つことを証明せよ
https://vps9-d.kuku.lu/files/20181018-2011_24bf745f1aceac12b3576eede29a6401.jpeg

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