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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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面積分 返信  引用 
名前:kokoro    日付:2017/12/11(月) 17:7
次のスカラー場の面積分を求めよ。
(1)∬[S]Tan^-1 y/x dS , S:x^2+y^2=a^2とz=0,z=1で囲まれる部分の表面
(2)∬[S]√x^2+y^2 dS , 輪環面S:[√(x^2+y^2)-b]^2+z^2=a^2 (0<a<b)

この問題がわかりません。お願いします。



Re: 面積分
名前:Delta    日付:2017/12/11(月) 23:9
解答をズラーッと書くのも辛いので、
とりあえず考え方だけ述べておきます。

S上の点をr(ベクトル)とし、r=r(u,v)という形で表されるとき、
面積要素はdS=|r_u×r_v|dudv と表されます。
(r_uはrをuで微分したベクトルなどとしている)
ざっくりした説明としては、S上の点r(u,v)から
uが微小量duだけ動いたときのrの変化量はr_u*du
vが微小量dvだけ動いたときのrの変化量はr_v*dv
であり、面積要素dSはこの2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積で表されているから上のような式で表されます。

上のようにdS=|r_u×r_v|dudvという形で表せれば、あとは重積分をすればいいだけです。
今回の問題の注意点としては
(1)
・Sが円柱の表面を表しているため、側面と底面を分けて考える
・Tan^(-1)は逆三角関数の主値を表す
(2)
・輪環面(トーラス)上の点は三角関数を上手く使って表せば計算量が減る
(調べれば表し方がわかるはず)

具体的なやり方は書いてないですが、上記を踏まえて考えてみてください。


Re: 面積分
名前:☆ミ    日付:2017/12/12(火) 13:45
お邪魔します。
私は難しいことは知らないのですが、
円柱座標(z,r,θ)で考えればとても楽だと思います
図形を思い描いてください
(1)θ=tan(y/x)とおくと、側面S_1、底面S_2とすれば
∫θdS_1=∫[0,1]dz∫[0,2π]θ・adθ=2π^2a
∫θdS_2=∫[0,2π]θdθ∫[a,0]rdr=π^2a^2
よって
∫θdS=2π^2a+2×π^2a^2=2π^2a(a+1)

(2)r=√(x^2+y^2)とする
S:(r-b)^2+z^2=a^2
r=b±√(a^2-z^2)=R1,R2とする(R1≧R2)
輪環面の外側(S1),内側(S2)に分けると
図を描いてdzと曲面のなす角に留意すると
dS1=2π(b+√a^2-z^2)a/(R1-b)dz
dS2=2π(b-√a^2-z^2)/(b-R2)dz
代入して答えを求めると
∫rdS=∫(R1dS1+R2dS2)
=∫[-a,a]2πa[{b+√(a^2-z^2)}^2+{b-√(a^2-z^2)}^2]/√(a^2-z^2)dz
=∫[-a,a]4πa(a^2+b^2-z^2)/√(a^2-z^2)dz
=∫[-a,a]4πa√(a^2-z^2)dz+∫[-a,a]4πab^2/√(a^2-z^2)dz
ここでz=asintに置換すれば(詳細略)
=2π^2a^3+4π^2ab^2
=2π^2a(a^2+2b)

誤りやミスがあったらご指摘くださいm(__)m


Re: 面積分
名前:☆ミ    日付:2017/12/12(火) 13:48
追記:
(2)はr-z座標平面に輪環の断面の円を描いて考えました。


Re: 面積分
名前:Delta    日付:2017/12/12(火) 14:15
☆ミさんの解答についてですけど、
自分も詳しいことはよくわからないですが、

(1)について
式の中でθ=tan(y/x)とおいて∫[0,2π]θdθという計算をしていますが、
θの積分範囲の取り方が一意ではなく([-π,π]なんかもとれる)、
積分値が積分範囲に思いっきり依存します。
なので、Tan^(-1)のTが大文字なのは、主値をとっている(-π/2からπ/2の範囲で考えている)ことを踏まえて計算するべきかなと思いました。
それを考えて積分すると答えは0になると思います。

(2)について
式の一番最後のbはb^2だと思います。
それより上はあっていると思うので単なるタイプミスだと思いますが。
自分も(2)の答えは2a(a^2+2b^2)π^2となったので多分、合っていると思います。

自分は式や答えを書かずに指摘ばっかりで申し訳ないですが、気になった点は以上です。
主値に関しては、学校で習ったわけではないので間違っているかもしれません...。


Re: 面積分
名前:☆ミ    日付:2017/12/12(火) 14:46
Deltaさん、ありがとうございます。
(1)は知識不足でお恥ずかしい限りです。
側面も底面も、
∫[0,2π]θdθにあたる部分は、
∫[-π/2,π/2]θdθ+∫[3π/2,π/2](θ-π)dθ
となり
=0
なので、答えは0になるのですね。
(2)はご指摘の通りタイプミスです。
ありがとうございました。
質問者のkokoroさん、失礼いたしました。


Re: 面積分
名前:☆ミ    日付:2017/12/12(火) 14:52
追記
[π/2,3π/2]の誤りです。逆に書いてしまいました。
m(__)m


Re: 面積分
名前:☆ミ    日付:2017/12/12(火) 15:1
(2)の途中式にも抜けを発見…汗
dS2=2π(b-√a^2-z^2)/(b-R2)dz は

ds2=2π(b-√(a^2-z^2))a/(b-R2)dz
に訂正します
m(__)m


Re: 面積分
名前:通りすがり    日付:2017/12/12(火) 16:40
横から失礼します。
(1)の別解を。

f(x,y)=arctan(y/x)
と置くと
f(-x,y)=-f(x,y)
f(x,-y)=-f(x,y)
よって問題の積分領域の
x≧0,y≧0の部分をS[1]
x≦0,y≧0の部分をS[2]
x≧0,y≦0の部分をS[3]
x≦0,y≦0の部分をS[4]
とすると
(与式)=∬[S[1]]f(x,y)dS+∬[S[2]]f(x,y)dS
+∬[S[3]]f(x,y)dS+∬[S[4]]f(x,y)dS
=∬[S[1]]f(x,y)dS-∬[S[1]]f(x,y)dS
+∬[S[3]]f(x,y)dS-∬[S[3]]f(x,y)dS
(∵積分領域の対称性による)
=0

極限 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2017/12/11(月) 0:3
√2m≦rを満たす最大のm∈Nにたいして、
r→∞のとき、m→∞とあるのですが、どうしてですか?



Re: 極限
名前:・。・    日付:2017/12/11(月) 1:39
√m≦rを満たす最大のmの値はr^2だからかな

実数解条件 返信  引用 
名前:・。・    日付:2017/12/10(日) 22:46
x^2+y^2≦1を満たすx,yについてs=x+y t=xyと変数変換して(s,t)の存在領域を図示せよという超有名な問題ありますよね??

条件1 x^2+y^2≦1
条件2 x,yは実数

2について、解と係数の関係よりuの2次方程式u^2-su+t=0の判別式D≦0 ⇔t≦(s^2)/4を得るのはこのやり方が一般的だと思います。


学校の授業で先生は発展的な解法を言っていて、
xが実数⇔x^2≧0という同値性を考えれば、
この問題の条件2において
(x-y)^2≧0 ⇔ t≦(s^2)/4 でもxとyの実数解条件を出せるって言ってたけど疑問が残ります。

なぜx-yを使うのですか?
(x-y)^2≧0で示せるのはx-yが実数であってxとyそれぞれ実数だとは言えないのでは??



Re: 実数解条件
名前:IT    日付:2017/12/10(日) 23:14
s=x+y は実数だからなのでは?


Re: 実数解条件
名前:IT    日付:2017/12/10(日) 23:19
s=x+y は実数 なので
 x-y が実数ならば x,y は実数となります。


Re: 実数解条件
名前:・。・    日付:2017/12/10(日) 23:28
なるほど!ありがとうございます

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