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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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コーシー積の連続化?について 返信  引用 
名前:De-sync    日付:2017/8/15(火) 16:35
大2の数学科です
(Σ[n=0,∞]a_n*x^n)(Σ[n=0,∞]b_n*x^n)
=Σ[n=0,∞](Σ[k=0,n]a_k*b_(n-k))*x^n
このコーシー積を積分にしてみようと思い立って
(∫[t=0,∞]f(t)*x^t dt)(∫[t=0,∞]g(t)*x^t dt)
=∫[t=0,∞](∫[s=0,t]f(s)*g(t-s))*x^t dt
を証明してみようと思ったのですが上手く行きません。多分成り立つとは思うのですがどうすれば証明できるでしょうか、もしくは反例を示せるでしょうか。
積分の定義に立ち戻るしかないんでしょうか?



Re: コーシー積の連続化?について
名前:    日付:2017/8/15(火) 21:43
収束性など適当な条件の下では成り立ちそうですね。
説明するのも面倒なので、畳み込みのラプラス変換について成り立つ類似の結果を参考にしてください。
積分領域を変更してやればいいです。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/252lap.html


Re: コーシー積の連続化?について
名前:De-sync    日付:2017/8/16(水) 19:7
なるほど、ありがとうございます。参考になりました。
ラプラス変換の勉強もしてみます。

複素数平面 返信  引用 
名前:Airi    日付:2017/8/15(火) 12:31
複素数z(z≠i)に対して、複素数wをw=(z+i)/(z-i)とする。
(1)複素数平面上で点wが虚軸上を動くとき、点zの軌跡を求めよ

(2)複素数平面上で点zが、点-iを中心とする半径1の円周上を動くとき、点wの軌跡を求めよ

この問題が本当にわかりません。どなたかおねがいします!



Re: 複素数平面
名前:通りすがり    日付:2017/8/15(火) 21:4
以下、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

w=(z+i)/(z-i) (A)
とします。
(1)
条件から
w+\w=0
これと(A)により
(z+i)/(z-i)+(\z-i)/(\z+i)=0
これより
(z+i)(\z+i)+(\z-i)(z-i)=0
z\z+(z+\z)i-1+z\z-(z+\z)i-1=0
|z|^2=1
|z|=1
∴zの軌跡は原点中心、半径1の円です。

(2)
条件から
|z+i|=1 (B)
(A)をzについて解いた結果を(B)に代入し
整理をします。

三次元ベクトルの微分方程式 返信  引用 
名前:Yoshikita    日付:2017/8/15(火) 10:25
体積vの導体中の磁界のベクトルポテンシャルA(磁束密度Bとの間に∇×A=Bの関係を満たす三次元ベクトル)を求めます。

Jは微小体積dv中を流れる電流Jdvの電流密度、
∇^2は三次元の勾配の湧き出し量、
μ0は真空中の透磁率[H/m]としたとき、
これの特解をもとめていただけますか?

∇^2A = -μ0J

正解は

A = (μ0/4π) * ∫[0,v] J/r dv

になるようですが、ここまでの導出をしていただけますか?
前にも同じような質問をしましたが、定義があいまいであったため改めて質問し直しをさせていただきました。
よろしくお願いいたします。



Re: 三次元ベクトルの微分方程式
名前:Yoshikita    日付:2017/8/15(火) 10:26
rは微小体積dvに流れる電流Jdvからベクトルポテンシャルを観測している位置までの距離です。


Re: 三次元ベクトルの微分方程式
名前:    日付:2017/8/15(火) 21:48
物理は詳しくないですけど電流密度を使って電流を書くならJdSじゃないですか?
積分についてもdV=dxdydzという意味ではないのですか?
だとすれば[0,v]という意味がよく分かりません。

三角関数の式変形 返信  引用 
名前:Yoshikita    日付:2017/8/15(火) 9:56
次の式の証明していただけますか?

Σ[n=1,m]sin{ωt-(n-1)α} = {sinm(α/2) / msin(α/2)} * sin{ωt-(m-1)α/2}

ただし、mは自然数、
n=1,2…,m、
ωは角速度[rad/s]、
tは時間[s]、
αはある角度[rad]とします。



Re: 三角関数の式変形
名前:    日付:2017/8/15(火) 21:45
オイラーの公式、等比級数の部分和の話を駆使すればよいでしょう。

絶対値問題 返信  引用 
名前:Ken    日付:2017/8/14(月) 14:0
|a|•|b|>0 ですか?
という問題で、

1: -a•|b|=-12

2: a•b=12

回答選択肢
1. 条件(1)のみで十分、しかし条件(2)のみでは不十分
2. 条件(2)のみで十分、しかし条件(1)のみでは不十分)
3. 条件(1)、(2)の両方の条件が揃えば十分、しかしどちらか一つでは不十分
4. 条件(1)、(2)どちらか一つで十分
5. 条件(1)、(2)の両方揃っても不十分

この回答が4になるそうですが、問題、選択肢ともにどのように考えればいいのでしょうか。

1:にかんしては、-aに常に正の値となる|b|をかけるから-12に。
だからbは0以外でかつ正だから条件が成り立つという理解でしょうか。

2:は掛け算として++ --の場合がかんがえられますが
どちらにしても12になるということは0はかけてないから成り立つということでしょうか。



Re: 絶対値問題
名前:IT    日付:2017/8/14(月) 14:11
ab≠0 → |a|•|b|>0 ですからa≠0かつb≠0なら十分です。

あるいは、下記がわかりやすいかも。
(1) -a•|b|=-12 → |a|•|b|=12>0
(2) a•b=12→ |a|•|b|=12>0

連続性 返信  引用 
名前:らい    日付:2017/8/14(月) 11:27
fは無理数xに対しては、f(x)=0、
有理数x=p/q(p,qは互いに素、q>0)に対してはf(x)=1/qと定義された関数とする。
このfの連続性について論ぜよ

という問題なのですが、無理数xの場合についての連続性について
どのように示せばよいか教えてください。
回答では、「無理数においては連続」となっています。



Re: 連続性
名前:IT    日付:2017/8/14(月) 12:0
数直線を描いて 考えると良いと思います。

任意の無理数sと任意のε>0が 与えられたとき、ε>1/Nとなる自然数Nがとれます。( アルキメデスの公理)
N≦qのとき、ε>1/q なのでε≦1/qとなる自然数qは、有限個です。これらの集合をAとおきます。

有理数p/qのうちq∈Aであるものの集合Bを考えます。
Bの元のうちsに最も近いものが取れます。これをbとします。

δ=|s-b|とおくと(s-δ,s+δ)にはBの元は存在しません。

後は簡単だと思います。


Re: 連続性
名前:らい    日付:2017/8/14(月) 14:50
なるほど。ありがとうございます。
数直線上で、無理数と有理数の距離を考えることでうまく連続の定義を導けるのですね。

後は、δ=|s-b|とおくと(s-δ,s+δ)にはBの元は存在しないので
|s-u'|<δなる有理数u'については、存在するとすればqはAには含まれないので、
N≦qとなり|f(s)-f(u’)|=1/q<ε
|s-u'|<δなる無理数uについては、|f(s)-f(u)|=0<ε

より連続ということでしょうか。


Re: 連続性
名前:IT    日付:2017/8/14(月) 15:9
それで良いと思います。


Re: 連続性
名前:らい    日付:2017/8/14(月) 15:19
ITさん

分かりました。
ご丁寧に回答いただき、ありがとうございました!

絶対値不等式 返信  引用 
名前:Han    日付:2017/8/14(月) 10:12
|3x-1|≧5 と|6-x|>4 の違いを教えて下さい。
後者の場合、|6-x|>4は絶対値側に開いている
式なので

6-x>-4 と 4>6-x
とできるかとおもいます。

一方で|3x-1|≧5 も絶対値側に開いており、
同じように計算はできるかと思いますが、
回答では3x-1≦5 3x-1≧5と絶対値をはずしても
マイナスが5についていませんがなぜでしょうか。



Re: 絶対値不等式
名前:pqr    日付:2017/8/14(月) 10:39
解答の不備だと思います.


Re: 絶対値不等式
名前:Han    日付:2017/8/14(月) 13:52
ありがとうございます。

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