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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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三角形の重心 返信  引用 
名前:FIRE    日付:2019/4/19(金) 0:32
(1)△ABCの辺BC,CA,ABの中点をそれぞれD,E,Fとする。△DEFの重心は△ABCの重心Gと一致することを証明しなさい。

この問題が分かりません教えて下さい!



Re: 三角形の重心
名前:B♭コルネット    日付:2019/4/21(日) 13:12
BD=DC からBD:BC=1:2
BF=FA からBF:BA=1:2
∠FBD=∠ABC(共通) 
2辺の比と侠角が等しいことにより、△BFD∽△BAC よって、FD//AC

BEとFDとの交点をMとすると、△BMDと△BECとは相似 になります。
(理由:平行直線MD、ECと、直線BCとでなす同位角は等しくなり、∠BDM=∠BCE
   また、∠MDB=∠EBC(共通) により、2つの角が等しい。)

△BMDと△BECとの相似比=BD:BC=1:2 で、
∴MD:EC=1:2

△BFMと△BAEとでも同様にして、
FM:AE=1:2 となって、 AE=EC だから、FM=MD

これは、点Bと対辺ACの中点Eを結ぶ直線がFDを2等分していることを意味し、
△DEFで見れば、直線BEがFDの中点を通過していることを意味します。

同じ事が、直線ADがEFの中点を通過し、
     直線CFがDEの中点を通過していることを意味します。

これは、△ABCでの3直線BE,AD,CFの交点=重心Gが、
△DEFでの交点=重心であることを意味します。


 

(untitled) 返信  引用 
名前:年度不明    日付:2019/4/17(水) 22:24
Pを素数,nを自然数とする. p^nが連続するp+3個の自然数の和で表されるとき,pの値とnの条件を求めよ.



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2019/4/17(水) 23:28
途中まで
(略解)
p=2のとき
 5個の自然数の和は5の倍数なので 2^n が5個の自然数の和で表されることはなく不適。
pが奇素数のとき 
 p+3は偶数であり、連続するp+3個の自然数の和は(p+3)/2の倍数
 したがってp^nは(p+3)/2の倍数。
 一方3≦(p+3)/2≦pなので(p+3)/2=p ∴p=3


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2019/4/17(水) 23:54
連続する6個の自然数の初項をkとすると、その和は3(2k+5)
よって3^n=3(2k+5)
3^(n-1)=2k+5 (右辺は7以上の奇数をすべて取りえる)
したがってnは3以上の自然数であることが条件となる。


Re: (untitled)
名前:年度不明    日付:2019/4/23(火) 22:23
ありがとうございます

直交射影 返信  引用 
名前:あか    日付:2019/4/17(水) 20:45
n次元実対称行列Aのk個の相違なる固有値をλj(j=1.2…k)とする。Rnから固有値λjに対する固有空間Wjへの直交射影を表す行列をPjとするとき、P1+P2…+Pk=Inとなることを示すという問題で、

答えが
任意のベクトルをx∈Rnはvj∈Wjを用いて x=v1+v2+…+vkとかけ
PiはRnからWjへの射影なので Pjx=vj より
(P1+P2+…Pk)x=xとなり 題意が求まるとあるのですが、
@この答えはn次元実対称行列のみで起こることなのか
Aこの答えは直交射影で起こることなのか
Bx=v1+v2+…vk のような固有空間のベクトルを足し合わせてRnのベクトルにできるのか?(係数とかはいらないのですかね…)

以上の3点がよくわかりません。教えていただきたいです。よろしくお願いします。

Bは特にピンときていないです。固有空間は次元が部分空間と違って一緒だから、おけるということでよろしいのでしょうか?でも基底みたいに係数がいりませんかね?



Re: 直交射影
名前:IT    日付:2019/4/17(水) 21:5
> Bx=v1+v2+…vk のような固有空間のベクトルを足し合わせてRnのベクトルにできるのか?(係数とかはいらないのですかね…)

係数が要らないのは、明らかだと思います。
xに対して、各vjは各固有空間Wjの'適当な'ベクトルを取ればよいのですから


Re: 直交射影
名前:IT    日付:2019/4/17(水) 21:19
Bx=v1+v2+…vk のような固有空間のベクトルを足し合わせてRnのベクトルにできる

の証明は、お使いのテキストか講義で既出なのでは?


Re: 直交射影
名前:あか    日付:2019/4/17(水) 21:23
今確認しましたが、特にそのような表記はなかったです。やはりそうですよね。ありがとうございます。

@とAはどうでしょうか?

最大 最初 返信  引用 
名前:東工大 1961年    日付:2019/4/16(火) 19:12
x^2+y^2=1 なるとき x^2-y^2+2√3xy を最大、又は最小とするx、y の値を求めよ

パラメータでやろうとしましたが、うまくできませんでした。
よろしくお願いします。



Re: 最大 最初
名前:IT    日付:2019/4/16(火) 19:30
略解)
x=cost,y=sint とおけて
x^2-y^2+2√3xy
=(cost)^2-(sint)^2+2√3costsint
=cos2t+√3sint
=2sin(2t+α)


Re: 最大 最初
名前:IT    日付:2019/4/16(火) 19:32
x,yを求めるためにはαを求めないといけませんね。


Re: 最大 最初
名前:IT    日付:2019/4/16(火) 20:10
y=√(1-x^2),y=-√(1-x^2) を x^2-y^2+2√3xy に代入して
xで微分して増減を調べる方法もありますが面倒ですね。


Re: 最大 最初
名前:通りすがり    日付:2019/4/17(水) 5:45
>>ITさんへ
α=π/6
となりませんか?


Re: 最大 最初
名前:IT    日付:2019/4/17(水) 7:26
そうですね
sin(π/6)=1/2,cos(π/6)=√3/2 なので
与式=2sin(2t+π/6) ですね。


Re: 最大 最初
名前:IT    日付:2019/4/17(水) 7:45
=(cost)^2-(sint)^2+2√3costsint
=cos2t+√3sint

は、cos2t+√3sin2tの記入ミスです。

指定された素因数でのみ構成された数値を小さい順に求めたい。 返信  引用 
名前:momomomomo    日付:2019/4/16(火) 16:18
タイトル通りです。…すみません、わかりにくいですね。
例えば、指定された素因数が 2, 3, 5 の場合だと、
2^x * 3^y * 5^z (0<=x,y,z) と表せる数を小さい順に求めたいです。具体的には、
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30 ...と続きます。
 (21などは3^1と7^1。 7は指定されていないので21は含まれない。)
このような小さな数なら私の小さな頭でも一つずつ数えることができますが、
小さな頭で、大きな数はダメですね…( ?
例えば 65536 = 2^16 * 3^0 * 5^0 の次に大きな数、などです。
答えは 65610 = 2^1 * 3^8 * 5^1 なのですが、
これはどのようにして求めれば良いのでしょうか?
三次元表を作って一つずつ計算するのは骨が折れるので、
何かしらの法則などをご教授いただけましたら幸いです。

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