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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:オリガミクス    日付:2017/9/30(土) 16:37
2018^2016≡1(mod 2017)を示せ



Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2017/9/30(土) 19:34
2018^2016=(2017+1)^2016=(2016C0)2017^2016・1^0 + (2016C1)2017^2015・1^1 + ・・・+ (2016C2015)2017^1・1^2015 + (2016C2016)2017^0・1^2016

≡(2016C2016)2017^0・1^2016 (mod2017)
≡1 (mod2017)

一般項のあらわし方 返信  引用 
名前:本山中    日付:2017/9/30(土) 14:42
数列
2,8,10,16,18,24,26,……
の一般項のあらわし方を、教えてください。
よろしくお願いいたします。



Re: 一般項のあらわし方
名前:通りすがり    日付:2017/9/30(土) 16:4
問題の数列の階差を取ると
6,2,6,2,…,4+2・(-1)^(n-1)
となっていることが分かります。
よって問題の数列の一般項をa[n]とすると
n≧2のとき
a[n]=a[1]+Σ[k=1〜n-1]{4+2・(-1)^(k-1)}
=2+4(n-1)+2{1-(-1)^(n-1)}/{1-(-1)}
=4n-1-(-1)^(n-1)
これはn=1のときも成立しています。
よって求める一般項は
4n-1-(-1)^(n-1)
となります。


Re: 一般項のあらわし方
名前:本山中    日付:2017/9/30(土) 17:12
通りすがり さん、ありがとうございます。
感謝いたします。

全微分可能の定義の式の意味について 返信  引用 
名前:こんにちは    日付:2017/9/30(土) 12:40
工学系のもので、多変数の微分積分はよく使うのですが、厳密にきっちり学んでいるわけではないです。
本を読んでいると、全微分可能の定義について述べてありました。それで、調べてみると以下のサイトを参考に理解することができました。
http://psuke.hungry.jp/math/mathintoro7c.html
こちらにも書いておくと、全微分可能とは
f(x + Δx, y + Δy) – f(x, y) = A*Δx + B * Δy + ε(Δx, Δy) and lim{(Δx, Δy) -> (0, 0)}[ε(Δx, Δy)/ √[(Δx)^2 + (Δy)^2]] = 0
が成り立つことです。意味としては、誤差が0になるのが、距離を0にするよりも早い、というものです。なるほどと思ったのですが、一点疑問があります。同じサイト(http://psuke.hungry.jp/math/mathintoro7a.html)なのですが、1変数関数の微分可能にならって、次のように定義すればいいのではないか、という話題がありました(本当はダメだけど、次のように考えたくなるよね、ってことです)。
すなわち、全微分可能を以下のように定義してみます。
極限
lim{(Δx, Δy) -> (0, 0)}[{f(x + Δx, y + Δy) – f(x, y)}/√[(Δx)^2 + (Δy)^2]]
が存在して、近づき方によらないならば、全微分可能として良いのではないか、ということです。
しかし、サイトには、次のようなことがあるので、これはダメだとしています。

「でも、まだ問題があるのです。それはこれが「傾き」になっているということです。一次元の時は右から近づいても、左から近づいても傾きは一致しました。そして一致することが微分可能の定義と一緒です。しかし、二次元となるとどうでしょう。東から近づいたとき、北から近づいたとき、北東から近づいたとき、傾きが必ずしも一致するでしょうか?いいえ。一般的には一致しないのです。となると、この「傾きの形」で微分を表すことをあきらめなければならないのです。」

近づき方で、極限値が異なる場合があるということだと思います。しかし、一変数の時の微分の時のように、極限値が異なれば、微分可能ではないとすれば良いのではないでしょうか?
そうすると、何か不都合があるのでしょうか。
回答お願いします。



Re: 全微分可能の定義の式の意味について
名前:かわ    日付:2017/9/30(土) 14:15
f(x,y) = x + 2y を考えます

これは通常の全微分可能性の定義にあてはめると 原点(0,0) で全微分可能です [というかどこでも全微分可能です]

しかし極限
lim{(Δx, Δy) -> (0, 0)}[{f(x + Δx, y + Δy) – f(x, y)}/√[(Δx)^2 + (Δy)^2]]
は存在しません

何故ならx軸上から原点に近づく場合は(Δy=0かつy=0なので)極限値は1
y軸上から原点に近づく場合は(Δx=0かつx=0なので)極限値は2になるからです

なので提案された全微分可能性の定義は通常のそれとは異なります
もし提案を飲む場合、全微分可能な関数は極めて少なくなるはずです(定数関数くらいしか全微分可能にはならない)


Re: 全微分可能の定義の式の意味について
名前:こんにちは    日付:2017/10/2(月) 12:16
ありがとうございます。

行列がよく分かりません 返信  引用 
名前:やま    日付:2017/9/30(土) 10:55
対角化ってなんの役に立つのですか。



Re: 行列がよく分かりません
名前:かわ    日付:2017/9/30(土) 10:59
http://mathtrain.jp/diagonalization


Re: 行列がよく分かりません
名前:やま    日付:2017/9/30(土) 12:23
ありがとうございます。

階乗計算ができると何が嬉しいの?です。
具体的にございますか。よろしくお願いします。


Re: 行列がよく分かりません
名前:かわ    日付:2017/9/30(土) 14:4
ベクトルに行列をかけるとは、「ベクトルを(ある方法で)変換する操作」とも捉えられます
変換を何回も(n回)繰り返した結果が知りたい、という事はしばしばあってそのときに役に立ちます

技術的な話に思えるかもしれませんが、そもそも対角化自体が技術的な操作なので使っているうちに便利さが分かってくるという側面も多分にあると思います


別の視点では以下のような説明もありえます
行列Aは、ベクトル空間のある基底Bを固定して考えると、とある線形写像fを行列表示した結果だと捉えることができます
このとき対角化は基底Bを変換した基底B'のもとでの写像fの表現行列を探すことだ、という見方もできます
基底B'のもとでは線形写像fは「ベクトルを各基底ベクトル方向にスケール倍(対角成分倍)する操作」とすっきり理解されます
(ちなみに対角成分の残った行列はスケール倍以外にも回転操作など複雑な操作がからんできてしまいます)
このように、「線形写像をすっきり表現するための基底探し」が対角化のメリットだという見方もできます


いずれにせよ「対角化がどう便利か」は基本的には使ってみて分かることで、100人に聞けば100通りの答えが返ってくるような話だと思ったほうがいいです


Re: 行列がよく分かりません
名前:やま    日付:2017/9/30(土) 17:31
概念的に理解出来ました。ありがとうございます。

今A**nXを求めたいとします。

P-1A**nPが対角化行列ならば

P-1A**nPXは簡単に求まる。

あれ?ここからどうやってA**nXがでるんですか


Re: 行列がよく分かりません
名前:通りすがり    日付:2017/9/30(土) 18:17
Q=P(A^n)P^(-1)
だとすると
A^n={P^(-1)}QP
です。


Re: 行列がよく分かりません
名前:やま    日付:2017/10/1(日) 7:18
本当にありがとうございます。
行列という訳のわからない学問の目的は、ある変換を比例倍、並行、軸回り回転という単純な形に分けること。その手法を学ぶことのように思えてきましたが
だいたいそんな感じでしょうか。


Re: 行列がよく分かりません
名前:やま    日付:2017/10/1(日) 8:24
追記
でも、行列Aを簡単にしたいとき、P-1APとすれば簡単になるよ
という発想がしっくりきません。
ここで言うPって結局何なのでしょう。

σ-加法族の問題(解析学) 返信  引用 
名前:BY    日付:2017/9/30(土) 1:10
以下の問題が分かりません。ご解説をよろしくお願いします。

Qは有理数の集合とします。

E={[a,b]:a,b∈Q}とおく。

Eを含む最小の加法族をσ[E]とするとき、σ[E]=B(R)を示せ。

B(R)は実数のボレル集合族とする。



Re: σ-加法族の問題(解析学)
名前:THE    日付:2017/9/30(土) 10:0
B(R)の定義に依ります(B(R)の定義をσ(E)そのものとすることもできるので)

いずれにせよ,Eの元(および空集合,全体集合)から出発して,
* 高々可算無限個の和をとる操作
* 高々可算無限個の積をとる操作
* 補集合を取る操作
でB(R)の定義に登場する生成集合族を作ることを言うだけです

たとえば開集合(0,√2)を作りたければ次のような感じ
a_1 = 1.4, a_2 = 1.41, a_3 = 1.414, ...
のように√2に(下から)収束する有理数列を作れば
(0,√2) = ∪_{n}(0,a_n)
です.
(0,a_n)は[0,a_n]∩([0,0]^c)∩([a_n,a_n]^c)とかけるのでσ[E]の元ゆえ,(0,√2)もそうです

同様に(p,q) (p,q∈R, p<q)も言える という具合です


Re: σ-加法族の問題(解析学)
名前:BY    日付:2017/9/30(土) 22:22
すみません。B(R)はRの全ての開集合からなる族をOとして、

σ[O]をB(R)を定義していました。

説明は理解できました。そして、解けました。

ありがとうございます。

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