[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

わからない算数・数学の問題を質問して教えてもらいましょう。
回答できる人は積極的に回答し、みんなで教えあいましょう。
利用前に数学質問掲示板の注意事項を読んでください。
数式の書き方がわからない人は数学質問掲示板での数式の書き方を参考にして下さい。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容
   タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL



極限 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2019/1/2(水) 21:7
等式lim(x→-∞){√(x^2+2)-(ax+b)}=1が成り立つように定数a,bの値を定めよ。
 この問題は分子の有理化で解けると思って和の方をかけてみましたが、右辺が0なら見たことがあるのですが、1ではどうして良いのか行き詰まりました。
どなたか、解く方新をご教授願えませんでしょうか。



Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/2(水) 22:19
1 引けば 0になるのでは?


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2019/1/3(木) 9:24
 lim の中を分子の有理化するのは分かるのですが、lim の外にある右辺の1をlim の中にあるものから引く方法が分かりません。どうしたらいいのでしょうか。ご教示願えたら嬉しいです。


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2019/1/3(木) 9:41
 左辺を計算したら、(1-a)x-2ab/((a+1) になりました。これが1だとすると2ab+a+1=0 となり、行き詰まりました。


Re: 極限
名前:けんけんぱ    日付:2019/1/3(木) 10:57
>左辺を計算したら、(1-a)x-2ab/((a+1) になりました

lim(x→-∞){√(x^2+2)-(ax+b)}=(1-a)x-2ab/((a+1)
ということですか?
何も考えてませんが、x→-∞なのにxが残るって変ですよね?


Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/3(木) 11:48
> lim の外にある右辺の1をlim の中にあるものから引く方法が分かりません。どうしたらいいのでしょうか。ご教示願えたら嬉しいです。
単に引けばいいです。
念のため教科書で「極限の性質」を確認してください。


Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/3(木) 12:4
「右辺が0の形にした方が良い」とお勧めしているわけではありませんので誤解しないようにしてください。

> 左辺を計算したら、(1-a)x-2ab/((a+1) になりました
今やっておられる解き方で、途中式変形を間違えているのではないですか?


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2019/1/3(木) 12:46
lim(x→-∞){√(x^2+2)-(ax+b)}=1

これは、式変形ではなく極限の性質から考えてx→-∞の時に√(x^2+2)はxに等しくなるので与式
与式=x-ax-b=1 と考えて、(1-a)x-b=1 として a=1 b=-1 と考えるのでしょうか。


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2019/1/3(木) 13:21
やり直したら (1+a)(1-a)x-2ab=1+a となりました。
ここで、a=1 の場合と a=-1 の場合に分けて、答は(a,b)=(1,-1)でしょうか。


Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/3(木) 13:38
> x→-∞の時に√(x^2+2)はxに等しくなる
「等しくなる」とは言わないと思いますが
lim(x→-∞)(√(x^2+2)-x)= 0 ですね
なぜこういえるのですか? 式変形で示すのでは?


Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/3(木) 13:51
lim(x→-∞)(√(x^2+2)+x)= 0 のまちがいでした。x<0 なので。


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2019/1/3(木) 14:4
 数学では正確に何と表現するのでしょう。「究極的に一致する」ですか?
「lim(x→-∞)(√(x^2+2)-x)= 0 ですね」日本語ではなく、このような式を示せば良いということでしょうか?


Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/3(木) 14:14
> やり直したら (1+a)(1-a)x-2ab=1+a となりました。
limをどうやって外しましたか?

> ここで、a=1 の場合と a=-1 の場合に分けて、答は(a,b)=(1,-1)でしょうか。
間違っていると思います。


Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/3(木) 14:30
> 「lim(x→-∞)(√(x^2+2)-x)= 0 ですね」日本語ではなく、このような式を示せば良いということでしょうか?
そういうことです。 
なお正しくは「lim(x→-∞)(√(x^2+2)+ x)= 0 です。


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2019/1/3(木) 14:35
 分子の有理化をしたら、分母は√(x^2+2)+(ax+b) 分子は(1-a^2)x^2-2abx+2-b^2 となりました。そこで、分母・分子をxで割って分母にxが付いたものは0になるので
分母1+a 分子(1+a)(1-a)x-2abとなりました。これが1に等しいので、イコールでつなぎました。


Re: 極限
名前:通りすがり    日付:2019/1/6(日) 13:25
横から失礼します。
これは場合分けが必要になります。

lim[x→-∞]{√(x^2+2)-(ax+b)}
=lim[x→-∞]{(x^2+2)-(ax+b)^2}/{√(x^2+2)+(ax+b)}
=lim[x→-∞]{(1-a^2)x^2-2abx+2-b^2}/{√(x^2+2)+(ax+b)}
=lim[x→-∞]{(1-a^2)x-2ab+(2-b^2)/x}/{√(2+2/x^2)+(a+b/x)} (A)
(ここまではハローさんの方針と同じです)
ここで
lim[x→-∞]{√(2+2/x^2)+(a+b/x)}=√2+a
となることから
(i)√2+a≠0のとき
(A)が1に収束するためには
1-a^2=0 (B)
(-2ab)/(√2+a)=1 (C)
(B)(C)を連立して解き
(a,b)=(1,-(√2+1)/2),(-1,(√2-1)/2)
(ii)√2+a=0のとき
(A)が収束するためには
lim[x→-∞]{(1-a^2)x-2ab+(2-b^2)/x}=0
が成立しなくてはいけないので
1-a^2=0 (D)
2ab=0 (E)
(D)(E)を連立して解き
(a,b)=(1,0),(-1,0)
∴不適。

以上から
(a,b)=(1,-(√2+1)/2),(-1,(√2-1)/2)
となります。


Re: 極限
名前:通りすがり    日付:2019/1/6(日) 13:36
ごめんなさい。大事なところを端折ってしまっていますね。
場合分けの(i)についてもう少し細かく書いておきます。

(i)√2+a≠0のとき
(A)の収束する値は脇に置いておき、
(A)が収束する条件を考えます。すると
少なくとも分子の第一項の係数が0
とならなければならないので
1-a^2=0 (B)
(注:ハローさんの考え方のどこに問題があるのか
上記の点をもう一度考えてみて下さい。)
このとき
(A)=(-2ab)/(√2+a)
これが1と等しくなるので
(-2ab)/(√2+a)=1 (C)
(B)(C)を連立して解き
(a,b)=(1,-(√2+1)/2),(-1,(√2-1)/2)


Re: 極限
名前:IT    日付:2019/1/6(日) 20:10
通りすがりさん>
> =lim[x→-∞]{(1-a^2)x^2-2abx+2-b^2}/{√(x^2+2)+(ax+b)}
> =lim[x→-∞]{(1-a^2)x-2ab+(2-b^2)/x}/{√(2+2/x^2)+(a+b/x)} (A)

最後の式は間違ってます。
分母は、{√(2+2/x^2)+(a+b/x)} でなくて {-√(1+2/x^2)+(a+b/x)}
x<0 のとき √x^2 = -x です。


Re: 極限
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 18:30
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ハローさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
修正部分だけアップしても見難くなるので
改めて全てアップします。

lim[x→-∞]{√(x^2+2)-(ax+b)}
=lim[x→-∞]{(x^2+2)-(ax+b)^2}/{√(x^2+2)+(ax+b)}
=lim[x→-∞]{(1-a^2)x^2-2abx+2-b^2}/{√(x^2+2)+(ax+b)}
=lim[x→-∞]{(1-a^2)x-2ab+(2-b^2)/x}/{-√(1+2/x^2)+(a+b/x)} (A)
注)
x→∞を考えるので、x<0と考えてよく
√(x^2)=-x
(ここまではハローさんの方針と同じです)

ここで
lim[x→-∞]{-√(1+2/x^2)+(a+b/x)}=-1+a
またa≧0とすると条件の等式の左辺が
発散してしまい、等式が成立しないので
a<0
∴-1+a≠0 (B)
であるので、(A)が1に収束するためには
1-a^2=0 (C)
(-2ab)/(-1+a)=1 (D)
(B)に注意して(C)(D)を連立して解き
(a,b)=(-1,-1)
となります。

面積 返信  引用 
名前:みけ    日付:2019/1/2(水) 10:35
添付した問題12が解けません。
解答では「AFやGEを延長して、ちょうちょ型を作るとAH:HFを求められる。」とあり20平方cmとなっています。
ちょうちょ型というのもよくわかりません。
誰かお力を貸してください。
よろしくお願いします。
https://drive.google.com/file/d/1FhPSer5apoKwpK3mFCI4C-LVf-w-3iqH/view?usp=sharing



Re: 面積
名前:B♭コルネット    日付:2019/1/2(水) 12:59
解答の方法がよくわからないですが、おそらく相似形をつくって相似比から面積比、面積をもとめ、さらに余分の面積を差し引いているとおもわれます。

ここでは別の方法ですが、
△AEF−△HEF で面積を求めてみます
BCに平行なGを通る直線を引いて、AFとの交点をI、ABとの交点をJとします。
JI=4
IG=8
△IGH∽△HEFで、相似比は8:4=2:1 になります。

ここで、Hを通るBCに垂直な直線を作り、△IGHと△HEFの高さを考えると、
その比は2:1ですから、GC=6を2:1に分割して、
6・(2/3)=4 と 6・(1/3)=2 になります。

∴△HEF=4・2/2=4

・・・


Re: 面積
名前:IT    日付:2019/1/2(水) 13:15
「ちょうちょ型」 といえるか微妙ですが
AFをF側に延長しDCをC側に延長し 交点をP
GEをE側に延長しABをB側に延長し 交点をQ とし

△GHPと△QHAが相似になるので相似比を使って各長さを求める。
のだと思います。


Re: 面積
名前:みけ    日付:2019/1/2(水) 14:28
ありがとうございます。
無事解決しました。
https://drive.google.com/file/d/1PVghjnOWpRfy92NTv1tBQcoiham255cU/view?usp=sharing

(untitled) 返信  引用 
名前:えぬ    日付:2019/1/1(火) 21:59
a×(1-x)+b×x=c

この時xを求める式はどうなりますか?



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/1/2(水) 1:8
問題の方程式から
x=(c-a)/(b-a)
となります。


Re: (untitled)
名前:えぬ    日付:2019/1/2(水) 10:17
ご回答ありがとうございます。
良ければ途中の計算式なども教えて頂けますでしょうか。


Re: (untitled)
名前:みけ    日付:2019/1/2(水) 10:51
横から失礼します。
途中式は画像のような感じになるかと思います。
https://drive.google.com/file/d/1PVghjnOWpRfy92NTv1tBQcoiham255cU/view?usp=sharing


Re: (untitled)
名前:えぬ    日付:2019/1/2(水) 13:4
通りすがりさん
みけさん

勉強になりました。有難うございました。

ページ: |< << 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> >| 

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb