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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:中3    日付:2018/10/5(金) 0:32
例えばBCADCのように、4種類の文字A,B,C,Dでできた5文字の列を考える。
ただし、BBABAのように、A〜Dのうちで使われない文字があっても良い。
このとき、同じ種類の文字が少なくとも1カ所は隣り合っている5文字の列は全部で何通りあるか。


解答よろしくお願いします。また答えを持っていないので、解法も載せていただけると嬉しいです。



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/10/5(金) 18:40
同じ種類の文字が1カ所も隣り合っていない5文字の列が全部で何通りあるか
考えるほうが簡単です

(untitled) 返信  引用 
名前:ぽん    日付:2018/10/4(木) 15:21
(1) In=(0,1/n)とするとき∩n∈N Inを求めよ。
(2) Dn={(x,y)∈R^2│(x-1/n)^2+y^2<1/n^2}とするとき∩n∈N Dnを求めよ。

解答よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:next    日付:2018/10/4(木) 23:49
前回の疑問は解決したんですか?

(untitled) 返信  引用 
名前:ガーナ    日付:2018/10/3(水) 17:6
f(x)=(a-b-1)x+3(b-a)とする。(a,bは実数の定数)

-1〈x〈1で、f(x)の符号が一定であるためのa.bに関する条件を求めよ。

条件の求め方を平易に求める方法をご教授ください。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/10/3(水) 17:36
問題のf(x)は-1<x<1において単調であるので
求める条件は
f(-1)f(1)≧0
∴{4(b-a)+1}{2(b-a)-1}≧0
となるので、求める条件は
b-a≦-1/4,1/2≦b-a

数III 返信  引用 
名前:ブルア    日付:2018/10/3(水) 12:46
Oを原点とする座標平面上における曲線C:(x^2)/4+9y^2/4=1 上に点P(√3,1/3)をとる。

⑴Cの接戦で直線OPに平行なものは
y=アx+イ
y=ウx-エ である。

⑵点QがC上を動く時、△OPQの面積の最大値Sと最大値を与えるQの座標Q_1、Q_2を求めよ。

S=オ/カ
Q_1(キ,(-√ク)/ケ)
Q_2(-コ,(√サ)/シ)

よろしくおねがいします。



Re: 数III
名前:通りすがり    日付:2018/10/3(水) 17:37
別の数学掲示板で、同じ問題の質問に対する回答が付いています。

台風 返信  引用 
名前:角度最大    日付:2018/10/3(水) 10:58
∠XOYを直角とする。OY上に定点A,Bをとり、OX上に動点Pをとる。
∠APBが最大となるようなPの位置を求めよ。

高校1年生の範囲で解答いただけると助かります。
よろしくお願いします。



Re: 台風
名前:s    日付:2018/10/3(水) 12:21
3点A, B, Pを通る円を考えます

この円の大きさ(直径)が大きいほど,∠APBは小さくなります
なので円の大きさが最小のとき,すなわち円とOXが接するとき(の接点P)が求める位置です

数III 返信  引用 
名前:葦原    日付:2018/10/2(火) 20:12
曲線C:y=1/x+1 (x>-1)を考える。

C上の点P1(0,1)における接線をL1とし、L1とx軸との交点をQ1、点Q1を通りx軸と垂直な直線と曲線Cとの交点をP2とおく。
以下同様に自然数n (n≧2)に対して点Pnにおける接線をLnとし、Lnとx軸との交点をQn、点Qnを通りx軸と垂直な直線と曲線Cとの交点をP_n+1とおく。

@Lnの方程式を求めよ。
y=-x+1

APnのx座標をx_n (n≧1)とする。x_n+1をx_nを用いて表し、x_nをnを用いて表せ。

BLn,x軸,y軸で囲まれる三角形の面積をSnとし、(lim_n→∞ Sn)^2を求めよ


@は解けましたがABがわかりません。よろしくお願いします。



Re: 数III
名前:通りすがり    日付:2018/10/2(火) 20:39
A
前半)
y=1/(x+1)
より
y'=-1/(x+1)^2
∴L[n]の方程式は
y={-1/(x[n]+1)^2}(x-x[n])+1/(x[n]+1) (A)
∴ここでQ[n]とP[n+1]のx座標が共にx[n+1]
であることに注意すると(A)より
{-1/(x[n]+1)^2}(x[n+1]-x[n])+1/(x[n]+1)=0
これより
-(x[n+1]-x[n])+(x[n]+1)=0
∴x[n+1]=2x[n]+1

後半)
前半の結果により
x[n+1]+1=2(x[n]+1)
∴x[n]=(x[1]+1)2^(n-1)-1
ここで条件からx[1]=0
∴x[n]=2^(n-1)-1

B
Aの結果からL[n]の方程式は
y={-1/4^(n-1)}{x-2^(n-1)+1}+1/2^(n-1)
整理をして
y={-1/4^(n-1)}x+2/2^(n-1)-1/4^(n-1)
∴L[n]とy軸との交点をR[n]とすると
R[n](0,2/2^(n-1)-1/4^(n-1))

Q[n](2^n-1,0)
∴S[n]=(1/2)OQ[n]・OR[n]=(1/2)(2^n-1)(2/2^(n-1)-1/4^(n-1))
={(2^n-1)^2}/(2・4^(n-1))
=2(1-1/2^n)^2
∴{lim[n→∞]S[n]}^2-=4


Re: 数III
名前:通りすがり    日付:2018/10/2(火) 21:19
ごめんなさい。訂正します。
誤:∴{lim[n→∞]S[n]}^2-=4
正:∴{lim[n→∞]S[n]}^2=4

数列 返信  引用 
名前:Fラン高校生    日付:2018/10/2(火) 18:14
初項a、公比rの{an}について初項からn項までの和をSnとする
S10=12
S20=36
r10を求めよ
S30を求めよ



Re: 数列
名前:通りすがり    日付:2018/10/2(火) 19:4
問題文にタイプミスはありませんか?


Re: 数列
名前:Fラン高校生    日付:2018/10/2(火) 19:36
rの10乗でした


Re: 数列
名前:通りすがり    日付:2018/10/2(火) 20:19
r=1とすると条件から
10a=12
20a=36
しかし、これらを満たすaは存在しない
∴r≠1
このとき、条件から
a(1-r^10)/(1-r)=12 (A)
a(1-r^20)/(1-r)=36 (B)
(B)÷(A)より
1+r^10=3
∴r^10=2 (C)

S[30]=a(1-r^30)/(1-r)
={a(1-r^10)/(1-r)}(1+r^10+r^20) (D)
(D)に(A)(C)を代入して
S[30]=12(1+2+2^2)=84


Re: 数列
名前:通りすがり    日付:2018/10/2(火) 22:25
もう少し補足を。
a,rの値を計算した上でもS[30]の値は
計算できますがその場合は
計算が煩雑になります。
((a,r)の値の組が2つ存在しますので
場合分けが必要になります。)

(untitled) 返信  引用 
名前:ぽん    日付:2018/10/2(火) 9:46
距離空間[X,d]に対して、[X,√d]は距離空間であることを示せ。

解答よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:s    日付:2018/10/2(火) 14:16
{√d(x,y) + √d(y,z)}^2 ≧ d(x,z)なので・・・

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