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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:三角関数    日付:2018/4/1(日) 22:22
-sin(x+kπ/2)=cos{x+(k+1)π/2}
と、変形できる経緯をお教えお願いします。



Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2018/4/1(日) 22:34
-sin(θ)=cos(θ+π/2)
のθにx+kπ/2を代入したものです


Re: (untitled)
名前:極限    日付:2018/4/1(日) 22:37
ありがとうございます。

領域 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/4/1(日) 21:6
この二重の絶対値記号を持つ不等式の領域を求めたいのですが、x,
yの正負で場合分けしていく以外に早く求める方法はあるでしょうか。

||x|+|y||+||x|-|y||≦2



Re: 領域
名前:通りすがり    日付:2018/4/1(日) 22:3
早く求める方法かは分かりませんが、以下の方針もあります。

{||x|+|y||+||x|-|y||}^2=2(x^2+y^2)+2|x^2-y^2|
に注意すると
(i)x^2-y^2≧0、つまり(x+y)(x-y)≧0のとき
問題の不等式は
4x^2≦4
∴-1≦x≦1
(ii)x^2-y^2≦0、つまり(x+y)(x-y)≦0のとき
問題の不等式は
4y^2≦4
∴-1≦y≦1

xy平面上に直線y=x,y=-xを描いた上で
(x+y)(x-y)≧0
(x+y)(x-y)≦0
のそれぞれが示す領域がどこに当たるかを考えた上で
(i)(ii)のときの領域を図示すると、求める領域は
点(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)
を頂点とする正方形の周及び内部
となることが分かります。


Re: 領域
名前:ハロー    日付:2018/4/1(日) 22:10
 うーん、なるほど。「絶対値記号だから二乗するかも」とは考えたのですが、こんな風に場合分けできませんでした。
親切にありがとうございます。もう一度、自分でやってみます。


Re: 領域
名前:IT    日付:2018/4/2(月) 19:43
グラフで図示して調べるなら

x≧0,y≧0 のときを調べて、x軸対称、y軸対称、原点対称にコピーすればよい。

x≧0,y≧0 のときは x≧0,y≧0,x+y+|x-y|≦2
 x-y≧0のときを調べて 直線x=y について対称にコピーすればよい。
 x-y≧0のときは、x≧0,y≧0,x-y≧0,x≦1


Re: 領域
名前:IT    日付:2018/4/2(月) 19:56
|x|≧|y|のとき |x|+|y|+|x|-|y|≦2 ∴ |x|≦1
したがって,|y|≦|x|≦1…@
|x|≦|y|のとき |x|+|y|-|x|+|y|≦2 ∴ |y|≦1
したがって,|x|≦|y|≦1…A

元の不等式を満たす領域は@とAを合わせた領域なので |x|≦1かつ|y|≦1

無理関数不等式のグラフの書き方 返信  引用 
名前:yn    日付:2018/4/1(日) 14:23
√(2-2xy)≦x-yのグラフの書き方を教えてください。

円のような形になるのでしょうか?



Re: 無理関数不等式のグラフの書き方
名前:IT    日付:2018/4/1(日) 15:4
√(2-2xy)≦x-y …@
xy≦1…A,x-y≧0…B

@の両辺を2乗して 2-2xy≦x^2-2xy+y^2
x^2+y^2≧2…@'

@',A,Bの共通部分を描けば良いと思います。


Re: 無理関数不等式のグラフの書き方
名前:yn    日付:2018/4/1(日) 16:54
解けました
手も足も出なかったので助かりました。
ありがとうございます

不等式 返信  引用 
名前:pop    日付:2018/4/1(日) 10:40
1≦m^2+1<4/3から変形して-2≦-2/(m^2+1)<-3/2となるのがわかりません。よろしくお願いします。



Re: 不等式
名前:IT    日付:2018/4/1(日) 12:8
ていねいにやると
1≦m^2+1
m^2+1 は正なので、1/(m^2+1)は正
1/(m^2+1)を両辺に掛けると1/(m^2+1)≦1
両辺に-2(負)を掛けると-2/(m^2+1)≧-2

もう一方も同様にできます。

y=1/x のグラフの増減を考えてみると良いかも知れません。


Re: 不等式
名前:IT    日付:2018/4/1(日) 12:16
1≦m^2+1の両辺に -2/(m^2+1) :負 を 掛けると考えてもいいですね。

十分条件の吟味について 返信  引用 
名前:Blumengarten    日付:2018/4/1(日) 10:0
おはようございます。
どうぞよろしくお願いいたします。

[問題]
{(b+c)/a}={(c+a)/b}={(a+b)/c}のとき、この式の値を求めよ。

[解答]
{(b+c)/a}={(c+a)/b}={(a+b)/c}=kとおくと、
b+c=ka、c+a=kb、a+b=kc
これらの式を足し合わせて、
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(a+b+c) (k-2)=0
k-2=0のとき、k=2
「このとき、a=b=cとなり、たしかに成り立つ。」
a+b+c=0のとき、b+c=-aだから、k=-1
したがって、k=-1またはk=2

[質問]
k=2を求めるところで、鍵括弧のような記述がありました。
恐らく十分性を確かめているのだと思うのですが、だとすると、k=2は必要条件を導いたに過ぎないこととなります。
しかし、何故必要条件のみとなるのか(どこから同値関係が崩れているのか)が理解できません。
また、参考書によっては、同様の問題で十分性の議論を行っていないものもあります。
どのように考えればよいか、教えていただければと思います。

どうぞよろしくお願いいたします。



Re: 十分条件の吟味について
名前:黄桃    日付:2018/4/1(日) 14:56
>恐らく十分性を確かめているのだと思うのですが、だとすると、k=2は必要条件を導いたに過ぎないこととなります。

その通りです。

>しかし、何故必要条件のみとなるのか(どこから同値関係が崩れているのか)が理解できません。

この解答は、元の問題を次のように書き換え、この連立方程式の解集合を求め、その中でkの値を取り出すという方針です。

問題:abc≠0, b+c=ka、c+a=kb、a+b=kc の時、kのとりうる値を求めよ。

[解答の骨子] この連立方程式の解は{(a,b,c,k)|[k=2, a=b=c, abc≠0] または [k=-1, a+b+c=0, abc≠0]}であるから、
求める式の値は -1または2...(答)

a,b,c,kに関する連立方程式を解くわけですから、その過程の1つの式、
(a+b+c) (k-2)=0
の解と元の連立方程式の解は必ずしも一致しません。

実際、k=2 の時、元の連立方程式の解は{(a,b,c,k)|a=b=c=t, t≠0, k=2} であり、
これは {(a,b,c,k)|(a+b+c)(k-2)=0かつk=2かつabc≠0}={(a,b,c,k)|k=2かつabc≠0}の十分条件でしかありません。

a+b+c=0 の場合も、ちゃんと書くなら、b+c=-a 以外にも c+a=-b, a+b=-c だから(つまり仮定をみたす)と書くべきですが、
その部分は面倒だからか明らかだからかわかりませんが省略してあります。

#もっと細かいことを言えば、abc≠0 で、a+b+c=0 となるような(a,b,c)が存在すること
#(例えば(a,b,c)=(1,1,-2)は仮定をみたしその式の値は-1)も述べた方がいいです。
#これは、当たり前なので述べなくても減点されないとは思いますが。

>また、参考書によっては、同様の問題で十分性の議論を行っていないものもあります。

必要なのは連立方程式の解集合を求めることではなくて、解としてありうるkの値を求めるだけなので、
k=2の場合の考察では、すべての解を求める必要はなく「例えば、a=b=c=1とすればk=2となる」といえば十分です。
こうした考察が(参考書の著者にとって)非常に容易と思われれば書かないこともあり得ます。
ただし、記述式の答案では書いた方がいい(書かないと減点される可能性がある)と思います。


Re: 十分条件の吟味について
名前:Blumengarten    日付:2018/4/2(月) 16:4
黄桃さん、返信遅くなってすみません。
とても丁寧な回答をありがとうございました。
おかげさまで理解することができました。

ところで、私はこのような「必要十分条件の議論」が弱いように感じているのですが、系統的に学べる参考書などありますでしょうか。
コメント頂けますと嬉しく思います。

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