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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:キョウダイセブン    日付:2017/6/10(土) 20:32
 解答がないのですが、「a=1ではない」だとすると,

実数aに対し、3次関数f(x)=x^3+3ax^2+3(2a-1)+3 を考える。
(1)f(x)に極大値が存在するようなaの値の範囲を求めよ。
(2)f(x)に極大値が存在するとき、極大値を求めよ。また、極大値が3以上であるようなaの値の範囲を求めよ。
 
 という出題の仕方から求められているものと違うような気がするのですが、どうなんでしょう?
(2)で極大値を求められるということは、 x=-1 と1-2a の場合に分けないで、(1)で範囲が出ると期待したのですが、やはり2とおり調べるしかないのでしょうか。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/6/10(土) 21:4
調べるしかありません。

(1)の結果は飽くまで
f(x)が極大値を持つ条件
であって極値を持つときのxの値については
何も求めていません。
このことは(1)の結果が、極値を与えるxの値である
x=-1,1-2a
の大小関係を決めないことからも明らかです。


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/6/10(土) 21:9
ごめんなさい。投稿間違いのスレのようでしたね。
下のスレを見逃していました。

この掲示板では投稿し間違えても、スレの削除は
投稿側からはできませんので、掲示板の管理人さんに
削除する旨をお願いするレスを、削除したいスレに
アップする必要があります。


Re: (untitled)
名前:キョウダイセブン    日付:2017/6/10(土) 22:23
 すみません。承知しました。でも、このスレ消さないで下さい。ヒントになりますから。

(untitled) 返信  引用 
名前:キョウダイセブン    日付:2017/6/10(土) 19:20
 関数 f(x)=x^3+3ax^2+3(2a-1)x+3 が極大値をもつ ときの a の範囲を求めたいのですが、微分して判別式を出したら、(a-1)^2になるので、増減表を考えようと因数分解したら (x+2a-1)(3x+3)=0 となりました。
このまま増減表に移ると、-1 と -2a+1 のどちらが極大値か分からないために、2種類の増減表を書くしかないのでしょうか。
解答欄が小さいので、何かマズイ方法をとっているかもしれません。
 なにか、おかしなことをしているでしょうか?

 



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/6/10(土) 19:40
3次関数f(x)が極大値を持つ⇔3次関数f(x)が極値を持つ⇔f '(x)=0 の判別式D>0
を使えば一発では?

なお、aの値で場合分けして増減表で確認されるのも悪いことではないと思います。


Re: (untitled)
名前:キョウダイセブン    日付:2017/6/10(土) 19:48
微分したら f'(x)=3x^2+6ax+3(2a-1) となり、判別式は (a-1)^2>0 となり、「a=1ではない」となり、範囲が出ないとなったのですが、計算ミスでしょうか。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/6/10(土) 20:10
「a=1ではない」

で正解では?


Re: (untitled)
名前:キョウダイセブン    日付:2017/6/10(土) 20:33
 うわ!投稿し間違いました。削除できません。すみません。

解答がないのですが、「a=1ではない」だとすると,

実数aに対し、3次関数f(x)=x^3+3ax^2+3(2a-1)+3 を考える。
(1)f(x)に極大値が存在するようなaの値の範囲を求めよ。
(2)f(x)に極大値が存在するとき、極大値を求めよ。また、極大値が3以上であるようなaの値の範囲を求めよ。
 
 という出題の仕方から求められているものと違うような気がするのですが、どうなんでしょう?
(2)で極大値を求められるということは、 x=-1 と1-2a の場合に分けないで、(1)で範囲が出ると期待したのですが、やはり2とおり調べるしかないのでしょうか。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/6/10(土) 20:46
先入観は持たずに素直に1つずつ着実に解くのが、早道です。

また、場合分けが必要な問題は、入試では頻出です。


Re: (untitled)
名前:キョウダイセブン    日付:2017/6/10(土) 20:57
 なるほど。地味に場合分けしてやってみます。ありがとうございました。

集合の要素個数 返信  引用 
名前:らい    日付:2017/6/10(土) 16:54
Uが無限集合で、Vが有限集合でならば、どんなUからVへの写像fについても、
あるVの要素yについて、f[-1][{y}]は無限集合であることを証明せよ。

よろしくお願いします。



Re: 集合の要素個数
名前:IT    日付:2017/6/10(土) 18:34
f[U]=A とおくと
 U=f[-1][A]=∪[y∈A]f[-1][{y}]

すべてのy∈Aについてf[-1][{y}]が有限集合であると仮定する。
Aは有限集合なので∪[y∈A]f[-1][{y}]は有限集合となり矛盾。


Re: 集合の要素個数
名前:IT    日付:2017/6/10(土) 18:48
"∪[y∈A]"の∪は集合の和を表す記号です。


Re: 集合の要素個数
名前:らい    日付:2017/6/13(火) 0:38
ITさん

分かりました、ありがとうございました。

グルサの定理と留数定理 返信  引用 
名前:NJK    日付:2017/6/9(金) 21:19
複素関数の積分で例えば∳C{1/(Z^2+1)^2}dz 積分路C:|z-i|=1
の積分値(π/2)を求める際にグルサの定理あるいは
留数定理を用いる方法のいずれの場合も実質ほぼ同じような計算過程で
あるような気がします。例のような積分値を求める際の2つの定理の使い分けがよく分かりません。
こういう場合はグルサの定理は使えず留数定理のみ使用可などの事例があるでしょうか?

よろしくお願いします。



Re: グルサの定理と留数定理
名前:pqr    日付:2017/6/11(日) 2:46
被積分関数 f(z) が
f(z)=g(z)/(z-a)^{n+1}, g(z)は z=a で正則, n≧0
というかたちをしていなければ, グルサの定理は使えないと思います.
なので, f(z) の特異点 z=a が極の場合は,
位数の分だけ (z-a) を括りだして, 上のかたちに変形できますが,
特異点が真性特異点のときは, そういうことは出来ませんので,
例えば, ∫_C e^{1/z} dz などはグルサの定理は適用できないと思います.


Re: グルサの定理と留数定理
名前:NJK    日付:2017/6/12(月) 1:17
なるほど真性特異点ですか。私の頭には孤立特異点しかなかったです。
ありがとうごいました。

自作 返信  引用 
名前:スプーキー    日付:2017/6/9(金) 17:8
n∈Ζ
n^2+2^nが3の倍数となるnの条件を求めよ。
という問題を思いついたのですが自分では解けないので代わりに誰か
お願いします。笑



Re: 自作
名前:みずき    日付:2017/6/9(金) 19:1
kを非負整数、rを0,1,2,3,4,5のいずれかとするとき
(6k+r)^2+2^(6k+r)≡r^2+2^r (mod 3)
これが0になるのは r=1,5のときに限られるから
求めるnの条件は「6で割った余りが1または5の正の整数であること」

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