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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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定積分の評価 返信  引用 
名前:ゆず    日付:2018/5/30(水) 22:17
数列a[n]は0≦a[k]≦1 (k=1,…,n)を満たし、
  S=Σ[k=1,n] a[k] = a[1]+…a[n]
とおく。実数xに対して、A(x)を
  A(x)=(1-a[1]x)(1-a[2]x)…(1-a[n]x)
とするとき、
  ∫[0,1]A(x)dx≦1/S
を示せ。

---
という問題ですが、いろいろ考えてみてもうまくとけません。
教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。



Re: 定積分の評価
名前:IT    日付:2018/5/30(水) 23:50
相加相乗平均の関係から
A(x)=((1-a[1]x)(1-a[2]x)…(1-a[n]x)≦((n-Sx)/n)^n

∫[0,1]((n-Sx)/n)^ndx をt=n-Sx とおいて置換積分すれば良いのでは


Re: 定積分の評価
名前:IT    日付:2018/5/30(水) 23:57
計算まちがいしていたようです。上記は無視してください。


Re: 定積分の評価
名前:m    日付:2018/5/31(木) 1:2
0≦1-x≦e^(-x) が0≦x≦1に対して成立するので
k=1,...,nに対し、 0≦1-a[k]x≦e^(-a[k]x)
よって 0≦x≦1のとき A(x)≦e^(-Sx)

あとは計算すれば示せるはず...
示すべき不等式の等号が成立しないため、少々不安ですがこんな感じでいかがでしょうか。


Re: 定積分の評価
名前:LCR    日付:2018/5/31(木) 9:35
mさんの解答は問題ないと思います。

 以下 k=1,…,n ; 0≦x≦1 ; 0≦y≦1 ; S≧0 ; (4)ではS>0 とする。
(1) f(y) = e^-y−(1−y) ≧ 0
  f´(y)=−(e^−y)+1≧0 より 最小値f(0)=0 このとき(1)は等号
(2) 1−a[k] x ≦ e^−a[k] x
(3) A(x) = (1−a[1]x)・・・(1−a[n]x) ≦ (e^-a[1]x)・…・(e^a]x) = e^−Sx = B(x)
(4) ∫[0,1] A(x) dx ≦ ∫[0,1] B(x) dx = (1/S) (1−e^-S) < 1/S

mさんは等号=が成り立つ場合がないと不信に考えておられますが、
(1)→(2)→(3)→ の順で等号=が成り立ったとしても、
 (1/S) (1−e^-S) < 1/S より、(4)の等号=は常に成立しない。


Re: 定積分の評価
名前:LCR    日付:2018/5/31(木) 9:43

さて、上記の解答は解法が理解しやすいとはいえ自分で思いつきにくく、
 自分で発想しやすい上記と全然違う私の解答を作成しましたが、
 大学入試のような時間制限がある場合には、証明に時間がかかるため、
 下記の解答は避けたほうが良いでしょう。

(@) (1−a[1]x)・…・(1−a[n]x) ≦ (1−(S/n)x)^n
(A) ∫[0,1] (1−(S/n)x)^n dx ≦ 1/S

(@),(A)ともに証明できれば、与不等式(4)が示せますが、
(A)は定積分の計算と 1−(1−S/n)^(n+1)) ≦ 1 , n / ((n+1)S) ≦ 1/S より求まる。

(@)の発想
xもSも固定するが、 a[1],…,a[n] のみ変動させて、
 例えば n=2 , x=1 の場合
 (1−0×1) (1−0.4×1) < (1−0.2×1) (1−0.2×1)
という具合に、 a[1]=…=a[n]=S/n 均等なほうが A(x) の値は大きい と類推できる。

そこで(@)の証明ですが、
 k (=1,…,n-1) と S[k+1]=a[1]+…+a[k+1] を固定して、
 (1−a[1]x)・…・(1−a[k]x) ≦ (1−(S[k]/k)x)^k
  ⇒ (1−a[1]x)・…・(1−a[k]x) (1a[k+1]/(k+1)x) ≦ (1−(S[k+1]/(k+1) x)^(k+1)
 を示し、kに関する帰納法で(@)を証明する。


Re: 定積分の評価
名前:ゆず    日付:2018/6/2(土) 21:42
ITさん、mさん、LCRさん
さまざまな解法をご教示いただき、ありがとうございました。

P.S.
ITさんが提示してくださった、
相加相乗平均をもちいた方法でも、与不等式は示せるように思ったのですが、どこか間違っているところがあるでしょうか?

各1-a[k]xは全て正で、
積分は S∫[0,1]A(x)dx≦…=n^(n+1)/{(n+1)n^n}=n/(n+1)<1
で成立するように思うのですが…?

(untitled) 返信  引用 
名前:miki    日付:2018/5/29(火) 23:23
順序集合の相対概念の定義で、
Oを集合Aにおける1つの順序とするときAの元a,bに対して、O⁻¹を
bOaのとき、またその時に限りaO⁻¹b
のように定義する。というのを記号で表したいのですが、定義の部分は
bOa ⇔ aO⁻¹b でよろしいのでしょうか?
宜しくお願いします。



Re: (untitled)
名前:miki    日付:2018/5/29(火) 23:24
すみません、相対順序の定義です。


Re: (untitled)
名前:LCR    日付:2018/5/30(水) 4:26

用語ですが、相対順序ではなく双対(そうつい)順序ではないですか?

「〜のとき、またそのときに限り」
 という表現は “if and only if 〜” の直訳で、
 〜が必要十分条件であることです。
a O^-1 b を定義したいので、
 a O^-1 b ⇔(def) bOa
と書く事ができますが、結果は
 bOa ⇔ a O^-1 b
でも同条件です。

有界数列 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2018/5/29(火) 21:35
an=O(bn)(n→∞)とは数列{an/bn}が有界数列となることである。
とランダウのビッグオー記号の説明があるのですが、
数列{an/bn}が有界数列とはan/bn=cnとおくと、
∃M,∀nΙcnΙ≦Mを意味すると思うのですが、
具体的には、有限項のものはすべて有界であるからlim(n→∞)cnが有界となることである。
と理解してOKですか?



Re: 有界数列
名前:noname    日付:2018/5/30(水) 9:9
>an=O(bn)(n→∞)とは数列{an/bn}が有界数列となることである。
とランダウのビッグオー記号の説明があるのですが、
a_[n]=O(b_[n])とは「ある正の整数n_[0]とある正の実数Mが存在して『n≧n_[0]を満たすどの様な整数nに対しても,|a_[n]/b_[n]|<Mである』」が成り立つことです.

>数列{an/bn}が有界数列とはan/bn=cnとおくと、
>∃M,∀nΙcnΙ≦Mを意味すると思うのですが、
仰る通りです.

>具体的には、有限項のものはすべて有界であるからlim(n→∞)cnが有界となることである。
>と理解してOKですか?
極限値が有界である,という表現は意味不明です.理解していらっしゃることをもう少し正確に書いて頂いてもよろしいでしょうか?

(untitled) 返信  引用 
名前:名無し    日付:2018/5/28(月) 15:58
A国での工業品と農業品の生産を考える。
工業品の生産には労働力を1だけ必要とし、農業品の生産には労働力を2だけ必要とする。
A国には労働力が20だけ存在する。
労働力はすべて工業品の生産か農業品の生産にのみ使用されるとして次の問題に答えよ
(1)貿易を行うと、工業品1単位は農業品2単位と交換できる。
このとき、消費可能な農業品と工業品の数量の組み合わせを、y軸に農業品の生産量、x軸に工業品の生産量をとってグラフに表しなさい。
(2)(1)のとき、A国は工業品を輸出して農業品を輸入したほうが豊かになる。
このわけを式やグラフを用いて説明しなさい。

よろしくお願いいたします。

順序集合の例 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2018/5/28(月) 6:14
日常生活における順序集合の例として、
人間全体の集合Mに対して、関係≦を定義した集合
a≦b⇔(def)aはbの子孫である
また、aはbの子孫かつbはaの子孫⇔(def)a=b
このとき、Mは半順序集合の例となっている
と考えたのですが、まずい点があったら教えてください。
また、全順序集合の場合が思い浮かびません。
ヒントをください。



Re: 順序集合の例
名前:LCR    日付:2018/5/28(月) 7:13

半順序集合Mの定義は(@)、 (全)順序集合Mの定義は(A)かつ(@) です。、
(@) a,b,c∊M , a≦b かつ b≦c ⇒ a≦c
(A) すべての a,b∊M に対して、a≦b または b≦a が成り立つ。

ハワイさんの挙げた子孫関係は(@)を満たし、半順序集合です。
 ((B) a≦a , すなわちa自身もaの子孫、の公理
  が半順序集合の定義に必要とは聞いたことはないが、
  著者が半順序集合を (@)かつ(B) そのように定義しているのなら問題ない。)

(全)順序集合が半順序集合と違う公理(A)は、
 a≦b などと既に関係が判っている a,b を対象にするのではなく、
 すべてのMの元 a,b に対して(A)が成り立つことです。
例えば子孫という関係は、人間全体の集合Mの
 すべての2元 a,b に対して定義できるわけではないでしょう。
例えば、a≦b ⇔(def) aはbより年齢が下、または同い年である、
 これはすべてのMの2元 a,b に定義できるので全順序集合ですが、
できれば年齢のような数値を使わずに例を考えられるのが望ましい。


Re: 順序集合の例
名前:m    日付:2018/5/28(月) 8:54
Mを集合、R(今回の場合は≦)を関係とします。
反射律:任意のa∈Mに対し、aRa
推移律:任意のa,b,c∈Mに対し、aRb,bRc ⇒ aRc
反対称律:任意のa,b∈Mに対し、aRb,bRa ⇒ a=b
この3つの法則を満たす関係Rを半順序関係といいます。

なので、ハワイさんの例は子孫という日本語の意味にもよりますが、
反射律も許容した"子孫"の定義ならば問題ないです。

また、LCRさんの年齢による関係は同い年の人が複数いるため、
反対称律を満たしませんので順序関係ではありません。

全順序関係の簡単な例としては、生まれてからの経過時間、身長、体重などの
人がそれぞれ持つ連続的な数値の大小関係で定めるものが挙げられます。


Re: 順序集合の例
名前:LCR    日付:2018/5/28(月) 8:56

全順序集合の定義 (A)かつ(@) (かつ(B)) が理解できているものとして、
 やはり全順序集合らしい例がないとものたりないでしょう。

例えば、ある1つの鉄道路線、
 例えば東海道新幹線 (東京↔新大阪) の全駅の集合をMとして、
 a≦b ⇔(def) aはbより下り (その駅自身を含む)
 と定義すれば、(例えば a=静岡 , b=新横浜 のとき a≦b ) 
まず、すべての2駅 a,b∊M に対し、a≦b または b≦a と下りを定義できて(A)、
 a≦b , b≦c ⇒ a≦c (@) と a≦a (B) は明らかでしょう。

ついでに書くと、東北・山形新幹線のように、福島より北で枝別れしてしまったら、
 半順序集合ではあっても全順序集合(A)ではない。
 (枝分かれした先どうしの仙台と山形は「どちらが下り?」は定義できない。)

全または半順序集合の必要性は、単なる実数の不等号とは限らず、 
1つの鉄道の路線図は、距離や方角を正確に図示するより、
 駅の順序さえ解りやすければそのほうがよっぽど見やすい、
といった具合に、数値ではなく順序のみが必要となる事象があるからで、
 その意味で数値ではない全順序集合の例をもう一つ考えてみましょう。


Re: 順序集合の例
名前:TANTAN麺    日付:2018/5/29(火) 0:50
横から失礼します。

mさんのレスと被る部分がありますが、半順序と全順序の周辺にある基本的な定義を説明しておきます。(概ね一般的な用法だと思われる名称と記号を選びました。)


クラスA上の関係Rにおいて、

[非反射型順序]
(1)∀x∈A ¬(xRx)  (非反射律)
(2)∀x,y,z∈A(xRy∧yRz → xRz) (推移律)
 このときのRを"<"で表し、非反射型順序と呼ぶ。

[反射型順序]
(1)’∀x∈A(xRx) (反射律)
(3)∀x,y∈A(xRy∧yRx → x=y) (反対称律)
(2)∀x,y,z∈A(xRy∧yRz → xRz) (推移律)
このときのRを"≦"で表し、反射型順序と呼ぶ。

クラスA上の構造に上記どちらかの順序が定められていれば、構造<A,R>を順序構造と呼びます。

さて、反射型順序をもとにした順序構造<A,R>において、
(4)∀x,y∈A(x≦y∨y≦x) (完全性)

が加えて満たされていれば、その順序構造を全順序構造と呼び、その時の順序関係Rを全順序と呼びます。
(なお、全順序のことを完全順序や線形順序と呼ぶ場合もあります。)
ところで、全順序はその定義から反射型順序になります。
そこで「必ずしも全順序とならない反射型順序」のことを半順序と呼びます。

まとめれば、半順序とは反射型順序のことであり、全順序とは反射型順序が(関係として)完全性を満たしたものです。

ここからは蛇足ですが、順序の一歩手前という意味で擬順序(前順序・まえじゅんじょ)と呼ばれるものがあり、それはクラスA上の関係Rが反射律と推移律さえ満たしていればそう呼ばれます。

[擬順序]
(1)’∀x∈A(xRx) (反射律)
(2)∀x,y,z∈A(xRy∧yRz → xRz) (推移律)

反対称律を満たす擬順序は半順序(反射型順序)で、対称律を満たす擬順序は同値関係といいます。

対称律とは、
(5)∀x,y∈A(xRy → yRx) (対称律)
のことです。

具体例を考える場合は正確な定義に立ち返って考える癖をつけてください。



mさんのおっしゃる通り、LCRさんの例で、
>例えば、a≦b ⇔(def) aはbより年齢が下、または同い年である、

は、a,bが人間の集合Mの要素なので擬順序であり半順序ではなく、当然に全順序でもありません。

ハワイさんの「子孫」の例は、通常の日本語で考える場合は、「自分は自分の子孫ではない」でしょうから、非反射的です。そして、推移律を満たしているので非反射型順序の例だと言えます。(非反射型順序は擬順序の定義との兼ね合いで、半順序とは呼ばないのが普通です。)
mさんのおっしゃる通り、子孫の定義を通常の日本語の定義から少し変えて、「自分は自分の子孫である」とするならば、半順序となります。

全順序の例が探しづらいのはある意味当然で、全順序(構造)は半順序や擬順序の条件をさらに厳しくしたものだからです。
しばしばその意味で、半順序や擬順序は関係として、より自然だと言われます。
必ずしも数ではない要素からなる集合における構造の例を探すなら、全順序ではなく、まず半順序や擬順序で考えるといいでしょう。

身近な対象で、離散的で有限のものからなる集合において考えるなら、そこに全順序が入れば簡単に順序的に添数付けられてしまいますし、身近で連続的な対象となれば量となり、やはり数と切り離して考えるのは困難です。
全順序の例は、数と関連しているのだと、ある程度割り切ったほうがいいかもしれませんね。


Re: 順序集合の例
名前:ハワイ    日付:2018/5/29(火) 2:45
あまりよく考えずに、半順序集合の例として、子孫を挙げましたが、意外に複雑で日常生活の例で挙げるのは難しいですね。
全順序集合のほうも、もう少し考えてみます。
解答してくださってありがとうございました。


Re: 順序集合の例
名前:LCR    日付:2018/5/29(火) 22:11

大変失礼しました。
> 具体例を考える場合は正確な定義に立ち返って考える癖をつけてください。
そうですね。数学を通して最も重要なことですね。

番号はTANtTANさんに合わせますが、
関係「≦」は2実数の組に限ったことではないので、
 別の記号「R」を用いたほうが良いのかもしれませんが、
 公理によって定義された抽象的な数学のハワイさんの理解の度合が判らないので、
 本スレのとおり「≦」とさせていただきます。
  ついでに最初のレスで、特定の要素ではなくすべての要素で成り立つときでも
  x,y∊M と記さず本スレの通り a,b∊M、
  あるいは推移律などの用語は、本スレで書かれていないので書くのは避けた。


半順序集合Mの定義Mは(1)´,(2),(3)、
全順序集合Mの定義は(1)´,(2),(3),(4) です。
 以下、a,b,c∊M とする。

(1)´すべてのa∊Mに対して, a≦a (反射率)
  例えば2実数の不等号「<」では(1)は成り立たないので決して当り前ではない。
(2) a≦b , b≦c ⇒ a≦c (推移律)
  3つ(以上)の要素にも関係「≦」を定義できる、ということ。
(3) a≦b かつ b≦a ⇒ a=b (反対称律)
  a≦b,b≦a を満たす要素は1つしか存在しない、ということ。
(4) すべての2要素 a,b∊M に対して, a≦b または b≦a のどちらかが成り立つ.
  (4)で初めて, Mのすべての2要素に対して関係「≦」を定義できる必要が出てきた。

私が誤解していたのは当然、(3)反対称率 ですが、
 この(3)は、関係「=」があらかじめ定義されているときで、
 「a=b 」とは a,b は文字は別でも1つの要素、ということ。
「(3)’a≦bかつb≦a が成り立つとき a=b」と記す、と私は誤解していた。
 これでは例に挙げた年齢で「≦」を定義しても(3)’を満たすが、真の反対称律(3)は満たさない。 

本題の全順序集合の例ですが。
 a≦b をaはbの子孫
は、もちろん(3)推移律を満たすように、
 子孫とは産んだ子どもの子どもの…といった直系血族で、
 (1)´を満たすようにa自身もaの子孫と定義すれば、
 最初のレスの通り、Mは半順序集合です。
さらに、Mを直系血族の列に限った人々の集合
 娘・その母親・そのまた母親・…
とMを定義すれば、(4)も満たしMは全順序集合となります。

もう1つ例
Mを部分集合を繰り返した集合の列
 M={A1,A2,A3,…} , A1⊆A2⊆A3⊆…
と定義し、関係 A≦B を AはBの部分集合A⊆B
と定義すれば、Mは全順序集合です。
無理に作った例と思うかもしれないが、
 ハワイさんはリーマン積分を学んでいたので、
 分割Δの列{Δn} も上記のMを満たします。
 例 Δ1:{0,1} , Δ2:{0,1/2,1} , Δ3:{0,1/4,2/4,3/4,1} , …

回答者さんで分れば意見は歓迎
ただ、直系血族の列といった可算個 (1列に並べることができる)
 の集合では、関係「≦」の定義の仕方によっては
 全順序集合は当り前に作れてつまらないかもしれない。

可算個の要素から成る全順序集合Mは、
 f : M→Z または R , f(a)=x
 を満たす1対1関数が存在する
が成り立つか?が気になる。あれば便利だと。

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