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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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剰余の定理 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/4/14(金) 23:10
整式P(x)を(x-1)^3で割ると余りが2x^2+3x+4,
x+1で割ると余りは7である。
P(x)を(x-1)^2(x+1)で割った余りを求めよ。

 これ、3番目の式の余りを ax^2+bx+c とおくと、
1番目の式と2番目の式から、P(1)=9 P(-1)=7 の
2本の式が出てくるけれど、変数が3つあり、行き詰
まりました。
 どなたか、お願いします。b=1はでました。



Re: 剰余の定理
名前:みずき    日付:2017/4/14(金) 23:49
P(x)
=(x-1)^3Q(x)+2x^2+3x+4
=(x-1)^3Q(x)+2(x-1)^2+7x+2
=(x-1)^2((x-1)Q(x)+2)+7x+2

P(x)
=(x-1)^2(x+1)R(x)+ax^2+bx+c
=(x-1)^2(x+1)R(x)+a(x-1)^2+(2a+b)x+c-a
=(x-1)^2((x+1)R(x)+a)+(2a+b)x+c-a
を比較して

2a+b=7
c-a=2
a-b+c=7

∴ a=3,b=1,c=5


Re: 剰余の定理
名前:WIZ    日付:2017/4/15(土) 0:2
別解

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

> 整式P(x)を(x-1)^3で割ると余りが2x^2+3x+4,
ある整式Q(x)が存在して、
P(x) = {(x-1)^3}Q(x)+2x^2+3x+4

微分を使って良いのなら、
P'(x) = {(x-1)^3}Q'(x)+3{(x-1)^2}Q(x)+4x+3
つまり、P'(1) = 7です。

スレ主さんの方法通り、ある整式R(x)が存在して、
P(x) = ((x-1)^2)(x+1)R(x)+ax^2+bx+c
とおくなら、
P'(x) = 2(x-1)(x+1)R(x)+((x-1)^2)R(x)+((x-1)^2)(x+1)R'(x)+2ax+b
ですので、

P(1) = 9より、a*(1^2)+b*1+c = 9 ⇒ a+b+c = 9・・・・・(1)
P(-1) = 7より、a*((-1)^2)+b*(-1)+c = 9 ⇒ a-b+c = 7・・・・・(2)
P'(1) = 7より、2a*1+b = 7 ⇒ 2a+b = 7・・・・・(3)

(1)(2)より、b = 1, a+c = 8です。
b = 1と(3)より、a = 3です。
a = 3とa+c = 8より、c = 5となります。
よって、P(x)を((x-1)^2)(x+1)で割った余りは3x^2+x+5となります。


Re: 剰余の定理
名前:ハロー    日付:2017/4/15(土) 0:17
よく分かりました。ご親切に、どうもありがとうございました。


Re: 剰余の定理
名前:Kenji    日付:2017/4/18(火) 18:57
もう見てないでしょうが・・・

整式P(x)を(x-1)^3で割ったときの商をA(x)とおく。
さらにA(x)を(x+1)で割ったときの商をB(x)、余りをCとおくと、
P(x)=(x-1)^3{(x+1)B(x)+C}+(2x^2+3x+4)
問題の仮定によりP(x)をx+1で割ると余りは7であるから、
剰余の定理より
P(-1)=-8C+3=7
∴C=-1/2
よって
P(x)
=(x-1)^3{(x+1)B(x)-1/2}+(2x^2+3x+4)
=(x-1)^3(x+1)B(x)+(-1/2)x^3+(7/2)x^2+(3/2)x+(9/2)
これを(x-1)^2(x+1)=x^3-x^2-x+1で割ると
P(x)=(x-1)^2(x+1){(x-1)B(x)-1/2}+3x^2+x+5

(答)3x^2+x+5

重複組み合わせに関して 返信  引用 
名前:小次郎    日付:2017/4/14(金) 18:46
A1+A2+A3+A4+A5≦4、A1≧1、Ai≧0(i=2,3,4,5)を満たす整数の組(A1,A2,A3,A4,A5)の個数を求めよ。

という数1Aの問題です。
この解としてはじめにa-1=Xと置いているのですがどうしてですか?
ご教授ください。



Re: 重複組み合わせに関して
名前:通りすがり    日付:2017/4/14(金) 18:55
A[1]≧1
ですので
A[1]-1=X
と置くと
X≧0
∴X,A[2],A[3],A[4],A[5]
を同じ条件で考えることが
できます。

線形代数 返信  引用 
名前:大学一年    日付:2017/4/14(金) 17:16
f(g(x))が全射→ f(x) が全射
f(g(x))が単射→ g(x)が単射
この二つの証明をご教授ください。



Re: 線形代数
名前:WIZ    日付:2017/4/14(金) 23:19
先ず、
> f(g(x))が全射→ f(x) が全射

これは証明するまでも無いですよね?
f(x)が全射でないのに、f(g(x))が全射になることなどあり得ないので。
証明としては、t = g(x)として、f(g(x)) = f(t)が全射だから、f(t)のtをxに置き換えればf(x)は全射と言える

次に、
> f(g(x))が単射→ g(x)が単射

f(t)が単射ということは、t[1] ≠ t[2]ならば、f(t[1]) ≠ f(t[2])ということです。

もし、g(x)が単射でないと仮定すると、x[1] ≠ x[2]であって、
g(x[1]) = g(x[2])であるx[1], x[2]が存在することになります。
よって、f(g(x[1])) = f(g(x[2]))かつx[1] ≠ x[2]となり、f(g(x))が単射であることに反します。
g(x)は単射でなければなりません。


Re: 線形代数
名前:tetsuya    日付:2017/4/15(土) 1:36
g:A→B, f:B→C とする.
任意に c ∈ C をとる. このとき, fg:A→Cが全射だから, f(g(a))=c となる a∈A が存在する.
よって, b=g(a) とおけば, c=f(b) である. したがって, fは全射である.


Re: 線形代数
名前:noname    日付:2017/4/15(土) 9:8
単射の方の問題については次の様に考えてもよいです.


[別解]
f:X→Y, g:Z→Xの様に表しておく.z,z'∈Zを任意に選んでおく.この時,

g(z)=g(z')
⇒(f•g)(z)=f(g(z))=f(g(z'))=(f•g)(z')(∵写像の定義)
⇒z=z'(∵f•gは単射)

が成り立つ.従って,gは単射である.□

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