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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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記号について 返信  引用 
名前:アイコン    日付:2017/5/11(木) 19:23
大学初期の数学で描かれる普通のNと太文字で描かれるN
何が違うのですか?



Re: 記号について
名前:noname    日付:2017/5/11(木) 20:12
太字で書かれるNはおそらく「自然数全体の集合」のことかと思われます.

数学の極限 返信  引用 
名前:Nico    日付:2017/5/11(木) 16:57
a^1/nの極限を指数関数の連続性を用いず、場合分けでよ解答を教えてください!



Re: 数学の極限
名前:noname    日付:2017/5/12(金) 1:33
aの正負や零の情報が抜けています.次回からは質問内容の書き方にご注意ください.


さて,a≠0と仮定して議論を行うことに致します.議論において|a|<1の場合のものが本質的なので,以下では特に|a|>1の場合について解説しようと思います.a_[n]=|a|^{1/n}(n≧1)とおいて数列{a_[n]}を定義します.すると,|a|>1よりa_[n]>1であるから,各nに対してa_[n]=1+x_[n]を満たす正の実数x_[n]が存在します.この時,

a=(a_[n])^n=(1+x_[n])^n≧1+nx_[n].
∴0<x_[n]<(a-1)/n.

ここで,lim_[n→∞](a-1)/n=0であるから,はさみうちの原理より

lim_[n→∞]x_[n]=0.
∴lim_[n→∞]a_[n]=lim_[n→∞](1+x_[n])=1.


一方,|a|<1の場合は,b=1/|a|とおくとb>1であるから|a|>1の時の議論をそのまま適用すればよいです.残りの|a|=1の場合は容易に証明できるでしょう.


Re: 数学の極限
名前:Nico    日付:2017/5/12(金) 15:12
ありがとうございます!
できれば、|a|<1の時のものも詳しく流れを書いていただければ嬉しいです!


Re: 数学の極限
名前:noname    日付:2017/5/12(金) 19:28
>できれば、|a|<1の時のものも詳しく流れを書いていただければ嬉しいです!

回答にあるbを|a|>1の場合の議論における|a|と取り替えて,|a|>1の議論をbに関して行い,その結果としてb^{1/n}の極限の値が分かり,これを用いると|a|<1の場合の|a|^{1/n}の極限の値を求めることが出来ます.

積分 返信  引用 
名前:たもつ    日付:2017/5/11(木) 16:10
http://scphysblank.tubakurame.com/dyna/dynach2.html
ここを今勉強しているのですが、「2.1 地上付近での重力下の運動」内の
「-gt+c1」を積分した際に以下の公式を当てはめると「∫{-gt+C1}dt=gt^2/2+C1t+C2」になりませんか?
なぜ「gt^2」になるのでしょうか。
http://mathtrain.jp/integral_matome



Re: 積分
名前:WIZ    日付:2017/5/11(木) 16:29
スレ主さんのご指摘通り、サイト側の記述誤りだと思います。
「ご意見ご感想はこちらまで」のメールアドレス宛てに報告してあげると良いでしょう。


Re: 積分
名前:WIZ    日付:2017/5/11(木) 16:32
ちなみに「∫{-gt+C1}dt=gt^2/2+C1t+C2」ではなくて、∫{-gt+C1}dt = -g(t^2)/2+(C1)t+(C2)ですね。

数学検定について質問です 返信  引用 
名前:squall    日付:2017/5/10(水) 17:49
数学検定について興味があるのですが、数学検定って1次試験と2次試験がありますよね。
僕は1次試験は基本問題で、2次試験は応用問題と見ているのですがどうなんでしょうか。
また、応用といっても初歩的な応用問題もあれば、難関な応用問題もあったりして、数学検定の応用問題はどの程度のレベルなのかをつかめていません。
数学検定のための勉強法について、誰か教えてくれるとありがたいです。
参考にしたいと思ってますので、よろしくおねがいします。



Re: 数学検定について質問です
名前:noname    日付:2017/5/10(水) 22:0
>僕は1次試験は基本問題で、2次試験は応用問題と見ているのですがどうなんでしょうか。


1次試験は「計算技能検定」であり,2次試験は「数理技能検定」であるため,正確には

・1次試験→受験者の計算能力を主にはかる試験
・2次試験→受験者の数理的思考能力を主にはかる試験

という感じでしょうか.これらをざっくりと基本や応用という言葉で特徴付けるのであれば,概ねそうなのではないでしょうか.



>数学検定のための勉強法について、誰か教えてくれるとありがたいです。


準1級までの検定試験に関しては,主に過去問の演習を徹底的に行えばよいのではないかと思います.ただ,基礎に自信がない場合はその都度に教科書等を参考にされるとよいかもしれません.

一方で,1級の検定試験の場合は,過去問の演習だけではなくて該当する各分野に関する参考書を精読して理論的な部分をある程度理解しておく必要があります.逆に,理論的な部分が身に付いていらっしゃる方は過去問演習のみで試験の対策は十分なのではと思います.


Re: 数学検定について質問です
名前:squall    日付:2017/5/10(水) 22:36
nonameさん、回答ありがとうございます。
1級は別格として、それ以外の級は基本を勉強して、それから過去問題に取り組めばいいんですね。
まずは基本をしっかりと勉強するようにします。

不等式 返信  引用 
名前:わたふ    日付:2017/5/9(火) 23:21
高1です
不等式3x+1>2aを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数a.の値を全て求めよ。

この答えを教えてください



Re: 不等式
名前:WIZ    日付:2017/5/10(水) 10:28
不等式を満たすxの最小の整数値が4ということは、x = 3なら不等式は満たされないということなので、
3*4+1 > 2a ≧ 3*3+1
⇒ 13 > 2a ≧ 10
⇒ 6.5 > a ≧ 5

従って、整数aの候補は5と6です。

a = 5のとすると、3x+1 > 2*5 = 10 ⇒ x > (10-1)/3 = 3.333・・・なので、
不等式を満たす最小の整数が4という条件が満たされています。

a = 6のとすると、3x+1 > 2*6 = 12 ⇒ x > (12-1)/3 = 3.666・・・なので、
やはり、不等式を満たす最小の整数が4という条件が満たされています。

以上から、a = 5またはa = 6となります。


Re: 不等式
名前:WIZ    日付:2017/5/11(木) 11:38
誤記がありましたので訂正します。
【誤】a = 5のとすると、3x+1 > 2*5 = 10 ⇒ x > (10-1)/3 = 3.333・・・なので、
【正】a = 5のとすると、3x+1 > 2*5 = 10 ⇒ x > (10-1)/3 = 3 なので、
申し訳ありません。

平方数に関して 返信  引用 
名前:ぽぽん    日付:2017/5/9(火) 20:25
・ある数が、二つの平方数の和で二通りに表されるとき、その数は五の倍数である。

このような予想が立ちました。
50=1^2+7^2=5^2+5^2
から、
205=3^2+14^2=6^2+13^2
までは判例が無いことを確認しましたが、証明を立てられていません。



Re: 平方数に関して
名前:みずき    日付:2017/5/9(火) 20:36
反例があります。

221=5^2+14^2=10^2+11^2


Re: 平方数に関して
名前:WIZ    日付:2017/5/9(火) 22:32
関連情報です。
べき乗演算子は四則演算子よりも優先度が高いものとします。

自然数の素数は2または、kを非負整数として4k+1または4k+3と表せます。
以下、「4k+1型素数」とか「4k+3型素数」という用語を使わせて頂きます。

自然数nが2個(以下)の平方数の和に表せる条件は、
nを素因数分解したとき4k+3型素数の指数が偶数であることです。
そして、特に2または4k+1型素数の指数が奇数である場合は、
nは平方数とは成り得ないので、丁度2個の平方数の和に表せます。

そして、nが何通りの方法で2個(以下)の平方数の和に表せるかは、以下の定理が知られています。

mを非負整数として、nの素因数の内、4k+1型素数をp[1], p[2], ・・・,p[m]とします。
rをm以下の非負整数とするとき、p[r]の指数をe[r]とします。
nを2個(以下)の平方数の和に表す方法がT(n)通りあるとすると、
T(n) = 4(e[1]+1)(e[2]+1)・・・(e[m]+1)
である。

但し、2個(以下)の平方数の和に表す方法として、x, yを異なる整数として、
x^2+y^2, x^2+(-y)^2, (-x)^2+y^2, (-x)^2+(-y)^2,
y^2+x^2, y^2+(-x)^2, (-y)^2+x^2, (-y)^2+(-x)^2
は異なる表し方8通りと数える。また、
x^2+x^2, x^2+(-x)^2, (-x)^2+x^2, (-x)^2+(-x)^2
も異なる表し方4通りと数える。また、
x^2+0^2, (-x)^2+0^2, 0^2+x^2, 0^2+(-x)^2
も異なる表し方4通りと数える。

・・・というものです。
n = x^2+y^2において、x, yの交換とか符号反転を別カウントしているので実用的でないですが、
まあ、nが異なる4k+1型素数を奇数乗に因数に持っていれば、少なくなくとも本質的に異なる
2平方数和への分解が2通り以上あるということですね。

ちなみに、nの正約数の内、4k+1型(素数でなくても良い)の個数をD(1)、
4k+3型(素数でなくても良い)の個数をD(3)とすると、
T(n) = 4(D(1)-D(3))
であることも知られています。

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