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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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数2(等式の証明) 返信  引用 
名前:りんご    日付:2018/1/7(日) 13:53
問題:b+c/a=c+a/b=a+b/cのとき、この式の値を求めよ。

分母は0ではないから abc≠0
(与式)=kとおくと、
b+c=ak…@, c+a=bk…A, a+b=ck…B
@+A+Bから 2(a+b+c)=(a+b+c)k
よって(a+b+c)(k-2)=0
ゆえに、a+b+c=0またはk=2

[1]a+b+c=0のとき b+c=−a
よって k=b+c/a=−a/a=−1
[2]k=2のとき、@−Aからa=b A−Bからb=c
よって、a=b=cが得られ、これはabc≠0を満たすすべての実数a,b,cについて成り立つ。

[1],[2]から、求める式の値は −1、2

〜質問内容〜
[2]の部分がなぜ必要なのかが分からず、困っています。なぜ、k=2というのはすでに求められているに、a=b=cを示したり、「これはabc≠0を満たすすべての実数a,b,cについて成り立つ。」としたりしているのでしょうか?

分かりにくい質問かもしれませんが、よろしくお願いいたします。



Re: 数2(等式の証明)
名前:けんけんぱ    日付:2018/1/7(日) 14:8
『ゆえに、a+b+c=0またはk=2』

これは、a+b+c=0が成り立つかまたはk=2が成り立つ、ということであって
a+b+c=0とk=2がともに成り立つということではありません。
もちろん両方成り立つ場合もあります。

なので、それぞれが問題の条件に沿うかどうかを確認しているということです。


Re: 数2(等式の証明)
名前:IT    日付:2018/1/7(日) 14:49
必要条件で絞って、十分条件を満たすこと確認して確定しているのです。
詳しいことは下記をご覧ください。

http://examist.jp/mathematics/expression-proof/hireisiki/


Re: 数2(等式の証明)
名前:Halt0    日付:2018/1/7(日) 14:51
※数式は (b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c のように正しくカッコをつけて書いてください。(http://www.maroon.dti.ne.jp/sgk/keijiban.html 参照のこと)

「ゆえに、a+b+c=0またはk=2」までの回答ででわかるのは、あくまで
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c
となるための必要条件が「a+b+c=0またはk=2」であるということにすぎません。
本当に k=2 になるような (a,b,c) の組が存在するかどうかを確かめる必要があります。

もしピンとこなければ次のように考えてみるといいかもしれません。
ちょっと不自然ですが、元の解答をちょっと変えた、こういう解答を考えてみます。

分母は0ではないから abc≠0
(与式)=kとおくと、
b+c=ak…@, c+a=bk…A, a+b=ck…B
@+A+Bから 2(a+b+c)=(a+b+c)k
両辺を2乗して 4(a+b+c)^2=(a+b+c)^2k^2
よって(a+b+c)^2(k-2)(k+2)=0
ゆえに、a+b+c=0またはk=2またはk=-2


こうすると、 k=-2 という余計な解が出てきてしまっています。
この場合、やはり @-Aから a=b, A-B から b=c が得られて a=b=c となりますが、このときこれを元の式に代入すると k=2 となってしまい矛盾します。
したがって、実は k=-2 というのはありえないということがわかります。

こういう可能性があるので、元の解答の k=2 についても「そのような回答がありうるのか」を確かめる必要があるということです。


Re: 数2(等式の証明)
名前:Halt0    日付:2018/1/7(日) 14:59
本題から外れるのでスルーしていただいてよいのですが、

>よって、a=b=cが得られ、これはabc≠0を満たすすべての実数a,b,cについて成り立つ。

という書き方は個人的にしっくりきません(何が成り立つのか不明、なんなら「abc≠0を満たすすべての実数a,b,cについてa=b=cが成り立つ」と読めてしまう)。「よって a=b=c が得られ、実際 a=b=c≠0 のとき確かに (b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=2 が成り立つ」くらいがいいような気がします。


Re: 数2(等式の証明)
名前:りんご    日付:2018/1/7(日) 15:57
けんけんぱさん、ITさん、Halt0さん、回答ありがとうございました!
また、掲示板のルールに従ってカッコをつけるべきところ、つけておらず、すみませんでした。

内容についてなのですが、私はHalt0さんが2レス目で仰っているような誤読をしており、a=b=cを示すことが重要、というか目的なのかと思い、混乱していました。
ですが、そうではなく、a=b=cを示すことで、(b+c)/a=(a+a)/a=2、(c+a)/b=(b+b)/b=2、(a+b)/c=(c+c)/c=2、となることを示す。
それにより、k=2の場合、abc≠0において、きちんと(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c を満たしていますよ、と述べている、という理解でよろしいでしょうか?

また、[1]において、k=−1で記述が終わっているのは、k=(b+c)/a=−a/a=−1という計算が成立している時点でabc≠0は示せているから、ということでしょうか?

再度の質問になりますが、よろしくお願いします。


Re: 数2(等式の証明)
名前:Halt0    日付:2018/1/7(日) 17:39
>a=b=cを示すことで、(b+c)/a=(a+a)/a=2、(c+a)/b=(b+b)/b=2、(a+b)/c=(c+c)/c=2、となることを示す。
>それにより、k=2の場合、abc≠0において、きちんと(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c を満たしていますよ、と述べている、という理解でよろしいでしょうか?

おっしゃりたいことはわかるのですが
「k=2の場合、abc≠0において、きちんと(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c を満たしています」(☆)
この文は数学的にはやや変です.

「k=2の場合」とありますが, k とはそもそもなんだったかというと,
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c
という式の値を k とおいたものです. なので, ☆ の文章は
「(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=2 の場合, abc≠0において, きちんと(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c を満たしています」
という, 当たり前の主張になってしまいます.

(続きはこれから書きます. ついでにタグテスト )


Re: 数2(等式の証明)
名前:Halt0    日付:2018/1/7(日) 17:55
>a=b=cを示すことが重要、というか目的なのかと思い、混乱していました。
なるほど, そこでひっかかっておられたのですね.

ここでの目的は, 一言でいえば
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=2 を満たす (a,b,c) の組の存在を示すこと
です.

解答の [2] でやっていることは, 次の2stepに分解できます.
step 1: k=2 ならば a=b=c であることを示す.
step 2: a=b=c かつ abc≠0 ならば (b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=2 であることを示す.

目的に必要なのは step 2 だけなので, step 1 は本来なくてもいいのですが,
step 1 が無いと (ひらめきに優れた人以外) step 2 の「a=b=c」という条件を突然思いつくことはできないので,
模範解答には step 1 も書かれています.

---

>また、[1]において、k=−1で記述が終わっているのは、k=(b+c)/a=−a/a=−1という計算が成立している時点でabc≠0は示せているから、ということでしょうか?

ちょっと違いますが, どこが違うと一口に言いづらいので順を追って説明します.

先程申し上げた通り, [2] でやっていることは
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=2 を満たす (a,b,c) の組の存在を示すこと
です.
で, これと同様に, [1] で k=-1 を求めた後には, 本来は
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=-1 を満たす (a,b,c) の組の存在を示すこと
が必要です.

しかし, このような (a,b,c) の組の存在は [1] の文中で既に示されています.
より詳しくいうと, 「a+b+c=0 かつ abc≠0 ならば (b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=-1 であること」が示されています.
(正確には (b+c)/a=-1 以外は計算してませんが, (c+a)/b や (a+b)/c も同じように -1 になることは明らかです.)
ですから, [1] では k=-1 で記述が終わっているのです.


Re: 数2(等式の証明)
名前:りんご    日付:2018/1/7(日) 22:25
皆様のお陰で、ようやく理解できました。
非常に困っていたので、本当に助かりました。
有り難うございました!!

(untitled) 返信  引用 
名前:Delta    日付:2018/1/7(日) 11:27
すみません、前の回答のURLを取り忘れてました

三角関数 返信  引用 
名前:あー    日付:2018/1/7(日) 10:38
問.y=-cos²-√3sinθ (-π/2≦θ≦π/2) で、最大値、最小値を求めその時のθの値を求めよ。

この問題の解き方がわかりません。
答えはθ=π/2のとき最大値√3
θ=π/3のとき最小値-7/4
宜しくお願いします。



Re: 三角関数
名前:Delta    日付:2018/1/7(日) 11:26
(cosθ)^2=1-(sinθ)^2なのでyはsinθの2次式で表すことができます。
y=f(sinθ),f(x)=x^2-√3x-1 とおけば、
あとはf(x)の-1≦x≦1における最大値、最小値を求めれば解くことができます。

http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~chiyonobu/20062010kougi/2006kougi/06suurimodel.pdf

合同式で解きたいです。 返信  引用 
名前:kitano    日付:2018/1/7(日) 9:28
一次不定方程式 合同式難題 合同式で解きたーい。

問題

86x-65y=1

宜しく御願いします。



Re: 合同式で解きたいです。
名前:kitano    日付:2018/1/7(日) 11:25
解決しました。

申し訳ありません。

kitano

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