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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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偏微分 返信  引用 
名前:もつつき    日付:2017/11/4(土) 21:36
∂/∂x(-ay/√(x^2+y^2+z^2))の解き方がわかりません
1/√(x^2+y^2+z^2)をxで微分するとどうなるのでしょうか



Re: 偏微分
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/11/4(土) 22:10
x^2+y^2は定数なんで、γとおいちゃいましー。
だから、
1/(√(γ+x^2))
の微分を考えればよい。
すると、
y=1/t
t=√(γ+x^2)
とし、合成関数の微分の公式より、
(-1/(t^2))*((d/dx)(√(γ+x^2)))=(-1/(γ+x^2))*((d/dx)(√(γ+x^2)))
である。まだ微分
(d/dx)(√(γ+x^2))
が残ってるね。だから、またまた
y=√t
t=γ+x^2
とすると、合成関数の微分の公式より、
(-1/(2√t))*2x=(-x/(√(γ+x^2)))=(d/dx)(√(γ+x^2))
よって、(-1/(γ+x^2))*(-x/(√γ+x^2))=x/((γ+x^2)√(γ+x^2))
である。
分からんトコあったら、いくらでもワシに聞いてよいぞい!!!!
( * ω') /

二つの関数の形状がどれくらい「似ているか」 返信  引用 
名前:美やんセ    日付:2017/11/4(土) 14:29
全てのxに対して正、或は負である関数f(x),g(x)に対して、これら二つの関数が区間a→bの間でいかに似ているかを表す指標として、
|1-∫(f(x)/g(x))dx [a→b]|
の値が0に近ければ近いほど、f(x)とg(x)の形状は似ていると判断できる、と思ったのですが、これは数学的に正しいでしょうか。つまり、例え上の値が0に近くても、f(x)とg(x)の形状が全く違う、みたいなことはありえますか。



Re: 二つの関数の形状がどれくらい「似ているか」
名前:IT    日付:2017/11/4(土) 17:19
「形状が似ている」が明確にできないので はっきり言えませんが
たとえば[0,1] で f(x)=2x,g(x)=1 だと似てるといえないと思いますが

|1-∫(f(x)/g(x))dx [0→1]|=0 ですよね?

∫|1-(f(x)/g(x))|dx [a→b] の方が、より目的に近いと思いますが
g(x)=1でf(x)が細かく振動する場合など、形状が似ている というのは無理があると思います。

2次曲線 返信  引用 
名前:ずみこ    日付:2017/11/4(土) 8:8
楕円x^2+2y^2=1 放物線4y=2x^2+a
2つの式からxを消去して,4y^2+4y-(a+2)=0・・・@
このyについての2次方程式の判別式をDとすると,
D=4a+12
ここでD≧0ならば@は実数解をもち,この2つの曲線は共有点をもつと考えたのですが,4a+12≧0を解くとa≧-3
これは2つの曲線が共有点をもつための条件になっていません。
なぜこんなことが起こるのか,間違いはどこにあるのか,教えてください



Re: 2次曲線
名前:通りすがり    日付:2017/11/4(土) 8:32
>>これは2つの曲線が共有点をもつための条件になっていません。
何を根拠にしていますか?
反例をアップして下さい。


Re: 2次曲線
名前:ずみこ    日付:2017/11/4(土) 9:6
反例はa=1000のときです。
このとき放物線の方程式は4y=2x^2+1000となり、楕円よりもはるかに上にあるので,明らかに共有点を持ちません


Re: 2次曲線
名前:pqr    日付:2017/11/4(土) 9:59
詳しく確認していませんが, (1)が実数解をもっても,
そこから楕円や放物線上の点が定まるとは限らないからだと思います.
例えば, (1)がy=3という実数解をもつ, ということがわかっても,
楕円の式に代入した, x^2+18=1 は実数解を持ちえません.

そう考えると, 楕円上の点を定めるためには, 少なくとも, 0≦2y^2≦1 でなければなりません.


Re: 2次曲線
名前:ずみこ    日付:2017/11/4(土) 11:18
やはり範囲を定める必要があるのですね
回答ありがとうございます!

2項係数 返信  引用 
名前:もつつき    日付:2017/11/3(金) 20:46
130C0,130C1,......,130C130のうち最大となるものはどれか。
分かる方いれば、助かります!



Re: 2項係数
名前:IT    日付:2017/11/3(金) 21:5
130Cn=130!/((130-n)!n!)
130C(n+1)=130!/((130-(n+1))!(n+1)!)
なので 130C(n+1)/130Cn=(130-n)!n!)/((130-(n+1))!(n+1)!)=(130-n)/(n+1)
n≦64のとき 130C(n+1)/130Cn>1
n≧65のとき 130C(n+1)/130Cn<1

よって最大は130C65

最大公約数 返信  引用 
名前:田中    日付:2017/11/3(金) 11:27
851と667の最大公約数を求めよ。
最大公約数について分かる方教えてください。



Re: 最大公約数
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/11/3(金) 20:42
851=23*37
667=23*29
より、23

分からんトコあったら、遠慮なくワシに聞いてもよいぞい!!
( ' ω`)/


Re: 最大公約数
名前:田中    日付:2017/11/8(水) 5:16
崖の上の、ンッポんニョッ さん

前回に引き続き、ご回答ありがとうございました。

またよろしくお願いいたします。

一次合同式 返信  引用 
名前:田中    日付:2017/11/3(金) 11:26
1次合同式 33x≡1(mod14)を解け
1次合同式について分かる方教えてください。



Re: 一次合同式
名前:IT    日付:2017/11/3(金) 21:20
33≡5(mod14)なので 
5x≡1(mod14)と同値
x≡0,1,2,...13 (mod14)を順に調べると
x≡3(mod14)が解であることが分かります。


Re: 一次合同式
名前:田中    日付:2017/11/8(水) 5:14
ITさん

ご丁寧で分かりやすいご回答ありがとうございました。

また、よろしくお願い致します。

二次関数 返信  引用 
名前:レイブン    日付:2017/11/2(木) 18:25
f(x)= | x^2-6x+5 | のa≦x≦a+2における最大値Mが最も小さくなるときのaの値を求めよ。
宜しくお願い致します。



Re: 二次関数
名前:通りすがり    日付:2017/11/2(木) 19:54
x^2-6x+5=(x-1)(x-5)
となることからy=f(x)のグラフは
y=x^2-6x+5 (A)
のグラフで
1≦x≦5
の範囲の部分をx軸に関して
折り返したものになります。
又(A)は
y=(x-3)^2-4
となることから、上記の折り返した
部分の頂点の座標は
(3,4)
以上のことと
a≦x≦a+2
の2であることに注意して
y=f(x)のグラフを考えると

(i)a≦3≦a+2、つまり1≦a≦3のとき
M=4(このときx=4)


a≦1
の条件で
a^2-6a+5=-(a+2)^2+6(a+2)-5
を解くと
a=2-√3
1≦a≦5
の条件で
-(a^2-6a+5)=(a+2)^2-6(a+2)+5
を解くと
a=2+√3
このことから
(ii)a<2-√3のとき
M=a^2-6a+5(このときx=a)
(iii)2-√3≦aかつa+2<3,つまり2-√3≦a<1のとき
f(x)はx=a+2のときに最大になり
M=-(a+2)^2+6(a+2)-5=-a^2+2a+3
(iv)3<a≦2+√3のとき
M=-a^2+6a-5(このときx=a)
(v)2+√3<aのとき
f(x)はx=a+2のときに最大になり
M=(a+2)^2-6(a+2)+5=a^2-2a-3

(以上(i)〜(iv)についてy=f(x)のグラフを
必ず描いて考えましょう)


以上から横軸にa,縦軸にMを取ったグラフを
考えることにより、Mは
a=2±√3
のときに最小値2√3を取る
ことが分かります。

よって求めるaの値は
a=2±√3
となります。

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