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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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等比数列の年利問題 返信  引用 
名前:高校2年    日付:2018/4/8(日) 22:41
---以下問題---
西暦2017年1月1日に100万円を年利率7%で借りた人がいる。この返済は2017年12月31日を第1回とし、その後、毎年年末に等額ずつ支払い、2019年年末に完済することにする。毎年年末に支払う金額を求めよ。ただし、1.07^3=1.225として計算し、1円未満は切り上げよ。
---以下解答---
借金の3年後の元利合計10^6・1.07^3 [円]と、毎年年末にx[円]ずつ積み立てると考えた時の3年分の元利合計 x(1.07^3 - 1)/1.07-1 が等しいことを考えて 381112[円]
---------------

等比数列を用いた基本的な年利の問題なのですが、疑問点がいくつかあったので質問させていただきます。
1. 他の問題ではよく「単利」か「複利」かの指定があると思いますが今回の問題で記述
がないのは関係がないからですか?
2. 元利合計がもともと預けた100万円に単純に3年分の利息をつけた10^6・1.07^3で示
 されていますが、2年目につく年利は1年目に支払い終わったx[円]を引いた10^6-x[円]
 に対して1.07倍したものになると思うのですが違うのでしょうか?(3年目もしかり借
 金は毎年減っているのに毎年100万円に対して1.07倍しているのが腑に落ちない)

「年利」や「元利合計」といった単語の意味を調べてはみましたが深く理解しているわけではないので思い違いも多々あると思いますが、疑問点に解答いただけると幸いです。
計算自体はおそらく問題ないと思うので、立式の段階までをご教授いただければと思います。



Re: 等比数列の年利問題
名前:IT    日付:2018/4/9(月) 0:14
最初の質問の答えだけ
> 1. 他の問題ではよく「単利」か「複利」かの指定があると思いますが今回の問題で記述
> がないのは関係がないからですか?

そうですね。
「複利」というのは、例えば3年間借りっぱなしで、途中で元金はもちろん利息も返済しない場合に
利息部分にも利息が発生するということです。
この問題の場合は、1年ごとに利息をすべて返済しますから「複利」ということはあり得ません。
(利息に加えて元金も返済する)


Re: 等比数列の年利問題
名前:IT    日付:2018/4/9(月) 0:19
 (利息に加えて元金も返済する)
→(利息に加えて元金の一部分も返済する)


Re: 等比数列の年利問題
名前:IT    日付:2018/4/9(月) 22:17
もう少し分かりやすい説明があるかもしれませんが

元金をa円,金利を年利率r(1%なら0.01),毎年末の償還額(元金+利息)をx円とする。
1年目末の償還前元金a[1]=a,2年目末の償還前元金a[2],3年目末の償還前元金a[3]とする。
a[2]=(1+r)a-x
a[3]=(1+r)a[2]-x

x=(1+r)a[3]
=(1+r)((1+r)a[2]-x)
=(1+r)((1+r)((1+r)a-x)-x)
=((1+r)^3)a-((1+r)^2)x-(1+r)x

移項して整理
x+(1+r)x+((1+r)^2)x=((1+r)^3)a

左辺の
((1+r)^2)xは1年目年末の償還金x円を年利率rの複利で2年間貯蓄した後の元利合計額と等しい。
(1+r)xは2年目年末の償還金x円を年利率rで1年間貯蓄した後の額と等しい。

右辺は、元金a円を年利率rの複利で3年間貯蓄した後の元利合計額と等しい。

虚数 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/4/8(日) 21:12
 p を素数、a,b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^p は実数でないことを示せ。ただし、i は虚数単位を表す。
この問題を考える時、たとえば、二項展開した最後の項 pCp(bi)^p は素数、つまり奇数乗だから虚数が残るから虚数となるという理屈ではダメでしょうか。
「a,b が互いに素」という条件が活かされていないので、不十分な解答のような気がします。



Re: 虚数
名前:通りすがり    日付:2018/4/8(日) 21:18
それを言うなら、kが
1≦k≦p
なる奇数のときも
(pCk){a^(p-k)}(ib)^k
は純虚数ですのでこれらの和を考える必要があり、
解答としては不十分です。


Re: 虚数
名前:ハロー    日付:2018/4/8(日) 22:5
そっか。a,b は数字だから加えたらゼロになる可能性を考えないといけないということですね。
どうもありがとうございました。

因数分解/たすきがけについて 返信  引用 
名前:そらかめ    日付:2018/4/8(日) 17:16
(x+2y)(x-y)+3y-1 という問題に対して、
展開せずたすき掛けで解く方法(理由?)がわかりません。

答案では
与式={(x+2y)-1}{(x-y)+1}
=(x+2y-1)(x-y+1)となっていたのですが
なぜたすきがけで解けるのか教えて頂きたいです。



Re: 因数分解/たすきがけについて
名前:通りすがり    日付:2018/4/8(日) 18:7
因数分解ではありますが、これはたすき掛け
というとは聞いたことがありません
(似てはいますが)。

一般に
(X+a)(Y+b)=XY+aY+bX+ab
つまり
XY+aY+bX+ab=(X+a)(Y+b) (A)
と因数分解できます。
ここで問題の式において
X=x+2y,Y=x-y
として考えると
Y・(-1)+X・1=3y
つまり
a=-1,b=1
とすれば(A)が適用でき、答案のような
因数分解ができます。

但し、これはかなりテクニックがかった
答案だと思います。
実際は展開してx又はyの二次式として整理をした上で
たすき掛けをするのが、一般的な方針だと思います。


Re: 因数分解/たすきがけについて
名前:そらかめ    日付:2018/4/8(日) 18:43
たすきがけではないんですね。
理解できました!丁寧な対応ありがとうございました。


Re: 因数分解/たすきがけについて
名前:KG    日付:2018/4/10(火) 20:5
>因数分解ではありますが、これはたすき掛け
>というとは聞いたことがありません
>(似てはいますが)。
いや,立派なたすき掛けです.


Re: 因数分解/たすきがけについて
名前:KG    日付:2018/4/10(火) 20:9
そもそも,通りすがりさんは
「たすき」というものが何なのかを知っていますか?


Re: 因数分解/たすきがけについて
名前:通りすがり    日付:2018/4/10(火) 20:34
>>KGさんへ
私が習った「たすき掛け」とは、例えば
x^2+3x+2
のような単変数の二次式(複数変数がある場合は、一つの
変数に注目した場合を含む)に対してのものであり、
xy+x+y+1
のような複変数の二次式に対するものに対して
「たすき掛け」という言葉を使うのは今まで聞いたことが
ありませんでしたので。


Re: 因数分解/たすきがけについて
名前:KG    日付:2018/4/10(火) 20:37
[再掲]
そもそも,通りすがりさんは
「たすき」というものが何なのかを知っていますか?


Re: 因数分解/たすきがけについて
名前:通りすがり    日付:2018/4/10(火) 21:51
>>KGさんへ
和服の方が、掃除などのときに振袖が邪魔にならないように
固定しておくために使う帯のことですよね?
その形のアナロジーが、因数分解の「たすき掛け」の
名前の由来であることは分かります。

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