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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:aaa    日付:2018/10/17(水) 22:55
四面体O ABCにおいて、角A O B=角B O C=60度、角A O C=90度、 O A=3
O B= O C=2である。
点Bから三角形 O A Cを含む平面に垂線B Hを引くと、点 Hは3点 O、 A、 Cと同一平面上にあるから、実数s、tを用いて O Hベクトル=saベクトル+t cベクトルと表される。B Hベクトル丄aベクトル、B Hベクトル丄cベクトルであることを利用すると、s=○分の○,t=○分の○が得られる。
また、B H=√○であり、四面体 O ABCの体積は√○である。


見づらくてすみません。○に当てはまる数値を教えてください。
解き方も合わせて教えてくださると嬉しいです。
よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/10/18(木) 20:1
↑OH=s↑a+t↑c (A)
とします。

↑BH⊥↑a
↑BH⊥↑c
により
↑BH・↑a=0
↑BH・↑c=0
これらに(A)を用いると
(s↑a-↑b+t↑c)・↑a=0 (B)
(s↑a-↑b+t↑c)・↑c=0 (C)
ここで条件から
|↑a|=OA=3
|↑c|=OC=2
↑a・↑b=|↑a||↑b|cos∠AOB=3
↑b・↑c=|↑b||↑c|cos∠BOC=2
↑c・↑a=|↑c||↑a|cos∠COA=0
(B)(C)の左辺を展開してこれらを
代入すると
9s-3=0 (B)'
-2+4t=0 (C)'
(B)'(C)'を解き
(s,t)=(1/3,1/2)
これを(A)に代入して
↑OH=(1/3)↑a+(1/2)↑c
∴BH^2=|↑BH|^2
=|(1/3)↑a-↑b+(1/2)↑c|^2
=(1/9)|↑a|^2+|↑b|^2+(1/4)|↑c|^2-(2/3)↑a・↑b-↑b・↑c+(1/3)↑c・↑a
=1+4+1-2-2
=2
∴BH=√2
よって四面体OABCの体積をVとすると
V=(1/3)OC・OA・BH
=2√2
=√8

関数の値域 返信  引用 
名前:桑田ロード    日付:2018/10/17(水) 21:35
京都大学の院試から抜粋です.http://www.amp.i.kyoto-u.ac.jp/pukiwiki/amptest/index.php?plugin=attach&refer=%B2%E1%B5%EE%A4%CE%CC%E4%C2%EA&openfile=h29_kiso1.pdf
f(x)=e^x-ax^2 (a>0)のもとあれこれと仮定に従ってiiまでは自力で解けました.
iは0<a<e/2 となり,iiはF(a)=(a-1)e^a-2/3 a^4+1
と求まりました.
iiiがわかりません(F(a)=b と置いたとき,iで求まったaの範囲の元でF(a)=b をみたす解aは一意に存在するという仮定の下でbの範囲を求めよ).
どなたか解けましたら,是非教えていただけませんか?
また,i,iiも一応計算はし直していますが,もしかすると導出方法が間違っているかもしれません...

極限 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/10/17(水) 20:25
右の図のような直角三角形ABCの直角の頂点Aから、順に垂線AA1,A1A2,A2A3,・・・を下ろすとき、三角CAA1、△CA1A2, △CA2A3・・・・の面積の総和が△ABCの面積を越えないためには、∠Cの大きさはどんな範囲になければならないか。
図が添付できないので、直角Aから辺BCに下ろした垂線の交点をA1、A1からACに下ろした垂線の交点をA2、A2からBCに下ろした垂線の交点をA3・・・とする。
角が30°、45°、60°ならできそうなのですが、一般の直角三角形だと、どう考えればいいのでしょうか。
解答は、π/4≦∠C≦π/2 だそうです。



Re: 極限
名前:通りすがり    日付:2018/10/17(水) 22:18
CA[n]=a[n]
∠ACB=θ
△CA[n-1]A[n](但し点A[0]を点Aとする)の面積をS[n]
と置くと、条件から
a[n]=a[n-1]cosθ (A)
S[n]=(1/2)a[n]a[n-1]sinθ (B)
a[0]=CA (C)
(A)(C)より
a[n]=CA(cosθ)^n
これと(B)により
S[n]=(1/2)(CA^2)sinθ(cosθ)^(2n-1)
=(1/2){(CA^2)sinθcosθ}{(cosθ)^2}(n-1)
ここで条件から
0<θ<π/2 (P)
∴0<cosθ<1
∴問題の面積の総和をSとすると
S=Σ[n=1〜∞]S[n]
=(1/2){(CA)^2}sinθcosθ}/{1-(cosθ)^2}
=(1/2)(CA^2)/tanθ (D)
ここで題意を満たすためには
S≦(1/2)(CA^2)tanθ (E)
(D)(E)より
1/tanθ≦tanθ
(P)よりtanθ>0ゆえ、これより
1≦(tanθ)^2
∴1≦tanθ (Q)
(P)(Q)より
π/4≦θ<π/2
よって求める条件は
∴π/4≦∠C<π/2 (R)
となります。
(注:条件から∠C=π/2とはなり得ませんので
(R)の右の不等号の下に等号は付きません。)


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2018/10/18(木) 0:24
三角関数を利用するわけですね。ちょっと、すぐに分からないので明朝ゆっくり順を追って読ませてもらいます。いつも、本当にありがとうございます。

(untitled) 返信  引用 
名前:tree    日付:2018/10/17(水) 0:20
kを正の定数として、0<x<π/2の範囲で2cos^2x-k/sin^2x=0・・・@を満たすxの個数について考えよう。
@の両辺にsin^2xを掛け、2倍角の公式を用いて変形するとsin^22x/ア
=kを得る。
k>イ/ウのとき、@を満たすxの個数はエ個である。
また、0<k<イ/ウのとき、@を満たすxの個数はオ個であり、k=イ/ウのときは
カ個である。アからカを教えて下さい。
解説よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/10/17(水) 6:28
@の両辺に(sinx)^2をかけて二倍角の公式を使うと
{(sin2x)^2}/2=k
∴(sin2x)^2=2k
ここで0<x<π/2より
0<2x<π (A)
∴sin2x>0ですので
sin2x=√(2k)
よって(A)により
√(2k)>1、つまりk>1/2のとき、解は0個
0<√(2k)<1,つまり0<k<1/2のとき解は2個
√(2k)=1、つまりk=1/2のとき、解は1個
となります。

極限 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/10/16(火) 21:11
数列 0, -3/2,-8/3, -15/4 ・・・の極限を求めよ。

 この問題なのですが、初項が0ということは等比数列はムリだし、等差数列にもなってないみたいだし、解答は「負の無限大に発散」らしいのですが、どういう数列か分からずとも判断できるのでしょうか。
よろしくお願いします。



Re: 極限
名前:通りすがり    日付:2018/10/16(火) 21:20
分母と分子を別々に考えましょう。

n≧2として、問題の数列の第n項をa[n]とすると
a[n]={Σ[k=2〜n]-(2k-1)}/n
これより
a[n]={Σ[k=1〜n]-(2k-1)+1}/n
={-n(n+1)+n+1}/n
=(-n^2+1)/n
=-n+1/n
∴lim[n→∞]a[n]=-∞
となるので負の無限大に発散します。


Re: 極限
名前:    日付:2018/10/16(火) 21:36
一般項は (1-n2)/n なので負の無限大に発散します

クイズとしてはこの回答でいいと思いますが,数学としては有限項だけを与えられても一般項の形は決まらない(たとえば最初の4項としてどんな数字a1, a2, a3, a4を持ってきても,f(1)=a1,f(2)=a2,f(3)=a3,f(4)=a4を満たす多項式f(n)が存在するので,これを一般項と思うことも可能です)ので,解答しようがありません


Re: 極限
名前:    日付:2018/10/16(火) 21:46
たとえば一般項が

(1-n2)/n + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

である可能性も否定できません.この場合は正の無限大に発散します


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2018/10/16(火) 21:53
 なるほど!分子が奇数の和だとは気づきませんでした。どうも、有り難うございます。


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2018/10/16(火) 22:21
 私も、わずか4項で一般化するのは抵抗がありますが、試験ですから先生が得点をくれるのなら、満足しないといけない受験生です。でも、ご指摘ありがとうございます


Re: 極限
名前:関数電卓    日付:2018/10/16(火) 23:27
お粗末な先生!

(untitled) 返信  引用 
名前:複素数    日付:2018/10/16(火) 17:24
複素数 z=1+iについて、(1)z^1/3の絶対値|z^1/3|を求めよ。
(2)偏角arg(z^1/3)を求めよ。
という問題が分かりません。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/10/16(火) 17:46
(1)
条件から
|z|=√2
∴|z^(1/3)|=|z|^(1/3)=2^(1/6)

(2)
条件から
arg(z)=π/4
∴arg(z^(1/3))=(1/3)arg(z)=π/12


Re: (untitled)
名前:関数電卓    日付:2018/10/16(火) 23:42
arg(z^(1/3))=(1/3)arg(z)=π/12+2nπ/3 (n:整数)

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