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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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平方数となるxの解 返信  引用 
名前:SPME    日付:2017/12/7(木) 18:17
正の整数において、定数をN、変数をx、nとしたとき

6N+1+9x^2=(3n+1)^2

となるようなxの値をNを用いて表す(nは用いてはならない)方法を教えてください



Re: 平方数となるxの解
名前:Delta    日付:2017/12/7(木) 21:7
問題文が不完全というか不備がある感じなので、
以下のような解釈で解いています。

自然数Nに対し、
6N+1+9x^2=(3n+1)^2
となる自然数nが存在するような自然数xをNを用いて表せ。

式を少しいじると
6N+1=(3n+3x+1)(3n-3x+1)
さらに式をいじると
n-x={2N-(n+x)}/{3(n+x)+1}
という形になり、右辺の分母と分子の偶奇は一致しない。
また、分母は1より大きいため、
これが整数であるためには分子が0である必要がある。
よって n+x=2N
このとき n-x=0よりn=x
以上からx=N

もっと簡単な方法もあるかもしれませんが、自分にはここまでで精一杯でした。


Re: 平方数となるxの解
名前:みずき    日付:2017/12/7(木) 21:48
>>Deltaさん

>これが整数であるためには分子が0である必要がある。

そうとは限らないのでは?
例:N=15,x=1,n=3


Re: 平方数となるxの解
名前:SPME    日付:2017/12/7(木) 21:57
ありがとうございます。

ただ、
>n-x={2N-(n+x)}/{3(n+x)+1}
>という形になり、右辺の分母と分子の偶奇は一致しない。
とありますが、偶奇が一致しなくても6/3のように偶数/奇数の場合は割り切れることがあります。

なので、頂いたヒントを基にもう少し考えてみます。


Re: 平方数となるxの解
名前:Delta    日付:2017/12/7(木) 22:34
そうですね、皆さんのご指摘の通りです。
失礼しました。

こちらも解法が分かりましたら、改めて書き込ませていただきます。


Re: 平方数となるxの解
名前:Delta    日付:2017/12/7(木) 23:41
改めて考えてみました。
間違ってたら、ごめんなさい。

式をいじると 6N+1=(3n+3x+1)(3n-3x+1) となります。
a=n+x,b=n-xと置くと 6N+1=(3a+1)(3b+1)
これをいじると N=1/2*(3ab+a+b) となります。
ここでaとbの偶奇は一致するのでNが自然数であることを考えると
aとbはともに偶数であるのでa=2α,b=2βと置くと
N=6αβ+α+β (α>β≧0)

具体的な答えは求められませんが、
N=6αβ+α+β α>β≧0を満たす(α,β)が
(α,β)=(α_1,β_1),(α_2,β_2),...,(α_k,β_k)とk組あった場合、
x=α_i-β_i (i=1,...,k)が答えになると思います。
Nとkの個数の関係は、場合分けが非常に困難というかできるかどうかわからないのでおすすめしません。

上記で間違ってるところがあったらごめんなさい。


Re: 平方数となるxの解
名前:SPME    日付:2017/12/8(金) 0:27
ありがとうございます。

その答えは確実に合っています。
なぜかというと、
N=6αβ+α+β α>β≧0という式を何とかして(因数分解しないで)解きたくて
k=α+βと置いて式変形などをしていった結果、x=α-βと置くことで得られたのが 質問の式だからです。

なんとかx^2+Nxに類似した形や平方根にならない形までたどり着けたのでここまで来たら解けるのではないかと思ったのですが・・・


Re: 平方数となるxの解
名前:SPME    日付:2017/12/8(金) 0:29
α>β≧0ではなくα>β≧1でした。


Re: 平方数となるxの解
名前:みずき    日付:2017/12/8(金) 0:52
6N+1=(6α+1)(6β+1)
とすると、6N+1の素因数分解に帰着します。
こうした答えで満足されるかは分かりませんが。


Re: 平方数となるxの解
名前:SPME    日付:2017/12/8(金) 7:52
申し訳ないのですが、前述した通り因数分解しないで解きたいのです。

センター数学三角比 返信  引用 
名前:高3    日付:2017/12/7(木) 16:7
三角形ABCにおいて、AB=1,BC=2.CA=√2とする。また三角形ABCの外接円の半径をRとする。
cosABC°=3/4
sin ABC°=√7/4
R=2√14/7
辺BC上に点D,辺 AB上に点Eを,
△BDEの半径がR/2となるようにとる。
このときDE=√2/2である。
また、BDの長さが最大となるときのBEを求めなさい。
という問題で、解答には
BDが最大となるのは「△BDEの外接円の直径になるとき」とありますが、ここが理解できません。解説お願いいたします。



Re: センター数学三角比
名前:IT    日付:2017/12/7(木) 16:37
> △BDEの半径がR/2となるようにとる。
△BDEの外接円の半径がR/2となるようにとる。
ですか?

線分BDは半径がR/2の円(△BDEの外接円)の中にあるので
 線分BDの長さ≦その円の直径(=R)です。

(untitled) 返信  引用 
名前:イガ    日付:2017/12/7(木) 12:2
y'-y=x^2+1

の解き方を教えてください



Re: (untitled)
名前:☆ミ    日付:2017/12/7(木) 17:36
この方程式自体はyについて非斉次ですが
まず斉次微分方程式にして一般解を求めます。

y'-y=0
dy/dx=y  変数分離して
∫dy/y=∫dx
log|y|=x+C
y=Ae^x  ←一般解(Aは任意定数)

次に非斉次の特殊解を求めます。
式をよくみて見当をつけます。
y=ax^2+bx+c として元の方程式に代入
整理すると
-ax^2+(2a-b)x+(b-c)=x^2+1
a=-1, b=-2, c=-3
y=-x^2-2x-3   ←特殊解

よって解は
y=-x^2-2x-3+Ae^x  (Aは任意定数)
となります。

相似な図形 面積 返信  引用 
名前:中3    日付:2017/12/6(水) 22:31
相似な図形の面積の問題です

受験対策用の本の中の基本的なものはできるようになってきたのですが、この問題がわからなくて困っています

対辺が平行でない四角形ABCDがあり,対角線ACと対角線BDとの交点をEとする。
線分BE上に,2点B,Eと異なる点Fをとり,直線AFと辺BCとの交点をGとする。
四角形ABCDの面積が50cm2,△AGCの面積が30cm2,BF:FD=3:4,AF:FG=2:1であるとき,△ACDの面積は何cm2か。

おととしに、実際に出題された問題と聞いたのですが、難しくて手が出ません。答えは7分の60cm2です。
教えていただけないでしょうか?



Re: 相似な図形 面積
名前:IT    日付:2017/12/6(水) 23:28
図が載せ易い(回答者も)ところで聞かれた方が分かりやすいと思います。


Re: 相似な図形 面積
名前:Delta    日付:2017/12/6(水) 23:33
解き方を全部書くのも面倒なので概要だけ書いときます。
自分で図を描いて照らし合わせてください。

@三角形AFEの面積をS1,三角形CEFの面積をS2とし、FE:ED=a:(4-a)と置いて考えてみてください。
AAFとAGの比から△AFCと△AGCの面積比が求められ、S1+S2の値が求められます。
BFEとBDの比から△AFEと△ABD,△CEFと△BCDの面積比が求められ、
 四角形ABCDの面積がaとS1+S2で表されるのでaの値が求められます。
CFEとEDの比から△ACDの面積がaとS1+S2で表されるので、代入して答えを求めます。

この問題は相似というよりかは高さ共通の2つの三角形の底辺の比から面積比を求める感じの問題ですね。
ちなみに上の方法だと、S1+S2=20cm^2,a=14/5になるはずです。


Re: 相似な図形 面積
名前:由香    日付:2017/12/7(木) 19:21
こういう方法もあります

□ABCDを、△ABDと△BCDに分けてみるとき、
△ABF、△CBFは、それぞれ△ABD、△BCDの BF/BD=3/7 だから
凹型の□ABCFは、□ABCDの3/7=150/7 ですから、
□AFCD=50−150/7=200/7

また、△AFC=(AF/AG)△AGC=20 になり
△ACD=200/7−20=60/7

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