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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:ツタ屋    日付:2017/4/23(日) 15:34
問 次の連立方程式を解け
3x-y+8=0
x^2-y^2-4x-8=0

問 x,yがx^2+y^2=1を満たすとき、2x^2+2y-1の最大値と最小値を求めよ。

この二つの問いにおいて、後者は変域に注意する必要があり前者はその必要がないのはなぜですか?
変域に注意しなければならないのはどのようなときですか?
ご教授ください。よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 16:9
後者でも変域に注意が必要です。

x^2+y^2=1
より
x^2=1-y^2 (A)
と変形し
2x^2+2y-1 (B)
からxを消去して(B)をyの関数として
取り扱う場合、(A)よりyの変域が
-1≦y≦1
であることを考える必要があります。


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 17:23
ごめんなさい。質問内容を読み間違えて
頓珍漢な回答をしていました。

後者は
2x^2+2y-1
から
x^2+y^2=1
を使ってx,yいずれかを消去した1変数関数として
扱うため、その過程で必ず残った独立変数に対して
条件となる不等式が存在するかどうか考える必要が
あります。
(不等式があっても、それを解いた上で
変域が実数全体になる場合もありますが。)

前者については、解く過程で確かめるべき
条件となる不等式がありませんので、
変域を考える必要がありません。
つまり、
確かめるべき条件となる「不等式が存在する」ような連立方程式
の場合は当然、そこから変数の変域が生じます。

分からないので計算して下さい 返信  引用 
名前:ヤバ    日付:2017/4/23(日) 14:6
(a-b)三乗×(a+b)三乗×(a二乗+b二乗)三乗



Re: 分からないので計算して下さい
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 16:12
展開ということであれば
(与式)={{(a-b)(a+b)}(a^2+b^2)}^3
={(a^2-b^2)(a^2+b^2)}^3
=(a^4-b^4)^3
=a^12-3(a^8)b^4+3(a^4)b^8-b^12
となります。

置換積分 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/4/23(日) 10:13
∫(-1→0){(x+2)√3x+4)}dx

 もう1問お願いします。これは、(x+2)を2乗して√の中に入れて、まるごと置換積分するのでしょうか。



Re: 置換積分
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 10:24
3x+4=t
と置いて置換積分しましょう。


Re: 置換積分
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 10:25
もう少し補足。
置換した後に()を展開します。


Re: 置換積分
名前:ハロー    日付:2017/4/23(日) 10:44
ということは、x=(t-4)/3 dx=dt/3 を与式に代入して計算ですね。やってみます。
どうもありがとう御座いました。


Re: 置換積分
名前:ハロー    日付:2017/4/23(日) 10:46
 計算したら、326/135 となりました。


Re: 置換積分
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 11:20
こちらの計算でも同じ値になりました。


Re: 置換積分
名前:ハロー    日付:2017/4/23(日) 11:53
いろいろお手数をおかけしました。
有難うございました。

定積分 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/4/23(日) 8:41
∫(0→1){e^(t/2)+e^(-t/2)}dt をお願いします。



Re: 定積分
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 9:15
(与式)=[2e^(t/2)-2e^(-t/2)][0→1]
=2e-2/e

注)
分かりにくければ
(与式)=∫[0→1]{e^(t/2)}dt+∫[0→1]{e^(-t/2)}dt
と分割し、
第1項はt/2=u
第2項は-t/2=v
と置換積分しましょう。


Re: 定積分
名前:通りすがり    日付:2017/4/23(日) 9:17
ごめんなさい。訂正します。
誤:=2e-2/e
正:=2√e-2/√e


Re: 定積分
名前:ハロー    日付:2017/4/23(日) 10:8
解けました!!ありがとうございます。

(untitled) 返信  引用 
名前:マット    日付:2017/4/23(日) 0:27
URLの解答部分で、赤線を引いた、括り出す部分がわかりません。。
括りだし方の考え方を教えて下さい。
http://nocnsr.or2.mobi/index.php?mode=image&file=136477.jpg



Re: (untitled)
名前:マット    日付:2017/4/23(日) 0:29
正確には、その前の式から、赤線を引いた式への括りだし方がわかりません。
(赤線後の括り方はわかります)
http://nocnsr.or2.mobi/index.php?mode=image&file=136477.jpg


Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/4/23(日) 0:39
x^(n-1)=x^(n-1)×1
x^n=x^(n-1)×x

x^(n+3)=x^(n-1)×x^4
のように, すべてx^(n-1)の倍数なので, 括りだすことができます。


Re: (untitled)
名前:マット    日付:2017/4/23(日) 12:27
x^n-1 は、x^n * 1/x だからこのようになるわけですね!
理解しているつもりでも、直観的にわからず困っていました。
ありがとうございます!

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