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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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組立除法 返信  引用 
名前:なぜ山に登るのか。そこに山があるから。    日付:2019/1/16(水) 22:19
数2の問題です

3x^3+4x^2-6x-7=0の問題についてです。
組立除法を使って解いてみたところ何回やっても、(x-1)(3x^2+x-7)となってしまいまいます。

因みに答えは、-1と-1±√43 分の6らしいです。
どのようにして解くのか教えて下さい。



Re: 組立除法
名前:IT    日付:2019/1/17(木) 0:12
> 、(x-1)(3x^2+x-7)となってしまいまいます

なぜ x-1 が因数として出てきましたか?

(untitled) 返信  引用 
名前:はな    日付:2019/1/16(水) 16:30
数学Aの問題です。
壺のなかに1から4までの数字がひとつずつかかれた4枚のカードが入っている。その壺から1枚取り出し、その数字を見てもとの壺に戻す試行を行う。
4回繰り返してもどれかの数字が現れないという条件のもとで、更にもう一度試行を行うと1から4までのすべての数字が現れる条件付き確率を求めよ。
わからないので教えてください



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2019/1/16(水) 19:25
4回試行したとき
数字の出方は4^4 とおり
そのうち4つの数字がすべて現われる場合は1,2,3,4を並べる方法の数なので4!とおり
よって、4回で4つの数字がすべて現われる確率は 4!/(4^4)
よって、4回でどれかの数字が現れない確率は 1-4!/(4^4)


5回試行したとき
数字の出方は4^5 とおり
そのうち4回までにどれかの数字が現れず、5回目ではすべての数字が現れるのは
11234のパターンのうち12341のパターン以外なので
(5!/2!-4!)×4 とおり (×4は2回現われる数字が4とおりなので)
よってその確率は((5!/2!-4!)×4)/(4^5)

したがって求める条件付確率は (((5!/2!-4!)×4)/(4^5))/(1-4!/(4^4))

無限等比級数の収束、発散 返信  引用 
名前:SO    日付:2019/1/16(水) 12:23
rを正の実数、kを正の整数とする。

1.等比数列の和の公式を用いて、r≠1のとき、(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k=1/(1-r)(X-1)となるXを求めよ。

2.級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の収束、発散を調べよ。


1.r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k={1/(1-r)}*(X-1)

[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/{r^k*(1-k)}=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/(r^k)=X-1

X=(1-r^k)/(r^k)+1

X=(1-r^k+r^k)/(r^k)

X=1/r^k

1については、この計算で合っていますか?

2.条件より、rを正の実数、kを正の整数だから、級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の第k部分和をS[k]とおくと、r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

S[k]=[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)

S[k]=(1-r^k)/{r^k*(1-r)}

S[k]=1/{r^k*(1-r)}-(r^k)/{r^k*(1-r)}

2について、ここまでの計算は合っていますか?
これ以降の計算方法が分かりません。恐らくrの値について場合分けをして考えるのだと思いますが、その場合どのように場合分けするべきか分かりません。

よろしくお願いします。

実数論 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2019/1/16(水) 8:23
Rの連結な部分集合
Rの連結な部分集合がR全体または区間に限られることの証明で、
M(連結)⊂Rにたいして、
α、β∈Mに対して、α<β⇒[α,β]⊂Mである(★)

ここで、Mが有界ならばそれぞれsupM=b,infM=aがそんざいする。ここで、★より直ちに(a,b)⊂Mが導かれる。とあるのですが、
★からどうして、(a,b)⊂Mが導かれるのですか?
教えてください。

また、このとき、(a,b)⊂M⊂[a,b](*)であるから、
M=(a,b)or[a,b]or[a,b)or(a,b]が成り立つとあるのですが
*からどうしてこれがわかるのですか?



Re: 実数論
名前:s    日付:2019/1/16(水) 16:0
c∈(a,b)を任意にとります。
infM = a < c なので、x < cをみたすx∈Mが存在します(∵infの定義より)
同様に、c < b = supMなので、supの定義よりc < yをみたすy∈Mが存在します

(★)より[x, y]⊂Mなので、x < c < yをみたすcはc∈Mです

cは(a,b)から任意にとったので、(a,b)⊂Mです


Re: 実数論
名前:s    日付:2019/1/16(水) 16:5
2つ目の質問は、何が分からないのかが難しいですね・・・

落ち着いて考えれば自明ですが、例えば以下の説明でどうでしょう。

case I) a, b∈Mの場合。
条件より(a,b)⊂Mで、aもbもMの元なので、[a,b]⊂Mです。
[a,b]⊂M⊂[a,b]なのでM = [a,b]です。

case II) aはMの元でなく、b∈Mの場合。
case I同様に条件より(a,b]⊂MまではOKでしょうか。
また「aはMの元でない」という条件とM⊂[a,b]からM⊂(a,b]です。
(本当に分からないなら定義までさかのぼって、任意のMの元が(a,b]の元であることを言えばいいです。)
よって(a,b]⊂M⊂(a,b]なのでM=(a,b]です。

case III) ...以下略。


Re: 実数論
名前:ハワイ    日付:2019/1/17(木) 0:37
解決しました。ありがとうございます。
(2つ目の質問は私がうっかりしていました。ごめんなさい。)

数学 確率 返信  引用 
名前:Konote    日付:2019/1/15(火) 19:46
わからないです、教えてください!
箱の中に1、2、3と書かれたカードが2枚ずつ合計6枚のカードは入っている。
1個のサイコロを投げて出た目の数の枚数だけ箱からカードを取り出す。
このとき、取り出されたカードに書かれた数の合計をxとする。
ただし、取り出されたカードが1枚の時にはそのカードに書かれた数をxとする。
(1)x=1となる確率
(2)x=3となる確率
(3)x≧5となる確率



Re: 数学 確率
名前:IT    日付:2019/1/15(火) 20:56
(1)x=1となる確率 も分かりませんか?

フェルマーの定理について 返信  引用 
名前:nisi    日付:2019/1/15(火) 0:55
中三です。
証明を考えてみました。こんな方法でいいのかどうか教えてください

【問題】
 x^n + y^n = z^n (nはn >= 3の自然数)のとき、自然数(x,y,z)は存在しない
【証明】
 x,y,zは2k.2k+1 (kはk>=0の整数,2k>=1)とあらわされる
 @) x=y=z=2kの時
   x^n+y^n=2・(2k)^n
z^n=(2k)^n
このとき2kは自然数で、nはn >= 3の自然数なので(2k)^nは自然数であるから、
   x^n + y^n = z^nは成立しないので、自然数(x,y,z)は存在しない
 A)x=y=z=2k+1の時
x^n,y^n,z^nの一般項は
   nCr・2k^(n-r)・1^n = nCr・1^n・2^(n-r)・k^(n-r) (rは0<=r<nの整数、kはk>=0の整数)
であり nCr>=1,1^n>=0,2^(n-r)>=0,k^(n-r)>=0からnCr・2k^(n-r)・1^n>=1
よって
   x^n + y^n - z^n => 1
したがって、x^n + y^n = z^nは成立しないので、自然数(x,y,z)は存在しない
 B)x=y=2k,z=2k+1の時
x^n+y^n=2・(2k)^n>=2
z^n=nCr・2k^(n-r)・1^n>=1 (rは0<=r<nの整数、kはk>=0の整数)
よって
   x^n + y^n - z^n => 1
したがって、x^n + y^n = z^nは成立しないので、自然数(x,y,z)は存在しない
 C)x=2k,y=z=2k+1の時
x^n+y^n=(2k)^n+nCr・2k^(n-r)・1^n>=2 (rは0<=r<nの整数、kはk>=0の整数)
z^n=nCr・2k^(n-r)・1^n>=1
よって
   x^n + y^n - z^n => 1
したがって、x^n + y^n = z^nは成立しないので、自然数(x,y,z)は存在しない
 D)y=2k+1,x=z=2k+1の時
x^n+y^n=nCr・2k^(n-r)・1^n + (2k)^n>=2 (rは0<=r<nの整数、kはk>=0の整数)
z^n=nCr・2k^(n-r)・1^n>=1
よって
   x^n + y^n - z^n => 1
したがって、x^n + y^n = z^nは成立しないので、自然数(x,y,z)は存在しない
 E)x=y=2k+1,z=2kの時
x^n+y^n=nCr・2k^(n-r)・1^n + nCr・2k^(n-r)・1^n>=2 (rは0<=r<nの整数、kはk>=0の整数)
z^n=(2k)^n>=1
よって
   x^n + y^n - z^n => 1
したがって、x^n + y^n = z^nは成立しないので、自然数(x,y,z)は存在しない
 以上からx^n + y^n = z^n (nはn >= 3の自然数)のとき、自然数(x,y,z)は存在しない(証明終)



Re: フェルマーの定理について
名前:IT    日付:2019/1/15(火) 7:25
x,y,zは2k.2k+1 (kはk>=0の整数,2k>=1)とあらわされる
が間違いですね。
たとえば x,y,z がすべて偶数のとき、x=y=z=2k とは限りません。


Re: フェルマーの定理について
名前:nisi    日付:2019/1/15(火) 18:20
>> IT さん

ありがとうございます。


Re: フェルマーの定理について
名前:養ちゃん。    日付:2019/1/16(水) 14:5
難しいですね。。。
ただ、確かに、上の方のご指摘、
x=y=z=偶数とするには、
x=2k1
y=2k2
z=2k3
となる気がいたします。
ただ、原文では、確かに2nと2n-1に分ける手法はあったようななかったような。。。

もしかしたら、証明は合っているのかもしれませんが、
ただ、i番の、
x^n+y^n=z^n -> 2(2k)^n=/(2k)^nとしていますが、
個人的には、本当かな。。。という気がいたします。
ぜひご補足ください。

高次方程式の解の個数について 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/1/14(月) 22:37
一度質問させていただいた問題ですが,別の疑問点がでてきたため再度投稿させていただきます。

【問題】
4次方程式:x^4-2x^3+bx^2-2x+1=0が実数解をもつbの範囲は?

【解答の手順】
(i) 両辺をx^2で割り,x^2-2x+b-(2/x)+(1/x^2)=0に式変形
(ii) t=x+(1/x)とおき,上式をt^2-2t+(b-2)=0に式変形
(iii) xとtの関係式t=x+(1/x)の両辺にxをかけてx^2-tx+1=0に式変形
(iv) (iii)で得たxに関する式の判別式D1≧0の範囲を求めてt≦-2,2≦tを得る
(v) (ii)のtに関する2次方程式のグラフを描き,(iv)の範囲だけを対象に考えていく

(i),(ii)の式変形までは問題ないのですが,なぜ(iii)でx^2-tx+1=0の判別式を使用してtの範囲をせばめているのかがわかりません。
「xが実数解をもつ範囲を調べる」→「xの関数であるtの範囲をせばめる」という考え方自体はなんとなくいけるのですが,なぜ(iii)の式の判別式を調べることでそれがいえるのかが理解できない点です。
いま求めたいのは,あくまでも問題文中の4次方程式が実数解をもつための範囲であって,(iii)の式が実数解をもつための範囲ではないため,戸惑っています。
わかりにくい質問で申し訳ありませんが,4次方程式と(iii)の式の判別式における因果関係を詳しく教えていただけると助かります。



Re: 高次方程式の解の個数について
名前:匿名希望    日付:2019/1/16(水) 23:25
『4次方程式:x^4-2x^3+bx^2-2x+1=0が実数解をもつ』
⇔実数xをうまく選べばx^4-2x^3+bx^2-2x+1=0が成り立つ
⇔0でない実数xをうまく選べばx^4-2x^3+bx^2-2x+1=0が成り立つ
(∵x^4-2x^3+bx^2-2x+1=0が成り立つときxは0でない)
⇔0でない実数xをうまく選べばx^2-2x+b-2/x+1/x^2=0が成り立つ
⇔0でない実数xをうまく選べば(x+1/x)^2-2(x+1/x)+b-2=0が成り立つ
⇔0でない実数xをうまく選べばt=(x+1/x)がtに関する2次方程式:t^2-2t+b-2=0の解となる。
⇔tに関する2次方程式:t^2-2t+b-2=0がt≦-2または2≦tの範囲に実数解をもつ
(∵0でない実数全体で定義された関数x+1/xの値域はx+1/x≦-2または2≦x+1/x)

最後のところを理屈っぽく述べてみます。
『実数rがx+1/xの値域に含まれる』
⇔0でない実数xをうまく選べばx+1/x=rが成り立つ
⇔0でない実数xをうまく選べばx^2-rx+1=0が成り立つ
⇔実数xをうまく選べばx^2-rx+1=0が成り立つ
(∵x^2-rx+1=0が成り立つときxは0でない)
⇔xに関する2次方程式x^2-rx+1=0が実数解をもつ
⇔r^2-4≧0
⇔r≦-2または2≦r
∴0でない実数全体で定義された関数x+1/xの値域はx+1/x≦-2または2≦x+1/x


Re: 高次方程式の解の個数について
名前:Haru    日付:2019/1/17(木) 23:36
こんなにご丁寧にありがとうございます!!

問題集などではここまで詳しく書かれることはないので,理解力の乏しい私には本当にありがたいです

教えていただいた内容をよく理解して他の問題にもフィードバックしていきたいと思います!
本当にありがとうございました!

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