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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:はる    日付:2017/8/14(月) 10:11
(1)不等式2√x>logxを用いて、lim[x→∞]logx/xを求めよ。

(2)kを定数とするとき、xについての方程式logx=kxの異なる実数解の個数を調べよ。

全然わからないんです。お願いします。



Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/8/14(月) 10:44
(1)はさみうちの原理を使います. 0<logx/x<「?」
2√x>log x をうまく使って, 0に収束するような 「?」 を見つけます.

(2)y=f(x)=log x/x と y=k の交点数, と読み替えれば, 教科書の例題を参考に解けるでしょう.

(untitled) 返信  引用 
名前:受験生です    日付:2017/8/14(月) 0:37
微分可能な関数f(x)について,次の等式をそれぞれ示せ。
lim h→0 f(-h)-f(0)/h=-f'(0)

lim h→0 f(a+2h)-f(a)/h=2f'(a)

お願いいたしますm(._.)m



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/14(月) 0:52
一問目)
(左辺)=lim[h→0]-{f(-h)-f(0)}/(-h)=(右辺)

二問目)
(左辺)=lim[h→0]2{f(a+2h)-f(a)}/(2h)=(右辺)

(untitled) 返信  引用 
名前:なお    日付:2017/8/13(日) 23:10
直角双曲線xy=1上の点Pにおける接線がx軸、y軸と交わる点を、それぞれ、Q.Rとし、原点をOとする。このとき、△OQRの面積は一定であることを示せ。
どなたかお願いします。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/13(日) 23:29
xy=1 (A)
より
y'=-1/x^2
∴点(t,1/t)における(A)の接線の方程式は
y=-(1/t^2)(x-t)+1/t
整理して
y=-(1/t^2)x+2/t
∴Q(2t,0),R(0,2/t)
となるので△OQRの面積をSとすると
S=(1/2)OQ・OR
=(1/2)|2t||2/t|
=2(一定)

(untitled) 返信  引用 
名前:高校生    日付:2017/8/13(日) 17:32
nθ=2mπ(mは整数)となる最小の正の整数nが16

このようなθはどのようにすれば分かるのでしょうか



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/8/13(日) 18:31
θが条件を満たすとする
16θ=2mπ,mは整数とおける。

mが偶数のとき m=2k
 8θ=mπ=2kπとなり16の最小性に反する。
よってmは奇数。
θ=(m/8)π,mは奇数。

逆に任意の奇数mが与えられたとき
θ=(m/8)π とすると
 16θ=16(m/8)π=2mπ
 nθ=n(m/8)π=2kπ となるとき nは16の倍数.
となりθは条件を満たす。

よって求めるθ=(m/8)π ,mは奇数.


Re: (untitled)
名前:高校生    日付:2017/8/13(日) 21:27
おお!!わかりやすいです!
ありがとうございました✧ \( °∀° )/ ✧

(untitled) 返信  引用 
名前:dameoyaji    日付:2017/8/13(日) 2:59
以下の問題の解法、よろしくお願いします。

次の3つの場合について、√(a-1)^2+√(2a-1)^2の根号をはずして簡単にせよ。

(1) a≧1
(2) 1/2≦a≦1
(3) a≦1/2



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/13(日) 22:59
「根号を外す」と書かれていますが、実際に行うのは
絶対値を外すことです。

(与式)=|a-1|+|2a-1|

後は(1)(2)(3)それぞれの条件において
与式の二つの絶対値の中の符号がどうなるか
に注意して、絶対値を外します。


Re: (untitled)
名前:dameoyaji    日付:2017/8/14(月) 23:52
回答ありがとうございます。

絶対値として捉えると分かりやすいです。

問題集の解答では、√m^2 = m(m≧0), -m(m≦0)であることを利用するとありますが、中学生の問題集なのに、負の平方根ということでしょうか?

中学生の問題 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/8/12(土) 19:55
すいません。画像の張り方が分からないので(他のサイトでも)こちらに、ヘタな図を描きました。http://kyoudai106.blog.fc2.com/

 線分ABを直径とする半円Oがあります。右の図のように、線分OAの中点をCとし、弧AB上にCD=OCとなる点Dをとり、点Cと点D、点Oと点Dをそれぞれ結びます。また、線分ODの中点をEとし、直線AEと弧ABとの交点のうち、A以外の点をFとします。

1、△AOE≡△DOCを証明しなさい。

2、点Dと点Fを結びます。∠DFEの大きさは、∠AEOの何倍か。

3、OA=4のとき、

  @△AOEの面積を求めよ。

  A3点D,E、Fを通る円の中心をPとし、Pと点Dを結びます。線分PDの長さを求めよ。

 この、最後の問題が分かりません。



Re: 中学生の問題
名前:mo    日付:2017/8/13(日) 0:17
概略です

△DPEと△DOAにおいて
DP:DO=PE:OA,∠DPE=∠DOA
2組の辺の比が等しくその間の角が等しい
△DPE∽△DOA

相似比を考え
DP:DO(4)=DE(2):DA(2√6)で
DP=(2/3)√6


Re: 中学生の問題
名前:キョウダイセブン    日付:2017/8/13(日) 10:7
 ちょっと、すぐに分からないので書いてもらったことを考えてみます。どうも、返信ありがとうございます。


Re: 中学生の問題
名前:ハロー    日付:2017/8/13(日) 17:20
 教えてもらったとおりにやってみたら、解けました!!
どうもありがとう御座いました。

(untitled) 返信  引用 
名前:ちえみ    日付:2017/8/9(水) 16:52
原点をOとし、定点A(1,2)を通る直線が、x軸、y軸の正の部分と交わる点を、それぞれ、P,Qとする。このとき、△OPQの面積の最小値を求めよ。
お願いします。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/9(水) 17:32
条件から直線PQの方程式は
y=-a(x-1)+2
(a>0)
と置くことができますので
P(1+2/a,0),Q(0,2+a)
∴△OPQの面積をSとすると
S=(1/2)OP・OQ
=(1/2)(1+2/a)(2+a)
={1/(2a)}(a+2)^2
=(1/2)(a+4/a+4)
よって相加平均と相乗平均の関係により
S≧(1/2){2√{a・(4/a)}+4}=4
(不等号の下の等号は
a=4/a、つまりa=2のとき成立)
よって求める最小値は4です。

返信  引用 
名前:みやけ    日付:2017/8/9(水) 9:54
ある洋菓子店で、昨日、シュークリームとショートケーキが合わせて250個売れた。今日売れた個数は、昨日に比べて、シュークリームが10%増え、ショートケーキが10%減り、シュークリームとショートケーキこ合計は一個減った。昨日売れたシュークリームとショートケーキの個数をそれぞれ求めなさい。

という問題で、なぜ 110/100x、 90/100yになるのかがわかりません。なぜ110と90が出てくるのでしょうか。

謎です。お願いします。



Re: 謎
名前:shion    日付:2017/8/9(水) 10:20
>今日売れた個数は、昨日に比べて、シュークリームが10%増え、ショートケーキが10%減り

の部分からきているのでしょう。昨日の全体の個数を100個としたら10%増えたのなら110個。
(110/100)xのxに昨日の売れた個数100を代入したら今日の個数110が出てきます。
割合なので、(1.1/10)xでも1.01xでも(220/200)xでもいいと思います。
しかし、%というのがもともと、100のうちのどれだけかということなので、そのように書いてあるのではないでしょうか。

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