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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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論理の式変形の考え方について 返信  引用 
名前:N    日付:2017/10/15(日) 23:7
正の数a,bについて
@ab<1⇒a+b<2、Aa+b<2⇒ab<1の真偽を調べよ。

解答)
@について
a=100,b=1/1000のとき
ab=100×1/1000=1/10<1で仮定は成り立つが
a+b=100+1/1000>2で結論が成り立たないので
命題は偽であると言えます。

ここからがよくわからないところですが、
結論を同値変形で式変形していくと
a+b<2⇔a<-b+2
b>0より両辺にbをかけて
ab<-b^2+2b
ab<-(b-1)^2+1となります
ここで、-(b-1)^2+1≦1であることから
ab<-(b-1)^2+1≦1となり
ab<1が導かれます。

この式と仮定を比較した時同じ式であるため
真と言えてしまいます。

論理的におかしいところはどこなのでしょうか。

次にAa+b<2⇒ab<1について、同様に式変形をすると
ab<-(b-1)^2+1≦1となり
ab<1が導かれます。

仮定がab<1となり結論がab<1であることから真となります。

以上、@とAで同じ式変形をして証明していきましたが
@のケースでは変に式変形したことにより真偽が変わって
しまい、Aでは答案を見ると正しい記述になっています。

それぞれで何が違うのでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。



Re: 論理の式変形の考え方について
名前:IT    日付:2017/10/15(日) 23:38
> @について
> ab<1が導かれます。

> この式と仮定を比較した時同じ式であるため
> 真と言えてしまいます。
何が真と言えるのですか?

> 論理的におかしいところはどこなのでしょうか。
@とAを混同していませんか?


Re: 論理の式変形の考え方について
名前:IT    日付:2017/10/15(日) 23:54
ご質問の意味を誤解していました。私の投稿は無視してください。
---------------------------------------------------------


Re: 論理の式変形の考え方について
名前:IT    日付:2017/10/15(日) 23:57
> @について
・・・(中略)
> ab<-(b-1)^2+1となります
> ここで、-(b-1)^2+1≦1であることから
> ab<-(b-1)^2+1≦1となり
> ab<1が導かれます。 ここで同値変形でなくなっています。


Re: 論理の式変形の考え方について
名前:IT    日付:2017/10/16(月) 0:6
@Aの真偽を視覚的に理解するには、グラフを描くと分かりやすいと思います。


Re: 論理の式変形の考え方について
名前:N    日付:2017/10/16(月) 7:25
返信ありがとうございます。

グラフの利用は思いつきませんでした。

反比例のグラフと1次関数のグラフの領域を考えると
反比例のグラフの領域の方が広く真偽ははっきりします。

ただグラフを利用しないで真偽を判断しようとした場合
の式の変形がよく理解できません。

@のab<-(b-1)^2+1≦1から
ab<1は同値変形ではありませんが、条件から導かれる
ため真偽に利用するのはおかしいのでしょうか。

Aでは条件がab<-(b-1)^2+1≦1から
同値変形ではりませんがab<1を得て
仮定のab<1と結論のab<1が同形であるから真と
参考書には解答が書いています。

いずれも最終的には同値変形ではありませんが、
この変形が@は誤りで、Aは正しいという理由が
わかりません。

どうぞよろしくお願いします。


Re: 論理の式変形の考え方について
名前:IT    日付:2017/10/16(月) 12:22
正の数a,bについて
@ab<1⇒a+b<2、Aa+b<2⇒ab<1の真偽を調べよ。

> いずれも最終的には同値変形ではありませんが、
> この変形が@は誤りで、Aは正しいという理由が
> わかりません。
元の問題の@、Aの矢印(⇒)の向きと
同値変形が崩れたところの矢印(⇒)の向きを確認してください。

手書きして確認されることをお勧めします。


Re: 論理の式変形の考え方について
名前:N    日付:2017/10/16(月) 17:36
何度も回答いただきありがとうございます。

もう一度ノートに書いて整理してしてみましたところ、勘違い
と言いますが誤りに気づきました。

a+b<2を同値変形し、ab<-(b-1)^2+1とし、ここから
ab<-(b-1)^2+1≦1が得られます。

この関係式からab<1が成立しますが、これはa+b<2を変形した結果
ab<1を得て、a+b<2 ⇒ ab<1が示されたということです。

したがって Aa+b<2⇒ab<1 は真であることが言えます。

おかげさまで理解できました。

割合 返信  引用 
名前:ビビ    日付:2017/10/15(日) 3:4
ある人の動画再生回数が68万回、
視聴者全体の数が6500万人だとした場合
6500万人のうち何人(何割)が見ているというような
計算式と答えを求めることは可能でしょうか?



Re: 割合
名前:IT    日付:2017/10/15(日) 6:41
同じ視聴者が2回以上見ることもあり得るので、式が決まらないと思います。
(さらに条件が必要です)

場合の数 返信  引用 
名前:徳間    日付:2017/10/14(土) 19:44
4人の男子と3人の女子が一列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。

(1) 女子3人のうち2人が隣り合うように並ぶ
(2) 女子が隣り合わないように並ぶ
(3) 女子2人が両端にくる
(4) 男女が交互に並ぶ
よくわからないので詳しく各問毎に解説してください。
よろしくお願いいたします。



Re: 場合の数
名前:IT    日付:2017/10/14(土) 22:11
(1) を女子3人が連続して並ぶときも含むとするなら(2) を求めてから
それを全体の並び方から引けばいいです。
(2) 男子4人を先に並べて男子の間5箇所から3つ選んで女子を並べると考えると
 4!*5*4*3 通り


Re: 場合の数
名前:IT    日付:2017/10/14(土) 22:14
男子の間5箇所 → 男子の間など5箇所(訂正)


Re: 場合の数
名前:IT    日付:2017/10/14(土) 22:21
(3) 女子2人が両端に来る
左端の女子を並べる。右端の女子を並べる、残りの5人を並べる
(3*2)*5!通り

(4) 男女が交互に並ぶ
男子4人を並べる.女子3人の順番を決めて男子の間3箇所に入れる.
4!*3!通り

不定方程式 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/10/14(土) 16:50
所持金660円で1個50円の商品Aと1個80円の商品Bを買う。所持金をちょうど使い切るとき、商品Aと商品Bをそれぞれ何個買えばよいか。

 商品Aをx円、商品Bをy円として
 50x+80y=660
 この式が解けません。解答がないのですが、よろしくお願いします。



Re: 不定方程式
名前:通りすがり    日付:2017/10/14(土) 18:59
50x+80y=660
より
5x+8y=66
5x=2(33-4y) (A)
ここでx,yは自然数ですので
33-4y
は少なくとも5の倍数となります。
0<33-4y<33
に注意すると
33-4y=5,10,15,20,25,30
これより
4y=33-5,33-10,33-15,33-20,33-25,33-30
このうちyが自然数となるものは
4y=33-5,33-25
のときで
y=7,2
これらを(A)に代入して
(x,y)=(2,7),(10,2)
よって商品Aと商品Bの個数は
2個と7個
又は
10個と2個
となります。


Re: 不定方程式
名前:ハロー    日付:2017/10/14(土) 22:47
 なるほど。とても良く分かりました。ユークリッドの互除法でないとダメなのかと思いましたが、この方が理解しやすいです。
ありがとうございました!

代数学・体論について 返信  引用 
名前:maa    日付:2017/10/14(土) 13:27
代数学・体論についての質問です。4次拡大 L/K で、中間体が L と K だけである例はどのようなものがあるでしょうか?



Re: 代数学・体論について
名前:pqr    日付:2017/10/15(日) 23:43
次のように考えてみました.

1. L/Kがガロア拡大であれば, 位数4の群は指数2の群を持つので, かならず2次拡大が存在してしまう.
なので, L/Kとしてはガロア拡大でないものを探さねばならない.

2. そこで, L/Kが(ガロアでない)分離拡大だとして, そのガロア閉包を M/K とします.
すると, ガロア群 G=Gal(M/K) は L に対応する指数4の部分群 H を持ちます.
この群が, H を含む指数2の部分群 G' (これはGの正規部分群ですが)を持てば,
それが, L/K の非自明な中間体(= K の2次拡大)に対応しますから,

群 G であって, 指数2の(正規)部分群を持たず, 指数4の部分群を持つものを探し,
群 G をガロア群にもつ体の拡大を見つければよい

ことになります. ここまでいけば, 頑張って探せそうです.
私はこの先はいろいろ調べてしまいましたが, 良ければ参考にして下さい.

まず, 正しさは検証していません(すぐ示せるでしょうが)が,
https://ja.wikipedia.org/wiki/交代群 によれば,
「4次交代群 A4は位数12で位数6(=指数2)の部分群を持たない」そうです.
また, (123)=(13)(12)で生成されるA4 の部分群は位数3(=指数4)ですから,
G=A4 は群としての条件は満たしています.

あとは, A4 をガロア群に持つような拡大を探せばよい(いわゆる「ガロアの逆問題」)ですが,
「A4 Galois group」と検索したら, Conrad さんという方の文章
(http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/galoisaspermgp.pdf)
がみつかりました. これもまた正しさは検証していませんが, p.8 の例4.15 に,
K=Q 上 T^4+8T+12=0 の分解体Mがガロア群 A4 を持つと書いてありました.

maaさんのそもそもの問題の例として, M の部分体 L/K で
4次拡大かつ, 中間体が Lと K だけのものが4つあるということも書いてあります.


Re: 代数学・体論について
名前:maa    日付:2017/10/16(月) 13:45
ありがとうございます!

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