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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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陰関数の存在定理に関して 返信  引用 
名前:りく    日付:2017/5/20(土) 15:35
お世話になってます。
以下に示す陰関数の存在定理について再度質問です

陰関数の存在定理
F:R^m×R^n→R^nをC^s級ベクトル値関数とし、(a,b)∊R^m×R^nをとる。(以降、F(x,y)(x∊R^m,y∊R^n)とかく)
F(a,b)=0とし、F_y(a,b)≠0(Fの、変数yについての(a,b)におけるヤコビアンが0でない)と仮定する。
このとき、aの近傍U,bの近傍V、C^1級写像φ:U→R^nが存在して、
F(x,φ(x))=0かつφ(a)=bを満たす

この定理の証明に関して、手持ちの本では以下のように証明すると記されています(概略のみ書かれています)
1 
G(x,y)=F(x,y)-F_y(a,b)(y-b)
f(x,y)=(-F_y(a,b))^{-1}*G(x,y)
とおくと、適切な(a,b)の近傍U×Vがあって、fはそこでリプシッツ条件を満たす

g_0(x)=b
g_{l+1}(x)=b+f(x,g_{l}(x))
として関数列g_lを定義すると、逐次近似法によりφの存在と一意性が言える。

φは仮定の条件を満たす

前回の質問から考えてみました。
1番は証明ができ、3番についても平均値の定理を用いて証明を行うことができました。
しかし、2番については、逐次近似法を用いる前段階での、「g_lの定義がwell-definedである」ことがうまく示せません。
fの定義域はR^m×R^n→R^nなので、実は当たり前なのではないか・・・、とも考えたのですが、引っかかっています。

長方形領域{||x-a||≦r,||y-b||≦ρ}でのwell definednessを証明するには
||g‗l(x)-b||≦ρ
を言わないといけないと思うのですが、この証明がうまくできませんでした
どのように式変形を行えばいいのか、ご教授いただけると助かります。よろしくお願いします



Re: 陰関数の存在定理に関して
名前:noname    日付:2017/5/21(日) 16:24
>g_lの定義がwell-definedである


well-definidという言葉の意味が「写像として矛盾なく定義されている」ということであれば,

・Gは,2つのwell-definedな写像の和で定義されているため,well-definedである
・fは,well-definedな写像と定行列の積で定義されているため,well-definedである
・各g_[ℓ]に関しては,g_[0]はwell-definedであり,g_[ℓ+1]はwell-definedな写像F,g_[ℓ]を使って定義されているためwell-definedである
(g_[ℓ+1]を構成する段階ではg_[ℓ]はwell-definedなものと仮定されている筈である)

により,写像の列{g_[ℓ]}の各項はどれもwell-definedではないのでしょうか?



※見当違いなことをコメントしている様であれば,申し訳ありません.


Re: 陰関数の存在定理に関して
名前:noname    日付:2017/5/21(日) 16:29
>長方形領域{||x-a||≦r,||y-b||≦ρ}でのwell definednessを証明するには
>||g‗l(x)-b||≦ρ
>を言わないといけないと思うのですが、この証明がうまくできませんでした


各g_[ℓ]の変数はxであるので,g_[ℓ]の定義域が

>長方形領域{||x-a||≦r,||y-b||≦ρ}

というのは変ではないでしょうか.g_[ℓ]の変数がx,yであれば意味をなしますが.


Re: 陰関数の存在定理に関して
名前:りく    日付:2017/5/22(月) 20:42
返信ありがとうございます

well-defined性はそのように、機能的に関数の合成からいえるのですね。
ありがとうございます。参考になりました

(untitled) 返信  引用 
名前:ちーた    日付:2017/5/20(土) 9:21
回答ありがとうございます。
申し訳ありません。
大分抜けていました。

sinα=(D/2−d/2)/(H−D/2)−(h−d/2)@
   =(D−d)/(2H−D)−(2h−d)A
=(D−d)/2(H−h)−(D−d)B

例図から角度を求める例題なのですが、@からAへの過程が理解できません。
よろしければもう一度お願い致します。



Re: (untitled)
名前:noname    日付:2017/5/20(土) 19:32
>(D/2−d/2)/(H−D/2)−(h−d/2)
>(D−d)/(2H−D)−(2h−d)
>(D−d)/2(H−h)−(D−d)


それぞれの式は,

(D/2-d/2)/((H-D/2)-(h-d/2))
(D-d)/((2H-D)-(2h-d))
(D-d)/(2(H-h)-(D-d))

のことを表しているのですか?

確率 返信  引用 
名前:るふる    日付:2017/5/20(土) 6:24
この問で質問です。

袋の中に、数字1のカード3枚、2のカード2枚、3のカードが1枚の合計6枚のカードがある。
この袋からカードを1枚だけ取り出し、数字を確認してから元に戻す試行を3回行う。
問題: 「2が1回だけ出て、かつ3が1回以上出る」という事象が起こる確率を求めよ。

答え: 3P3×1/2×1/3×1/6 +3C1×1/3×1/6×1/6=7/36
ここで順を考える理由が分かりません。
解答お願いします。急ぎません



Re: 確率
名前:IT    日付:2017/5/20(土) 7:34
「2が1回,3が1回,1が1回出る」という事象は

(1回目の数字、2回目の数字、3回目の数字)で表すと
(1,2,3)(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) の6通りあります。
(1,2,3)となる確率は1/2×1/3×1/6 で 他の5つも等しくなります。

「2が1回,3が1回,1が1回出る」という事象が起こる確率は
6通りのいずれか起きる確率ですから1/2×1/3×1/6の6倍になります。

この計算が正しいことは分かりますか?

これらをまとめて計算するのは難しいと思います。
順を考えずに、どう計算すると良いと思われますか?


Re: 確率
名前:るふる    日付:2017/5/20(土) 9:3
ITさん、ありがとうございました。!

(untitled) 返信  引用 
名前:ちーた    日付:2017/5/19(金) 22:40
式の解をお願い致します。

(H−D/2)−(h−d/2)@
=(2H−D)−(2h−d)A

@からAとするにはどうすればいいのでしょうか。
よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:けんけんぱ    日付:2017/5/19(金) 23:56
イコールで結んでありますが、間違ってませんか?

@=A×(1/2)
の関係ではあります。

記述の仕方について 返信  引用 
名前:R    日付:2017/5/19(金) 10:52
a+b+c=a+d(∵b+c=d)
=2a (∵d=a)

この「∵」の使い方は正しいですか?



Re: 記述の仕方について
名前:通りすがり    日付:2017/5/19(金) 17:45
問題ないと思います。

四元数について 返信  引用 
名前:太刀川    日付:2017/5/19(金) 7:11
四元数
a+bi+cj+dkの意味で、ベクトル(b,c,d)は方向ベクトルを指している気がするの
ですが、aはなんでしょうか

2次元で学んだ複素数に帰着すると、3次元ならばa+bi+cjでいいような気がするのですが。



Re: 四元数について
名前:noname    日付:2017/5/19(金) 9:4
少なくとも,複素数が軸が2本の複素平面上の点に対応する様に,四元数は軸が4本の空間内の点と対応します.このことを念頭に置かれるとよいかと思います.

(untitled) 返信  引用 
名前:rui    日付:2017/5/19(金) 1:48
すいません、数学の
「命題X=2ならばX^2=4である
この待遇を述べ真偽を答えよ」
とありましたが、
命題X=2ならばX^2=4である

真なのはわかりましたが、

待遇が真になるのがわかりません。

なぜならX^2=4でなければ、X=2ではないなんて。。。
反例としてX=-2があるではないですか?

これってどういうことですか、よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:noname    日付:2017/5/19(金) 9:0
>なぜならX^2=4でなければ、X=2ではないなんて。。。
>反例としてX=-2があるではないですか?


xに対して,

「x^2=4が成立しない」
⇒「xは2と−2のどちらでもない」
⇒「x=2は成立しない」

が言えます.一般に,与えられた命題とその対偶の命題の真偽は一致します.

整数問題 返信  引用 
名前:あ、    日付:2017/5/18(木) 23:38
『1+n+(n^2)/2!+(n^3)/3!+(n^4)/4!+(n^5)/5!+(n^6)/6!
が整数となるような2034以下の自然数nの個数を求めよ。』
教えてください



Re: 整数問題
名前:みずき    日付:2017/5/19(金) 1:25
m=1+n+(n^2)/2!+(n^3)/3!+(n^4)/4!+(n^5)/5!+(n^6)/6!とおく。

両辺に6!をかけて
6!m=6!+6!n+6×60n^2+6×20n^3+6×5n^4+6n^5+n^6
mが整数なので、n=6k(kは正整数)となることが必要。

両辺を6で割って
5!m=5!+5!n+5×12n^2+5×4n^3+5n^4+6^5k^5(1+k)だから
k^5(1+k)が5の倍数であることが必要で k≡0,4(mod 5)

よって、n=30Nまたはn=30N-6(Nは正整数)が必要。
一方、このときmは整数になります。

答えは [2034/30]+[(2034+6)/30]=67+68=135個

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