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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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マルチポストですが、宜しくお願いします。 返信  引用 
名前:kitano    日付:2017/6/22(木) 13:32
kitano です、フィボナッチ数列の応用

高校数学質問

問題

http://imgur.com/a/Vxzgh

宜しく、御願いします。

kitano
http://imgur.com/a/Vxzgh



Re: マルチポストですが、宜しくお願いします。
名前:kitano    日付:2017/6/22(木) 13:35
漸化式を求める所まで

 自力でいきました。

参照

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14175712739

その先がとけません。

宜しく御願いします。

kitano
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14175712739


Re: マルチポストですが、宜しくお願いします。
名前:ググ    日付:2017/6/22(木) 14:1
フィボナッチ数列の一般項はよく知られているので
http://mathtrain.jp/fibonacci
これを使って機械的に計算するだけです

上のサイトのように
α=(1+√5)/2
β=(1-√5)/2
とおくと一般項は
an = (1/√5)(αnn)
なので

an2-an-1an+1 = {(αnn)2-(αn-1n-1)(αn+1n+1)}/5 = (α-β)2(αβ)n-1/5 = (-1)n-1
(αβ=-1などを使用)

よって
a1002-a99a101 = -1


Re: マルチポストですが、宜しくお願いします。
名前:kitano    日付:2017/6/22(木) 14:50
ググさん、こんにちは、

 ご回答有難うございます。途中わからない所があるので、教えて下さい。

> {(αn-βn)2-(αn-1-βn-1)(αn+1-βn+1)}/5 = (α-β)2(αβ)n-1/5

上の式の左辺から右辺です、正直、さっぱりなので、
詳しく教えて頂けると幸いです。

kitano


Re: マルチポストですが、宜しくお願いします。
名前:kitano    日付:2017/6/22(木) 14:57
ググさん

申し訳ありません、自己解決しました。


 有難うございました。


kitano

(untitled) 返信  引用 
名前:そら    日付:2017/6/21(水) 21:17
お世話になってます。

複素関数論の鏡像の原理に関して質問です


fをD:0<Im(z)<πで正則かつ、cl(D)(Dの閉包)で連続とする。
もしDの境界∂Dにおいて、fが実数値をとれば、fはC全体に解析接続されることを示せ。
また、解析接続されたfは、
f(z+2πi)=f(z)
を満たすことを示せ


ヒントとしては、鏡像の原理を繰り返し使え、とあるのですが、
鏡像の原理は、Dの境界∂Dがある実軸の開区間を含んでいないと使えません。
いま、鏡像の原理から、fの定義域が
−π<Im(z)<π
まで広がることは分かりましたが、そのあとC全体に接続する方法がわかりません。
領域を平行移動して、境界に実軸がふくまれるようにするのでしょうか?



Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/6/21(水) 22:34
>領域を平行移動して、境界に実軸がふくまれるようにするのでしょうか?

思いついたのなら, 試してみましょう.

0≦Im(z)<2π上の関数 g(z) を g(z)=f(z-πi) と定義すると,
g(z) には, 鏡像の原理が適用できるでしょうか?


Re: (untitled)
名前:そら    日付:2017/6/26(月) 22:48
返信が遅れてしまいすみません

考えていたのですが、pqr様の提示されたgには鏡像の原理が適用できそうです
平行移動(一次分数変換)とfの合成と考えれば、正則性が保存されるからです。

>また、解析接続されたfは、
f(z+2πi)=f(z)
を満たすことを示せ

というところがうまく言えないのですが、どうすればいいのでしょうか?


Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/6/27(火) 0:10
幅πの帯を上下に折り返して拡張していくことになりますが,
折り返すごとに, 関数値は共役の値を取ります.

例えば, z=x+1/3πi の Im(z)=0 に関する対称点は z1=x-1/3πi で, f(z1)=(f(z))~ となります.
また, z1=x-1/3πi の Im(z)=-π に関する対称点は z2=x-5/3πi = z-2πi で, f(z2)=(f(z1))~となります.

結局,
z=z2+2πi で f(z2+2πi)=f(z)=(f(z)~)~=f(z_1)~=f(z2)
となります.

このことを一般にして考えてみてはいかがでしょうか?

三角関数 返信  引用 
名前:エル    日付:2017/6/21(水) 20:54
0≦a<x<b≦πとする。次の不等式を証明せよ。
(sinb-sina)cosx-(cosb-cosa)sinx>sin(b-a)
という問題の左辺の変形をしたとき、
2sin(b-a)/2cos{(b+a)/2-x}という式になり、
a<x<bなら-(b-a)/2<x<(b-a)/2より
cos(b-a)/2<cosa{(b-a)/2-x}となるとかかれているんですが、a<x<bなら-(b-a)/2<x<(b-a)/2という不等式の変形が分からないです。お願いします。丁寧に教えていただけると嬉しいです。



Re: 三角関数
名前:通りすがり    日付:2017/6/21(水) 21:17
-(b-a)/2<x<(b-a)/2 (A)
は成立しません。

反例)
a=1,b=2のとき
0≦a<x<b≦π (B)
が成立していますが
(b-a)/2=1/2<1=a
∴(B)は(A)に含まれません。


Re: 三角関数
名前:IT    日付:2017/6/21(水) 21:39
a<x<bなら-(b-a)/2<(b+a)/2-x<(b-a)/2より

の間違いでは、途中+-記号の記入ミスもあると思います。


Re: 三角関数
名前:IT    日付:2017/6/21(水) 21:41
> cos(b-a)/2<cosa{(b-a)/2-x}となるとかかれているんですが、

cos(b-a)/2<cosa{(b+a)/2-x} では?


Re: 三角関数
名前:IT    日付:2017/6/21(水) 22:9
a≦x≦bにおいて
(b+a)/2-x は、x=a のとき最大で、x=b のとき最小ですから

a<x<bなら-(b-a)/2<(b+a)/2-x<(b-a)/2
が言えますよね。

不等式を変形してもいいですが、


Re: 三角関数
名前:エル    日付:2017/6/22(木) 0:48
ありがとうございます。解決致しました。

カッコと指数の優先順位 返信  引用 
名前:ゴルトン    日付:2017/6/21(水) 18:21
次の式を因数分解せよ。
(x^2+x-5)(x^2+x-7)+1
~~~~~~~~~~~~~~~
{(x+3)(x-2)}^2   ----@
=(x+3)^2(x-2)^2   ----A

ここで気になった事があります。
この問題に限ったことではないのですが、数学の解答として二種類のカッコを使うことは良くないのでしょうか?
個人的に波カッコの形が嫌いなので@は嫌いなのですが、かといって指数を2回に分けて書くAも少し違和感を感じます。
くだらない細かすぎる質問で申し訳ないのですが、どなたかご教授ください。



Re: カッコと指数の優先順位
名前:IT    日付:2017/6/21(水) 19:43
((x+3)(x-2))^2 でも(x+3)^2(x-2)^2でも、左右のカッコが正しく対応していれば問題ないと思います。

手書きの場合、指数の^2 は右肩に小さく書くので紛れることはないと思います。


Re: カッコと指数の優先順位
名前:IT    日付:2017/6/21(水) 20:37
> 二種類のカッコを使うことは良くないのでしょうか?
に答えてなかったです。
まったく問題ないです。
どちらかというと複数のカッコを使った方がカッコの対応間違いしにくいと思います。
3種類のカッコを使うこともありますね。[{(a+b)^2+c}^2+{(d+e)^2+f}^2]^3 など


Re: カッコと指数の優先順位
名前:ゴルトン    日付:2017/6/22(木) 16:39
丁寧な回答をありがとうございます。
自分で言うのもなんですが、おかしなところが気になってしまうので質問しづらかったので回答をいただけて助かりました。
おかげさまでこれから確信を持って回答することができます。
スッキリしました!
ありがとうございました!

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