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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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対角化 返信  引用 
名前:固有ベクトル    日付:2019/5/14(火) 13:5
対角化の問題です

1.0.0
A=0.3.-1 とします
0.-1.3

固有値が-1.2.4と求まり固有ベクトルを求めたところ
2のとき s(0.1.1)^t 4のときu(0.-1.1)^t とまでは出ますが
1のときv(1.0.0)^t+w(0.2.1)^tとなり、重複解なのにおかしいとおもって答えを見たところv(1.0.0)のみを固有ベクトルとしていました。
たしかにw=0としても一次独立ではあるのですが、w=0とすることに少し違和感を感じます。仮にv=0とやってもいいってことですよね?

そもそも重複解でもないのに解の自由度が2つあっていいのかぎ謎です。どなたか回答よろしくお願いします。



Re: 対角化
名前:固有ベクトル    日付:2019/5/14(火) 13:10
なかなか誤字してますねすみません。

Aがずれているのもすみません。

重複解なのに じゃなくて重複解でもないのに です

2つあってもいいのかぎ謎 は 2つあってもいいのかが謎です


Re: 対角化
名前:ast    日付:2019/5/14(火) 18:32
> 重複解でもないのにおかしいとおもっ
たのはちゃんとした理由まである正しい判断だったはずなのに, それでどうして
> w=0とし (中略) 仮にv=0とやってもいいってことですよね?
となってしまったのか, まず計算間違いを疑うのではないでしょうか…….

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((1,0,0),(0,3,-1),(0,-1,3))*(x,y,z)+%3D+1*(x,y,z)


Re: 対角化
名前:固有ベクトル    日付:2019/5/14(火) 18:43
途中
0 0 0
0 -2 1
0 1 -2
と出てきて勝手にs2-2×s3をしてました…
2列目3列目が、綺麗な形で勝手に相殺できると思い込んでました。計算ミスかな?と思ってチェックしてましたがすみません、計算ミスでした。

極力気をつけます。

数列の和 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/5/11(土) 22:30
【問題】
S(x)=1+(a_1×x)+(a_2×x^2)+・・・+(a_k×x^k)+・・・+(a_n×x^n)とする。a_k=2k+1,x≠1の時,S(x)は?

【解答】
S(x)=1+3x+5x^2+・・・+(2n+1)x^n なので,S(x)とxS(x)の差をとって
(1-x)S(x) = 1+2x+2x^2+・・・+2x^n-(2n+1)x^(n+1) となり,
S(x) = {1+x-(2x+3)x^(n+1) + (2n+1)x^(n+2)}/(1-x)^2

計算過程において,S(x)とxS(x) の差をとって考えていくのは常套手段なのでしょうか?
自力でこの解法を導きだせる気がしないため,どのような着眼点で今回の解法を用いているのか教えていただけると助かります。
お願い致します。



Re: 数列の和
名前:通りすがり    日付:2019/5/12(日) 10:4
教科書で等比数列の和の公式の項目を調べ、
そこで和の公式の証明過程をもう一度復習しましょう。


Re: 数列の和
名前:Haru    日付:2019/5/12(日) 22:14
等比数列の和の公式の証明過程は存じ上げており,今回の解法もそれに似たものだとは感じていました。
そこで,同じ質問になり申し訳ないのですが,本問ではa_k=2k+1の時,S(x)=1+3x+5x^2+・・・ となり,等比数列の和ではないように思えます。
それなのにも関わらず,等比数列の和の公式の証明過程の考え方を利用している部分に違和感を感じたため,どのような部分に着目して,今回の解法を導き出したのかの思考過程を教えていただけると幸いです。


Re: 数列の和
名前:通りすがり    日付:2019/5/12(日) 22:58
S(x)-xS(x)を考えることで、x^k(k=1,…,n)の係数が
{a[n]}の階差数列
になることがポイントです。
この問題では{a[n]}は等差数列ですので階差を取れば
x^kの係数は全て公差、つまり値の定数となります。


Re: 数列の和
名前:IT    日付:2019/5/13(月) 18:52
> 自力でこの解法を導きだせる気がしないため

それで普通だと思います。
これは一度類題をやったことがなければ一般人が自力で0から発見するのは難しいと思います。
自力で発見できるのは、かなり数学的センスが高い人たちだと思います。


Re: 数列の和
名前:Haru    日付:2019/5/15(水) 8:4
ITさん >
なるほど!
問題集の解答において,すべての解法に理由付けをしていきたいと思っていたのですが,本問のように類似問題を解いて,解法の選択肢の蓄積を増やしていくことで解いていく問題もあることを念頭におきながら進めたいと思います!
ありがとうございました!

通りすがりさん >
「{a[n]}が等比数列であるため,S(x)とxS(x)の階差数列を考えると,x^kの係数がすべて同じになる」という考え方はためになりました!
これを常に意識しながら問題を解くのは難しそうですが,今回の解法を納得するための大きな理由になりました!ありがとうございました!


Re: 数列の和
名前:ast    日付:2019/5/15(水) 13:22
S(x) を数列 a_n の母函数と思えば, 数列の漸化式に合わせて S(x) の満たす函数方程式を作って解ければ S(x) の閉じた表示が得られるなと目論むのはセンスが無くても定石として思いつくだろうとは思います.

## 公比xの等比数列を常に 1 となる定数列の母函数と見なすことはややテクニカルな気はしますが,
## そう看做したうえで, 係数列が等差数列なら階差は定数列なので,
## 階差が常に 0 の定数列となる等比数列の和と類似性が有ってもまあむべなるかな

そうは言っても, そもそも (等差数列)×(等比数列) の形をした数列の和なんてド定番な問題で, x を掛けてズラして引く解法も定石も定石なもの (掛け算九九を暗記するが如く) なので,「自力でこの解法を導きだせる気がしない」などと言っている場合ではないし, IT さんのご回答が教育的配慮も含めて適切なものと私も思います.
# 数学が得意な人は黙ってても持ち得るあらゆる手を試していると考えるべきだと思います.
# 上手く行くかどうか悩んで試さないくらいなら, まずためして無駄だと切り分けるほうがよほどマシだし, むしろ無駄だと確認できたらできたでうれしいものです.

積分の置換 返信  引用 
名前:せきぶん    日付:2019/5/10(金) 18:14
積分の置換についてです。
(x^3-3x +1)/√(x-1)dxの積分で積分範囲はtから3とします。

ここで、自分はx -1=t とおき、dx=dtで積分範囲がt-1から2となり
元の式を書き変えると
3t^3/2 dtとなってあとは計算すると6/5×(2^5/2-(t-1)^5/2)となりました

答えを見ると√(x-1)で置換しており、2(t^6+3t^4-1)dtとなっており答えが違いました。この定積分の置換による答えの違いは何なのでしょうか?



Re: 積分の置換
名前:ast    日付:2019/5/10(金) 19:26
どっちでやっても
(178√(2))/35-2(5(t-1)^3+21(t-1)^2-35)√(t-1)/35
という同じ値になるはずですよ.
# 計算は苦手なので Wolfram Alpha に頼んだ
というか積分範囲に t があるのに t で置換すると地雷踏みにいってるようなものだし
(わかっててちゃんと区別できてるなら問題ないけど)やめたほうが良いのでは…?
あと, 定積分なので変数の置換で積分範囲も置換するよりは
積分後にもとの変数に戻してもとの積分範囲で代入計算するほうがやや安全かと.

## > 積分範囲はtから3
## あまり変わらないのかもしれないですが,
## 積分範囲の下の限界を変数にするような問題は上の限界を変数にする問題に慣れてからのほうがよさそう


Re: 積分の置換
名前:ast    日付:2019/5/10(金) 19:33
というか,
> 3t^3/2 dtとなってあとは計算すると6/5×(2^5/2-(t-1)^5/2)となりました
が間違ってますね. ∫(x^3-3x+1)dx/√(x-1) で x-1=:t と置いたのなら,
x^3-3x+1=t^3+3t^2-1 だから
 ∫(x^3-3x+1)dx/√(x-1)=∫(t^3+3t^2-1)dt/√t
 = ∫(t^(5/2)+3t^(3/2)-t^(-1/2))dt
です.


Re: 積分の置換
名前:せきぶん    日付:2019/5/10(金) 19:56
すみません。計算ミスでしたね…

ありがとうございます。

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