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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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円と直線 返信  引用 
名前:mika    日付:2017/6/21(水) 15:20
円 x^2+y^2=1 直線 y=x+k

直線が円に接するkとその座標を求めよ

座標が求められません。お願いします



Re: 円と直線
名前:通りすがり    日付:2017/6/21(水) 21:1
条件を満たすためには、問題の円と直線との交点のx座標についての方程式
x^2+(x+k)^2=1 (A)
が重解を持てばよいので(A)の解の判別式をDとすると
D/4=0
これからkの方程式を導いて解き、その結果を(A)に
代入して、接点のx座標を求めます。


Re: 円と直線
名前:イプシロン    日付:2017/6/22(木) 22:53
参考までに。。。

別解1
x^2+(x+k)^2=1,つまり 2x^2+2kx+k^2-1=0 が重解をもてば良い。
2次方程式の解と係数の関係から,2α=-k かつ α^2=(k^2-1)/2


別解2
円の中心(0,0)と 直線 x-y+k=0 の距離は|k|/√2 であり,これが 1 であれば良い。
として k を求める。

基礎計算のはなし 返信  引用 
名前:営業職    日付:2017/6/21(水) 14:11
計算のイメージがわからないんです
1)100/0.8=125
2)100*0.8=80
2番は、100に対する80%だから80とイメージし易いのですが
1はどうして125になるんですか?
100に2割のせて120だと腑に落ちるんですが。
初歩的ですみません。分かりやすく説明お願いします



Re: 基礎計算のはなし
名前:由香    日付:2017/6/21(水) 17:7
100x1.25=125  ・・・A
100x1.25x0.8=125x0.8
1.25x0.8=1だから
100=125x0.8
両辺を0.8で割ると
100/0.8=125
と、式変形できます。これを逆にたどれば、Aになります。

もっとも
1)100/0.8=125
この式の意味は、
125x0.8=100 と全くおなじです。
式の両辺を0.8で割ると 問題の式です。
この関係式を潜在的に承知・理解しているので、100/0.8=125
と書けるわけです。

もう少し言えば、
100を比で0.25上げ →100を1.25倍 →125
125を比で0.2下げ →125を0.8倍 →100 
つまり、下値から25%上げた数値を元に戻すには上値から20%下げるしかないのです。
同じ25の変動でも、下からの変化で見るなら25%
          上からの変化で見るなら20%

比は、それを測るときの視点(スタート点)が重要です。

(untitled) 返信  引用 
名前:くま    日付:2017/6/21(水) 13:1
⑴13^11を221で割った時の余りをbとする。bの値を求めなさい。
⑵b^35を221で割った時の余りをcとする。cの値を求めなさい。
がわかりません。教えてください。



Re: (untitled)
名前:みずき    日付:2017/6/21(水) 16:19
221=13×17であることに注意します。


13^11=221m+b (m,bは整数で0≦b<221)とおくとき、bは13の倍数。
b=13r(rは整数で0≦r<17)とおいて両辺を13で割ると
13^10=17m+r
ここで13^2=169≡-1(mod 17)により
r≡13^10≡(13^2)^5≡(-1)^5≡-1(mod 17)
∴ r=16
∴ b=13r=13×16=208


(13×16)^35=221n+c (m,cは整数で0≦c<221)とおくとき、cは13の倍数。
c=13s(sは整数で0≦s<17)とおいて両辺を13で割ると
13^34×16^35=17n+s なので
s≡13^34×16^35≡(13^2)^17×(-1)^35≡1(mod 17)
∴ s=1
∴ c=13s=13×1=13

式変形 返信  引用 
名前:エル    日付:2017/6/21(水) 1:14
a<x<bなら-(b-a)/2<x<(b-a)/2になる変形が分かりません。
丁寧に教えていただけると嬉しいです。



Re: 式変形
名前:けんけんぱ    日付:2017/6/21(水) 11:11
a<x<b
(-1)を掛けて-b<x<-a
辺々加えてa-b<2x<b-a)
2で割って(a-b)/2<x<(b-a)/2


Re: 式変形
名前:WIZ    日付:2017/6/21(水) 11:47
けんけんぱさんへ、

> (-1)を掛けて-b<x<-a

(-1)を掛けたら、-b < -x < -a となると思いますので、
辺々加えても a-b < 0 < b-a という関係が分かるだけです。


Re: 式変形
名前:けんけんぱ    日付:2017/6/21(水) 12:22
とっても恥ずかしい。
ご指摘ありがとうございます。

a=1,b=2 とすれば
-(b-a)/2=-1/2
(b-a)/2=1/2
なので、
1<x<2 なら-1/2<x<1/2
となってしまします。

問題はあってますか?


Re: 式変形
名前:エル    日付:2017/6/21(水) 17:21
すみません。説明足らずでした。
0≦a<x<b≦πとする。次の不等式を証明せよ。
(sinb-sina)cosx-(cosb-cosa)sinx>sin(b-a)
という問題の左辺の変形をしたとき、
2sin(b-a)/2cos{(b+a)/2-x}という式になり、
a<x<bなら-(b-a)/2<x<(b-a)/2より
cos(b-a)/2<cosa{(b-a)/2-x}となるとかかれているんですが、元の質問の不等式の変形が分からないということです。お願いします。

高校数学軌跡 返信  引用 
名前:うるしもち    日付:2017/6/20(火) 17:54
「kは実数で -2≦k≦2√3 を動くとき 円板 x^2 + y^2 +kx -ky-2=0 の通りうる面積を求めろ」お願いします
方針としてはkについての不等式として見てkのとりうる端を代入して図示しようとしましたがうまく図示できません
ご教授ください



Re: 高校数学軌跡
名前:IT    日付:2017/6/20(火) 18:21
円の標準の方程式の形にして、円の中心がどう動くかを調べればよいのでは。


Re: 高校数学軌跡
名前:IT    日付:2017/6/20(火) 18:24
半径も変わりますね。図を描けば面積が出せそうですね。


Re: 高校数学軌跡
名前:IT    日付:2017/6/20(火) 18:35
x^2 + y^2 +kx -ky-2=0
x^2+y^2+k(x-y)-2=0
x=y のとき 2x^2-2=0 なので
円は定点A(1,1),B(-1,-1) を通ることを使ったら良さそうですね。

複素関数 返信  引用 
名前:そら    日付:2017/6/20(火) 16:27
お世話になってます。


fを整関数とし、M(r)=max{|f(z)|;|z|=r}とおく。
すべてのr>0に対して、M(r)≦Mr^aを満たす正の数Mと正の数aが(rによらずに)存在するならば、
fは高々[a]次の多項式であることを証明せよ。
ただし、[a]はaを越えない最大の整数を表す

この問題を考えていて、次のように考えました。

まず、fは整関数だから、とくに原点でも正則で、そこでテイラー級数に展開される
それを
f(z)=Σ[n=0,∞] c_n*z^n
と表す。
n>aのとき、|f^(n)(0)|=0(fのn階導関数の原点Oでの値の絶対値=0)を示せばよい。

この方針で考えていて、
|f^(n)(0)|≦n!*M/r^{n-a}
と評価することができ、あとはn→∞のとき、n!*M/r^{n-a}→0となればいいと思うのですが、
式の形からそうなるように見えません(分子に階乗があるため)
この方針だと間違いなのでしょうか?
他に評価の方法があったり、右辺が0収束するのであれば教えていただきたいです。
ご教授をよろしくお願いします



Re: 複素関数
名前:ペンギン    日付:2017/6/20(火) 17:48
大体の方針は合ってると思います。
直接c_nの絶対値をコーシーの積分公式で評価して、rを無限に飛ばせば、
c_n→0となることが示せます。

リウヴィルの定理の証明法とほとんど同じです。


Re: 複素関数
名前:そら    日付:2017/6/21(水) 21:3
返信ありがとうございます

nではなくrを無限にとばすのですね、
考えてみればそうでした・・・

ありがとうございました!

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