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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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新しい素数判定法(?) 返信  引用 
名前:shimauma    日付:2019/5/9(木) 21:1
下のような素数判定法を見つけたのですが、
もうあるものだったりとか、間違ってたりとかしたら教えてください。


xを調べる数だとすると

素数だと (x!+x)/x^2 の答えが必ず自然数(素数?)になります。
それ以外は必ず小数になります。


一応、61までの数は使えることを確かめてみました。
ただ仕組みがよくわかりません、、

もし、もう発見されているものなら、よろしければ解説もお願いします。

それと、自分にはできないのですが
証明してくださる方がいれば、ぜひお願いします。



中学生なのであまり数学に詳しいわけではないので、変なところがあったらすみません、、



Re: 新しい素数判定法(?)
名前:IT    日付:2019/5/9(木) 21:28
まず
> 素数だと (x!+x)/x^2 の答えが必ず自然数になります。
は正しいです

(x!+x)/x^2=((x-1)!+1)/x で

(x-1)!=kx-1(kは自然数)であることが知られています。(証明は別途)
したがって(x!+x)/x^2=k  


Re: 新しい素数判定法(?)
名前:IT    日付:2019/5/9(木) 21:29
xが素数のとき (x-1)!=kx-1(kは自然数)が知られている。 です。


Re: 新しい素数判定法(?)
名前:IT    日付:2019/5/9(木) 21:34
素数だと (x!+x)/x^2 の答えが必ず素数?
ではないですね。
x=2 のとき 与式=1


Re: 新しい素数判定法(?)
名前:IT    日付:2019/5/9(木) 21:47
ウイルソンの定理です。
下記などに証明と解説があります。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86


Re: 新しい素数判定法(?)
名前:IT    日付:2019/5/9(木) 21:50
上のウイルソンの定理によれば
2以上の整数xについて、((x-1)!+1)/x が整数ならxは素数。も正しいです。


Re: 新しい素数判定法(?)
名前:IT    日付:2019/5/9(木) 21:51
下記の証明が良いかも知れません。
https://mathtrain.jp/wilson


Re: 新しい素数判定法(?)
名前:IT    日付:2019/5/9(木) 21:57
「ウイルソンの定理」として初等整数論で広く知られている定理ですね。
既知な定理ですが、御自分で見つけられたのは、すばらしいと思います。


Re: 新しい素数判定法(?)
名前:shimauma    日付:2019/5/10(金) 7:57
丁寧な回答ありがとうございました!

証明については正直あまり理解ができなかったのですが、
わかる人に教えてもらおうと思います。

ウイルソンの定理っていうんですね、、

ちなみに、これを使ったら素数の規則性とかってわかるような気がするんですけど気のせいですか?

書き方 返信  引用 
名前:mika    日付:2019/5/9(木) 6:34
厳密に表現するために定義(あるいは定理)の表現について考えていたのですが、これは表現として正しいでしょうか?


あらわしたい文:
空でないグラフGにおいて、どの2個の頂点も道で結ばれているとき、Gは連結であるという。


厳密にした式:
日本語: PはGの部分グラフのうち道であるもの全体の集合

式: P = {p ∈ H| ∀H⊆G、Hは道}

日本語: Gの任意の2頂点x,yに関して、x-y道はPの元であるならば、Gは連結である

式: ∀x,y∈V(G) ∃p∈P p = x-y道 ⇒ Gは連結


どうでしょうか。ご教授宜しくお願い致します。
変な感じがするのは、連結の定義を話しているのに、⇒の先に「Gは連結」と来てしまっているところです。
「Gは連結 := 」と書くべきでしょうか?もしそう書く場合はどのようにして書くのが良いのでしょうか?
(「x-y道とはxとyを端点とする道」「V(G)とはGの頂点集合である」は文脈で定義されているとする)



Re: 書き方
名前:mika    日付:2019/5/9(木) 6:36
訂正:
P = {p ∈ H| ∀H⊆G、Hは道}
ではなく
P = {∀H⊆G | Hは道}


Re: 書き方
名前:Halt0    日付:2019/5/10(金) 9:10
>変な感じがするのは、連結の定義を話しているのに、⇒の先に「Gは連結」と来てしまっているところです。

まず、定義で「〜のとき連結であるという」みたいに書いたら、「〜のとき(かつそのときに限り)連結であるという」という意味なので、⇒ではなく⇔の記号を使うのが適切です。
書き方としては

Gは連結⇔∀x,y∈V(G) x-y道が存在する

のようにして、⇔の下に「def.」と書くと、左側に定義したいもの、右側に定義の内容、みたいな感じになります。(割とカジュアルな書き方なので、書籍などではあまり使わないかと思いますが。)
:=はまた使い方が別で、f(x,y):=x^2+y^2 のように、左側の式を右側の式で定義します、というようなときに使います。今回の「Gは連結」は命題なので⇔(の下にdef.)を使います。

ちなみに、書かれているPの定義が色々とおかしいです。(長くなるので一旦これで返信とします。)


Re: 書き方
名前:Halt0    日付:2019/5/10(金) 9:28
すいません、ちょっと勘違いしてて、色々とおかしい、は言い過ぎでした。
気になるのは以下です。

>P = {∀H⊆G | Hは道}

∀はいらないです。

>p = x-y道
x-y道は複数あるかもしれません。一方でpというのはただひとつの道です。なのでそれらを等号で結ぶのは変です。
「pはx-y道である」とかでいいと思います。

Tap(就職試験)の例題 返信  引用 
名前:るな    日付:2019/5/8(水) 20:45
直角三角形において、斜辺は6p、底辺をy、対辺を5pとする。Sinx=1/2、90°>x>0°のときのtanθはいくら?

の詳しい求め方がわかりりません、どうぞよろしくお願いします。



Re: Tap(就職試験)の例題
名前:mo    日付:2019/5/9(木) 0:48
>直角三角形において、斜辺は6p、底辺をy、対辺を5pとする。
ここまでは良いとして

Sinx=1/2、90°>x>0°のときのtanθはいくら?
これは、…
 x とは?、θ とは? 何でしょうか?


Re: Tap(就職試験)の例題
名前:るな    日付:2019/5/9(木) 21:3
すみません、問題文がミスのようでした。
管理人さんに削除依頼したのですが、削除されません。
お手数おかけしました。

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