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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:KAI    日付:2017/8/9(水) 9:47
kは実数の定数とする。0 < x < πの任意のxに対して不等式
sin(x) ≦ k*e^x
が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。



Re: (untitled)
名前:さめ    日付:2017/8/9(水) 11:3
k≧exp(-π/4)/√2

解析入門 返信  引用 
名前:らい    日付:2017/8/9(水) 8:59
lim[n->∞]sup a[n] = α ならば 任意のε>0に対し、ほとんど全てのnについてa[n]<α+ε が成り立つこと示したいです。

回答は以下のようになっているのですが、

---

@(結論の否定は、)あるε>0に対して、無限に多くのnについてa[n]≧α+εが成り立つとする。
AB = {x | x≦a[n]となるnが無限に存在する} とおくと、α+ε∈B
B(教科書の)定理より lim[n->∞]sup a[n] = supB
Cゆえにα+ε≦supB≦B となるがこれは矛盾である。

よって題意が示された。

---

この回答のうち、Cで矛盾していることがどの仮定に矛盾しているのかわかりません。
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。



Re: 解析入門
名前:さめ    日付:2017/8/9(水) 11:27
どの範囲でsupを取っているのか明確にしてください
文脈的にsup (n≧m) {a[m]}ですね?
もしくはlimともsupとも異なるlimsupという記号もあり,これを使えば
limsup(n→∞) a[n]
と書いても同じこと

また「ほとんど全ての」という曖昧な表現は数学の議論はできません
※測度論、Lebesgue積分論で使われる「ほとんど全ての」という数学用語がありますが、今はその意味で使っているのではありませんね?
たとえば "有限個のnを除いてa[n]<α+ε" という表現なら厳密です

4にsupB≦Bと書かれていますが数字と集合を不等号で結んでいて意味不明です


回答は読む価値なし
質問は
limsup(n→∞)a[n]=αならば,任意のε>0に対し,有限個のnを除いてa[n]<α+εが成り立つ
理由が知りたいと解釈すれば成り立って

結論を否定すれば,あるε>0があり,任意のNに対して,n>Nかつa[n]≧α+εを満たすnが存在する,となります
これはsup (n≧m) {a[m]} ≧ α+εを意味していてlim(n→∞)をとると
limsup(n→∞)a[n]≧α+ε
です つまり
α≧α+ε
なので矛盾です


Re: 解析入門
名前:らい    日付:2017/8/9(水) 23:15
さめさん

回答いただきありがとうございます。
また、記載方法に不備がありお手数おかけしました。
質問の意図としては、さめさんに解釈いただいた通りの内容になります。

シンプルに、α≧α+εによって矛盾が生じていることに気づきませんでした。
納得できました。ありがとうございます。

極限 返信  引用 
名前:ξ    日付:2017/8/9(水) 6:38
数列{a(n)}をa(1)=1,a(n)=1+{a(n-1)}^2/n^2
(n=2,3,4,…)で定める.このときlim[n→∞]a(n)を求めよ.



Re: 極限
名前:さめ    日付:2017/8/9(水) 10:58
1

ポアソン方程式 返信  引用 
名前:Yoshikita    日付:2017/8/8(火) 22:58
※恐縮ですが、これは数学ではなく電磁気学の問題です。
もしわかる方らいらっしゃったら、よろしくおねがいいたします。

体積vの導体の電位をVとし、周囲の空間の電荷密度をρ、真空中の誘電率をε0とし、
微小体積dvから導体の電位を観測するとき、

∆V=-ρ/ε0

の特殊解を求めていただけますか?答えは
V=(1/4πε0)∫[0 v](ρ/ε0)dv
になるので、その導出過程をよろしくお願いします。



Re: ポアソン方程式
名前:Yoshikita    日付:2017/8/8(火) 22:59
ρは単位体積当たりの電荷密度です。


Re: ポアソン方程式
名前:さめ    日付:2017/8/9(水) 11:36
問題文があまりに意味不明で電磁気学の問題として成り立っていません

>> 微小体積dvから導体の電位を観測するとき、
意味不明 どこから観測しようが電位は変わらない

>>∆V=-ρ/ε0
>>
>>の特殊解
これも極めて意味不明 ΔVの定義と「特殊解」の意味は?


Re: ポアソン方程式
名前:    日付:2017/8/9(水) 20:23
君知恵袋にも質問してて積分の中にε_0が入ってるけど次元計算とかしておかしいって気づかないの?
誘電率ってSI単位系でF/mでしょ?普通長さの次元を持つ量が入るんじゃないの?

(untitled) 返信  引用 
名前:かい    日付:2017/8/8(火) 20:39
代数学、加群の問題です


pを素数とする。集合X(p)を
X(p)={x|xの位数はpの冪}
と定義し、
M=(pが素数全体を動くときのX(p)の直和)=⊕_[p:素数]X(p)
とおくとき、次を示せ;
Q/ZとMはZ加群として同型である。

具体的に写像
f((x1,x2,...))=x1+x2+…(M→Q/Z)(和をとる)
g(y)=(y1,y2,...)(Q/Z→M)(和に分解する)
を構成して、これらが互いに逆写像であり、かつ準同型であればよいと思います。
しかし、これら写像がwell-definedであることがうまく言えません
どのように考えればいいのでしょうか?



Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/8/9(水) 0:37
>X(p)={x|xの位数はpの冪}
x が何ものか全く書かれていませんが, Q/Z の元ですか?
とすれば, 自明に X(p)から Q/Z には(単射)準同型があり,
直和の性質(普遍性)より, 各 X(p) から Q/Z に準同型が作れれば,
MからQ/Z に準同型が定まりますから, f は定まると思います.

gを作ってもいいですが, 準同型 f が全単射を示してみるというのはいかがでしょうか?


Re: (untitled)
名前:かい    日付:2017/8/9(水) 10:35
pqr様
お答えいただきありがとうございます

>>X(p)={x|xの位数はpの冪}
>x が何ものか全く書かれていませんが, Q/Z の元ですか?

失念しておりました。おっしゃる通りです。

このとき、自明な単射準同型というのは
Tp:X(p)→Q/Z
Tp(x)=x
だと考えました。
このことから、これらTpを素数の数だけあつめて、
f:M→Q/Z
f(m)=m1+m2+...
という写像を考えました。この写像は準同型です。

この写像の全単射性を証明したいのですが、
・全射性は中国式剰余定理から従う
と思います。つまり、通分したときの分子が任意の整数になることを証明すればいいので、不定方程式
a1m1+...+anmn+...(a1,...,an,...は分母(素数)の積)
が任意の値をとることを証明すればよく、それには1次の不定方程式を満たす組(m1,...,mn,...)が存在することを言えばいいと思います。
今回は、a1,...,an,...がすべて互いに素なので、このような整数の組はあります。
従って、全射性がいえます。

現在、単射性を考えているのですが、あまりいいアイデアが思いつきません。
どのように考えればいいのでしょうか?


Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/8/11(金) 0:56
a/2+b/3+c/5=0
となることがあるかどうかを考えて見れば, 一般の場合もわかるのではないでしょうか?

>(a1,...,an,...は分母(素数)の積)
正確には「分母(素数べき)」ですね. 互いに素, ということにおいては変わりませんが.


Re: (untitled)
名前:かい    日付:2017/8/12(土) 20:33
返信ありがとうございます
よくわかりました!

和の計算 返信  引用 
名前:    日付:2017/8/8(火) 20:24
(1)(i)r•nCr=n•(n-1)C(r-1)を示せ
(ii)Sn=Σ[k=1,n](n-k)•nCkを求めよ
(2)Tn=Σ[k=1,n]Skを求めよ



Re: 和の計算
名前:通りすがり    日付:2017/8/8(火) 20:35
(1)
(i)
証明をすべき等式の左辺、右辺を階乗を使った式に書き直して
それぞれ整理をし、両辺が等しくなることを示します。
(ii)
S[n]=nΣ[k=1〜n](nCk)-Σ[k=1〜n]k(nCk)
と変形し(i)の結果を第2項に適用した上で
二項定理を使います。

(2)
教科書で等比数列の和の公式の証明過程の項目を
復習した上で、もう一度考えてみて下さい。
(ひょっとしたら参考書の例題に似た問題と
その解法が書かれているかもしれません。)

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