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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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斉化式の計算について 返信  引用 
名前:daichi    日付:2018/4/14(土) 23:10
URLのサイトにおいてx=1,y=2,z=3が不等式を満たすかどうかは x=1/6,y=2/6,z=3/6
が不等式を満たすかどうかと同値といえるのはなぜですか?
https://mathtrain.jp/imo_inequality2



Re: 斉化式の計算について
名前:通りすがり    日付:2018/4/14(土) 23:49
問題のHPの質問された部分のすぐ上の方の
赤字で書かれた内容、つまり
>>「 x,y,z が任意の比率のとき」に証明すれば十分
の通りです。

つまり
x=1,y=2,z=3 (A)
の場合と
x=1/6,y=2/6,z=3/6 (B)
の場合のいずれも
x:y:z=1:2:3
となり、x,y,zの比率が等しいので
もし、(A)のときに不等式が成立すれば
(B)のときも不等式は成立する、
(逆に(B)のときに不等式が成立すれば
(A)のときも不等式は成立します)
ということです。

極方程式の弧長と面積について 返信  引用 
名前:教員志望    日付:2018/4/14(土) 23:2
r=f(θ)の極方程式において
面積は
∫(1/2r^2)dθ=∫1/2*(f(θ))^2dθで求まるのに
弧長が
∫rdθ=∫f(θ)dθで求まらない部分の理由がよくわからずに困っています。

面積の部分ではdrが無視できるが、弧長ではdrが無視できないとのことだと思うのですが
無視できる、できないの違いはどこにあるのか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願いします。

積分 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/4/14(土) 19:51
曲線C:y=e^xについて、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底である。(1),C上の点(0,1)においてCに接する直線lの方程式を求めよ。
(2)、a>0とする。(1)の直線lと曲線c':y=e^axの共有点の個数を求めよ。lim(x→∞)e^x/x=∞であることを使ってもよい。

 この1番は、y=x+1 と出たのですが(2)はどうしてよいのか分かりません。どなたか教えて頂けますでしょうか。



Re: 積分
名前:通りすがり    日付:2018/4/15(日) 0:5
(1)の結果より求める交点の個数はxの方程式
e^(ax)=x+1 (A)
の実数解の個数と等しくなります。
ここで(A)より
e^(ax)-x-1=0
∴求める交点の個数は曲線
y=e^(ax)-x-1 (B)
とx軸との交点の個数と等しくなります。
後は(B)の増減表を書いてグラフを描くことを
考えます。

ちなみに
lim[x→∞]e^x/x=∞
は(B)において
lim[x→∞]y
lim[x→-∞]y
を計算するときに使います。


Re: 積分
名前:ハロー    日付:2018/4/15(日) 8:8
どうも有り難う御座います。すぐには分からないので、教えてもらったように自分で計算してみますね。お手数をおかけしました。


Re: 積分
名前:ハロー    日付:2018/4/15(日) 9:10
 微分したら x=-loga/a で極値を持つところまで分かりましたが、そこから行き詰りました。
文系卒で数学Vを独学中なのですが、どこを調べても y=e^(ax) のグラフが a の値の変化に伴ってどのように変化していくのか書いてないみたいです。
ここから先は、どうしたら良いのでしょう。


Re: 積分
名前:IT    日付:2018/4/15(日) 9:26
きちんとやるのは,少しめんどうかもしれません

f(x)=e^(ax)-x-1 とおく,f(0)=0,f(-1)=e^(-a)>0
f'(x)=ae^(ax)-1
f''(x)=(a^2)e^(ax)>0、よってf'(x)は狭義単調増加…(1)
よって,f'(x)=0となるxは高々1つである.…(2)
よって,平均値の定理によりf(x)=0となるxは高々2つである.…(3)
(∵f(α)=f(β)=f(γ)=0,α<β<γ とすると 
 平均値の定理により、f'(c1)=f'(c2)=0 なるc1,c2(α<c1<β<c2<γ)が存在し(2)に反する.)

a>1のとき
 f'(0)=lim[h→-0]{f(h)/h}=a-1>0なので f(h)<0なるh(-1<h<0)が存在する。
 f(x)は連続なので中間値の定理よりf(x)=0なるx(-1<x<h<0)が存在する。
 (3)より,f(x)=0 の解は、ちょうど2つである。

a=1,a<1のときも 同様にできると思います。


Re: 積分
名前:IT    日付:2018/4/15(日) 9:30
>文系卒で数学Vを独学中なのですが、

出典はなんですか?また積分の分野として出題されていますか?
(よけいなお世話かも知れませんが、特に独学だと丁寧な解説・解答がついている参考書・問題集をやられるのがいいと思います。)


Re: 積分
名前:ハロー    日付:2018/4/15(日) 9:36
 これは、京都産業大学の2010年度の後期の問題みたいです。積分は微分のうち間違いです。申し訳ありません。
入試問題なので、単元名は書いてありませんでした。なるべく解説が丁寧なのを選んでいるのですが、ときどき手に負えない問題が出てきます。
教えてもらったことを読みながら、もう一度やってみます。
 有り難う御座いました。

sinの積分 返信  引用 
名前:しんりゅう    日付:2018/4/13(金) 17:51
sin(f(x))の微分はf(x)'cos(f(x))となりますが、
積分はどのようになるのでしょうか



Re: sinの積分
名前:黄桃    日付:2018/4/14(土) 18:30
合成関数の積分という公式はありません(そういう公式は作れません)。
一般に、微分は簡単に(面倒かもしれませんが機械的に)計算できますが、不定積分は計算できないものがほとんどです。
sin(x^2)くらいで、もう不定積分できないと思ってください。

不定積分できない、の意味は、その原始関数を簡単な形では書けない、という意味です。
原始関数自体は存在しますので誤解しないでください。

#高校数学では、簡単に積分できる関数しか出てきませんので、こうした疑問がでるのは当然かもしれません。

相乗平均 返信  引用 
名前:平均    日付:2018/4/13(金) 9:0
「相乗平均は利回りを計算するときに役立つ」というのは調べてわかりましたが、なぜなのかがよくわかりません。
相乗平均の理屈について教えていただけたらと思います。お願いいたします。



Re: 相乗平均
名前:卯月    日付:2018/4/13(金) 12:55
こちらの記事が参考になるのではないでしょうか?
http://oto-suu.seesaa.net/article/183025125.html


Re: 相乗平均
名前:平均    日付:2018/4/13(金) 15:2
すっきりしました!ありがとうございました!

積分の問題です 返信  引用 
名前:葦原    日付:2018/4/12(木) 17:23
放物線y=5x-x^2 (x>0)と、原点を通り傾きaの直線で囲まれた部分の面積が36となる時のaの値を答えよ



Re: 積分の問題です
名前:ヨッシー    日付:2018/4/12(木) 18:15
公式 f(x)=a(x-b)(x-c) (b<c)において、
 ∫[b〜c]f(x)dx=a(b−c)^3/6
を利用します。
y=5x−x^2 と y=ax とが、異なる2点で交わるとき、
交点の1つは原点です。もう一方の交点のx座標をtとします。
両者で囲まれた部分の面積をSとすると、
t<0 のとき
 S=−(t−0)^3/6=−t^3/6=36
 t^3=−216
 t=−6
交点は(−6, −66) より、傾きaは a=11
t>0 のとき 
 (以下略)
http://yosshy.sansu.org/


Re: 積分の問題です
名前:ヨッシー    日付:2018/4/13(金) 0:35
x>0 と言う条件がありますので、
t<0の場合はダメですね。

t>0 のときから求められる方が答えとなります。
 
http://yosshy.sansu.org/

数学の分野の名前を教えてください。 返信  引用 
名前:卯月    日付:2018/4/12(木) 12:8
例えば、
図形に関して扱うのは幾何学と言いますし、
方程式を扱うのは代数学と言います。

以下の内容に対して、「幾何学」や「代数学」に相当する分野名を教えていただけますと幸いです。

以下の文章中において、数学用語として間違っているところがあるかと思いますが、一般的な意味やなんとなくのニュアンスで解釈してください。


0次元空間において
いわゆる、mCnで計算される「組合せ」に相当する。
例えば、{1,5}と{5,1}は同一であるが、
{1,4}は同一でないし、
{1,2,5}、{1}も同一でない。

1次元空間において
数直線上の点Xに存在する値Yの値をX:Yで表すとすると
{1:3,4:7}と{4:3,1:7}は同一であり、
{5:3,−4:7}も同一であるが、
{1:3,4:6}は同一でないし、
{1:3,4:7,5:3}、{1:3}も同一ではない

N次元において、座標A(a1,a2,・・・aN)に存在する値Yを
(a1,a2,・・・an):Yと表すとき、
i個の座標をA1〜Ai、各座標に存在する値をY1〜Yiとすると
全ての組合せ{Ax:Yx}(xは1〜iのどれか)は同一であり、
同じ値でも座標が違う、もしくは座標が同じでも値が違う、
もしくは別の座標が加わる、もしくは座標が少なくなる場合は同一ではない

以上のような感じのことを研究する分野名を教えてください。



Re: 数学の分野の名前を教えてください。
名前:卯月    日付:2018/4/12(木) 12:20
申し訳ありません。一部間違っておりました。

×:同じ値でも座標が違う、もしくは座標が同じでも値が違う
〇:Y1〜Yiをi個ある数字の組合せとみた場合に、異なる組合せとなっている

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