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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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極限 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/10/16(火) 21:11
数列 0, -3/2,-8/3, -15/4 ・・・の極限を求めよ。

 この問題なのですが、初項が0ということは等比数列はムリだし、等差数列にもなってないみたいだし、解答は「負の無限大に発散」らしいのですが、どういう数列か分からずとも判断できるのでしょうか。
よろしくお願いします。



Re: 極限
名前:通りすがり    日付:2018/10/16(火) 21:20
分母と分子を別々に考えましょう。

n≧2として、問題の数列の第n項をa[n]とすると
a[n]={Σ[k=2〜n]-(2k-1)}/n
これより
a[n]={Σ[k=1〜n]-(2k-1)+1}/n
={-n(n+1)+n+1}/n
=(-n^2+1)/n
=-n+1/n
∴lim[n→∞]a[n]=-∞
となるので負の無限大に発散します。


Re: 極限
名前:    日付:2018/10/16(火) 21:36
一般項は (1-n2)/n なので負の無限大に発散します

クイズとしてはこの回答でいいと思いますが,数学としては有限項だけを与えられても一般項の形は決まらない(たとえば最初の4項としてどんな数字a1, a2, a3, a4を持ってきても,f(1)=a1,f(2)=a2,f(3)=a3,f(4)=a4を満たす多項式f(n)が存在するので,これを一般項と思うことも可能です)ので,解答しようがありません


Re: 極限
名前:    日付:2018/10/16(火) 21:46
たとえば一般項が

(1-n2)/n + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

である可能性も否定できません.この場合は正の無限大に発散します


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2018/10/16(火) 21:53
 なるほど!分子が奇数の和だとは気づきませんでした。どうも、有り難うございます。


Re: 極限
名前:ハロー    日付:2018/10/16(火) 22:21
 私も、わずか4項で一般化するのは抵抗がありますが、試験ですから先生が得点をくれるのなら、満足しないといけない受験生です。でも、ご指摘ありがとうございます


Re: 極限
名前:関数電卓    日付:2018/10/16(火) 23:27
お粗末な先生!

(untitled) 返信  引用 
名前:複素数    日付:2018/10/16(火) 17:24
複素数 z=1+iについて、(1)z^1/3の絶対値|z^1/3|を求めよ。
(2)偏角arg(z^1/3)を求めよ。
という問題が分かりません。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/10/16(火) 17:46
(1)
条件から
|z|=√2
∴|z^(1/3)|=|z|^(1/3)=2^(1/6)

(2)
条件から
arg(z)=π/4
∴arg(z^(1/3))=(1/3)arg(z)=π/12


Re: (untitled)
名前:関数電卓    日付:2018/10/16(火) 23:42
arg(z^(1/3))=(1/3)arg(z)=π/12+2nπ/3 (n:整数)

群論  返信  引用 
名前:たろう    日付:2018/10/16(火) 16:58
群論の質問です

An/N が巡回群となるような交代群Anの正規部分群Nがあるとします

Anの任意の元をx、yとすると、剰余類 xNとyNを考えた場合に

どうしてxNyN=yNxN の可換が成り立つんでしょうか

Anの元のどれでもxとyに入れても成り立つんでしょうか?

よくわからないです。



Re: 群論 
名前:ast    日付:2018/10/17(水) 11:33
巡回群が可換であることは理解できていますか?


Re: 群論 
名前:たろう    日付:2018/10/17(水) 15:45
返信ありがとうございます。

一応解決しました。 

偏微分の質問 返信  引用 
名前:F    日付:2018/10/16(火) 14:34
偏微分を教えてください

関数Z=sin(x+y)cos(x-y)
答えはz(x)=cos2x z(y)=cos2yです

自分では積の微分をしてから加法定理をしてみましたが、解答には辿り着きませんでした。やり方があっていれば、途中式、お願いします。



Re: 偏微分の質問
名前:通りすがり    日付:2018/10/16(火) 16:34
積和の公式により
z=(1/2)sin2x+(1/2)sin2y
後はよろしいですね。


Re: 偏微分の質問
名前:通りすがり    日付:2018/10/16(火) 16:37
もちろん、積の微分をしてから加法定理をしてもできます。

∂z/∂x=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)
=cos{(x+y)+(x-y)}
=cos2x
∂z/∂y=cos(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)sin(x-y)
=cos{(x+y)-(x-y)}
=cos2y


Re: 偏微分の質問
名前:F    日付:2018/10/18(木) 20:48
通りすがり様

解くことができました。
ありがとうございます。

円と直線の位置関係について 返信  引用 
名前:あや    日付:2018/10/15(月) 20:34
円 x二乗+y二乗=r二乗と直線3x–y−20=0が共有点を持つとき、半径rの値の範囲を求めなさい。

これの問題のやり方と答えお願いします。



Re: 円と直線の位置関係について
名前:通りすがり    日付:2018/10/15(月) 21:38
点と直線との間の距離の公式により、問題の円の中心と
直線との距離について
|3・0-0-20|/√(3^2+1^2)≦r
∴2√10≦r


Re: 円と直線の位置関係について
名前:IT    日付:2018/10/15(月) 21:58
(別解)
(x,y) が共有点だとすると
3x-y-20=0 よりy=3x-20.これを x^2+y^2=r^2 に代入
x^2+(3x-20)^2=r^2 整理すると 10x^2-120x+400-r^2=0
この2次方程式が実数解を持つことが必要十分条件
∴判別式 D/4=60^2-10(400-r^2)≧0
∴r^2≧40
rは半径なのでr≧2√10

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