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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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Σの定義について 返信  引用 
名前:たかし    日付:2017/12/8(金) 17:42
お世話になります。

Σの定義は、高校数学では数列の和であり、kは自然数に限るという理解でよいでしょうか?

また、正式なΣ(Σ関数?)の定義は、kは整数全体ですか?



Re: Σの定義について
名前:Delta    日付:2017/12/8(金) 18:19
Σのkの範囲が自然数に限定されているということはないです。

高校数学の範囲でも区分求積法あたりでΣ[k=0,n-1]が出てきたような気がします。
ただ、気をつけなければいけないのは、Σ[k=m,n]となっていた場合は、
必ずm≦nでなければいけません。

高校では出てきませんが、大学などでは、
Σ[x∈X]f(x) (Xの全ての要素xに対しf(x)を足し合わせたもの)
という書き方も出てたり、いろいろ省略されることもあるので、
Σのkの範囲など、あまり定義に固執せずに柔軟に対応した方がいいと思います。


Re: Σの定義について
名前:たかし    日付:2017/12/10(日) 13:51
有難うございました!

不等式の証明 返信  引用 
名前:なりた    日付:2017/12/8(金) 2:55
重要問題集2017の問232の金沢大学の問題についての質問です。

すべての正の数x,yに対して、不等式 x(log(x)-log(y))≧x-y が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのは x=y の場合に限ることを示せ。

という問題です。解答では平均値の定理で証明していましたが、私はこの不等式を log(x/y)≧1-y/x と変形し、x/y=t として f(t)=log(t)-1+1/t とおいて、増減表を描いて証明しました。この答案でもいいのでしょうか?それとも何か論理として間違っているのでしょうか?教えてください。よろしくお願いします。



Re: 不等式の証明
名前:IT    日付:2017/12/8(金) 12:4
答案を見ていないので確実ではないですが、問題ないと思います。


Re: 不等式の証明
名前:なりた    日付:2017/12/11(月) 23:46
ありがとうございます!

数列 返信  引用 
名前:たかし    日付:2017/12/8(金) 2:20
a[1]=3,a[n+1]=3a[n]+2^nで定義される数列{a[n]}について次の問いに答えよ。

(1)a[n]/(2^n)=b[n]とおくとき、b[n+1]とb[n]の関係式を求めよ。

(2)a[n]をnの式で求めよ。


(1)については
b[n+1]=(3/2)*b[n]+1/2であることは分かりました。

(2)は、自分なりに解いて
a[n]=2^n*(5/2)*(3/2)^(n-1)-2^n…@
となりました。

ただ、答えを見ると
a[n]=5*3^(n-1)-2^n…A
となっていました。

独学で進めており、数2の指数は手を付けておらず知識はほぼ無い状態です。


長くなりましたが、ここからが質問です。

私が計算して出した@は合っているでしょうか。
もし合っていなかったら正しい道筋を教えて頂きたいです。
また、もし合っている場合は、どのようにAに変換するかを教えて頂きたいです。
よろしくお願いいたします。



Re: 数列
名前:けんけんぱ    日付:2017/12/8(金) 6:34
>数2の指数は手を付けておらず知識はほぼ無い状態です。

指数を学ばれることをお勧めします。

2^n*(5/2)*(3/2)^(n-1)
に注目します。
分数の分子と分母に分けると

分子には、2^n、5、3^(n-1)
分母には、2、2^(n-1)
があるということです。

ここで、因数2に注目すると、
分子には2がn個の積があります
分母にも2と2^(n-1)で合わせて、2がn個の積があります。
これを約分すると、その結果
分子には、5、3^(n-1)
分母には、1
が残ります。

すなわち、
2^n*(5/2)*(3/2)^(n-1) = 5・3^(n-1)
となりますので、
@からは、5・3^(n-1)-2^n
となり、Aと同じになりました。


Re: 数列
名前:たかし    日付:2017/12/9(土) 0:13
詳しい解説ありがとうございます。
理解できました。
指数の勉強も始めます。

線形性の2つの性質 返信  引用 
名前:Delta    日付:2017/12/8(金) 1:25
なんとなく気になった問題ですので、スルーしてくださっても構いません。

線形写像の2つの性質
(i) 任意のx,yに対して、f(x+y)=f(x)+f(y)
(ii) 任意のx,aに対して、f(ax)=af(x)

これらの性質は当然同値ではありませんが、
もしも、fが実数全体から実数全体の写像(fが実数全体で定義された実数値関数)である場合、
この2つは同値か、という問いに頭を悩ませております。

自分で考えて以下のことは分かりました。
・(ii)⇒(i)は成立
・aを有理数に限定すれば(i)⇒(ii)が成立
・fが連続ならば(i)⇒(ii)

(i)と(ii)の同値性について、証明や反例を提示してくださると嬉しいです。



Re: 線形性の2つの性質
名前:IT    日付:2017/12/8(金) 7:15
「コーシーの函数方程式」「ハメル函数」で検索すると 出てきます。

反例はあるようですが私には難しいです。


Re: 線形性の2つの性質
名前:Delta    日付:2017/12/8(金) 15:21
返信、ありがとうございます。
おかげさまで、自分の欲しい情報そのものが見つかりました。
内容は難解ですけど、頑張ってできるとこまでは理解したいと思います。


Re: 線形性の2つの性質
名前:IT    日付:2017/12/9(土) 8:39
類似の下記命題は真です。(参考までに)

実数全体(=R)上で定義された実数値関数f(x)が
(条件A) a+b>c+d ⇒ f(a)+f(b)>f(c)+f(d).
 を満たすならば、f(x)は一次関数である。

(証明の概略)
・f(0)=0 としても一般性を失わない
・fは狭義単調増加。
・f(1)>0。
・fは(一様)連続。
・xが有理数のときf(x)=f(1)x
・fの連続性により,任意の実数xについてf(x)=f(1)x

(条件A)は、一見Delta さんが提示された(i)よりも緩いような感じがしますが,
(条件A)かつf(0)=0  ⇒ (i) かつ(ii) となります。


Re: 線形性の2つの性質
名前:Delta    日付:2017/12/9(土) 10:55
再びの返信、ありがとうございます。
上の内容も参考にさせていただきます。

速さ 返信  引用 
名前:    日付:2017/12/7(木) 18:41
ある川のA地から68km離れたB地まで、船で下るのに3時間24分かかりましたが、B地からA地まで上る時は、川の流れの速さが6/10倍になっていたので、5時間かかりました。
もし、上る時の川の流れの速さが下る時と同じだった場合、B地からA地までこの船で上るのに何時間何分かかりますか。
答え:5時間40分
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
方程式で解けますか?多分解けると思いますが...。
解き方を、よろしくお願い致します。



Re: 速さ
名前:関数電卓    日付:2017/12/7(木) 19:17
静水に対する船の速さを x [km/h]、流れの速さを y [km/h] とすると、題意より
 (17/5)(x+y)=68 …(1)
 5(x−(6/10)y)=68 …(2)
(1)より x+y=20 …(1)’
(2)より 5x−3y=68 …(2)’
(1)’×3+(2)’:8x=128 ∴ x=16 …(3)
(1)’(3)より y=4 …(4)
求める時間は、68/(x−y)=68/12=17/3 時間= 5 時間 40 分 …[答]


Re: 速さありがとうございました!
名前:    日付:2017/12/9(土) 20:34
すごく解りやすい説明でした!

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