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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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あれ?忘れた 返信  引用 
名前:太刀川    日付:2017/5/18(木) 23:13
複素数a+ibって、ベクトル(a.b)ですよね。

2乗した場合、a^2ーb^2+2iabとなり、ベクトルに直すと

(a^2ーb^2、2ab)になるのですが、このベクトルはどこを指しているのですか?



Re: あれ?忘れた
名前:WIZ    日付:2017/5/18(木) 23:33
極座標で表せば、ベクトル(a, b)の絶対値をr, x軸とのなす角度をtとして、
(a, b) = (r*cos(t), r*sin(t))です。

a^2-b^2 = (r*cos(t))^2-(r*sin(t))^2 = (r^2)cos(2t)
2ab = 2(r*cos(t))(r*sin(t)) = (r^2)sin(2t)
よって、
(a^2ーb^2, 2ab) = ((r^2)cos(2t), (r^2)sin(2t))
となり、絶対値が2乗、偏角が2倍となったベクトル(?)ですね。

実は、r = 1とすると、自然数n(自然数でなくても良いのですが)に対して
(cos(t)+i*sin(t))^n = cos(nt)+i*sin(nt)となることが知られており、
これをド・モアブルの定理といいます。
ご質問の件は、ド・モアブルの定理のn = 2の場合とほぼ同じことだったということですね。


Re: あれ?忘れた
名前:noname    日付:2017/5/20(土) 23:10
幾何的に考えることも出来ます.一般に,0でない複素数z,wが与えられており,z,wに対応する複素平面上での点をZ,Wとすると,積zwに対応する複素平面上の点は「線分OWと実軸の正部分とのなす角の分だけ線分OZを反時計回りに回転させて,線分OZの長さを線分OWの長さだけ倍にさせて移動した先の点」となります.このことに注意すれば,(a+ib)^2に対応する点とは「a+ibに対応する点を,この点と原点を端点とする線分と実軸正部分とのなす角の分だけ反時計回りに回転させて,長さを|a+ib|の分だけ倍にさせて移動した先の点」だということが分かります.つまり,Arg((a+ib)^2)=2・Arg(a+ib),|(a+bi)^2|=|a+bi|^2である様な点だということです.

経済学 返信  引用 
名前:こう    日付:2017/5/18(木) 19:9
質問です解答お願いします
マクロ消費関数を、C=5+0.63Y (単位は兆円)とする。

A) 限界消費性向と限界貯蓄性向をそれぞれ求めなさい。

B) Y=550のとき、消費はいくらか。



Re: 経済学
名前:noname    日付:2017/5/20(土) 23:24
第一の設問に関しては,「限界消費性向」と「限界貯蓄性向」の定義が理解できていれば設問の答えは直ぐに分かるかと思います.また,第二の設問に関してはYの値を消費関数の式に代入してCの値を計算するだけです.

※数学の問題と捉えると,本問は中学数学の問題です.そのため,もし本問で苦戦するとなれば,消費関数や貯蓄関数に関する内容を理解できていないということになります.経済学の問題が解ける様になるには特に概念の理解が計算よりも重要ですので,もし概念的な部分で覚束ない様であれば参考資料や参考書などをもとに復習されることを薦めます.

因数分解 返信  引用 
名前:まり    日付:2017/5/18(木) 18:51
(x二乗+2x)(x二乗+2x-4)+3
の因数分解の仕方を教えてください。



Re: 因数分解
名前:通りすがり    日付:2017/5/18(木) 19:6
x^2+2x=t
と置いていったん展開し、たすき掛けをしてみましょう。

(untitled) 返信  引用 
名前:ひふみ    日付:2017/5/18(木) 14:11
納n=1→∞]1/n^7+1が収束することを示してください!



Re: (untitled)
名前:noname    日付:2017/5/19(金) 9:16
級数Σ_[n=1,∞]1/n^sがs>1で収束することと,次のURLの資料

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso4/kiso4series.pdf

にある系3.2を使えばよいかと思います.要するに,優級数定理による級数の収束判定ということです.他に,収束する広義積分で上から抑えることで級数の収束性を示すことも可能かと思います.一度お考えください.

(untitled) 返信  引用 
名前:かい    日付:2017/5/17(水) 20:55
すみません。もう1問教えてください。

R:可換環, P:R-加群とする。
このとき次の条件(i), (ii) は同値であることを示せ。
(i)M,NをR-加群としたとき、任意の全射R-準同型f:M→Nと任意のR-準同型g:P→Nに対して,
f◦h=gを満たすR-準同型h:P→Mが存在する。
(ii)ある自由R-加群FとR-加群Nが存在して(PとNの直和)とFがR-同型に
なる。

よろしくお願いします



Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/5/19(金) 7:41
この問題にある P は射影加群 (Projective module) と呼ばれるR-加群です.
ひとまず, このキーワードをもとに, 教科書や web ページなどを当たってみましょう.
同値性の証明が見つかると思います.

証明でわからない箇所を具体的に質問されれば, 回答もつきやすいかと思います.


Re: (untitled)
名前:かい    日付:2017/5/22(月) 21:30
遅くなりすみません。
検索して考えてみたところ理解できました、ありがとうございます

(untitled) 返信  引用 
名前:かい    日付:2017/5/17(水) 20:50
加群の問題です

5. 加法群Q/Z をZ-加群とみる。次に答えよ。
(1) Q/Zの各元の位数は有限であることを示せ。
(2) 各素数pに対して
Mp={x∊Q/Z|xの位数はpのベキ}
とおくと,MpはQ/Zの部分Z-加群であることを示せ。
(3) Q/Z と(pが素数全体を動くときのMpの直和)はZ-同型であることを示せ。

1と3がよくわかりません。教えていただきたいです。



Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/5/19(金) 7:34
(1) Q/Z の任意の元は,m∈Z, n∈N を用いて, m/n+Z と表せます.
この元を何倍かすると, 0+Z になるかどうかを考えて下さい.

(3) まずは同型になるだろう写像を作って, それが同型になることを示します.
例えば, (直和)_p M_p → Q/Z を和で定義します.
例えば, (1/2, 0, 2/5, 0, ・・・)∈(直和)_p M_p を 1/2+2/5=9/10∈ Q/Z に写す写像です.
これが同型かどうかを考えて下さい.


Re: (untitled)
名前:かい    日付:2017/5/20(土) 13:25
返信ありがとうございます

(1)はうまくできました。
(3)は和で定義した写像が同型であることを証明するとのことですが、
・この写像が準同型であることはわかりました(無限和なのでもう少し厳密な議論をしなければいけないかもしれませんが・・・)
・逆写像は、与えられた分数を、素数を分母に持つ分数に分解する写像だと思うのですが、
これがうまく説明できません。
例えば、
41/42
を、分母が2,3,7の分数に分解しようとすると、
1/2+1/3+1/7
とできますが、
25/42
といった数はうまく分解できるかわかりません。
このように、与えられた分数が分母の素因数を分母に持つ分数に分解することができることを保証する条件や命題などはあるのでしょうか・・?


Re: (untitled)
名前:pqr    日付:2017/5/20(土) 17:59
>無限和なので
直積と混同していませんか?直和するものは無限にありますが,
直和の元というのは, 有限個の成分を除いては0ですので, 和が無限和になることはありません.

a/2+b/3+c/7=1/42 となる a, b, c が一つ見つかれば,
25a/2+25b/3+25c/7=25/42 ですので, 単位分数を作れるかどうかが本質的です.
分母を払うと, 21a+14b+6c=1 となる a, b, c があるかどうか, ということですが,
21と14と6の最大公約数は1なので, かならずこのようなa,b,cは存在します.


Re: (untitled)
名前:かい    日付:2017/5/22(月) 21:31
返信ありがとうございます

おっしゃるとおり、直和と直積を混同していました。
また考えてみます

(untitled) 返信  引用 
名前:    日付:2017/5/17(水) 16:40
5x-6y-8=0、の傾きを教えて下さい



Re: (untitled)
名前:サボテン    日付:2017/5/17(水) 16:51
yについて解くと、y=(5x/6)-(4/3)となっているので
傾きは5/6であることが分かります。

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