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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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4次関数の最小値の問題に関して 返信  引用 
名前:yoshiki    日付:2017/10/14(土) 13:6
お世話になってます

以下の問題に関してお聞きしたいことがあります

問題 f(x)=(x^2-4x-2)(x^2-4x+8)+7の最小値を求めよ。

この問題はいろいろな考え方があると思うのですが(t=x^2-4xとおく、展開して微分する・・・など)、ある方の解法をみて大変鮮やかだと驚きました。
しかし、勉強不足で私にはこの解法で最小値を求められる理由がわかりませんでした。
どうして、この方法で最小値を求めることができるのでしょうか?

問題引用:https://twitter.com/ysmemoirs/status/918467482968399872



Re: 4次関数の最小値の問題に関して
名前:IT    日付:2017/10/14(土) 13:25
f(x)=(x^2-4x-2)(x^2-4x+8)+7,a(x)=x^2-4x-2, b(x)=x^2-4x+8 とおく.
a(x)<b(x) なので f(x)が最小になるのはa(x)<0かつb(x)>0 のとき
このとき -a(x)とb(x)を考えると -a(x)+b(x)=10
相加相乗平均の関係より10=-a(x)+b(x)≧2√(-a(x)b(x)) 等号は-a(x)=b(x)=5 のとき
このとき -a(x)b(x)は最大となり、f(x)=a(x)b(x)+7 は最小となる。


Re: 4次関数の最小値の問題に関して
名前:IT    日付:2017/10/14(土) 13:34
少し記述順が良くなかったですね。
-a(x)+b(x)=10.
a(x)<b(x) なので f(x)が最小になるのはa(x)<0かつb(x)>0 のとき
このとき -a(x)>0かつb(x)>0 なので
相加相乗平均の関係より,5={-a(x)+b(x)}/2≧√(-a(x)b(x))
  等号は-a(x)=b(x)=5 のときで、このとき-a(x)b(x)は最大となるので、f(x)=a(x)b(x)+7 は最小となる。


Re: 4次関数の最小値の問題に関して
名前:yoshiki    日付:2017/10/14(土) 23:33
ありがとうございます

よく理解できました。
この解法では、f(x)の最大値を求めることはできないのでしょうか?

複素数 返信  引用 
名前:浪人    日付:2017/10/13(金) 22:2
画像をご覧ください。
方針はあっていると思うのですが、答えが正解と合いません。
どこが間違ってますでしょうか?
教えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。
https://i.imgur.com/gO0n1kc.jpg



Re: 複素数
名前:浪人    日付:2017/10/13(金) 22:10
一部符号ミスがありますが、そこは問題なしです。すみません。


Re: 複素数
名前:IT    日付:2017/10/13(金) 22:32
8行目はなぜそうなりますか?
計算間違いを直したとしても、そのやり方で出てくるのは、必要条件でしかないのでは?


Re: 複素数
名前:石川    日付:2017/10/13(金) 22:42
Z1=1 と Z1≠1で場合分けをすれば、必要十分条件になるかと思うのですが、あってますか?Z1≠1 即ちr≠1のとき、画像の方針で計算間違いを直したとしても、楕円にならなそうなのが、不明な点です。教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。
https://imgur.com/3ZIm4Ut.jpg


Re: 複素数
名前:石川    日付:2017/10/13(金) 22:44
↑間違いの画像です。すみません。


Re: 複素数
名前:浪人    日付:2017/10/13(金) 22:47
【訂正】
Z1=0 と Z1≠0で場合分けをすれば、必要十分条件になるかと思うのですが、あってますか?Z1≠0のとき、画像の方針で計算間違いを直したとしても、楕円にならなそうなのが、不明な点です。(それどころか領域になってしまう)教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。


Re: 複素数
名前:浪人    日付:2017/10/13(金) 22:49
方針として
∃Z1∈C(@かつA) です。


Re: 複素数
名前:IT    日付:2017/10/13(金) 22:50
z1を1点に決めれば、対応するz2も1点に決まるはずですが、
石川さんの解答だとそうなってませんから、おかしいことが分かると思います。


Re: 複素数
名前:浪人    日付:2017/10/13(金) 22:53
ありがとうございます。

二次方程式 返信  引用 
名前:回答お願い致しますm._.m    日付:2017/10/12(木) 18:6
(x+2x)(-2x-5+5)=27

この問題、どうやって解くんでしょうか。解答お願い致しますorz



Re: 二次方程式
名前:ヨッシー    日付:2017/10/12(木) 18:18
 (3x)(-2x)=27
と書かずに
 (x+2x)(-2x-5+5)=27
のように書かれているのはなぜですか?

普通に解けば、
 x^2=−9/2
より
 x=±√(9/2)i=±(3√2/2)i
です。
 
http://yosshy.sansu.org/


Re: 二次方程式
名前:通りすがり    日付:2017/10/12(木) 18:19
問題の方程式から
3x(-2x)=27
-6x^2=27
x^2=-9/2
よって
x=±3i/√2
となります。


Re: 二次方程式
名前:通りすがり    日付:2017/10/12(木) 18:20
>>ヨッシーさんへ
ごめんなさい。かぶりました。


Re: 二次方程式
名前:回答お願い致しますm._.m    日付:2017/10/12(木) 19:11
ヨッシーさん»ごめんなさい!省略するの忘れてました

お二方、回答ありがとうございました!
また、どうぞ宜しくお願い致します。

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