流れてしまったので再掲させていただきます
以下の問題の(3)が分かりません。
a,b,c,dを定数とする。またwはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。以下の命題を考える。
命題1: x≧0かつy≧0かつz≧0 ⇒ w≧0
命題2: ｢x≧0かつz≧0｣または｢y≧0かつz≧0｣ ⇒ w≧0
命題3: z≧0 ⇒ w≧0
以下の問いに答えよ。
(1) b=0かつc=0のとき、命題1が真であれば、a≧0かつd≧0であることを示せ。
(2) 命題1が真であれば、a,b,c,dはすべて0以上であることを示せ。
(3) 命題2が真であれば、命題3も真であることを示せ。
という問題なんですが、これは青チャートの総合演習にも載っている問題です。なので答えも書かれてあるんですが、(1)と(2)は解答を見たら理解できたのですが、(3)が解答を見ても理解できません。
(3)の解答を以下に載せます。
命題2が真であるとする。
この時、「x≧0かつy≧0かつz≧0」は
「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
に含まれるから、命題1も真である。
よって、(2)から a≧0,ｂ≧0,c≧0,d≧0
命題2が真であるから、
y=z=0の時
w=ax+d≧0
この不等式は、全ての実数xに付いて成り立つ。
よって、関数w=ax+dのグラフを考えると
a=0かつd≧0
また、命題2が真であるから、x=z=0の時
w=by+d≧0
この不等式も全ての実数yについて成り立つから
b=0かつd≧0
ゆえに、a,b,c,dについて
a=0,b=0,c≧0,d≧0
a=b=0であるから w=cz+d ・・・・・(あ)
c≧0,d≧0であるから、z≧0のとき w=cz+d≧0
したがって、命題2が真であれば、命題3も真である。
この解答の
(あ)
の部分が分かりません。
命題2が真であるので、w=cz+d ではなく w=cz+d≧w とならないとおかしいのではないでしょうか。
また、前に回答して下さった方で
>wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。
>とありますからa=b=0 のとき w=cz+d です。
と言われたのですが
「wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。」
という一文があるだけで、w=cz+d になる理屈が分かりません。
詳しく教えて下さると助かります。
宜しくお願いします。
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