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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲 返信  引用 
名前:田中一郎    日付:2019/1/13(日) 21:23
流れてしまったので再掲させていただきます


以下の問題の(3)が分かりません。

a,b,c,dを定数とする。またwはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。以下の命題を考える。

命題1: x≧0かつy≧0かつz≧0 ⇒ w≧0

命題2: 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」 ⇒ w≧0

命題3: z≧0 ⇒ w≧0

以下の問いに答えよ。

(1) b=0かつc=0のとき、命題1が真であれば、a≧0かつd≧0であることを示せ。

(2) 命題1が真であれば、a,b,c,dはすべて0以上であることを示せ。

(3) 命題2が真であれば、命題3も真であることを示せ。


という問題なんですが、これは青チャートの総合演習にも載っている問題です。なので答えも書かれてあるんですが、(1)と(2)は解答を見たら理解できたのですが、(3)が解答を見ても理解できません。

(3)の解答を以下に載せます。

命題2が真であるとする。
この時、「x≧0かつy≧0かつz≧0」は
 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
に含まれるから、命題1も真である。
よって、(2)から a≧0,b≧0,c≧0,d≧0
命題2が真であるから、
y=z=0の時
 w=ax+d≧0
この不等式は、全ての実数xに付いて成り立つ。
よって、関数w=ax+dのグラフを考えると
 a=0かつd≧0
また、命題2が真であるから、x=z=0の時
 w=by+d≧0
この不等式も全ての実数yについて成り立つから
 b=0かつd≧0
ゆえに、a,b,c,dについて
 a=0,b=0,c≧0,d≧0
a=b=0であるから w=cz+d ・・・・・(あ)
c≧0,d≧0であるから、z≧0のとき w=cz+d≧0
したがって、命題2が真であれば、命題3も真である。


この解答の

(あ)

の部分が分かりません。

命題2が真であるので、w=cz+d ではなく w=cz+d≧w とならないとおかしいのではないでしょうか。

また、前に回答して下さった方で

>wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。
>とありますからa=b=0 のとき w=cz+d です。

と言われたのですが
「wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。」
という一文があるだけで、w=cz+d になる理屈が分かりません。
詳しく教えて下さると助かります。
宜しくお願いします。



Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:IT    日付:2019/1/13(日) 21:31
難しく考えすぎでは?
もう一度御自分で考えてみられた方が良いと思います。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:IT    日付:2019/1/13(日) 22:26
>>wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。
>>とありますからa=b=0 のとき w=cz+d です。

>と言われたのですが
>「wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。」
>という一文があるだけで、w=cz+d になる理屈が分かりません。
・「wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。」
は、wを定義する重要な一文です。
・「a=b=0 のとき」を除いて記述してはダメです。

a=b=0 のとき
  w=ax+by+cz+d=0x+0y+cz+d=cz+d のどこが分かりませんか?

前の質疑応答で理解されたのかと誤解していました。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=83282


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:田中一郎    日付:2019/1/14(月) 21:29
>a=b=0 のとき
>  w=ax+by+cz+d=0x+0y+cz+d=cz+d のどこが分かりませんか?

いえ、a=b=0の時に、w=cz+d というのは分かります。
ただ、この a=b=0 というのは、命題2が真の時に出た結果ですよね。

命題2が真の時、w≧0 は確定しているので、
(あ)の部分は w=cz+d≧0 にならないとおかしいんじゃないか、と聞いているんです。

そしたら
>wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。
>とありますからa=b=0 のとき w=cz+d です。
とITさんから言われたんですが、

「wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。」

という一文があるだけで、w=cz+d≧0 ではなく、w=cz+d を記述していい理由が分からないんです。

であの後考えたんですが、

w=cz+d≧0 として記述してしまうと、w≧0⇒z≧0 となってしまうから、z≧0⇒w≧0 とするために、w≧0は付けなかったのではないか、と考えているんですが、ちょっと混乱してきました。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:IT    日付:2019/1/14(月) 23:38
> 命題2が真の時、w≧0 は確定している

なぜ そういえるのですか?


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:IT    日付:2019/1/14(月) 23:48
> (あ)の部分は w=cz+d≧0 にならないとおかしいんじゃないか、と聞いているんです。
仮に、「 w=cz+d≧0 」だったとしても、「w=cz+d」と 書いてもなんの問題もありません。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:IT    日付:2019/1/14(月) 23:51
> ちょっと混乱してきました。
もう一度、考えをクリアして最初から問題と解答をよく読んでみてください。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:田中一郎    日付:2019/1/15(火) 21:24
もう少し考えてから投稿しようと思ったのですが、聞かれた事には先に答えておこうと思います。

>> 命題2が真の時、w≧0 は確定している
>
>なぜ そういえるのですか?

命題2が真という前提で a=b=0 c≧0 d≧0 を導出したからです。

命題2は: 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」 ⇒ w≧0

とあるので、命題2が真の時というのは、w≧0 の時だからです。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:IT    日付:2019/1/15(火) 23:11
> 命題2は: 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」 ⇒ w≧0
>とあるので、命題2が真の時というのは、w≧0 の時だからです。

間違いです。
「命題:A⇒B」 が真
だからといって、Bが真 というわけではありません。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:田中一郎    日付:2019/1/16(水) 20:57
そうなんですか!?

それなら w≧0 な理由もわかります。

宜しければその理由も教えて頂く事はできないでしょうか

もしくはそれが詳しく書かれてあるサイト等はないでしょうか

(できれば高校の数学の範囲でお願いしたいのですが)


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:田中一郎    日付:2019/1/16(水) 21:3
分かり難くてすいません、理由というのは

A⇒B が真だからと言って Bは真という訳ではない

という理由です。

理由というか証明(もしくは例)です。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:IT    日付:2019/1/16(水) 21:59
高校数学1の教科書の「集合と命題」の「命題p⇒q」などの項に詳しい説明があると思うので
教科書を確認されるのが良いと思います。

「命題p⇒q」が真ということは 「pが真ならばqは真」ということですから
pが偽のときはqは真でも偽でも構いません。

例えば、「命題:x>0⇒x+1>0 」は真ですが
単に、x+1>0とすると真とは限りません。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:田中一郎    日付:2019/1/17(木) 18:26
漸く分かりました。

ありがとうございます。

数Tの青チャートは集合と命題まで、1問も飛ばさず復習も5回はやっているんですが、この事には気づきませんでした。

今説明されて「確かに」と思いました。

復習を繰り返しても見落とす事や、気づかない事ってたくさんあるんですね。

でもこれにめげずに、毎日青チャートは続けたいと思います。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3 再掲
名前:田中一郎    日付:2019/1/17(木) 18:27
何度も回答ありがとうございました。

(untitled) 返信  引用 
名前:あっぷる    日付:2019/1/13(日) 19:45
AB=6、BC=3、CA=6の△ABCの内接円が辺BCと接する点をDとする。また、△ABCの内心Iと頂点Aを通る直線が辺BCと交わる点をEとする。

⑴ CDの長さを求めよ。
⑵△IEDと△ABCの面積比を求めよ。

この問題の解き方のヒントが欲しいです。よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:あっぷる    日付:2019/1/13(日) 19:47
CA=6 ではなく、CA=5 です。すみません。。


Re: (untitled)
名前:abcd    日付:2019/1/13(日) 21:6
(1) まず、内接円とCA,ABの接点をF,Gとします。
「円の外部の1点からその円に引いた2本の接線について、2つの接線の長さは等しい」という定理を使うと、CD=CF,AF=AG,BG=BDという関係を導けます。
三角形の全ての辺の長さがわかっているので、これと組み合わせると解けますよ!


Re: (untitled)
名前:abcd    日付:2019/1/13(日) 21:11
(2) 内心Iが、三角形の角の二等分線の交点であることと、
「三角形ABCの角Aの二等分線と辺BCの交点(この問題の場合E)は、辺BCをAB:BCに内分する」という定理を使うとできますよ!


Re: (untitled)
名前:abcd    日付:2019/1/13(日) 21:17
すみません、(2)の方の定理について、「 (この場合はE) 」と書いたのですが、この定理の三角形ABCは、問題とは関係ない全く別の仮想の三角形みたいな感じでイメージした方がいいです。

青チャート1aの最大公約数や最小公倍数の問題 返信  引用 
名前:abcd    日付:2019/1/13(日) 0:46
「次の(A),(B),(C)を満たす3つの自然数の組(a,b,c)を全て求めよ。ただし、a<b<cとする。
(A) a,b,cの最大公約数は6
(B) bとcの最大公約数や24,最小公倍数は144
(C) aとbの最小公倍数は240                」

この問題はまず(B)の条件からaを考慮せずにbとcの組み合わせを求め,
(b,c)=(24,144),(48,72)を求めるようです。
そのあと(C)の条件から,b=24とb=144のふたつの場合でaの値をそれぞれ求め、a<bから正しい組み合わせの数を選び出す、と解説にあったのですが、その文章がよくわかりませんでした
「b=24のとき、aと24の最小公倍数が240であるようなaは、a=2^4×3×5
24=2^3×3 240=2^4×3×5 」

このときに導けるaは、2^4×5と2^4×3×5の2通りではないのですか?
どちらにせよa<bを満たさないため問題を解くのには問題ないのですが、どうしてこういう解説なのかわかる方教えてください!!



Re: 青チャート1aの最大公約数や最小公倍数の問題
名前:IT    日付:2019/1/13(日) 9:44
青茶の解答はまちがってはいませんが、
<指針>では「最後に(A)を満たすものを解とした方が進めやすい。」としていますが
<解答>では、前段で「(A)から,aは2と3を素因数にもつ。」としており、
<指針>が徹底されていませんね。


Re: 青チャート1aの最大公約数や最小公倍数の問題
名前:IT    日付:2019/1/13(日) 9:49
(注)私の見ている青茶は、少し古くて平成24年2月発行ですから、書きぶりがちがっているかもしれません。
(まったく同じ問題[専修大学]だと思いますが)


Re: 青チャート1aの最大公約数や最小公倍数の問題
名前:IT    日付:2019/1/13(日) 12:32
「<指針>が徹底されていませんね。」 と書きましたが、
(A) からいえる必要条件の一部「aは2と3を素因数にもつ」を使うのは自然で、そんなにおかしくはないと思います。


Re: 青チャート1aの最大公約数や最小公倍数の問題
名前:abcd    日付:2019/1/13(日) 21:19
この時点で(A)の条件を満たすように考えていたんですね
確かにその方が無駄を省けるので身につけます
ありがとうございました!!

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