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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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確率 返信  引用 
名前:鳥居    日付:2017/10/11(水) 22:54
b,rを2以上の整数とする。
箱の中にb個の青い球とr個の赤い球がある。この箱の中から
無作為に同時に2個の球を取り出すとき、取り出した球が2つとも
赤である確率をPとする。

P=1/36のとき,b,rの値を求めよ。

b=7,r=2が答えなのですが、導出方法がわかりません。
詳しい解説をよろしくお願いいたします。



Re: 確率
名前:IT    日付:2017/10/12(木) 0:16
同時となってますが 1ずつ 取り出すと考えても 確率は同じです。
1つめが赤である確率はb/(b+r)
1つめが赤で2つめも赤である確率はP={r/(b+r)}{(r-1)/(b+r-1)}=1/36=(1/6)^2

{(r-1)/(b+r-1)}^2<P<{r/(b+r)}^2 なので
(r-1)/(b+r-1)<1/6<r/(b+r)
整理すると5r-5<b<5r よって b=5r-4,5r-3,5r-2,5r-1

b=5r-4 のとき P={r/(6r-4)}{(r-1)/(6r-5)}=1/36
36r(r-1)=(6r-4)(6r-5)
整理すると 18r-20=0、r=10/9 不適。

b=5r-3 のとき P={r/(6r-3)}{(r-1)/(6r-4)}=1/36
36r(r-1)=(6r-3)(6r-4)
整理すると 6r-12=0,r=2 適当。

b=5r-2,5r-1のときはやってみてください。


Re: 確率
名前:IT    日付:2017/10/12(木) 0:25
{r/(b+r)}{(r-1)/(b+r-1)}=1/36
∴36r(r-1)=(b+r)(b+r-1) としてから 
b=5r-4,5r-3,5r-2,5r-1 を代入したほうが手順が重複しませんね。


Re: 確率
名前:IT    日付:2017/10/12(木) 19:58
36r(r-1)=(b+r)(b+r-1). の後をまとめました。

b=5r-s,(s=1,2,3,4)とおくと, 36r(r-1)=(6r-s)(6r-s-1).
整理して 6(2s-5)r=s^2+s…@

s^2+sは6の倍数なので,s=2,3.
s=2のとき,@より-6r=6∴r=-1,b=-7 不適.
s=3のとき,@より 6r=12∴r=2,b=7 適. 

(untitled) 返信  引用 
名前:ぞう    日付:2017/10/11(水) 18:21
空間に散らばる任意の4点をとおる球面は
必ず存在しますか。同一平面を除けばですが



Re: (untitled)
名前:ぞう    日付:2017/10/11(水) 18:27
4点が同一平面にないこと
3点が同一直線にないこと
とします。


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/10/11(水) 18:47
条件が曖昧なので、任意の4点A,B,C,Dが3次元空間に
散らばっているものとし、これらから等しい距離
にある点をPとすると
AP=BP=CP=DP
∴|↑AP|=|↑BP|=|↑CP|=|↑DP|
これより
|↑AP|^2=|↑BP|^2=|↑CP|^2=|↑DP|^2
|↑OP-↑OA|^2=|↑OP-↑OB|^2=|↑OP-↑OC|^2=|↑OP-↑OD|^2
各辺を展開して、各辺から|↑OP|^2を引くと
-2↑OP・↑OA+OA^2=-2↑OP・↑OB+OB^2=-2↑OP・↑OC+OC^2
=-2↑OP・↑OD+OD^2

-2↑OP・↑OA+OA^2=-2↑OP・↑OB+OB^2 (A)
-2↑OP・↑OB+OB^2=-2↑OP・↑OC+OC^2 (B)
-2↑OP・↑OC+OC^2=-2↑OP・↑OD+OD^2 (C)
これより
↑OP・↑AB=(-OA^2+OB^2)/2 (A)'
↑OP・↑BC=(-OB^2+OC^2)/2 (B)'
↑OP・↑CD=(-OC^2+OD^2)/2 (C)'
ここで条件から↑AB,↑BC,↑CDは一次独立ですので
det[τ↑AB,τ↑BC,τ↑CD]≠0
(但し↑AB,↑BC,↑CDは横ベクトルとします。)
よって連立方程式(A)'(B)'(C)'を満たす↑OPは
ただ一つ存在しますので、問題の命題は
成立します。
(証明に穴があったらごめんなさい。)


Re: (untitled)
名前:けい    日付:2017/10/11(水) 19:50
任意の4面体A-BCDについて考えます。

△BCDの外心を通る垂線mを立てm上を動く点Pを考えると、
PB=PC=PD

次に線分ABに垂直でABを二等分する平面αを用意すると
αとmは必ず交差します。

この交差する点が外接球の中心です。

要するに外接球は存在します。


Re: (untitled)
名前:    日付:2017/10/11(水) 22:55
横から失礼します
2011京大理系に似た問題があります。
その問題は空間内の任意の四面体の頂点となっていますが参考になるかもしれませんよー。

(1-1/n^m)の無限積 返信  引用 
名前:De-sync    日付:2017/10/11(水) 15:46
A(m)=Π[n=2,∞](1-1/n^m)の計算に挑戦しているんですが、m=1で0,m=2で1/2と分かったのでm=1/3の時を考えています。
m=2の時は、普通に通分して解く方法以外に、sinc関数の無限積表示を使って解くことも出来ます。
A(2)=Π[n=2,∞](1-1/n^2)
=lim[x→π]sinc(x)/(1-x^2/π^2)=1/2
これを応用して無限積表示で(1-x^3/n^3)が現れる関数を見つければ良いということになります。
そこでワイエルシュトラスの因数分解定理を眺めていたのですが、どうにも理解できません…。零点として{1,ω,ω^2,2,2ω,2ω^2,…}と選べば良いと思うのですが…。
直感ですが、何となくベッセル関数が関係してそうな気がします。



Re: (1-1/n^m)の無限積
名前:De-sync    日付:2017/10/11(水) 15:47
早速誤字を見つけたので修正します。
最初の文のm=1/3は誤りで、正しくはm=3です


Re: (1-1/n^m)の無限積
名前:De-sync    日付:2017/10/12(木) 2:58
自分で質問しておいてあれですが、偶数の時は出来ました。
https://pbs.twimg.com/media/DL344gVV4AA5zJw?format=jpg
sinc関数を複素平面で回転させてかけあわせることで、例えばn=3の時は(1-x^2/n^2)(1-(ωx)^2/n^2)(1-(ω^2x)^2/n^2)=(1-x^6/n^6)を作り出すって感じです
これで、A(2n)は全部計算出来た事になりますね

多分区分求積法の問題です 返信  引用 
名前:やーまん    日付:2017/10/11(水) 14:8
Oを原点とするxyz座標平面上に点P(k)(cos(πk/n), sin(πk/n), 0)、Q(k)(0, 0, sin(πk/n))(k=0, 1,•••, n)をとり、三角錐OP(k)P(k+1)Q(k)の体積をV(k)とおく。このとき、極限lim(n→∞)Σ(n-1, k=0)V(k)を求めよ。
区分求積法だと思うのですが、解法がわかりません。解答よろしくお願いします



Re: 多分区分求積法の問題です
名前:通りすがり    日付:2017/10/11(水) 18:11
条件から
∠P[k]OP[k+1]=π/n
OP[k]=OP[k+1]=1
であることに注意すると
V(k)=(1/3){sin(π/n)}sin(πk/n)
∴lim[n→∞]Σ[k=0〜n-1]V(k)=lim[n→∞](1/3){sin(π/n)}Σ[k=0〜n-1]sin(πk/n)
=lim[n→∞](π/3){sin(π/n)}/(π/n)}{(1/n)Σ[k=0〜n-1]sin(πk/n)}
=(π/3)∫[0→1]sinπxdx
((∵)区分求積法とlim[x→0](sinx)/x=1を使います。)
=2/3

場合の数、確率 返信  引用 
名前:徳間    日付:2017/10/11(水) 6:20
詳しく教えて下さい。

6人を5つの部屋ABCDEに分ける時、
どの部屋も1人以上になるわけ方は
全部で何通りあるか?

6^5-5?ですか?

6枚のカードABCDEFを横一列に並べる時、
AのとなりにBが、Eの隣にFが来る確率を求めよ。

すみません。よくわかりません。
よろしくお願い致します。



Re: 場合の数、確率
名前:IT    日付:2017/10/11(水) 18:16
6人を順に並べて各部屋に入れていくと考える。
6人の並び方は6! 通り。
2人部屋の選び方は5通り。
2人部屋の中では順番は関係ないので

求める部屋割りの方法は 全部で(6!×5)/2通り。

6枚のカードの並び方は全部で6!通り、

{A,B},{E,F} を固まりとして考える.
条件を満たす並び方は4!×2×2通り.
求める確率は (4!×2×2)/6!.


Re: 場合の数、確率
名前:通りすがり    日付:2017/10/11(水) 18:25
一問目)
条件からいずれか一部屋が2人になりますので
その2人の選び方の数を求めると
6C2=15[通り]
この2人を1人と考えて、5人で順列を考えれば
よいので、求める場合の数は
15・(5P5)=1800[通り]

二問目)
6枚のカードのすべての並べ方の数は
6P6=6![通り]
この内、条件を満たす並べ方は
AとB、EとFをそれぞれひとつと考えた
順列を考えればよいので、
AとB、EとFそれぞれの順番の入れ替わり
を考慮に入れると
2・2・(4P4)=4・4![通り]
∴求める確率は
(4・4!)/6!=4/(5・6)=2/15

不定積分 返信  引用 
名前:Marry    日付:2017/10/10(火) 20:19
斗og(x^2+x)dx ただし、x>0
よろしくお願いしますm(_ _)m



Re: 不定積分
名前:通りすがり    日付:2017/10/10(火) 23:4
log(x^2+x)=log(x+1)+logx
後は部分積分を使います。

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