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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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立体の体積 返信  引用 
名前:フロジン    日付:2019/5/8(水) 15:20
x^2+y^2≦a^2、mx≦z≦nx (0<m<n)で表される立体の体積の求め方を教えてください。よろしくお願いします。



Re: 立体の体積
名前:通りすがり    日付:2019/5/8(水) 18:30
求める体積をVとすると、y軸に関する問題の立体の対称性から
V=2∬[S](nx-mx)dxdy
=2(n-m)∬[S]xdxdy
(S:x^2+y^2≦a^2、0≦x)
ここで極座標に変換すると
V=2(n-m)∫[θ:-π/2→π/2]{∫[r:0→a](rcosθ)rdr}dθ
=2(n-m)(∫[θ:-π/2→π/2]cosθdθ)∫[r:0→a](r^2)dr
=(4/3)(n-m)a^3


Re: 立体の体積
名前:フロジン    日付:2019/5/9(木) 17:18
[S]は何を表しているのでしょうか。
教えてくださると幸いです。


Re: 立体の体積
名前:通りすがり    日付:2019/5/9(木) 18:40
Sは問題の立体のxy平面に関する正射影のうちx≧0の部分の
半円になります。
立体の対称性から、このSにおける積分を実行して2倍をすれば
求める体積となります。


Re: 立体の体積
名前:Halt0    日付:2019/5/10(金) 12:52
∬[S]
と通りすがりさんが書かれているのは
積分範囲をSとする、の意味です。
普通、こういうときは、∬の右下に小さくSと書きますが
掲示板だとそれができないので、代わりにこういう書き方になっている、と理解されるといいかと思います。

積分がわかりません。 返信  引用 
名前:フロジン    日付:2019/5/8(水) 1:49
重積分を求めよ。
島刀(xy-x^2)dxdy 0≦x≦1 x≦y≦2x
です。解説よろしくお願いします。



Re: 積分がわかりません。
名前:通りすがり    日付:2019/5/8(水) 5:29
(与式)=∫[x:0→1]{∫[y:x→2x](xy-x^2)dy}dx=…


Re: 積分がわかりません。
名前:フロジン    日付:2019/5/8(水) 15:8
√(xy-x^2)の積分はどうなるのでしょうか。


Re: 積分がわかりません。
名前:フロジン    日付:2019/5/8(水) 15:30
ありがとうございました!
自分で解決することができました。

ベクトル 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2019/5/7(火) 10:43
(3)は間違えました。
(4)は四平方の定理を使うと 
S=(△DEF)^2
=(△ODE)^2+(△OFE)^2+(△ODE)^2
=1/4d^2e^2+1/4e^2f^2+1/4f^2d^2
=(α^2+β^2+1)^4/4α^2β^2+(α^2+β^2+1)^4/4β^2+(α^2+β^2+1)^4/4α^2
=(α^2+β^2+1)^5/4α^2β^2
従って、S==(α^2+β^2+1)√(α^2+β^2+1)/2αβ  とならないでしょうか?



Re: ベクトル
名前:ハロー    日付:2019/5/7(火) 10:45
すみません。間違えて、下の質問が新しい投稿になってしまいました。

ベクトル 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2019/5/6(月) 19:58
 ベクトルの記号が書けません。すみません。

点Oを原点とするx,y,zに3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)をとりOA=a,B=b,OC=cとする。α、βを正の実数としてOP=αa+βb+cとなる点Pをとる。点Pを通りOPと垂直に交わる平面をHとする。また、Hとx,y,z軸との交点をそれぞれD,E,Fとする。
(1)DPとOPが直交することを持ちいて、D(d,0,0),E(0,e,0),F(0,0,f)のd,e,fをα、βを用いて表せ。
(2)四面体ODEFの体積Vをα、βを用いて表せ。
(3)三角形DEFの面積Sをα、βを用いて表せ。
(4)α、βが、α^2+β^2=3を満たすとき、面積Sの最小値を求めよ。

 これは2004年の同志社の問題らしいのですが、解答がありません。
1、d=(α^2+β^2+1)/α
  e=(α^2+β^2+1)/β
  f=α^2+β^2+1
2、V=(=(α^2+β^2+1)^3/3αβ
3、S==(α^2+β^2+1)/2αβ√(α^2+β^2+1)
4、32/3
で大丈夫でしょうか?数学の得意な方、お願いします。



Re: ベクトル
名前:通りすがり    日付:2019/5/6(月) 21:32
(1)
正解です。

(2)
底面積の計算で1/2をかけることを忘れています。
V={(α^2+β^2+1)^3}/(6αβ)
が正解です。

(3)
S=(α^2+β^2+1)/{2αβ√(α^2+β^2+1)}
の意味であるなら計算に問題はありませんが
整理不足です。
もう少し整理して
S={√(α^2+β^2+1)}/(2αβ)
とした方がいいでしょう。

(4)
間違っています。
α^2+β^2=3 (A)
を(3)の結果に代入して
S=1/(αβ)
ここで相加平均と相乗平均の関係と(A)から
3=α^2+β^2≧2αβ
∴1/(αβ)≧2/3
よってSの最小値は2/3です。


Re: ベクトル
名前:通りすがり    日付:2019/5/6(月) 21:40
補足を。

この類の数学掲示板では、ベクトルは例えば
↑a
といった書き方をすれば大体通じます。
(この掲示板の上の方の
数学質問掲示板での数式の書き方
のリンク先も参照してみて下さい。)



うえ
を変換すれば候補として出てきます。


Re: ベクトル
名前:通りすがり    日付:2019/5/6(月) 21:45
もう一点。こちらから質問ですが
(3)を解くに当たって(2)の結果を使いましたか?

もし使う方針で解いたのであれば、計算過程を
間違えている可能性があるので注意して下さい。


Re: ベクトル
名前:ハロー    日付:2019/5/6(月) 22:17
 お手数をお掛けしました。本当に助かります。ベクトルa は↑a と書くようにします。
(3)は四平方の定理でやりました。今日は頭が疲れ切っているので、明朝指摘してもらった間違いを改めて計算し直してみます。
 
 


Re: ベクトル
名前:ハロー    日付:2019/5/7(火) 10:44
(3)は間違えました。
(4)は四平方の定理を使うと 
S=(△DEF)^2
=(△ODE)^2+(△OFE)^2+(△ODE)^2
=1/4d^2e^2+1/4e^2f^2+1/4f^2d^2
=(α^2+β^2+1)^4/4α^2β^2+(α^2+β^2+1)^4/4β^2+(α^2+β^2+1)^4/4α^2
=(α^2+β^2+1)^5/4α^2β^2
従って、S==(α^2+β^2+1)√(α^2+β^2+1)/2αβ  とならないでしょうか?


Re: ベクトル
名前:通りすがり    日付:2019/5/7(火) 18:21
ごめんなさい。私が計算を間違えていました。
>>S==(α^2+β^2+1)√(α^2+β^2+1)/2αβ

S={{(α^2+β^2+1)^2}√(α^2+β^2+1)}/(2αβ)
のタイプミスであれば、(3)はそれで正解です。

(4)も
32/3
で正解です。


Re: ベクトル
名前:ハロー    日付:2019/5/7(火) 19:29
お手数をおかけしました。私も勘違いをしていて、良い計算練習になりました。
どうも有り難う御座いました。

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