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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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”@と合わせて”という表現について 返信  引用 
名前:あきお    日付:2018/8/6(月) 11:1
いつもお世話になります。

ある変域を”・・・@”とおき、”@と合わせて”と記述した場合、
@またはA(共通部分)の意味に限定されるのか、@かつA(和集合)に限定されるのか、それとも、両者の区別なく”@より”と全く同じ扱いになるのか、いずれでしょうか?
自分は”@より”と同じ感覚で使っていたのですが、家庭教師の生徒に指摘されたもので・・・。(生徒が持ってきた)チャート式には”または”の意味に限定されるような説明がされていて戸惑っています。

教えてください。



Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:IT    日付:2018/8/6(月) 12:22
>
> @またはA(共通部分)の意味に限定されるのか、@かつA(和集合)に限定されるのか、それとも、両者の区別なく”@より”と全く同じ扱いになるのか、いずれでしょうか?
共通部分と和集合が逆では?

>ある変域を”・・・@”とおき、”@と合わせて”と記述した場合、
具体的な例で質問された方が有効な回答が得やすいと思います。


Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:あきお    日付:2018/8/6(月) 14:30
すみません、逆でした・・・。
以下に修正してお考えください。

”@またはA(和集合)の意味に限定されるのか、@かつA(共通部分)に限定されるのか”


(例)(場合分けにおいて)
   i) -3<x<5 ・・・@ のとき
       2x-5 > 0
よって x>5/2
@と合わせて 5/2<x<5
   
→ これまでこのように使っていたのですが、この"合わせて”の使い方は間違いでしょうか?


Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:IT    日付:2018/8/6(月) 20:29
文脈から正しく判断できるので 私はそれでも良いと思いますが

家庭教師の先生に素直に従うというのもありかなと思います。
(先生の教えが明らかな間違いの場合は別ですが)


Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:黄桃    日付:2018/8/6(月) 23:12
「と合わせて」は、「と考え合わせると」という意味で使えば、なんでもありですが、
文字通り「との和集合」の意味で使うこともありえます。
後者の場合は「または」に限定される使い方になるでしょう。
示された例は、「または」に限定される使い方ではないですね。

#数学の問題ではなく日本語の問題でしょう。


Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:あきお    日付:2018/8/7(火) 12:13
皆さんご指導有り難うございます。

>「と合わせて」は、「と考え合わせると」という意味で使えば、なんでもありですが、

→まさにこの感覚で使っていたのです。

>文字通り「との和集合」の意味で使うこともありえます。
>後者の場合は「または」に限定される使い方になるでしょう。

→チャート式には「または(和集合)」に限定されるようなことを書いていましたので驚いた次第です。
 そのような意味でとられるのが一般的なのでしょうか?
 それとも、「と考え合わせると」という、これまでの使い方で、問題ないのでしょうか?

ご指導お願い致します。


Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:IT    日付:2018/8/7(火) 17:7
> →チャート式には「または(和集合)」に限定されるようなことを書いていましたので驚いた次第です。

「チャート式基礎からの数学1A」を見ましたが、そこまで(「限定される」)は書いてないと思います。

ある問題を解く「指針」の中で
2つの2次方程式の判別式を,順にD1,D2とすると
(1)D1≧0 かつ D2≧0 →解の共通範囲
(2)D1≧0 または D2≧0 →解を合わせた範囲(和集合:p69参照)

IT注)「かつ」と「共通範囲」は赤色、「または」と「合わせた範囲」は紫色
と記述し、解答の中でもそのように記述しています。

「条件を合わせる」と書いた場合は「かつ」と解釈するのが自然のような気がします。

あきおさんは、レベルが高い疑問を持っておられて良いことだと思いますが、
紛れない簡潔な記述を真似されるといいと思います。
(チャート式がベストだと言っているわけではありません。)


Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:黄桃    日付:2018/8/7(火) 23:18
示したい内容があって記述するのであって、記述したから内容があるものができるわけではありません。
記述したものを読み直して誤解を招きそうなら表現を変えればいいだけです。
国語の作文と同じです。

#集合Aを集合Bと合わせて集合C になる、のであれば、和集合の意味でしょう。
#1と合わせて2が言える、のであれば、場合分けかもしれないし、1が証明の前半なのかもしれないし、
#1の定理を適用すると2が出る、という意味かもしれません。
#もちろん、1との和集合をとると2になるという意味かもしれません。
#内容を見ずに文字だけを追っていても無意味です。


Re: ”@と合わせて”という表現について
名前:あきお    日付:2018/8/8(水) 14:22
前後の文脈から、臨機応変に解釈してよい(できる)のですね。
大変勉強になりました。有り難うございました!!

三角関数の解の個数 返信  引用 
名前:のの    日付:2018/8/6(月) 10:19
s=sinθ(0<θ<π/2)
8s^2−9ns+n^2=0を満たす整数nの個数を求めよ。

(8s-n)(s-n)=0を利用し、0<n/8<1よりnは7個と求めることはできました。
しかし、なぜ2次関数を利用した以下の解だとn=1が不敵となるか分かりません。
どなたか教えてください。
【2次関数利用の解】
f(s)=8s^2−9ns+n^2とおき、0<s<1の範囲で解を持つ条件を考える。
f(0)=n^2>0(n=0のときは解なし)
f(1)<0のとき
これを解くと1<n<8で、本来解に含まれるn=1が不適となります。
f(1)>=0
のときも軸や頂点のy座標を考えた場合でも不適となってしまいます。



Re: 三角関数の解の個数
名前:通りすがり    日付:2018/8/6(月) 17:52
(i)f(1)≧0のとき
題意を満たすためには
横軸にs、縦軸にf(s)を取ったグラフの軸について
0<9n/16<1 (A)
次にf(s)=0の解の判別式をDとすると
D=81n^2-32n^2≧0 (B)
(A)より
0<n<16/9
また、nを実数としたとき
(B)よりnは任意の実数。
よって、求めるnの値の範囲は
0<n<16/9
∴これを満たす整数nは
n=1

これと
(ii)f(1)<0のとき

n=2,3,…,7
と合わせれば
n=1,2,3,…,7
の7個となります。


通りすがりさんがすでに回答されていますが、参考までに
名前:由香    日付:2018/8/6(月) 18:7
この方式で解くなら、0<s<1の範囲でf(s)=0 が解を持つのは、放物線y=f(s)
の特性より
1.f(0)>0 かつ f(1)<0
2.f(0)<0 かつ f(1)>0
3.f(0)≧0 かつ f(1)≧0 かつ 頂点の座標について0< 9n/16 <1 かつ -49n^2/32 <0
の3通りです

1.からは、n=2,3,4,5,6,7
2.からは、解なし
3.からは、適合解n=1が出ます。
(特にf(0)=0 および f(1)=0 の場合に注意して。)


Re: 三角関数の解の個数
名前:のの    日付:2018/8/7(火) 12:24
お二人の方ありがとうございました。
場合分けの中の計算が間違っていたんですね。
スッキリしました。

合同式について 返信  引用 
名前:ソフィー    日付:2018/8/6(月) 0:26
問. (2400)^2400を49で割った余りを求めよ。

方針
2400≡-1 (mod 49)なので
(2400)^2400≡(-1)^2400 (mod 49)

求める余りは(-1)^2400、すなわち1を49で割った余りであるので1.

このように解きましたが1行目から2行目の変形は証明なしでおこなって良いでしょうか? ご指導ください。



Re: 合同式について
名前:aaaaaaa    日付:2018/8/6(月) 19:16
1行目から2行目の証明をするのなら合同式を使う意味は
あまりないでしょう。合同式が十分理解できてるなら当然
証明なしであっさり書かないといけません。

私なら次の程度ですませます。
2400=50・48≡1・(-1)=-1 (mod 49)より
2400^2400≡(-1)^2400=1 (mod 49) ∴1

a≡b,c≡d (mod m)ならa+c≡b+d,ac≡bd (mod m)
a≡b (mod m)でnが正の整数ならa^n≡b^n (mod m)

これが自力で証明できて自明だと思えるなら、なんの疑問も
持たずに解答がかけると思います。

大学 線形代数 部分空間 返信  引用 
名前:(@-@)    日付:2018/8/5(日) 18:0
以下の問題の解答(解答例)を教えていただきたいです。

以下、Vを三次行列全体からなる複素線形空間とします。

問題1
次に定めるVの部分集合が部分空間となることを確かめ、そのその基底と次元を求めよ。
TrXはXの対角成分の総和を表す。
(1) W = { X∈V | ^tX=X } (^tは転置の意)
(2) W = { X∈V | TrX=0 , ^tX=X }

問題2
V=V(R^3)とし、その部分空間W1を次により定める。
W1 = { ^t(x y z)∈V(R^3) | x + 2*y - z = 0 }
(1) V = W1 + W2 となるようなVの部分空間W2をひとつ考えよ。
(2) V = W1 ∔ W2 となるようなVの部分空間W2をひとつ考えよ。

問題3
V,V'ろともに複素線形空間(またはともに実線形空間)とし、
TをVからV'への線形写像とする。
Vの零ベクトルをV(o)、V'の零ベクトルをV(o')と表す。
T( V(o) ) = V(o') を示せ。

全問でなくても構わないのでよろしくお願いいたします。



Re: 大学 線形代数 部分空間
名前:黄桃    日付:2018/8/6(月) 23:34
レポートだかテストだかにむけて丸写しできる答がほしい、という意味ではないですよね。

問題1
部分空間となることは、ベクトル空間の公理をみたすことを示してもいいし、演算が部分集合の中に納まっていることを示してもいいです。
(1)6次元。解法はいろいろありますが、Xを成分表示して、tX=X を連立方程式で表すのが機械的にできる方法でしょうか。その連立方程式の解空間がWです。解空間の次元がどうなるかも習ったはずです。
これでわからなければ諦めてください。
(2)5次元。同様です。

問題2
(1),(2)の違いは何ですか?(2)が直交なのであれば、(2)の解を求めれば十分。
直交空間はグラムシュミットなどを使いましょう。
(高校で空間ベクトルを習っていれば、答はすぐにわかるはず)

問題3
線形写像の定義とVがベクトル空間であるから特にV(o)+V(o)=V(o)であること(とV'がベクトル空間であること)から出ます。

(untitled) 返信  引用 
名前:連続    日付:2018/8/5(日) 17:38
xy平面上の動点pの時刻tにおける座標が、xとyそれぞれtの媒介変数表示で表されている問題です。xのほうは特に指定がありませんが、yは
0≦t≦√π、√π<t≦√2π の2つtの範囲についてそれぞれ式があります。
速度ベクトルを求める問があり、解答には微分計算とt=√πのときを調べ、t=√πで連続であり微分可能であることを確かめています。
なぜ連続と微分可能について調べているのかがわかりません。調べている理由を教えてください。お願い致します。



Re: (untitled)
名前:黄桃    日付:2018/8/6(月) 23:27
dx/dt, dy/dt を求めるわけですから、x,y がtの関数として微分可能でなければ意味がありません。
なので、微分可能であることを確認しているのでしょう。
t=√πを除いた場合は明らかで、t=√πでは、
(1)yが連続であり、
(2)lim[t→√π-0] dy/dt = lim[t→√π+0] dy/dt
であることがいえれば、t=√πでもyが微分可能といえます。

#(1),(2)のいずれか一方でも成立しなければt=√πでは速度ベクトルがない、という答になります。


Re: (untitled)
名前:連続    日付:2018/8/7(火) 14:21
ありがとうございました!

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