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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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線形代数30講 の 第2講 返信  引用 
名前:ほり    日付:2017/12/4(月) 22:36
基本的な連立方程式と思うのですが、問題が何をやっているかわかりません。

【問題】
条件ab'-a'b≠0について

a=2, b=3のときを考えることとし、2元1次連立方程式

2x + 3y = 6
a'x + b'y = d'

で、この条件が成り立たないとき、解がどうなっているのか調べる。


【分からない部分】
本文より、

この条件が成り立たないということは、
2b' - 3a' = 0 -(1)
となることである。

とあります。
解答の最初にいきなりこれが出てくるのですが、どうすれば上記の式が導けるのでしょうか?

この問題で示していることは、逆行列が存在しないパターンに通じてる気がするのでちゃんと理解しておきたいのですが、どうもわからず。ご教示いただけますと幸いです。



Re: 線形代数30講 の 第2講
名前:ほり    日付:2017/12/4(月) 22:40
すみません、

2b' - 3a' = 0 -(1)

の-(1)はミスなので無視してください


Re: 線形代数30講 の 第2講
名前:IT    日付:2017/12/4(月) 22:49
【問題】
>条件ab'-a'b≠0について
>a=2, b=3のときを考えることとし

なのでa=2, b=3を代入し、そしてその条件が成り立たないということから
2b'-a'3=0 としただけでは?

もう一度問題文から読み直されることをお勧めします。


Re: 線形代数30講 の 第2講
名前:ほり    日付:2017/12/4(月) 23:19
おっしゃる通りでした。お恥ずかしい限りです。
問題文をちゃんと読めてませんでした。
ありがとうございます。

虚数単位 返信  引用 
名前:たなか    日付:2017/12/4(月) 16:19
高1の数学のある問題集で

√5 / √-20

√(5 / -20)
を比較してこれらが等しいか等しくないか答えろ

という問題で解答には

√5 / √-20 = √5 / i√20
= 1 / 2i
= - (i / 2)

√(5 / -20) = √-(1 / 4)
= √-1 / 2
= i / 2


としてこれらは等しくないと書いていたのですが、ここで

√-1 = i
とするか
√-1 = -i
とするかによって変形次第で形式上は等しくもそうでなくもどちらにもなりませんか?

複素数のことは全然わからないので質問させて頂きました。
数式が読みにくかったり意味がわからなかったりした場合は申し訳ないです。



Re: 虚数単位
名前:Delta    日付:2017/12/4(月) 21:25
iは-1の平方根の内の1つなので確かにi=-√-1という考え方も無理はありません。
ただ、複素数の議論において、i=-√-1とした場合でもi=√-1とした場合と同じ結論が得られるため、
一般的にi=-√-1と置くことはしません。

この問題では、i=√-1というルールに則って計算しています。
虚数単位などの新しい概念が導入されると今まで正しいとされてきたことが、
正しくなくなるということはよくあることなので注意しようというのがこの問題の趣旨だと思います。

ちなみにi=√-1とi=-√-1の場合で得られる結論は同じと書きましたが、
当然、同じ問題の中でここではi=√-1としよう、ここではi=-√-1としようなどという考え方は通用しません。
なので、iの定義がいずれにせよ、今回の問題に関しては2つの値は等しくないという結論しかありえません。

上の文は、あくまでも個人的解釈なので他の人と相反する解釈もあるかもしれません。
また、自分の文章力ではこれが限界なのでこれでも分からない場合は、周囲の人に聞いたり、ネットで検索してみたりしてください。


Re: 虚数単位
名前:たなか    日付:2017/12/4(月) 21:38
ありがとうございます。
同一の問題内で√-1の解釈を変えるということが普通でないので2つの数は違う、ということですね。

ただひとつ言い忘れてしまっていたのですが仮にi=√-1としても2つ目の式において

√(5 / -20)
=√( 1 / -4 )
=1/2i
=-(i/2)

上のように負号を分母にある状態で根号の中身を出すと1つ目の式と同じになってしまうんですね。

どこかおかしい点がわかる方いらっしゃらないでしょうか。
それとも単に問題がおかしいのでしょうか。


Re: 虚数単位
名前:IT    日付:2017/12/4(月) 22:7
=√( 1 / -4 )
=1/2i

の間ではどんな規則に基づいてどんな計算をされましたか?


Re: 虚数単位
名前:たなか    日付:2017/12/4(月) 22:22
√( 1 / -4 )
= √1 / √-4
= 1 / (√-1 * √4)
= 1 / 2i

ですね。

ここでは√ab = √a * √bとしているのですがこれはa<0、b>bのときに使っはいけない計算規則だったでしょうか。
a,bがともに正のときにはこれは使うことができてともに負のときは√ab = -(√a * √b)になるのはわかっているんですがaとbの符号が違う時使っていいのかよくわかっていないです。


Re: 虚数単位
名前:Delta    日付:2017/12/4(月) 23:15
√(-ab) = √a√(-b) (a,bは非負)
これは間違ってはいません。
ただ、これを√( 1 / -4 )に適用しても
√( 1 / -4 ) = √1 / √-4は導き出せません。

あと、a,bが共に負なら√ab = √(-a) * √(-b)ですね。

√5 / √-20 と √(5 / -20)が等しくないことの証明は
問題集の解答以上のものを私は用意できないので、
指摘ばっかりで申し訳ないです。

ただ、とにかく、√(負の数)が関わってきた場合は、
さっさと√(-1)を分離して、従来の計算できる値の範囲まで落としてきた方が賢明です...。


Re: 虚数単位
名前:たなか    日付:2017/12/4(月) 23:30
確かに
√( 1 / -4 ) = √1 / √-4
が成り立つなら問題の2つの値はそのまま=で結べますもんね。

いろいろとありがとうございました。
とりあえずこの辺にしておきます。

(untitled) 返信  引用 
名前:教員志望    日付:2017/12/4(月) 16:18
京大 理系 2011年の第5問
xyz空間で、原点Oを中心とする半径√6の球面Sと3点(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4)を通る平面αが共有点をもつことを示し、点がその共有点全体の集合を動くとき、積xyzがとり得る値の範囲を求めよ。

前半の共有点を持つことを示す部分なのですが、
α平面上の点をベクトル成分(4,0,0)+a(-4,0,4)+b(-4,4,0)=(4-4a-4b,4b,4a)で表し
共有点を持つ⇔(4-4a-4b)^2+16b^2+16a^2=6を満たす実数a,bの組が少なくとも一つ存在する

この後が続きません。お願いします。



Re: (untitled)
名前:Delta    日付:2017/12/4(月) 17:47
その方針でいくのならば、
(4-4a-4b)^2+16b^2+16a^2の最小値のルートが原点と平面αとの距離になるので
この距離が√6以下であることを示せばいいと思います。
つまり、(4-4a-4b)^2+16b^2+16a^2の最小値が6以下であることを示せば、
Sとαが交わることが言えると思います。

ちなみに、最小値を求める際に、原点と平面αとの距離は
原点から平面αに下した垂線の長さであることを用いれば少ない計算量で済みます。


Re: (untitled)
名前:教員志望    日付:2017/12/4(月) 19:23
なるほど!
ありがとうございます。

数列 返信  引用 
名前:ダメです    日付:2017/12/4(月) 3:24
自然数nに対し、an=n^2、bn=2^nで表される数列{an}、{bn}がある。このとき、Σ(n,k=1)anbnを求めよ。
普通に解けません。お願いします



Re: 数列
名前:通りすがり    日付:2017/12/4(月) 5:52
ヒントは教科書にある等比数列の和の公式の証明過程です。
同じ方針を二回適用しましょう。

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