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数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前：math    日付：2017/6/19(月) 22:52
底面の半径が5センチ、高さ10センチの直円錐状の容器を逆さまに置く。この容器に2㎤/sの割合で静かに水を注ぐ。水の深さが4センチになる瞬間において、次のものを求めよ。
(1)水面の上昇する速さ (2)水面の面積の増加する割合

教えてくださいー！！


Re: (untitled)
名前：通りすがり    日付：2017/6/20(火) 4:16
水の深さがh[cm]のときの水面の半径をr[cm],注いだ水の体積をV[cm^3]
とすると
V=(1/3)h・πr^2 (A)
r:h=5:10 (B)
(B)より
r=h/2 (B)'
(A)を消去して
V=(π/12)h^3
よって
(1)
dV/dt={(π/4)h^2}(dh/dt)=2
∴dh/dt=8/(πh^2) (C)
これにh=4[cm]を代入して
dh/dt=1/(2π) [cm/s]
(2)
水の深さがh[cm]のときの水面の面積をS[cm^2]とすると
S=πr^2=(π/4)h^2 ((B)を代入した)
∴dS/dt=(π/2)h(dh/dt)
これに(C)を代入して
dS/dt=4/h
さらにこれにh=4[cm]を代入して求める割合は
dS/dt=1[(cm^2)/s]
因数分解の問題です 返信  引用 
名前：ゴルトン    日付：2017/6/19(月) 20:0
青チャートI+Aの基本例題10の問題です。

次の式を因数分解せよ。
64a^3+125b^3
解答は(4a+5b)(16a^2-20ab+25b^2)

自分はこの解答だと気持ち悪いと思い
(4a+5b)^3-20ab
と解答しました。

数学的にどちらの方が綺麗な式、または好ましい式なのでしょうか？


Re: 因数分解の問題です
名前：pqr    日付：2017/6/19(月) 20:9
因数分解とは, 文字式を「積のかたち」に表すことを言いますので,

>(4a+5b)^3-20ab

因数分解の問題の答としては不適当です.

さらにいうと, この式を展開しても, 64a^3+125b^3 にはならないので,
もそも, 単なる式変形としても
64a^3+125b^3= (4a+5b)^3-20ab
は正しくないです．

Re: 因数分解の問題です
名前：ゴルトン    日付：2017/6/19(月) 20:19
大変迅速な回答をありがとうございます。

そもそも式変形が間違っていたんですね。恥ずかしいです笑
>因数分解とは, 文字式を「積のかたち」に表すことを言いますので,
この回答を読んで非常にスッキリしました。こういう回答を求めていました！

わかりやすく丁寧な回答をありがとうございました。間違いも指摘していただき本当に助かりました。また利用すると思うのでその時はよろしくお願いします！
確率の問題です 返信  引用 
名前：Angela    日付：2017/6/18(日) 12:18
基本的な問題ですみません。
二項分布の総和を二項定理を使って証明しなさい。という問題が
全く分かりません。教えてください。


Re: 確率の問題です
名前：ＩＴ    日付：2017/6/18(日) 15:26
下記の最初の２つの式で良いと思います。
http://shadowacademy.web.fc2.com/distribution.html

Re: 確率の問題です
名前：Angela    日付：2017/6/18(日) 15:41
ITさん
ありがとうございました。
(untitled) 返信  引用 
名前：あんあん    日付：2017/6/17(土) 20:10
凄い初歩的な質問で申し訳ありません。

設問

１００ｇの水に２０ｇの食塩を溶かした溶液の濃度はＡ％である。
これを２０％の食塩水にするためにはあとＢｇの食塩水を溶かせば良い。

溶液の重さ÷溶液の重さで
２０÷（１００＋２０）×１００で１６．６％。

２０％にするから（２０＋Ｂ）÷（１００＋２０＋Ｂ）×１００ですよね？
ここからＢに当て嵌まる数字はどう割り出せば良いのでしょうか？


Re: (untitled)
名前：Kristofer    日付：2017/6/17(土) 20:24
まず設問中の「Bgの食塩水」というのは「Bgの食塩」の間違えでよろしいですか？

でしたらおっしゃる通り、
(20+B)/(120+B)=0.2
20+B=0.2(120+B)
20+B=24+0.2B
0.8B=4
B=5
という感じで答えが出ますよ

Re: (untitled)
名前：あんあん    日付：2017/6/17(土) 20:36
ありがとうございます。食塩水じゃなく食塩ですね。

０．８Ｂは20÷24ということですよね？

Re: (untitled)
名前：Kristofer    日付：2017/6/17(土) 20:44
いいえ違います

0.8B=24-20
ということです
(untitled) 返信  引用 
名前：ハロー    日付：2017/6/17(土) 20:2
数列a(n)の初項から第n項までの和S(n)をS(n))=-n(n^2-18n+71) とする。
s(n)の最大値を求めよ。また、その時のnの値を求めよ。
　
　和が三次式なので、微分して増減表を書こうとしたら、n の値が無理数
のついた複雑な値になって、元の式に代入するのをためらいました。
(-18±√111)/3 を上記の三次式に代入するしかないのでしょうか。
　なにか勘違いしているのでしょうか。


Re: (untitled)
名前：ＩＴ    日付：2017/6/17(土) 20:9
微分ではなくて差分だとどうなりますか？

Re: (untitled)
名前：Kristofer    日付：2017/6/17(土) 20:13
S(n)-S(n-1)=a(n)
というのを利用して出来ませんか？

自分で計算した結果なのですが、
a(n)=3n^2-38n+90
になりました

Re: (untitled)
名前：ＩＴ    日付：2017/6/17(土) 20:34
(-18±√111)/3 では「なくて(18±√111)/3 では？

(18+√111)/3の直近の自然数ｎでのＳ(n) を調べればいいと思います。

Re: (untitled)
名前：ハロー    日付：2017/6/17(土) 21:20
「微分ではなく差分」という意味が分かりません。一般項を出すこと
はできそうですが、一般項を出すと和の最大値にどう使えるか分かり
ません。最後の「(18+√111)/3の直近の自然数で調べる」は意味が
分かりますので、やってみます。
　どうも、ありがとうございます。

Re: (untitled)
名前：ハロー    日付：2017/6/17(土) 21:53
　私の計算だと、n=10 で、最大値90になりました。
差分とか一般項の考え方も気になりますが、残念な
がら、よく分かりません。

Re: (untitled)
名前：ＩＴ    日付：2017/6/17(土) 22:5
「微分ではなく差分」 といいましたが　どちらでもできますし、
この問題では微分の方が計算が簡単なので微分法でいいと思います。

差分とは　Kristofer さんも書いておられますが
隣接項の差S(n+1)-S(n)のことです。

S(n+1)-S(n)の正負を調べるとS(n)の増減が分かります。

S(n+1)-S(n)=-(n+1)((n+1)^2-18(n+1)+71)-{-n(n^2-18n+71)}
=-3(n-2)(n-9)
n=1 のときS(n+1)-S(n)＜0
n=2 のときS(n+1)-S(n)＝0
3≦n≦8のときS(n+1)-S(n)＞0
n=9のときS(n+1)-S(n)＝0
n≧10ときS(n+1)-S(n)＜0

Re: (untitled)
名前：ハロー    日付：2017/6/17(土) 22:43
　あーぁ、これはよく一般項a(n)の最大値を求めるときに、a(n)/a(n+1)=1
を解いて、nの値を求める、あのやり方ですね！よく分かりました。親切に
ありがとうございます。
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