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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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軌跡について 返信  引用 
名前:Kristofer    日付:2017/6/17(土) 19:47
円C: x^2+y^2=1 の内部に定点A(0,a)がある。円Cの周上の2点P,Qが、<PAQ=90*を満たしながら動くとき、2点P,Qにおける接線の交点の軌跡を求めよ。

解法や方針がわかりません。お願いします。



Re: 軌跡について
名前:通りすがり    日付:2017/6/17(土) 19:54
>><PAQ=90*

∠PAQ=90°
の意味と解釈すると、条件を満たす点P,Qにおける
接線の交点は存在しません。
(問題文にタイプミスはありませんか?)


Re: 軌跡について
名前:通りすがり    日付:2017/6/17(土) 19:56
補足します。


は、「かく」
°
は、「ど」
をそれぞれ変換すると変換候補に出てきます。


Re: 軌跡について
名前:通りすがり    日付:2017/6/17(土) 19:57
ごめんなさい。点Aは円Cの内部の点ですね。
私の二つ上のレスの内容は無視して下さい。


Re: 軌跡について
名前:Kristofer    日付:2017/6/17(土) 20:1
早い返答ありがとうございます。
° は出たのですが、「角」は出ませんでした(>_<)

あと言い忘れていたのですが、

x^2+{y+a/(1-a^2)}^2=(2-a^2)/(1-a^2)^2

これが答えだということはわかっています。


Re: 軌跡について
名前:通りすがり    日付:2017/6/17(土) 22:15
条件から
P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)
と置くと
AP⊥AQにより
↑AP・↑AQ=cosαcosβ+(sinα-a)(sinβ-a)=0 (A)
一方、点P,QにおけるCの接線の交点の座標を(x,y)
とすると、接線の方程式について
xcosα+ysinα=1 (B)
xcosβ+ysinβ=1 (C)
(B)と
(cosα)^2+(sinα)^2=1
とを連立させることにより
(x^2+y^2)(cosα)^2-2xcosα+1-y^2=0 (D)
(x^2+y^2)(sinα)^2-2ysinα+1-x^2=0 (E)
一方(C)と
(cosβ)^2+(sinβ)^2=1
とを連立させることにより
(x^2+y^2)(cosβ)^2-2xcosβ+1-y^2=0 (F)
(x^2+y^2)(sinβ)^2-2ysinβ+1-x^2=0 (G)
(D)(F)よりcosα,cosβはtの二次方程式
(x^2+y^2)t^2-2xt+1-y^2=0
の解ゆえ、解と係数の関係から
cosα+cosβ=2x/(x^2+y^2) (H)
cosαcosβ=(1-y^2)/(x^2+y^2) (I)
同様に(E)(G)から、やはり解と係数の関係から
sinα+sinβ=2y/(x^2+y^2) (J)
sinαsinβ=(1-x^2)/(x^2+y^2) (K)
(I)(J)(K)を使って(A)から
cosα,cosβ,sinα,sinβ
を消去します。


Re: 軌跡について
名前:Kristofer    日付:2017/6/17(土) 23:28
はい、解くことができました。
内積=0を使うところと、解と係数の関係を使うところがポイントでしたね。
本当にありがとうございます!

順列が分かりません。。 返信  引用 
名前:ぽぴぱ    日付:2017/6/17(土) 17:49
SHIKENの6文字を全て用いて出来る順列を、EHIKNSを1番目として、辞書式に並べるとき、次の問いに答えよ

1、140番目の文字列を求めよ

2、SHIKENは何番目の文字列か



Re: 順列が分かりません。。
名前:ぽぴぱ    日付:2017/6/17(土) 17:56
よろしくお願い致します


Re: 順列が分かりません。。
名前:通りすがり    日付:2017/6/17(土) 19:35
1.
先頭をある一文字に固定した文字列の数は
5P5=5!=120[通り]
先頭をある二文字を固定した文字列の数は
4P4=4!=24[通り]
よって先頭の二文字がEHである文字列のうち
末尾となる文字列は、
120+24=144[番目]
この末尾となる文字列、つまり
EHSNKI
から4つ前の文字列を求めると
EHSNIK
EHSKNI
EHSKIN
EHSINK
ということで求める文字列は
EHSINK
です。

2.
1.と同じように考えます。
Nが先頭となる文字列の内、最後の文字列は
5・5!=600[番目] (A)
Sを除いた5文字で作った文字列において
Eが先頭となる文字列の内、最後の文字列は
4!=24[番目] (B)
S,Hを除いた4文字で作った文字列において
Eが先頭となる文字列の内、最後の文字列は
3!=6[番目] (C)
S,H,Iを除いた3文字で作った文字列において
Eが先頭となる文字列の内、最後の文字列は
2!=2[番目] (D)
(A)(B)(C)(D)よりSHINKENは
600+24+6+2+1=633[番目]
となります。


Re: 順列が分かりません。。
名前:ぽぴぱ    日付:2017/6/17(土) 19:42
こ丁寧に解説ありがとうございます
本当に助かりました


Re: 順列が分かりません。。
名前:通りすがり    日付:2017/6/17(土) 19:44
ごめんなさい。訂正します(てにをはを間違えていました)
誤:先頭をある二文字を固定した文字列の数は
正:先頭をある二文字に固定した文字列の数は


Re: 順列が分かりません。。
名前:通りすがり    日付:2017/6/17(土) 19:50
ごめんなさい。1.ですが、まだ間違えていますね。
修正箇所が多すぎるので改めてアップします。

1.
先頭をある一文字に固定した文字列の数は
5P5=5!=120[通り]
先頭をある二文字を固定した文字列の数は
4P4=4!=24[通り]
よって先頭の二文字がHEである文字列のうち
末尾となる文字列は、
120+24=144[番目]
この末尾となる文字列、つまり
HESNKI
から4つ前の文字列を求めると
HESNIK
HESKNI
HESKIN
HESINK
ということで求める文字列は
HESINK
です。

(untitled) 返信  引用 
名前:ツタ屋    日付:2017/6/17(土) 15:50
お世話になっております。
高校数学Bの数列で教えて頂きたい部分があります。

問 奇数の数列 1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|21........のように第n群がn個の数を含むように分ける時、第n群の総和を求めよ。

という問題で、第n群の初項がn^2-n+1であることが分かったので第n群を初項n^2-n+1、公差2の等差数列と考えました。
第k項はn^2-n+1+2(n-1)=n^2+n-1よりΣ(k=1からn)n^2+n-1としたのですが、解はn^3でした。
どの辺りに誤りがあるのでしょうか。ご教授ください。



Re: (untitled)
名前:みずき    日付:2017/6/17(土) 17:2
どの辺りに誤りがあるのでしょうか。

>第k項はn^2-n+1+2(n-1)=n^2+n-1よりΣ(k=1からn)n^2+n-1とした

第n群の第k項は n^2-n+1+2(k-1) です。


Re: (untitled)
名前:みずき    日付:2017/6/17(土) 17:36
(回答しなおします。失礼しました。)

> どの辺りに誤りがあるのでしょうか。

次の部分です。

> 第k項はn^2-n+1+2(n-1)=n^2+n-1より

第n群の第k項は n^2-n+1+2(k-1) です。


Re: (untitled)
名前:イプシロン    日付:2017/6/17(土) 22:27
参考までに。。。

第n群の初項が,n^2-n+1 … @ で与えられるのであれば,
第(n+1)群の初項は,@におけるnを(n+1)に置き換えたもの,
つまり,(n+1)^2-(n+1)+1 … A です。

第(n+1)群の初項が,Aなので,第n群の末項は,「A-2」です。

よって,第n群は
初項が「@」,末項が「A-2」,項数が「n」
の等差数列となります。


Re: (untitled)
名前:Kenji    日付:2017/6/18(日) 0:9
私も参加します。
部分群の末項に注目する方針もあります。

第n群はn個の項を含むから第1群〜第n群はn(n+1)/2個の項を含む。
よって第n群の末項はn(n+1)-1であり、
第1群〜第n群の総和は
 {(初項)+(末項)}{項数}/2={1+n(n+1)-1}{n(n+1)/2}/2={n(n+1)/2}^2
である。
よってnが2以上であるとき第n群の総和は
 {n(n+1)/2}^2-{(n-1)n/2}^2=n^3
である。
この式はnが1のときにも成り立つ。

(答)n^3

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