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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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C 返信  引用 
名前:浪人    日付:2017/4/21(金) 21:45
Z+(i/Z~)=1 を具体的にZ=x+yiとおいてとくと画像のように解けるのですが、複素数的な変形で答えにたどり着けません。教えていただけると幸いです。よろしくお願い致します。
http://imgur.com/a/B7Std.jpg



Re: C
名前:浪人    日付:2017/4/21(金) 23:25
すみません。わかりづらいのでこちらをご覧下さい。


Z+(i/Z')=1
Z'=Zの共役複素数です。を具体的にZ=x+yiとおいてとくと画像のように解けるのですが、複素数的な変形で答えにたどり着けません。教えていただけると幸いです。よろしくお願い致します。
http://imgur.com/a/B7Std.jpg
http://imgur.com/r1QexJd.jpg


Re: C
名前:IT    日付:2017/4/22(土) 7:59
「解なし」なので うまい変形が難しいかも知れませんね。

なお、2つの式 は、「かつ」で結ばれることを明記されたほうがいいと思います。


Re: C
名前:IT    日付:2017/4/22(土) 8:2
最後の z=-1 はz=-i の間違いですね。


Re: C
名前:IT    日付:2017/4/22(土) 8:46
z+i/z~=1、z~を掛けてzz~+i=z~
|z|^2+i=z~、|z|^2-i=z
(|z|^2+i)(|z|^2-i)=zz~
|z|^4+1=|z|^2 解なし


Re: C
名前:IT    日付:2017/4/22(土) 8:53
z+i/z~=1 共役をとって z~-i/z=1
(z+i/z~)(z~-i/z)=1
|z|^2 + 1/|z|^2=1 解なし。


Re: C
名前:浪人    日付:2017/4/22(土) 13:39
たしかに、よくよく考えたら解なしでした (汗)
ありがとうございました!さんこうになりました!
http://imgur.com/r1QexJd.jpg

(untitled) 返信  引用 
名前:🅰    日付:2017/4/21(金) 21:37
2直線√3x−2y+2=0, 3√3x+y−1=0のなす角θを求めよ。
これってどうやって解きますか?ちなみに答えは60°です。



Re: (untitled)
名前:WIZ    日付:2017/4/21(金) 22:49
(√3)x−2y+2 = 0 ⇒ y = ((√3)/2)x+1
y = ((√3)/2)x+1とx軸とのなす角度をαとすれば、tan(α) = (√3)/2なので、0 < α < π/2です。

(3√3)x+y-1 = 0 ⇒ y = (-3√3)x+1
y = (-3√3)x+1とx軸とのなす角度をβとすれば、tan(β) = -3√3なので、-π/2 < β < 0です。

よって、y = ((√3)/2)x+1とy = (-3√3)x+1のなす角度θは、θ = α-βです。(β < 0なので)

tan(θ) = tan(α+(-β))
= {tan(α)+tan(-β)}/{1-tan(α)tan(-β)}
= {(√3)/2+(3√3)}/{1-((√3)/2)(3√3)}
= {(√3)+6√3)}/{2-(√3)(3√3)}
= {7√3}/{-7}
= -√3

tan(θ) = -√3より、θ = -π/3です。
# なす角度はy = ((√3)/2)x+1とy = (-3√3)x+1のどちらを基準に取るかで符号が変わるので、
# θ = -π/3でも、θ = π/3でも問題ありません。


Re: (untitled)
名前:Kenji    日付:2017/4/21(金) 23:32
別解として書いておきます。
(私はこの方針しか思いつかず、WIZさんの解法を拝見して驚きを感じました。)

2直線√3x−2y+2=0, 3√3x+y−1=0はそれぞれベクトル(√3,−2),(3√3,1)と垂直である。
この2つのベクトルのなす角をδとおくと
cosδ
=(√3,−2)(3√3,1)/{|(√3,−2)||(3√3,1)|}
=7/{(√7)(2√7)}
=1/2
∴δ=60°(∵0≦δ≦180°)
これは2直線のなす角θと一致する。

(答)θ=60°

表現方法 返信  引用 
名前:浪人    日付:2017/4/21(金) 13:40
xに関する方程式の解が
解なしのとき x∈φ と表現できますが、xは任意のときどのように表現できますか?教えて頂けると幸いです。よろしくお願い致します。



Re: 表現方法
名前:WIZ    日付:2017/4/21(金) 14:41
xの取り得る範囲(集合)をAとし、方程式f(x) = 0が取り得る範囲の任意の値xで成立するならば、
「∀x ∈ A s.t. f(x) = 0」という表現になると思います。


Re: 表現方法
名前:浪人    日付:2017/4/21(金) 18:3
ありがとうございます。これは命題扱いになり、「」が真ということを述べなくても良いのですか?


Re: 表現方法
名前:WIZ    日付:2017/4/21(金) 20:30
s.t.(such that)を使っているので、「f(x) = 0となるのはAに属すx全てである」という意味になります。
なので、あえて真と述べる必要は無いと思いますが。

むしろ、真と述べたいのなら「(x ∈ A) ⇒ (f(x) = 0)」つまり「xがAに属すならばf(x) = 0である。」
と書くべきかも。
# これだとxがAに属さないならは、f(x) = 0でもf(x) ≠ 0でも良いから、
# スレ主さんの期待する主張とは少し違うのかな?


Re: 表現方法
名前:浪人    日付:2017/4/21(金) 20:58
なるほど s t を使っているときはそういうことなのですね。ありがとうございます。

不等式 文章題 返信  引用 
名前:busted    日付:2017/4/20(木) 13:41
【問題文】
公園内にあるすべてのプランターに、購入した球根を植える方法に検討したところ、次のア〜ウのことが分かった。

ア)1つのプランターに球根を60個ずつ植えると、球根は150個不足する。
イ)1つのプランターに球根を40個ずつ植えると、球根は430個より多く余る。
ウ)半数のプランターに球根を60個ずつ植え、残りのプランターに球根を40個ずつ植えると球根は余り、その数は160個未満である。

以上から判断して、購入した球根の個数として、正しいのはどれか。

@1,590個 A1,650個 B1,710個 C1,770個 D1,830個


【解説】
STEP❶ 不等式をつくる
プランターの数をxとすると、条件アから、球根の個数は、
60x − 150 (個)
また、条件イから、球根の個数は、40x + 430(個)より多いことになり、
40x + 430 < 60x − 150 ・・・@
が成り立つ。
さらに、条件ウは1つのプランターに平均50個ずつ球根を植えることになり、球根の個数は、50x + 160(個)より少ないことになる。
60x − 150 < 50x + 160 ・・・A

STEP❷ 不等式を解く
@より、20x > 580
x > 29
Aより、10x < 310
x < 31
よって、29 < x <31となり、xは自然数だから、x = 30

STEP❸ 球根の個数を求める
したがって、球根の個数は、60 × 30 − 150 = 1650(個)となり、Aが正しい。



【質問】
解説の式は、自力で作りたのですが、私が問題文を読んで作った式は、
60x − 150 < 50x + 160 < 40x + 430 でした。
当然答えは間違っており、解説を読んだのですが、上記の内容しか書かれておらず、納得いきませんでした。
条件イの文言が、430個より多く余る→430個より足りない、であれば納得できるのですが(もちろん答えは変わる(とゆうか出ない??)と思いますが)。

無理やり理解しようとしたのが、
条件イが、・・・より多い。
条件ウが、・・・未満である。
なので、解説の式が成り立つのかなと、こう思ったわけですが、

ど う し て も 納 得 で き ま せ ん !!

私の理解力が乏しいのでしょうか。見落としている、感違いしているのでしょうか。
わかりにくい質問ですが、納得いく解説、考え方、そもそも不等式とはなんぞからやり直せ!etc...
ご意見、解説して下さる方、よろしくお願い申し上げます。m(_ _)m



Re: 不等式 文章題
名前:みずき    日付:2017/4/20(木) 14:32
アイウの各条件に補足説明を付けてみました。

プランターの数をx、球根の個数をyとします。

ア)1つのプランターに球根を60個ずつ植えると、
球根は150個不足する。

ア)に関する補足説明:
1つのプランターに球根を60個ずつ植えるには球根が150個足らない。

球根の個数yは、60個ずつ植えられる個数60xより150少ない
→y=60x-150
あるいは、球根の個数yに150足せば、60個ずつ植えられる個数60xになる
→y+150=60x

イ)1つのプランターに球根を40個ずつ植えると、
球根は430個より多く余る。

イ)に関する補足説明:
1つのプランターに球根を40個ずつ植えたところ、球根が余った。
その余った球根の個数を数えてみたら、430個より多かった。

球根の個数yは、40個ずつ植えられる個数40xに430加えたものより多い
→y>40x+430
→60x-150>40x+430

ウ)半数のプランターに球根を60個ずつ植え、
残りのプランターに球根を40個ずつ植えると球根は余り、
その数は160個未満である。

ウ)に関する補足説明:
平均50個ずつ球根を植えたところ、球根が余った。
その余った球根の個数を数えてみたら、160個より少なかった。

球根の個数yは、平均50個ずつ植えられる個数50xに160加えたものより少ない
→y<50x+160
→60x-150<50x+160


Re: 不等式 文章題
名前:busted    日付:2017/4/20(木) 20:57
>>みずきさん

ありがとうございます!
とても理解できました!

『余った』にとらわれ過ぎて、難しく考えていました。。
日本語勉強します(笑)

ありがとうございました!!

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