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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)の係数 返信  引用 
名前:De-sync    日付:2017/8/6(日) 18:40
大学2年数学科です
Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)を展開した時の係数は実数になると予想したのですが証明の仕方が分かりません。ご教授頂けたらありがたいです。
n=2,3の時はそれぞれ、x_1^2-x_2^2とx_1^3+x_2^3+x_3^3-3x_1x_2x_3になります。
n=3の時に対称式になるのが面白いですよね。分野的には代数学だと思います、多分。



Re: Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)の係数
名前:pqr    日付:2017/8/7(月) 0:1
2年生だと, ガロア理論はまだ学習されていないでしょうね.
(であれば, ひとまず, 以下の「・・・」の部分は認めてしまえば良いと思います)

ζ=exp(2πi/n)とおき, K=Q(ζ)とします. nと互いに素な整数 r をひとつ取ります.
このとき, ζ を ζ^r に写すことにより, 体KのQ上の同型写像 ρ が定まります.
ガロア理論によれば,

「Kの元 a に対して, ρ(a)=a ならば, a は 有理数である」

が成り立ちます.したがって,
Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)の各 x_l の係数は K の元ですから,
この多項式(の係数)に, ρを作用させても, 変わらないことを示せば良いです. つまり,
r を n と互いに素な整数として,

Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)=Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klrπi/n)x_l)

が示せれば, 全ての係数が有理数(とくに, 実数)であることがいえると思います.


Re: Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)の係数
名前:De-sync    日付:2017/8/7(月) 0:25
ご返信頂きありがとうございます!

ガロア理論はまだ習ってないですね…数学ガールは読みましたが未だ理解し切れてない点も多いです。が、かぎかっこ内以外は納得出来ました。

代わりに
Π[k=1,n](Σ[l=1,n]exp(2klπi/n)x_l)
=Π[k=1,n](Σ[l=1,n]exp(2klπi/n)x_(lr))
を示しても良さそうですね。


Re: Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)の係数
名前:pqr    日付:2017/8/7(月) 0:26
すみません. (巡回拡大ではないので,) rの取り方は, 任意に考える必要がありました.:

「Kの元 a に対して, nと互いに素な任意の整数 r に対して, ρ_r(a)=a ならば, a は 有理数である」

です. 結局, 示すべきことは,

r を n と互いに素な整数として,
Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)=Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klrπi/n)x_l)

ですので, 考えることは同じです.


Re: Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)の係数
名前:pqr    日付:2017/8/7(月) 0:28
>代わりに
>Π[k=1,n](Σ[l=1,n]exp(2klπi/n)x_l)
>=Π[k=1,n](Σ[l=1,n]exp(2klπi/n)x_(lr))
>を示しても良さそうですね。

x の添字を mod n で考える, ということでしたら, そうですね.


Re: Π[k=1〜n](Σ[l=1〜n]exp(2klπi/n)x_l)の係数
名前:De-sync    日付:2017/8/7(月) 1:52
同じ学友でこの掲示板を見てくれた者が示してくれました。自分の発想ではないですが、僭越ながら掲載させて頂きます。

Π[k=1,n](Σ[l=1,n]exp(2klrπi/n)x_l)
=Π[k=1,n](Σ[l=1,n]exp(2(kr)lπi/n)x_l)
であり、
σをnを法とする加法を持つ巡回群でのrを足す時の置換とすると、nを法として合同な任意のk,lに対しf(k)とf(l)が合同になる様なfに対して
Π[k=1,n]f(kr)
=Π[k=1,n]f(σ(k))
=Π[k=1,n]f(k)
となるので示せた事になります。

pqrさんのおかげで証明出来ました!ありがとうございます!
よぉーしガウス理論頑張るぞ!

球の表面積の導出について 返信  引用 
名前:Yoshikita    日付:2017/8/6(日) 7:24
球の表面積の導出方法について調べてみると以下のようなものがありましたが、
周の長さは 2πrcosθというのが理解できません。なぜcosθなんでしょう?

証明
緯度がθからθ+Δθの部分(帯のような図形)の表面積を考える。
周の長さは 2πrcosθ、帯の幅はrΔθなので帯の面積は2πr^2cosθΔθ
よってΔθ→0の極限を考えると球の表面積はS=∫(π/2)(-π/2)2πr^2cosθdθ=4πr



Re: 球の表面積の導出について
名前:通りすがり    日付:2017/8/6(日) 8:34
緯度がθとなる断面の円の半径を考えましょう。

級数 返信  引用 
名前:    日付:2017/8/6(日) 0:26
(1)Σ(n=1→∞)(n^2+1)/(n^3(n+1)) の収束・発散を調べよ
(2)Σ(n=0→∞)((n+4)/(4n+1))^n*x^n の収束半径と収束域を求めよ

の解き方が分かりません。解答・解説お願いします。



Re: 級数
名前:IT    日付:2017/8/6(日) 11:5
まずは、隣接項の比を評価してみるといいと思います。
詳しくは「ダランベールの収束判定法」で検索してみてください。


Re: 級数
名前:    日付:2017/8/6(日) 11:55
ありがとうございます、早速ダランベールで計算してみたのですが、
(1)は0に収束
(2)は収束半径r=4、収束域[-4,4]
となりました。
答案のない問題なので合ってるか分かりませんが
ヒントを教えてくださって助かりました(^ ^)


Re: 級数
名前:IT    日付:2017/8/6(日) 12:46
(2) は x=-4,4のときについては、個別に確認される必要があると思います。

整数 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/8/5(土) 22:39
(3n^2+174n+231)/(n^2+3n+2)が整数となる自然数nは何個存在するか。
これなんですが、いろいろ試みてもうまくいきません。どなたか、お願いできますでしょうか。



Re: 整数
名前:IT    日付:2017/8/5(土) 23:33
(3n^2+174n+231)/(n^2+3n+2) = 105/(n+2) + 60/(n+1) + 3 となります。
これが整数になるのは、105/(n+2)と 60/(n+1) がともに整数のとき。
だと思います。
注)厳密には(n+2) と(n+1) が互いに素であることからの論証が必要


Re: 整数
名前:ハロー    日付:2017/8/6(日) 0:17
分数式の和にする過程の考え方は分かりましたが、分子は違ってますよね?


Re: 整数
名前:IT    日付:2017/8/6(日) 5:9
> 分子は違ってますよね?

どう違いますか? :ハロー さんの計算ではどうなりましたか?


Re: 整数
名前:ハロー    日付:2017/8/6(日) 6:10
すみません。寝てしまいました。この分数式を実際に割ってみたら
3+(165n+225)/(n^2+3n+2)となりました。それで、分母を因数分解して
a/n+1+b/n+2 を通分して係数を比較して。あれ?
 今、やってみたらa=60 b=105 となりました!
 すみません。半分寝てて計算ミスしたみたいです!!
 あとは、60と105を素因数分解して約分できる整数を探していきます。
いつも親切にありがとうございます。

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