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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:まる    日付:2017/5/15(月) 18:33
(1+2x)x^3(1-2x)<0
の答えの出し方を教えてください。

解が-1/2,0,1/2になるのはわかりますが
答えの範囲(-1/2<x<0またはx>1/2)の求め方を忘れてしまいました。
(通常の左辺が2つの不等式ならば求めることができます)



Re: (untitled)
名前:noname    日付:2017/5/15(月) 21:39
>通常の左辺が2つの不等式ならば求めることができます


では,次の様に考えてみては如何でしょうか.不等式の左辺を

(1+2x)x^3(1-2x)=x^3(1-4x^2)

の様に変形すると,問題の答えを求めるには不等式x^3(1-4x^2)<0の解を求めればよいことになります.ところで,実数a,bに対して「ab<0ならば,『a<0かつb>0』または『a>0かつb<0』である」という性質があります.この性質を用いれば,不等式x^3(1-4x^2)<0が成り立つならば,

「x^3<0かつ1-4x^2>0」または「x^3>0かつ1-4x^2<0」

が成立します.後は,それぞれの「…」を満たす範囲を求め,求まった2つのxの範囲の合併範囲を求めればよいです.


Re: (untitled)
名前:まる    日付:2017/5/16(火) 20:33
ありがとうございます、しかしやはり答えにたどり着けません。
1/2<x<0またはx>1/2にどうしてもならず

x<0とx<-1/2,1/2<xの共通部分
x>0と-1/2<x<1/2の共通部分

が答えとしか思えないのですが、これは途中の計算のどこに間違いがあるのでしょうか。


Re: (untitled)
名前:まる    日付:2017/5/16(火) 20:35
すみません、
正解は-1/2<x<0またはx>1/2です(最初のマイナスが抜けていました)

中3です 返信  引用 
名前:ゆめ    日付:2017/5/15(月) 18:30
a二乗=b二乗+49
と言う問題を教えてください。
移項して因数分解して、(a+b)(a-b)=49までは分かります。が、その先どうしたらa,bがわかるのか分かりません。
お願いします



Re: 中3です
名前:IT    日付:2017/5/15(月) 19:29
a,b の条件は何ですか?


Re: 中3です
名前:ゆめ    日付:2017/5/15(月) 23:15
申し訳ないです。
整数です。


Re: 中3です
名前:IT    日付:2017/5/16(火) 0:33
(a+b)(a-b)=49=7*7
∴(a+b,a-b)=(49,1)or(-49,-1)or(1,49)or(-1,-49)or(7,7)or(-7,-7)
これらの連立方程式を解きます。
例えば(a+b,a-b)=(49,1)は a+b=49…(1), and a-b=1…(2),(1)+(2)2a=50 ∴a=25,b=24


(別解)
a^2=b^2-49は (a,b) が解の場合、a,bの符号を任意に入れ替えても解になるので
a≧0,b≧0について考えると
 (a+b)(a-b)=49=7*7 ∴ (a+b,a-b)=(49,1)or(7,7) ∴(a,b)=(25,24)or(7,0)
よって求める解は..... 


Re: 中3です
名前:IT    日付:2017/5/16(火) 0:47
(別解)
「a^2=b^2+49 は」 でした。


Re: 中3です
名前:ゆめ    日付:2017/5/16(火) 7:37
すみません。何度も。
∴(a+b,a-b)=(49,1)or(-49,-1)or(1,49)or(-1,-49)or(7,7)or(-7,-7)になる理由から、わからないです。


Re: 中3です
名前:IT    日付:2017/5/16(火) 17:59
(a+b)(a-b)=49ですから(a+b) は49の約数です。

49=7×7 ですから
 負の数も考えると49の約数は±1,±7,±49 です。 ここまで分かりますか?

(untitled) 返信  引用 
名前:カルピス    日付:2017/5/15(月) 12:56
命題「∀x∈N,∃k∈N s.t. 1+1/2+・・・1/k>x」の真偽の判定方法を教えてください!



Re: (untitled)
名前:WIZ    日付:2017/5/15(月) 14:36
Nは自然数全体の集合と解釈して回答します。

調和級数が正の無限大へ発散することを用いてよいのなら、
任意の(全ての)自然数xに対して、Σ[j=1,k]{1/j] > xとなる様なkは存在するので、
真と言えるのではないでしょうか。

(untitled) 返信  引用 
名前:ツタ屋    日付:2017/5/15(月) 11:45
二次方程式x^2-(k-1)x+k=0の2つの解をの比が2:3となるとき、定数kの値を求めよ。

2つの解をα、βとする。(ただしα<β)
条件よりα:β=2:3より2β=3α↔β=3α/2...@
解と係数の関係より、5α/2=(k-1) 3α^2/2=k
kを消去して 3α^2-5α-2=0↔α=-1/3,2

ここでβ>αよりα=2としましたが、α=-1/3も含まれました。
どの辺りが間違いの原因でしょうか。
ご教授ください。



Re: (untitled)
名前:みずき    日付:2017/5/15(月) 13:29
>どの辺りが間違いの原因でしょうか。

「α<βならばα:β=2:3」と決めつけているところです。
α<βでα:β=3:2となることもあります。

実際 (α、β)=(-1/2,-1/3)はα:β=3:2を満たします。

線形代数 返信  引用 
名前:かおる    日付:2017/5/15(月) 9:32
A,B,C,Xを正則なn次正方行列とし、Eを単位行列、A^-1をAの逆行列とする。
行列の演算の定義を次の(@)〜(B)とする。
(@)(AB)C=A(BC)
(A)AE=A
(B)AA^-1=E
次の式を証明せよ。
(1)任意の行列Bに対してでXA=Bを満たすXはただ一つ存在し、X=BA^-1である。
(2)EA=A
(3)A^-1A=E

教えてくださると本当に助かります
お願いします



Re: 線形代数
名前:WIZ    日付:2017/5/15(月) 11:14
逆行列は小文字で表すことにします。つまり、A^(-1) = aなどとします。

(1)
XA = Bの両辺に右からaを乗じると、(XA)a = Ba
(i)より、X(Aa) = Ba
(iii)より、XE = Ba
(ii)より、X = Ba
以上は必要条件による式変形なので、題意のXが存在するならばX = Baしかないということは言えます。

次に、題意のXが存在する、つまりX = Baが題意を満たすかという十分条件の確認を行います。
(Ba)A = Yとおいて、Y = Bであることを示します。
(i)より、B(aA) = Y
両辺の右からaを乗じると、(B(aA))a = Ya
(i)より、B((aA)a) = Ya
(i)より、B(a(Aa)) = Ya
(iii)より、B(aE) = Ya
(ii)より、Ba = Ya
aの逆行列をZとします。Zを両辺の右から乗じると、(Ba)Z = (Ya)Z
# 実際はZ = Aですが、その事実はここでは必要ありません。
# 但し、Aが正則なら、a = A^(-1)も正則で逆行列を持つことは仮定していますが・・・ダメかな?
(i)より、B(aZ) = Y(aZ)
(iii)より、BE = YE
(ii)より、B = Y
となり、X = Baは題意を満たします。

(2)
(1)でBをAに置き換えると、XA = Aならば、X = Aaです。
(iii)より、X = Eですので、EA = Aといえます。

(3)
(1)でBをEに置き換えると、XA = Eならば、X = Eaです。
(2)より、X = aですので、aA = Eといえます。

問題(1)(2)(3)は密接に関係していて、どれか1つが証明できれば他も容易に証明できそうです。
ただ先にも述べました通り、「正則な行列の逆行列は正則か?」「逆行列の逆行列は元の行列か?」などは
仮定して良いものなのか、それを仮定しないで証明できるのかは分かりませんでした。

確率 返信  引用 
名前:カマタ    日付:2017/5/15(月) 0:34
白玉が6個と黒玉が3個入っている箱があり、この箱から玉を無作為に1個ずつ取り出して、左から右へ順に横一列に並べることを箱の中の玉がなくなるまで続ける。
(1)左から5番目までの玉の中に3個の黒玉が含まれる確率
(2)左から2番目の玉が白玉である確率
(3)左から2番目と5番目の玉が白玉である確率

この問題を教えてくださいお願いします



Re: 確率
名前:通りすがり    日付:2017/5/15(月) 1:6
全ての並べ方の数は
9!/(6!3!)=84[通り]
(1)
左から5番目までの中に
白玉2個
黒玉3個
が含まれるような並べ方は
5!/(2!3!)=10[通り]
∴求める確率は
10/84=5/42
(2)
左から2番目が白玉である場合、つまり
残りの8か所が
白玉5個
黒玉3個
で構成される並べ方は
8!/(5!3!)=56[通り]
∴求める確率は
56/84=14/21
(3)
左から2番目と5番目が白玉である場合、つまり
残りの7か所が
白玉4個
黒玉3個
で構成される並べ方は
7!/(4!3!)=35[通り]
∴求める確率は
35/84


Re: 確率
名前:通りすがり    日付:2017/5/15(月) 1:8
ごめんなさい。(3)において訂正します。
誤:35/84
正:35/84=5/12

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