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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:    日付:2018/4/10(火) 17:45
x>0のとき、(x^4+11x^2+1)/(x^2+x)の最小値とその時のxを求めよ。
せっかx>0の条件があるため、相加相乗平均を使おうとしたのですがうまくいきません。やり方がまずいのでしょうか?



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/4/10(火) 19:56
きれいな答えにならないようですが、問題にまちがいはないですか?
答えはいくらか分かりますか?


Re: (untitled)
名前:    日付:2018/4/10(火) 20:16
答えはx=3±√5/2のとき6となっています。


Re: (untitled)
名前:    日付:2018/4/10(火) 20:17
すみません、x=(3±√5)/2です汗


Re: (untitled)
名前:    日付:2018/4/10(火) 20:19
問題に訂正です汗ごめんなさい。
(x^4+11x^2+1)/(x^3+x)です 申し訳ありません。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/4/10(火) 20:24
x=1/2 のとき 与式=61/12<6 となるので 式が間違っているのでは?


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/4/10(火) 20:26
> (x^4+11x^2+1)/(x^3+x)です 申し訳ありません。
なら答えは合っているようですね。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/4/10(火) 20:40
微分するしかないかも知れませんね。


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/4/10(火) 20:53
横から失礼します。

(x^4+11x^2+1)/(x^3+x)=(x^2+11+1/x^2)/(x+1/x)
={(x+1/x)^2+9}/(x+1/x)
=(x+1/x)+9/(x+1/x)
と変形すれば相加平均と相乗平均の関係が使えます。


Re: (untitled)
名前:    日付:2018/4/10(火) 20:59
わーなるほどー!すごくすっきりしました感動泣

考えてくれた皆様に感謝です(__) ありがとうございました。


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/4/11(水) 7:18
あ!きれいにできますね!!

教えてください。 返信  引用 
名前:らーめん    日付:2018/4/10(火) 15:48
kを実数の定数とする。xの方程式
x^3-x^2-kx+1=0
が異なる3個の実数解α,β,γをもつとき、|α|+|β|+|γ|のとりうる値の範囲を求めよ。
絶対値を外した後わからなくなりました。教えてください。



Re: 教えてください。
名前:Delta    日付:2018/4/10(火) 16:58
x^3-x^2-kx+1=0 はx=0を解に持たないのでこの方程式は
k=x^2-x+1/x と変形することができます。

y=x^2-x+1/x のグラフを描くとこれとy=kが相異なる3点で交わるための必要十分条件は
k>1であることが分かります。また、このとき、実数解の内、1つは負で2つは正であることも分かります。

ここでα,β>0,γ<0としても一般性は失われないのでそのようにすると
|α|+|β|+|γ|=α+β+γ-2γ=1-2γ (∵解と係数の関係)となります。
グラフを見るとγ<-1が分かるので |α|+|β|+|γ|=1-2γ>3


Re: 教えてください。
名前:らーめん    日付:2018/4/10(火) 21:3
わかりました。ありがとうございました。

正則行列、階段行列 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2018/4/10(火) 2:21
正則行列が簡約階段行列(階段行列かつその階段の段の部分がある列ベクトルの成分が階段部分の1以外を除いてすべて0)
ならば、最終行が0(ボールド体、零ベクトル?)となりえない。したがって、単位行列Enでなくてはならないとあるのですが、
最終行が零ベクトルになりえないのはどうしてですか?



Re: 正則行列、階段行列
名前:Delta    日付:2018/4/10(火) 9:29
最終行が零ベクトルだとその行列は正則ではなくなるからです。


Re: 正則行列、階段行列
名前:ハワイ    日付:2018/4/11(水) 19:37
わかりました。
ありがとうございました。

(untitled) 返信  引用 
名前:もん    日付:2018/4/9(月) 23:13
不等式 x^2+3x^2−x−3>0@ x^2−2ax−1≦0A
を同時に満たす整数がただひとつ存在するようにaの範囲を定めよ。 @を解いて−3<x<−1,1<xまではいけたのですがそこからがわかりません。 教えていただけますか?



Re: (untitled)
名前:Delta    日付:2018/4/10(火) 10:2
@を満たす整数は -2,2,3,4,... となります。
一方、Aを解くとa-√(a^2+1)≦x≦a+√(a^2+1) となり、a-√(a^2+1)<0,a+√(a^2+1)>0 より
Aの左辺をf(x)とおくと 0<α<βかつf(β)≦0ならばf(α)≦0 が成立します。
つまり、x=3がAを満たすならばx=2もAを満たすというようになるので、
@Aを同時に満たす整数がただひとつのとき、その整数はx=-2またはx=2です。
(i)x=-2のとき
f(-2)≦0 かつ f(2)>0 より...
(ii)x=2のとき
f(-2)>0 かつ f(2)≦0 かつ f(3)<0 より...
(i),(ii)より a≦-3/4,3/4≦a<4/3

もしかしたらもっと簡潔な解法があるかもしれませんが方針はこんな感じです。


Re: (untitled)
名前:もん    日付:2018/4/10(火) 14:22
ありがとうございます。助かりました。
グラフ書いてやってみてやり方に納得いたしました。
感謝です。

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