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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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三角関数の最大値・最小値 返信  引用 
名前:chin    日付:2019/1/11(金) 22:54
関数f(x)=(1-cosx)/(1+cosx)について、区間[(-1/6)π、(1/4)π]における最大値、最小値を求めよ。

与式の微分は、f’(x)=(2sinx)/(1+cos)^2となりました。

これ以降で手こずっています。通常の関数の最大値・最小値問題と同様に、極値と端点の値を求め、増減表を書いて最大値・最小値を調べると思うのですが、うまく解けません。

よろしくお願いします。



Re: 三角関数の最大値・最小値
名前:IT    日付:2019/1/11(金) 23:14
その区間では、(1+cos)^2>0 なので 2sinxの正負を調べればf’(x)の正負が分かり
f(x)の増減が分かります。

t=cosx とおくとxがその区間では 1/√2≦t≦1ですから
g(t)=(1-t)/(1+t) の 1/√2≦t≦1 における 最小値、最大値を調べる方法もあります。


Re: 三角関数の最大値・最小値
名前:chin    日付:2019/1/11(金) 23:44
アドバイスありがとうございます。

>>その区間では、(1+cos)^2>0なので、2sinxの正負を調べればf’(x)の正負が分かり、f(x)の増減が分かります。

f’(x)=(2sinx)/(1+cos)^2=0を解けば、f’(x)の正負が分かるということですか?

f’(x)=(2sinx)/(1+cos)^2=0

2sinx=0

sinx=0

区間[(-1/6)π、(1/4)π]より、x=0

f(0)=(1-cos0)/(1+cos0)=0

f((-1/6)π)=(1-cos(-1/6)π)/(1+cos(-1/6)π)=-7+2√3

f((1/4)π)=(1-cos(1/4)π)/(1+cos(1/4)π)=3-2√2

ここまでは計算出来ましたが、-7+2√3<0<3-2√2となってしまい、増減表が書けません。ゆえに、最大値・最小値を求められません。


Re: 三角関数の最大値・最小値
名前:IT    日付:2019/1/12(土) 8:26
増減表を書く手順を勘違いしていませんか?
教科書などの例題を見て真似ることをお勧めします。

また f((-1/6)π)=7-4√3>0 です。(定義されているところでは 常にf(x)>0 です。)

そして 0<f((-1/6)π)=f((1/6)π)<f((1/4)π)


Re: 三角関数の最大値・最小値
名前:IT    日付:2019/1/12(土) 8:30
(定義されているところでは 常にf(x)>0 です。)
は「常にf(x)≧0」 が正しいです。 


Re: 三角関数の最大値・最小値
名前:chin    日付:2019/1/13(日) 17:45
計算間違いの指摘、ありがとうございます。改めて増減表を書く手順(極値と区間の両端の値を求める→極値と端点の値を調べる)も確認しました。

分母の有理化の計算が間違えていました。確かに、f((-1/6)π)=7-4√3>0です。

ゆえに、ご指摘どおり、f(0)=0<f((-1/6)π)=7-4√3<f((1/4)π)=3-2√2なので、増減表は、
x :(-1/6)π・・・0・・・(1/4)π
f’(x):     − 0 +
f(x) :7-4√3  ↓ 0 ↑ 3-2√2

したがって、x=(1/4)πのとき、最大値3-2√2、x=0のとき、最小値0

これで大丈夫でしょうか?


Re: 三角関数の最大値・最小値
名前:IT    日付:2019/1/13(日) 23:0
いいとおもいます。

お茶の水女子大 1999年の問題 part3 返信  引用 
名前:田中一郎    日付:2019/1/11(金) 21:22
以下の問題の(3)が分かりません。

a,b,c,dを定数とする。またwはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。以下の命題を考える。

命題1: x≧0かつy≧0かつz≧0 ⇒ w≧0

命題2: 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」 ⇒ w≧0

命題3: z≧0 ⇒ w≧0

以下の問いに答えよ。

(1) b=0かつc=0のとき、命題1が真であれば、a≧0かつd≧0であることを示せ。

(2) 命題1が真であれば、a,b,c,dはすべて0以上であることを示せ。

(3) 命題2が真であれば、命題3も真であることを示せ。


という問題なんですが、これは青チャートの総合演習にも載っている問題です。なので答えも書かれてあるんですが、(1)と(2)は解答を見たら理解できたのですが、(3)が解答を見ても理解できません。

(3)の解答を以下に載せます。

命題2が真であるとする。
この時、「x≧0かつy≧0かつz≧0」は
 「x≧0かつz≧0」または「y≧0かつz≧0」
に含まれるから、命題1も真である。
よって、(2)から a≧0,b≧0,c≧0,d≧0
命題2が真であるから、
y=z=0の時
 w=ax+d≧0
この不等式は、全ての実数xに付いて成り立つ。
よって、関数w=ax+dのグラフを考えると
 a=0かつd≧0
また、命題2が真であるから、x=z=0の時
 w=by+d≧0
この不等式も全ての実数yについて成り立つから
 b=0かつd≧0
ゆえに、a,b,c,dについて
 a=0,b=0,c≧0,d≧0
a=b=0であるから w=cz+d ・・・・・(あ)
c≧0,d≧0であるから、z≧0のとき w=cz+d≧0
したがって、命題2が真であれば、命題3も真である。


この解答の

(あ)

の部分が分かりません。

命題2が真であるので、w=cz+d ではなく w=cz+d≧w とならないとおかしいのではないでしょうか。
そうなると、z=0 となって z≧0 とはなりませんが。
この部分分かりません、宜しくお願いします。



Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3
名前:IT    日付:2019/1/11(金) 22:29
wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。
とありますからa=b=0 のとき w=cz+d です。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3
名前:IT    日付:2019/1/11(金) 22:51
> w=cz+d≧w とならないとおかしいのではないでしょうか。
後半の不等式も正しいですが、あまり意味がないと思います。
> そうなると、z=0となって z≧0 とはなりませんが。
なぜz=0と言えますか? また、仮にz=0ならば z≧0 です。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3
名前:田中一郎    日付:2019/1/12(土) 22:11
>なぜz=0と言えますか? また、仮にz=0ならば z≧0 です。

w=cz+d ≧ 0

として見ると、c ≧ 0 かつ d ≧ 0 ですよね。

その時に w ≧ 0 が成り立つのは z=0 の時だけじゃないですか・・・

と思ったんですけど、cは c≧0 でしたね、c=0 でも それより上の値 にもなるんでした。
この場合の w≧0 になる条件は z≧0 しかないですね。
自分が勘違いしてた事に気づきました。(^-^;

これは自分で勘違いに気づいたんですが
最初の回答の

>wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。
>とありますからa=b=0 のとき w=cz+d です。

とありますが、これ(a=b=0 c≧0 d≧0)は前提条件「命題2は真とする」というのがあって成り立つ式ですよね。
となれば、w=cz+d ではなく w=cz+d≧0 となると思うのですが


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3
名前:田中一郎    日付:2019/1/12(土) 22:18
そして w=cz+d だと間違いになると思うのですが、

>wはx,y,zから w=ax+by+cz+dによって定まるものとする。

という一文があるだけで、w=cz+d になる理屈が分かりません。
できれば詳しく教えて頂きたいのですが


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3
名前:IT    日付:2019/1/12(土) 23:28
もう一度、元の問題と私の回答を良く読んでください。

掲示板でのやり取りでは限界があります。対面で直接指導を受けられることをお勧めします。


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3
名前:田中一郎    日付:2019/1/13(日) 19:4
すいません、まとめられた後に閃いたので、意見を聞かせてほしいのですが


命題2が真の時に導かれる結論が
a=0,b=0,c≧0,d≧0 である。

これを、w=ax+by+cz+d (この時点ではw≧0は確定ではない)に代入する

すると w=cz+d となり c≧0,d≧0 なので z≧0 ⇒ w≧0 となる(この時点でw≧0が確定となる)


という事なんでしょうか


Re: お茶の水女子大 1999年の問題 part3
名前:IT    日付:2019/1/13(日) 20:17
いいと思います。

問題を解くヒントが欲しいです 返信  引用 
名前:あっぷる    日付:2019/1/10(木) 21:57
a=13とする。
@a^3を7で割った時のあまりは[ア]

この問題の解き方のヒントが欲しいです。



Re: 問題を解くヒントが欲しいです
名前:はにお    日付:2019/1/10(木) 22:45
3乗ぐらいなら実際に計算してもいいけど、
(7 + 6)^3 として二項展開すると?


Re: 問題を解くヒントが欲しいです
名前:関数電卓    日付:2019/1/10(木) 23:10
(14−1)^3 を2項展開した方が一目で分かる。

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