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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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相似な図形 面積 返信  引用 
名前:中3    日付:2017/12/2(土) 23:3
相似な図形の応用問題です

AD平行BCであるような台形ABCDがあり、この台形の対角線の交点をOとする。
△ABC,△ABDの面積がそれぞれa,b(a>b>0)であるとき、△CODの面積をa,bで表せ

答えは(a+b)分のabなのですが、過程がわからず困っています
教えていただけないでしょうか?



Re: 相似な図形 面積
名前:    日付:2017/12/3(日) 1:31
ADとBCの距離(つまり台形の高さ)をhとします。
△ABCの面積についてBCを底辺と見ると高さはhなので
△ABC=a=(1/2)*BC*h、つまりBC=2a/h
△ABDの面積についてADを底辺と見ると高さはhなので
△ABC=b=(1/2)*AD*h、つまりAD=2b/h
よってBC:AD=2a/h: 2b/h=a:bです。

△OBCと△OADは相似で、相似比はBC:AD=a:bなので
面積比は△OBC:△OAD=a^2:b^2です。
よってa^2*△OAD=b^2*△OBC
△OAD=(b/a)^2*△OBC…@となります。

ここで、BCを底辺と見ると△ABCと△BCDはどちらも高さhなので
△BCD=△ABC=aです。
同様に△ACD=△ABD=bです。

さて、△COD=xとおくと
△BCD =△COD +△OBCと表せるので△BCD=aより
△OBC=a-x…A
また△ACD=△COD+△OADと表せるので△ACD=bより
b=x+△OAD
@よりb=x+(b/a)^2*△OBC
Aを代入してb=x+(b/a)^2*(a-x)
両辺にa^2をかけて整理して(a^2-b^2)x=ab^2-ab^2
因数分解して(a+b)(a-b)x=ab(a-b)
a>b>0よりa+b>0、a-b>0なので両辺(a+b)(a-b)で割って
x=ab/(a+b)
答えはab/(a+b)です。


Re: 相似な図形 面積
名前:IT    日付:2017/12/3(日) 8:42
(別解)
△ABC:△ABD=BC:AD=a:b=OB:OD
よってDO:(DO+OB)=b:(a+b)

Oを通ってBCに平行な直線とDCの交点をEとする。
△DOC:△ABC=OE:BC=△DOE:△DBC=DO:(DO+OB)=b:(a+b)
△DOC=(△ABC)b/(a+b)=ab/(a+b)


Re: 相似な図形 面積
名前:IT    日付:2017/12/3(日) 8:47
訂正
> △DOC:△ABC=OE:BC=△DOE:△DBC=DO:(DO+OB)=b:(a+b)
は書き方が間違ってました。面積の比と辺の比を混同してます。
△DOE:△DBC は面積の比の意味ではないので、この部分は削除して

△DOC:△ABC=OE:BC
 △DOEと△DBCの相似比から
=DO:(DO+OB)=b:(a+b)


Re: 相似な図形 面積
名前:IT    日付:2017/12/3(日) 9:44
(追伸)上記解答は、鶏さんのような丁寧な説明をつけていないので
図を描いて確認し必要な説明を補ってください。


別にもうひとつ
名前:B♭コルネット    日付:2017/12/3(日) 23:5
△AOBの面積=△CODの面積 ですから、このいずれかで考えればよいのですが、

問題通りで解答するなら、 (以下 ← ・・・で理由を記します)
△CODの面積:△AODの面積=CO:OA  ← 高さ共通とみて底辺の比
=BC:AD                ← △OBC∽△ODA による
=△ABCの面積:△ABDの面積    ← 高さ共通だから底辺の比は面積の比
=a:b
ですから、

△CODの面積:△ACDの面積=△CODの面積:(△AOD+△COD)の面積
=a:a+b

これより、△CODの面積=△ACDの面積xa/(a+b)=ab/(a+b)


Re: 相似な図形 面積
名前:中3    日付:2017/12/4(月) 19:51
わかりやすい解説ありがとうございました
勉強になりました!これからも頑張ります

二階非線形常微分方程式 返信  引用 
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/12/2(土) 16:36
次の微分方程式を解け。
y''(x)=-A/(R+y(x))^2



Re: 二階非線形常微分方程式
名前:☆ミ    日付:2017/12/3(日) 11:42
両辺に 2y'(x)をかけてxで積分
∫2y'y"dx=-∫A/(R+y)^2・2y'dx

ここで{(y')^2}'=2y'y" より、左辺=(y')^2+C1

右辺=-2∫A/(R+y)^2・(dy/dx)・dx
  =-2∫A/(R+y)^2・dy
=2A/(R+y)+C2

よって、y'(x)=dy/dx=±√{2A/(R+y)+C}  (Cは任意定数)
変数分離して R+2A/C=Dとすると
±1/√|C|・∫√{±(y+R)/(y+D)}dy=∫dx

公式集を参照すると
C>0のとき
x=±[√{(y+D)(y+R)}+(D-R)/2・log||{√(y+D)-(y+R)}/{(y+D)+(y+R)}]+C'
      (C',Dは任意定数)
C<0のとき
x=±[√-{(y+D)(y+R)}+(D-R)arcsin√{(y+D)/(D-R)}]+C"
      (C",Dは任意定数)

sinθ=√{(y+D)/(D-R)}等として検算できました。(^^;


Re: 二階非線形常微分方程式
名前:☆ミ    日付:2017/12/3(日) 17:39
変数分離して R+2A/C=Dとすると
±1/√|C|・∫√{±(y+R)/(y+D)}dy=∫dx

公式集を参照すると
C>0のとき
x=±[√{(y+D)(y+R)}+(D-R)/2・log||{√(y+D)-(y+R)}/{(y+D)+(y+R)}]+C'
      (C',Dは任意定数)
C<0のとき
x=±[√-{(y+D)(y+R)}+(D-R)arcsin√{(y+D)/(D-R)}]+C"
      (C",Dは任意定数)

ここまで引用。あたまに1/√(|C|)がかかっているのを忘れました。
以下に整理して訂正すると

C>0のとき
x=±[√{(Cy+CR+2A)(y+R)}+A/|C|^(3/2)・log|{√(Cy+CR+2A)-√(Cy+CR)}/{√(Cy+CR+2A)+√(Cy+CR)|]+C'
    (C, C'は任意定数)

C<0のとき
x=±[√-{(Cy+CR+2A)(y+R)}+2A/C・arcsin√{(Cy+CR+2A)/2CA}]+C"
      (C,C"は任意定数)

急いだのでまだミスがあるかもしれません
失礼しました。


Re: 二階非線形常微分方程式
名前:☆ミ    日付:2017/12/3(日) 18:6
やはり抜けがありました。

C>0のとき
x=±[1/C・√{(Cy+CR+2A)(y+R)}+A/|C|^(3/2)・log|{√(Cy+CR+2A)-√(Cy+CR)}/{√(Cy+CR+2A)+√(Cy+CR)|]+C'
    (C, C'は任意定数)

C<0のとき
x=±[1/C・√-{(Cy+CR+2A)(y+R)}+2A/C・arcsin√{(Cy+CR+2A)/2CA}]+C"
      (C,C"は任意定数)

すみませんでした。
ご確認くださいませ。

(untitled) 返信  引用 
名前:初心者    日付:2017/12/2(土) 15:4
行列A=M{(0,0,1,1),(0,0,1,2)}
1.Ax=bが解を持たないようにbの一例を挙げよ。不可能ならば理由を述べよ。
2.Ax=bが解を1つ持つようにbの一例を挙げよ。不可能ならば理由を述べよ。
3.Ax=bが解を無限個にbの一例を挙げよ。不可能ならば理由を述べよ。
の考え方を教えてください。

答えは
1.b=M{1,1,0,0}
2.b=M{0,0,0,0}
3.階級=列数なので不可能。
です。



Re: (untitled)
名前:    日付:2017/12/2(土) 15:52
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E8%A1%8C%E5%88%97


Re: (untitled)
名前:初心者    日付:2017/12/3(日) 11:40
解決致しました。

直角三角形の斜辺の長さと高さが分かっている時の角度の求め方 返信  引用 
名前:数学素人    日付:2017/12/2(土) 14:4
三つの点A、B、Cを結んでできる直角三角形があり、角ABCが直角です。
辺BCの長さを斜辺ACの長さで割ってやれば、角CABの大きさが得られると思っているのですが、実際やってみると期待する値より若干小さくなります。

根本的に計算方法が間違ってるのでしょうか?どなたか教えて下さい。



Re: 直角三角形の斜辺の長さと高さが分かっている時の角度の求め方
名前:    日付:2017/12/2(土) 15:3
そこからsin^(-1)をとる


Re: 直角三角形の斜辺の長さと高さが分かっている時の角度の求め方
名前:数学素人    日付:2017/12/2(土) 17:11
調べた感じ、逆三角関数なるものが必要なんですね。

ありがとうございます。

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