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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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2次関数について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2017/10/10(火) 10:3
2つの実数解をもつ。というのは、なぜ、重解を含むのでしょうか?教えていただけると幸いです。解は1つしかないと思うのですが。



Re: 2次関数について。
名前:    日付:2017/10/10(火) 14:15
ax^2+bx+c=0の解は解の公式で出ますよね?
実数解をもつ場合は+と-で二つの解が出ます。
その√の中が「たまたま」0になってしまった場合が重解なのです。
つまりは二つ解があったけど偶然同じになっちゃったーって感じですね。

他の考え方で見てみましょう。
ax^2+bx+c=0の実数解は、放物線y=ax^2+bx+cのグラフとx軸との共有点です。
ではグラフが異なる2点でx軸と交わっている状態から、
少しずつグラフを上に(下に)動かしてみてください。
2点で交わっていたところが近づいて、やがてぴたりと「重なる」でしょう。
たまたま「重なった」解なので「重」解です。

なので「異なる二つの」と書かれない場合は原則重解を含みます。

といいつつも僕も日本語の限界を感じざるを得ません…
余談ですがそもそも「重なる」という意味で「重」を使うなら
「チョウ」と読むべきなんじゃ?って心の中では思ってます。


Re: 2次関数について。
名前:a    日付:2017/10/10(火) 18:6
>> 解は1つしかないと思うのですが。

その通りです
たとえば (x-1)^2 = 0 という方程式の解はx=1の1つだけです

f(x) = 0という方程式の解とはこの等式を満たすxのことと定義されるので当然ですよね


一方f(x)が多項式であるときだけ,"解" 以外に"根(や重根)" という特別な用語が定義されます.
一般に1次以上の複素係数多項式f(x)は
f(x) = α(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}…(x_a_n)^{m_n} (i≠jならa_i≠a_jで,m_i≧1,α≠0)
と一次多項式の積に順番を除いて一意的に分解されます
このときa_iは根と呼ばれ,とくにm_i≧2なら重根と呼ばれます.(さらにm_i重根という言い方も)

当たり前ですがaが多項式f(x)の根なら,aは方程式f(x)=0の解です


さて ここまでなら話はすっきりとしているのですが、高校までの教科書では「重解」という言葉が使われています.
これは方程式f(x)=0のf(x)が多項式かつ重根をもつとき,その重根を重解と呼んでいるだけなのですが,はっきり言って(まさにコルムさんが陥っているような無用な混乱を招くだけの)不要な用語です


ここら辺の話 [(方程式の)解,(多項式の)根,重根という言葉だけで話はスッキリいくはずなのに,「重解」という不要な用語が使われている] は大学数学入門レベルの教科書にはちらっと書いてあったりします.たとえば有名な線形代数の教科書 永田「理系のための線形代数の基礎」などに.


ps.
方程式をどう解くかは自由であるべきで,たまたま「解の公式」などという限定的な解き方で解が "重なってる" ように感じた程度で「重解」という言葉を定義するのはどうかと思います。(そもそも定義になっていない)
本質的には2次多項式の重根のことを指しているはずで,「重根」という言葉なら(上に書いたように)数学的に自然に定義されます
「2つの実数解をもつ。」も単に「(2次多項式が) 2つの実数根をもつ。」と言えば何の混乱も置きないはず。

一橋大学過去問について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2017/10/10(火) 8:15
6・3∧3x+1=7・5∧2xを満たす0以上の整数xをすべて求めよ。この問題を教えていただけないでしょうか?解答をなくしてしまって。すみません。



Re: 一橋大学過去問について。
名前:    日付:2017/10/10(火) 15:16
指数法則から与式は6*27^x+1=7*25^xに同値です。
こっちの方が見やすいのでこちらの式で進めます。

まずは直観的に式を見ましょう。
左辺は27のx乗、右辺は25のx乗となってるなー。
この二つは、xが増えると27のx乗の方が圧倒的に大きくなっていくなー。
それなら、xを増やしていけば特定のところからは左辺の方がどんどん大きくなって
右辺が追いつけなくなり、等式が成り立たない!ってことが起きそうだなー
という感覚が働けば解けたものです。(どうしてもわからなければ、6*27^x+1と7*25^xのグラフを描いてみることを勧めます。難しければネットのグラフツールでもいいかと。)

ではその「しきい値」を求めるために試しに0, 1, 2,…と順に入れてみましょう。
x=0のとき、左辺は7、右辺も7で、いきなり答えです。
x=1のとき、左辺は163、右辺は175で、まだ左辺が勝ってはいません。
x=2のとき、左辺は4375、右辺も4375で、等しくなりました。これも答えです。
x=3のとき、左辺は118099、右辺は109375で左辺が追い抜いてしまいました。
グラフを描けばこれ以降は左辺がぐんと大きくなってしまうことがわかりますから、面倒ですし代入はここまで。

さて、x=3以降は6*27^x+1>7*25^xとなってしまい、等式が成り立たないことの見通しは立ちました。ですがもちろん非の打ち所がない証明が必要です。
一つには左辺から右辺を引いた関数の増減で評価することもできますが、一橋ですから指数関数の増減評価は難しいかもしれません……。なのでここではもう一つの方法で。
3以上のすべての自然数xで6*27^x+1>7*25^x…(*)となることを示せ。ということですから、教科書通り、「帰納法」という発想がすぐに浮かびますね。

(i)x=3のとき
上記の通り(*)は成り立ちます。

(ii)x=k (k=3, 4,…)のとき(*)が成り立つと仮定すると6*27^k+1>7*25^k
すなわち6*27^k>7*25^k-1です。
x=k+1のとき、(*)について
(左辺)-(右辺)= 6*27^(k+1)+1-7*25^(k+1)
=27*(6*27^k)-7*25*25^k+1
>27*(7*25^k-1) -175*25^k+1 (∵6*27^k>7*25^k-1)
=14*25^k-26>0 (∵k=3, 4,…)
よってx=k+1のときも(*)は成り立ちます。

(i)と(ii)より数学的帰納法から3以上のすべての自然数xで6*27^x+1>7*25^xです。

これでxが3以上のときは成立し得ないことがわかりました。よって答えはx=0, 2です。
(帰納法の証明で計算ミスってたらすみません。やり方だけわかれば計算は自らやっていただけるとありがたいです。)


Re: 一橋大学過去問について。
名前:コルム    日付:2017/10/11(水) 21:22
すみません。数学的帰納法とはどういう意味でしょうか?教えていただけると幸いです。よくわかりません。

逆関数の微分 返信  引用 
名前:イカ    日付:2017/10/10(火) 0:20
(1)tan-¹(1/√2*tanx/2)
(2)cos-¹(x^2-1)/(x^2+1)(x>0)
の微分を教えてください。解説が載ってなくてお手上げ状態です。
こたえは
(1)1/{√2(1+cos^2x/2)}
(2)-2/(x^2+1)
です



Re: 逆関数の微分
名前:通りすがり    日付:2017/10/10(火) 5:27
(1)
{tan-¹{(1/√2)tan(x/2)}}'={1/{1+{(1/√2)tan(x/2)}^2}}・(1/2)(1/√2)/{cos(x/2)}^2
={1/{{cos(x/2)}^2+{(1/2)sin(x/2)}^2}}・1/(2√2)
={1/{1/2+(1/2){cos(x/2)}^2}・1/(2√2)
={1/{(√2){1+1{cos(x/2)}^2}}

(2)
{cos-¹{(x^2-1)/(x^2+1)}}'={-1/√{1-{(x^2-1)/(x^2+1)}^2}}・{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}/(x^2+1)^2
={-1/√{1-{(x^2-1)/(x^2+1)}^2}}・4x/(x^2+1)^2
={-1/√{(x^2+1)^2-(x^2-1)^2}}・4x/(x^2+1)
={-1/√(4x^2)}・4x/(x^2+1)
=-2/(x^2+1) (∵)x>0


Re: 逆関数の微分
名前:イカ    日付:2017/10/10(火) 7:6
ありがとうございます!

教えて下さい! 返信  引用 
名前:中3    日付:2017/10/9(月) 22:12
nを整数とするとき、n²を5で割ったときの余りは0または1または4であることを証明せよという問題が解けません。教えて下さい。お願いします。



Re: 教えて下さい!
名前:イプシロン    日付:2017/10/9(月) 22:22
すべての整数nは,ある整数kを用いて,
5k,5k±1,5k±2のいずれかで表される。

n=5kのとき,n^2を5で割ったときの余りは0である。

n=5k±1のとき,n^2=25k^2±10k+1より,n^2を5で割った余りは1である。

n=5k±2のとき,n^2=25k^2±20k+4より,n^2を5で割った余りは4である。


Re: イプシロンさん
名前:中3    日付:2017/10/9(月) 22:26
ありがとうございます!おかげさまで解くことができました!

(untitled) 返信  引用 
名前:まっつん    日付:2017/10/9(月) 18:13
双曲線xy=−4 と y=k(xー1)+2 が二交点を持つようなkの範囲をもとめると
k<1. 4<k と出てきますが、 定性的に考えたらk<0のような気がするのですが、どこが違うのか教えて欲しいです。 例など見せて欲しいです。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/10/9(月) 19:10
>>定性的に考えたら
の意味が不明ですが、
双曲線xy=-4 (A)

直線y=k(x-1)+2 (B)
(つまり、点(1,2)を通るy軸平行でない直線)
について、(B)が(A)に接する場合を図示してみれば、
少なくとも題意を満たすkの値の範囲が
k<0
以外にも存在することが直観的に分かると思います。

それと問題のkの値の範囲ですが
>>k<1. 4<k
とはなりません。
反例)
k=0はk<1に含まれますが
このとき問題の直線の方程式は
y=2
しかし、これと
双曲線
xy=-4
との交点の座標は
(2,-2)
の一つのみです。

こちらの計算では題意を満たす
kの値の範囲は
k<0,0<k<10-4√6,10+4√6<k
となりました。

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