[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

わからない算数・数学の問題を質問して教えてもらいましょう。
回答できる人は積極的に回答し、みんなで教えあいましょう。
利用前に数学質問掲示板の注意事項を読んでください。
数式の書き方がわからない人は数学質問掲示板での数式の書き方を参考にして下さい。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容
   タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL



測度の減少列連続性の証明 返信  引用 
名前:初学者    日付:2018/4/26(木) 22:29
測度(Σ, μ)の減少列連続性の証明の中で分からないことがあります。
{B^n}を集合族とします。
ΣB^nという記号で任意の二つの集合が非交差な集合の和集合を表します。

記号が出せないので、文章で書きます。読みにくくて、すみません。
今{A}U{An}n≧1はΣに含まれているとします。
A^(n+1)はA^nを含んでいます。
lim(n -> ∞)[A^n] = Aとします(つまり、A^n↘Aです)。
μ(A^1) < ∞なら、lim(n -> ∞)[A^n] = μ(A)を示せ。

[証明]
A^1\A^2で、A^1∩(A^2の補集合)を表す.
任意のn≧1に対し、A^n = A + Σ(k≧n)A^k\A^(k + 1).
したがって、
(a) μ(A^n) = μ(A) + Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)) .
特にn = 1とすれば ∞>μ(A^1)≧Σ(k≧1)μ(A^k\A^(k + 1)) が分かるので、
lim(n -> ∞)[Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)] = 0
したがって、(a)よりlim(n -> ∞)[μ(A^n)] = μ(A) [証明終わり].

上の証明で、
特にn = 1とすれば ∞>μ(A^1)≧Σ(k≧1)μ(A^k\A^(k + 1)) が分かるので、
lim(n -> ∞)[Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)] = 0
というのが分かりません。なぜ、 ∞>μ(A^1)≧Σ(k≧1)μ(A^k\A^(k + 1)) が分かれば、
lim(n -> ∞)[Σ(k≧n)μ(A^k\A^(k + 1)] = 0
となるのでしょうか。



Re: 測度の減少列連続性の証明
名前:黄桃    日付:2018/4/28(土) 8:0
#大分書き間違いがあるようですが、大丈夫ですか?

数列{b[n]}を、b[k]=μ(A^k\A^(k + 1)) 、数列{s[n]}を Σ_[k=1,n] b[k] で定義します。

すると、b[n]≧0 ですから、s[n]は(広義)単調増加数列で、上に有界ですから収束します。その値をSとします。
数列{c[n]}を c[n]=S-s[n] で定義します(c[n]=Σ(k>n)μ(A^k\A^(k + 1) です)。
s[n]→S ですから、c[n]→0です。

ページ: |< << 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb