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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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共有点 返信  引用 
名前:数学頑張る    日付:2018/3/22(木) 22:57
中心(a,b),半径2の円をCとする.
x^{2} + x^{2} = 9(円B)と円Cとの2つの共有点を通る直線の方程式が6x + 2y - 15 = 0となるような(a,b)を求めよ.

この問題ですが,
k(円Cの式) + x^{2} + x^{2} -9= 0 これが二つの円の共有点を通る図形を表すので,k = -1として出てきたx,yの一次式と6x + 2y - 15 = 0の係数比較によって解こうとしました.(a,b)の組は1つでした.
模範解答を見るとこの方法ではなく「円Cと円Bの共有点を直線が通る → 円Bと直線の共有点を通る図形が円Cである」
というアプローチで解いていました.また,このアプローチだと(a,b)の組が2つ出ていました.(1つは私が解いた答えと同じでした)

この2つはどのような意味合いで違うのか(なぜ答えが1組と2組と別れてしまうのか,どこで1組分の情報が落ちてる?のか),また模範解答のようなアプローチをする為の判断基準のようなものがあれば教えて頂きたいです.



Re: 共有点
名前:黄桃    日付:2018/3/23(金) 8:53
>k = -1として出てきたx,yの一次式と6x + 2y - 15 = 0の係数比較によって解こうとしました.

px+qy+r=0 という直線と 6x+2y-15=0という直線が一致する条件は、p=6,q=2, r=-15 だけではありません(p:q:r=6:2:-15です)。

#その解法では、でてきた答「Cが半径が2の円である」のも偶然ではないですか?
#その時点で「あれ、半径が2でなくてもいいはずなのに?」と気づくべきです。
##ついでにいえば、その方針では x^2+y^2=9 と 6x+2y-15=0 が交点を
##持つことも確認していませんので不十分です。

半径3の円と直線の交点は2つで、その2点からの距離が3である点(円Cの中心)は2個あるはずだ、とイメージできれば、どこかで間違っていることはわかります。

#交点が簡単に求まるなら、その方が確実です。
#交点の座標が複雑になるなら、おっしゃる方針の方が楽でしょう。

確率 返信  引用 
名前:名無しのゴンべ    日付:2018/3/22(木) 14:57
a君,b君,c君がそれぞれ一人ずつが次のゲームをする.
白いボールがa個と赤いボールがb個,合計a+b個入ってる箱から,a君,b君,c君,a君,.....の順序で,誰かが最初にボールを取り出すまで,ボールを1つずつ取り出して戻す.白いボールを取り出した人が勝者である.各人が各確率を求めよ.



Re: 確率
名前:沙門空海    日付:2018/3/23(金) 11:52
ごめん、意味不明。

正直、超難問。これは絶対に誰も解けないと思う。私も含めて 返信  引用 
名前:沙門空海    日付:2018/3/22(木) 10:34
2^p-p^2が素数となる素数の組(p,q)は無限個存在するか。



Re: 正直、超難問。これは絶対に誰も解けないと思う。私も含めて
名前:通りすがり    日付:2018/3/22(木) 12:42
無限個存在する。(5,q) qは任意の素数


Re: 正直、超難問。これは絶対に誰も解けないと思う。私も含めて
名前:沙門空海    日付:2018/3/22(木) 16:9
誤りとその訂正。

誤 2^p-p^2が素数となる素数の組(p,q)は無限個存在するか。

正 2^p-p^2が素数となる素数pは無限個存在するか。

接線 返信  引用 
名前:さーたす    日付:2018/3/22(木) 8:14
曲線C:y=e^sinxの接線のうち、点(0,1)を通るものの方程式を全て求めよ。
わからないです。お願いします



Re: 接線
名前:関数電卓    日付:2018/3/22(木) 21:37
 y=f(x)=e^sin(x) …(1)
 y’=cos(x)・e^sin(x) …(2)

(1)の (x0,f(x0)) での接線
 y−e^sin(x0)=cos(x0)・e^sin(x0)(x−x0) …(3)

(3)が点 (0,1) を通るから
 1−e^sin(x0)=−cos(x0)・e^sin(x0)・x0 …(4)
整理して、1−x0・cos(x0)=e^(−sin(x0)) …(5)

(5)は x0=0 の他は解析的には解けず、x0 のひとつ右の接点は (4.3489…,0.3927…)
以上より、求める接線は

 y=x+1,y=−(0.13963…)x+1,…等

四次方程式 返信  引用 
名前:A    日付:2018/3/21(水) 23:45
放物線y = 2x^{2} + a と円x^{2} + (y-2)^{2} = 1について,放物線と円が接するときのaの値についてです.
放物線の式を円に代入して
x^{2} + (2x^{2} + a -2)^{2} = 1
この式を展開して整理すると定数項以外はx^{4}とx^{2}の項しかない四次方程式になるかと思います.
そこでx^{2} = t と置いてxに関する四次方程式をtに関する2次方程式として判別式=0でaを求めることができると考えました.
イメージとしては
x^{2} =tと置いて,tは一つしかない(重解)→xは±√t でこの二点で接する
と思い解きましたが,間違っていました.
上の考え方はどのように間違っているのでしょうか?
(1点で接する場合もあるのでどのみちこの問題に対する解答はできていませんが・・・)



Re: 四次方程式
名前:pqr    日付:2018/3/22(木) 0:52
x=A, B で接するとすると,
α(x-A)^2(x-B)^2=0
のかたちになるはずで, いまは, 左右の対称性から B=-A として良いので,
α(x-A)^2(x+A)^2=0
α{(x-A)(x+A)}^2=0
α(x^2-A^2)^2=0
と因数分解できるはずであり, 書かれた複2次式が t=x^2 とおいて, 重解を持つ,
と考えるのは間違いではありませんが, その重解 t は 0 以上でなければなりません。
tが負だったら, x としては虚数解が出てくるので, xy平面上のグラフの交点とはなりません。
(重解がちょうど0のときは, αx^4=0, つまり, 1点(原点)で4重に接することになります。)

同じ理由で, 重解 t が 1 より大きいと, 円の方程式に代入した t+(y-2)^2=1 を満たす実数 y が
存在しないので, 結局, 判別式条件の他に, 0≦t≦1 を考慮する必要があると思います。


Re: 四次方程式
名前:A    日付:2018/3/22(木) 10:39
わかりました!!助かりましたありがとうございます!

(untitled) 返信  引用 
名前:D    日付:2018/3/21(水) 22:20
1以上2016以下の整数で、20で割った時の余りが16で割った時の余りより小さくなるものは幾つあるか

解答の一部に、
「gcd(20,16)=80なので、余りがどうなるかは80周期で繰り返すということになる」とあったのですが、

ここがよく分からないので、詳しく教えていただけませんか。



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/3/21(水) 22:43
20で割った余りは20が基本周期で繰り返します。
16で割った余りは16が基本周期で繰り返します。
ここまでは分かりますか?

後は、小さい数で調べてみるといいと思います。
例えば、2で割った余り、3で割った余り の変化


Re: (untitled)
名前:D    日付:2018/3/21(水) 22:57
解決しました。
ありがとうございました。

(untitled) 返信  引用 
名前:数学太郎    日付:2018/3/21(水) 19:32
n/2
煤mn-k]C[k]/n^k
k=0
の解き方と答えを教えて欲しいですm(_ _)mCはコンビネーションのことです。



Re: (untitled)
名前:数学太郎    日付:2018/3/21(水) 19:33
高校数学の範囲でお願いしますm(_ _)m

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