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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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微分 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/12/16(土) 21:0
 関数 f(xy)=f(x)+f(y) の両辺を y で微分する必要があるのですが、
左辺=df(xy)/dy=d(xy)/d(xy)*dxy/dy=f'(xy)*x と分かり、f(y)を y
で微分したらf'(y) も分かります。ただ、f(x) を y で微分するのは
結果も考え方もよく分かりません。

 どなたか、分かるように説明をお願いできますでしょうか。



Re: 微分
名前:IT    日付:2017/12/16(土) 21:24
任意の実数xyについて, f(xy)=f(x)+f(y) が成り立つ。
ということなら、f(x)をyで微分すると0になると思います。


Re: 微分
名前:ハロー    日付:2017/12/16(土) 21:48
 すみません。
 文系出身で独学で数学Vを勉強中です。x の関数f(x)をyで微分するという意味がよく分かりませんんが、数式的には df(x)/dy となりますよね。
すると、df(x)/dy=df(x)/dx*dx/dy=f'(x)/f'(y) ?? となりませんか?どうして、これが0になるのでしょうか。
 初歩的なことを尋ねているかもしれず、申し訳ありません。何か、間違っているでしょうか。


Re: 微分
名前:IT    日付:2017/12/16(土) 21:54
元の問題の 全文をそのまま書いてもらえませんか。


Re: 微分
名前:ハロー    日付:2017/12/16(土) 22:35
関数f(x)において、すべての正の数x,yに対して、
f(xy)=f(x)+f(y) が成り立ち、f'(1)=a (aは定数)であるとき、次の問いに答えよ。
(1) f(1)を求めよ。
(2) f'(x)を求めよ。
(3) f(x)を求めよ。

 この2番を考えていました。


Re: 微分
名前:IT    日付:2017/12/16(土) 23:32
その問題でなぜ f(xy)=f(x)+f(y) の両辺を y で微分する必要があるのかはよく分かりませんが

y で微分するときは、xは定数と考えられますからf(x)も定数ですから、f(x)をyで微分すると0です。


Re: 微分
名前:ハロー    日付:2017/12/17(日) 10:44
あぁ、そうか。yが変化してもxは変化しないので、傾きが0というわけですね。どうも、有り難うございます。
ところで、両辺を微分して
右辺=df(xy)/dy=df(xy)/d(xy)*d(xy)/dy=f'(xy)x となり、左辺がf'(y)になれば、ここにy=1を代入して
 xf'(x)=f'(1)=a から、f'(x)=a/x としました。
 何か、突っ込みどころがあるでしょうか。あるいは、もっと別の解き方があるのでしょうか。


Re: 微分
名前:IT    日付:2017/12/17(日) 12:25
>両辺を微分して
>右辺=df(xy)/dy=df(xy)/d(xy)*d(xy)/dy=f'(xy)x となり、左辺がf'(y)になれば、ここにy=1を代入して
> xf'(x)=f'(1)=a から、f'(x)=a/x としました。
> 何か、突っ込みどころがあるでしょうか。
x=1 では、微分可能ですが、その他では微分可能性が保障されていないのでは?


Re: 微分
名前:IT    日付:2017/12/17(日) 14:37
f(xy)=f(x)+f(y) …@
(1) f(1)=1.
(2) f'(1)=lim[h→0](f(1+h)-f(1))/h=lim[h→0]f(1+h)/h=a…A

x>0に対して
 x+h>0なるhを考えると
f(x+h)=f(x(1+h/x))=f(x)+f(1+h/x) (∵@)
(f(x+h)-f(x))/h=f(1+h/x)/h=(1/x)(f(1+h/x)/(h/x))

よって、
f'(x)=lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h
=lim[h→0](1/x)(f(1+h/x)/(h/x))
=(1/x)a

(untitled) 返信  引用 
名前:まーち    日付:2017/12/16(土) 14:49
a(1)= √2
n × a(n+1)= a(n)^2ー1
のとき数列a(n)のリミット無限大はいくらですか?



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/12/16(土) 15:56
n≧2について|a(n)|≦1/(n-1) である。

(数学的帰納法による)
n=2のとき |a(2)|=1≦1/(2-1).
2以上の自然数nについて |a(n)|≦1/(n-1)と仮定すると
 |a(n)^2ー1|≦1なので
|a(n+1)|= |(a(n)^2ー1)/n|≦1/((n+1)-1)

よって数学的帰納法によりn≧2について|a(n)|≦1/(n-1)。

よってa(n)→0 (n→∞).

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