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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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三角関数 返信  引用 
名前:ヤードリー卿    日付:2017/5/27(土) 13:32
実数x,yが(cos(x))(sin(y))=sin(x)+cos(y)を満たしながら変化するとき、
この式の取り得る値の範囲を求めよという問題なのですが、教えて下さい。



Re: 三角関数
名前:WIZ    日付:2017/5/27(土) 14:21
cos(x)sin(y) = sin(x)+cos(y)
⇒ (cos(x)-1)(sin(y)-1) = 1

t = cos(x)-1とおくと、-2 ≦ t < 0で、sin(y)-1 = 1/tです。
-2 ≦ 1/t < 0かつt < 0より、0 < 1/(-t) ≦ 2 ⇒ 1/2 ≦ -t
つまりt ≦ -1/2となることが必要です。
以上から、-2 ≦ t ≦ -1/2となります。

cos(x)sin(y) = cos(x)+sin(y) = (t+1)(1/t+1) = (t+1)+(1/t+1) = 2+t+1/t
f(t) = 2+t+1/tとおくと、f'(t) = 1-1/t^2 = (t^2-1)/t^2です。
-2 ≦ t < -1なら、f'(t) > 0なので、f(t)は増加。f(-2) = 2-2-1/2 = -1/2
t = -1なら、f'(t) = 0なので、f(t)は極大。f(-1) = 2-1-1 = 0
-1 < t ≦ -1/2なら、f'(t) < 0なので、f(t)は減少。f(-1/2) = 2-1/2-2 = -1/2

以上から、-1/2 ≦ cos(x)sin(y) = cos(x)+sin(y) ≦ 0となります。


Re: 三角関数
名前:ヤードリー卿    日付:2017/5/27(土) 14:28
すみません、一行目から二行目への変形がよく分かりません。


Re: 三角関数
名前:WIZ    日付:2017/5/27(土) 14:54
cos(x)sin(y) = sin(x)+cos(y)
⇒ cos(x)sin(y)-sin(x)-cos(y) = 0
⇒ cos(x)sin(y)-sin(x)-cos(y)+1 = 1
⇒ cos(x)sin(y)-cos(y)-sin(x)+1 = 1
⇒ cos(x)(sin(y)-1)-(sin(x)-1) = 1
⇒ (cos(x)-1)(sin(y)-1) = 1


Re: 三角関数
名前:WIZ    日付:2017/5/27(土) 14:57
失礼しました。
問題文を「cos(x)sin(y) = cos(x)+sin(y)」と読み違えていました。
私の回答(2017/5/27(土) 14:21)とコメント(2017/5/27(土) 14:28)は無視してください。
申し訳ありません。


Re: 三角関数
名前:ぽけっと    日付:2017/5/27(土) 18:55
たとえばyをパラメータと思ってcosx*siny vs xの絵とsinx+cosy vs xの絵をかいて見れば分かりますが,交点はパラメータyの変化に対して連続的に動きます.

またそのY座標はパラメータyを色々変化させると0を含む連続な閉区間だと分かります

ようするにsinx+cosyの最大値および最小値a,bさえ決めれば答えは[a,b]だということです

あとはラグランジュの未定乗数法でゴリ押しでいけるんじゃないですか
僕はやってみたわけではないので何か罠があるかもしれませんが原理的にはいけるはずですので頑張って.


ps.
ラグランジュの未定乗数法を知らなければググるか教科書を見て下さい
f(x,y,λ) = sinx+cosy - λ(cosx*siny-sinx-cosy)
を微分しまくる(&& そのゼロ点を計算)だけですけど

『整数と平面格子の数学』P.89 返信  引用 
名前:りんご    日付:2017/5/27(土) 13:7
[定理]
面積がnより小さい平面上の有界な図形Xは,平行移動によって,n個以上の格子点を含まないようにすることができる.

[証明]
Xの面積をA(X)とする.δを 0<δ<n-A(X) を満たす数とする.十分大きな整数Nをとり,集合Xを面積が N^2-δ で,座標軸に平行な辺をもつ正方形Rで覆う.この正方形Rはどのように平行移動しても,たかだかN^2個の格子点しか含むことはできない.なぜならRの1辺の長さは N より小さいから,縦方向にも横方向にも格子点はせいぜいN個しか並ぶことはできないからである.よって,Rの含む格子点の個数はN^2以下である.Y=R-X とおくと,Yの面積は N^2-δ-A(X) より大きい.δ < n-A(X) であるから δ+A(X) < n で,N^2-δ-A(X) > N^2-n となる.Y の面積は N^2-n より大きいから,ブリクフェルトの定理より,Yを平行移動して,N^2-n+1 個以上の格子点を含むようにすることができる.この平行移動でXの含む格子点の個数はn-1以下となる.


この証明の「Y=R-X とおくと,Yの面積は N^2-δ-A(X) より大きい.」のところだけがよくわかりません.
Y=R-X ならば単純に A(Y)=N^2-δ-A(X) と思うのですが…



Re: 『整数と平面格子の数学』P.89
名前:noname    日付:2017/5/27(土) 18:33
>Y=R-X ならば単純に A(Y)=N^2-δ-A(X) と思うのですが…


仰る通りだと思います.実際,X∩Y=Φであるから,

n^2-δ=A(R)=A(X∪Y)=A(X)+A(Y)

であり,ゆえにA(Y)=n^2-δ-A(X)となります.恐らく,その箇所は誤植ではないかと思います.


Re: 『整数と平面格子の数学』P.89
名前:りんご    日付:2017/5/28(日) 2:31
nonameさん返信ありがとうございます。
出版社に問い合わせてみます。

複素解析 返信  引用 
名前:バンギャ    日付:2017/5/27(土) 12:53
方程式e^z=2z+1は|z|<1にいくつの解があるか。
また複素平面全体には無数の解があることを示せ。

お願いします。



Re: 複素解析
名前:ぽけっと    日付:2017/5/28(日) 0:2
https://ja.wikipedia.org/wiki/偏角の原理

これでなんとかなる気がしますがどうですか

必要十分条件 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/5/27(土) 10:33
実数a,bに関する条件p,q,rを次のように定める。
p:a+bは無理数である。
q:abは無理数である。
r:a,bはともに無理数である。
 この時、「pの否定かつr」は「qの否定」であるための「  条件」という問題なのですが、どのように考えたらいいのでしょうか。
分かる方、ご指導をお願いします。



Re: 必要十分条件
名前:IT    日付:2017/5/27(土) 11:33
「pの否定かつr」,「qの否定」 をそれぞれ 否定を使わず書き直してみます。
例えば、「pの否定」:a+bは有理数である。 とします。



そして、具体的なa,b の値を考えてみるといいと思います。
勘違いでなければ、「pの否定かつr」は「qの否定」であるための、必要条件でも十分条件でもないと思います。


Re: 必要十分条件
名前:ハロー    日付:2017/5/27(土) 11:58
「a+b は有理数」かつ「ab はともに無理数」というと、たとえば、
a=√2 b=-√2 でしょうか。それなら、「abは有理数」になりますか?
つまり、十分条件だけれど、必要条件ではない。
 これが、間違いらしいのですが、正解が分かりません。なぜ、どちら
でもないのでしょうか。


Re: 必要十分条件
名前:IT    日付:2017/5/27(土) 12:4
a=√2 b=1-√2 だとどうですか?


Re: 必要十分条件
名前:ハロー    日付:2017/5/27(土) 12:8
なるほど!ダメですね。見落としていました。くやしい!
有り難う御座います。

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