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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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証明 返信  引用 
名前:論理の鬼「ディアガルタルノスタルジアアルティメス」    日付:2018/2/19(月) 17:32
x>0のときlogx<4・x^(1/4)を示せ。お願いします



Re: 証明
名前:mochi    日付:2018/2/19(月) 18:9
(i)0 < x <= 1 について
logx <= 0 < 4x^(1/4)
(ii)1 < x について
f(x) = 4x^(1/4) - logxとおく
f(1) = 4
f'(x) = (x^(1/4)-1)/x であり
1 <= x に対して f'(x) >= 0 より f(x) は単調増加だから
f(x) >= f(1) = 4 つまり
f(x) > 0
(i), (ii)より示された.

今回のような不等式を示すときには微分が活躍します.
(i)を場合分けしたのは logx→-∞ (x→+0) の記述を省略するためと,f(1)の値が簡単だからです.

論理、∃ 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2018/2/19(月) 13:34
∃a(p(a)⋀q(a))と∃a(p(a)⇒q(a))の違いがよくわからなくなったので、日常言語で考えようと思いました。
全体集合をX高校の学生として、
p(a):aは偏差値70である、q(a):aは選抜クラスであるという条件を考えるとき、
∃a(p(a)⇒q(a))は、「選抜クラスの人で、偏差値70以上の人もいます(ほかのクラスについてはわかりません)」
という内容であるのに対し、∃a(p(a)⋀q(a))はどういう和訳になるのでしょうか?



Re: 論理、∃
名前:ハワイ    日付:2018/2/19(月) 13:35
全体集合を「X高校の学生」としてです。すみません。


Re: 論理、∃
名前:ハワイ    日付:2018/2/19(月) 14:17
p(a):aは選抜クラス、q(a):aは偏差値70である
ですねごめんなさい。


Re: 論理、∃
名前:mochi    日付:2018/2/19(月) 17:45
∃a(p(a)⋀q(a))は「選抜クラスかつ偏差値70以上の人がいる.」
∃a(p(a)⇒q(a))は"⇒"をそのまま"ならば"と訳すと変になるので下の変形を用いて「選抜クラスでない人がいる.または偏差値70以上の人がいる.」

命題P,Qについて
P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q
(実際に(P, Q)の(真, 偽)の組み合わせ4通りを考えてみればok)

(記号)
≡は同値, ¬PはPの否定

余談:「ウィルソンの四枚のカード」でググってみると面白いのが見つかる.


Re: 論理、∃
名前:ハワイ    日付:2018/2/19(月) 21:36
ありがとうございます。

命題の逆 返信  引用 
名前:すらこ    日付:2018/2/19(月) 0:6
「二等辺三角形ならば底角が等しい」の逆を答えよ。

正解はどれですか?

@「底角が等しいならば二等辺三角形」
A「2角が等しいならば二等辺三角形」
B「三角形で2角が等しいならば二等辺三角形」
C「三角形で底角が等しいならば二等辺三角形」

私は、Bだと思います。しかし、どこかを確認したわけではないので確信を得るために質問しています。

@で底角と言ってる時点でアウト。二等辺三角形であると言えてないのに底角を使ってはいけない。
Aで三角形と言っていない時点でアウト。
Cは@と同じ理由でアウト。

よってBが正解だと思いますが、この理解で合ってますか?
問題集によっては、@ACどれも答えにしているものを見るような気がします。



Re: 命題の逆
名前:noname    日付:2018/2/19(月) 9:23
私からすると,元々の命題「二等辺三角形ならば底角が等しい」が何に関するものなのかが欠落しているように思います.

正確を期すならば,本来は「与えられた三角形Tにおいて,『三角形Tが二等辺三角形ならば,三角形Tのある2つの角は等しい』」と書かれるべきかと思います.この場合,考えている命題は『...』の部分です.

この状況で命題の逆を考えると,それは「三角形Tのある2つの角が等しいならば,三角形Tは二等辺三角形である」となります.これに近いものはBかと私は思います.

ただ,問題で正確さが欠落していたり主語が省略されているあれば,本問に限って言えばAを選んでも個人的には良いように思います.

しかし,底角というキーワードを含む@とCは答えとしてはより正確ではないです.なぜなら,このキーワードは二等辺三角形の場合に使われる用語であり,二等辺三角形とは限らない三角形に対しては使われないからです.


Re: 命題の逆
名前:すらこ    日付:2018/2/19(月) 23:27
>何に関するものなのかが欠落している

この問題は中学校の数学の問題集に頻出する問題です。
「二等辺三角形の底角は等しい」というのはそもそも定理として文科省の教科書にも載っています。載っていない1つも教科書はありません。
したがって、欠落していないでしょう。

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