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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:ぷん    日付:2018/6/6(水) 21:17
数列anをan=[√(2n)+1/2] ただしn≧1で定める [x]はxを越えない最大の整数である。
@an=13となる最小のnはア 最大のnはイ
Aan=a2000となるnはウ個
BSn=ΣK=1〜n|Sn−2000|はn=エで最小値オをとる

どなたか助けていただけますか?泣



Re: (untitled)
名前:ぷん    日付:2018/6/6(水) 21:18
答えは
ア79
イ91
ウ63
エ165
オ1
です。


Re: (untitled)
名前:ぷん    日付:2018/6/6(水) 21:21
すみません、BSn=Σk=1〜nakとしたとき、|Sn−2000|は……です(__)


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/6/6(水) 21:54
とりあえず(1)の略解
任意の自然数nについて a[n]≧1。
定義より   a[n]≦√(2n)+1/2<a[n]+1
移項して   a[n]-1/2≦√(2n)<a[n]+1/2
2乗して   a[n]^2-a[n]+1/4≦2n<a[n]^2+a[n]+1/4

a[n]=13になるのは,
13^2-13+1/4≦2n<13^2+13+1/4
∴78+1/8≦n<91+1/8
∴ n=79,80,...,91


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/6/6(水) 22:29
(2)の略解 (もっと良い方法があるかも知れません)
a[2000]^2-a[2000]+1/4≦4000<a[2000]^2+a[2000]+1/4
これを解くと a[2000]=63 (60+x)^2=3600+120x+x^2 などから見つけます。

a[n]=a[2000]=63 となるのは (1) と同様に
 63^2-63+1/4≦2n<63^2+63+1/4
∴3906+1/4≦2n<4032+1/4
∴1953+1/8≦n<2016+1/8
∴n=1954,...,2016 の63個


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/6/6(水) 23:58
(3)
a[n]=m とすると mは自然数。

m≦√(2n)+1/2<m+1
m(m-1)/2+1/8 ≦n<m(m+1)+1/8

m(m-1),m(m+1) は偶数なので n=m(m-1)/2+1,....,m(m+1)/2
nの個数は m(m+1)/2-m(m-1)/2=m 個

よって a[1],a[2],....,a[n]= 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,....., が分かります。
これを使うとできます。


Re: (untitled)
名前:ぷん    日付:2018/6/7(木) 0:23
おぉ!…ありがとうございます(__)
とくにBが謎だったので助かりました!


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/6/7(木) 0:41
(3) 計算が面倒ですね。
n=1+2+3+...+m=m(m+1)/2 のとき,S[n]=1+2^2+3^2+....+m^2=m(m+1)(2m+1)/6
これが2000に近くなるm を調べる。m^3≒6*10^3 なので、m≒1.8*10

m=17 のとき n=153,S[153]=1785
m=18 のとき S[n]=2109
2109-1785=215=18*11+17

n=153+11=164 のとき S[164]=1785+18*11=1983
S[165]=1983+18=2001

(untitled) 返信  引用 
名前:ポンスキー    日付:2018/6/6(水) 18:5
bn=2^n−n−1 で、bn=log3anのとき
an≧10^100となる最小のnを求めよでn=6が答えなんですが、なにをやってもn=8になってしまいます。誰かお助けください。



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/6/6(水) 20:18
問題か答えが間違いでは?
bn=log[3](an) ですよね
その問題なら n=8 で良いと思います


Re: (untitled)
名前:ポンスキー    日付:2018/6/6(水) 21:6
うーん…ですよね。
ありがとうございます。出題者に確認してみますね!

数学的帰納法について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2018/6/5(火) 22:16
なぜ、n=1と、n=2を試しているのでしょうか?教えていただけると幸いです。
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=21961

. 返信  引用 
名前:経済の計算について    日付:2018/6/5(火) 15:25
x,yの2財を消費する合理的な消費者の効用関数がu=x^2yで表されるとする。
x財の価格が2,y財の価格が1,所得が60のとき、この人のx財の消費量はいくつか?

という問題について、2x+1y=60と答えるのはわかるのですが、解けません。答えはx=20になるようです。
解説の方、よろしくお願いしたいですm(_ _)m



Re: .
名前:ヨッシー    日付:2018/6/5(火) 16:45
x財の消費量をx,y財の消費量をyとします。
 2x+y=60
より
 y=−2x+60
予算制約線の傾きは −2 ・・・(i)
 y=u/x^2
微分して
 y’=-2u/x^3=−2x^2y/x^3=−2y/x  ・・・(ii)
(ii)が(i)と一致するので、
 −2y/x=−2
 y=x
これと 2x+y=60 より、x=y=20

↓参考先
https://dmjtmj-stock.com/entry/2017/01/26/005827


Re: .
名前:経済の計算について    日付:2018/6/5(火) 18:4
迅速な解説ありがとうございます、助かります。

P1/p2=2/1、MU1/MU2=y/x^2という所からy=2x^2(@)になると思うのですが、
解答にあるx=y=20を(@)に代入すると成立しません。なぜでしょう?


Re: .
名前:ヨッシー    日付:2018/6/6(水) 6:6
その式は、どこの記述によるものですか?
http://yosshy.sansu.org/


Re: .
名前:経済の計算について    日付:2018/6/7(木) 13:17
遅くなり申し訳ありません。
教授のプリントからなのですが、返信画面での添付ができないため、もし分かりにくければ新規作成して載せます。以下引用↓

限界代替率すなわち無差別曲線の傾きは、ふたつの財の限界効用比(MU1/MU2)と等しくなるのです。この関係を利用すると、無差別曲線と予算制約線の接点では、両者の傾きが等しくなっているはずなので、以下の関係が成立します。

-P1/p2=-Δx2/Δx1=-MU1/MU2


Re: .
名前:ヨッシー    日付:2018/6/8(金) 11:42
P1/P2 は価格比なので、2/1 なのは良いですが、
 MU1=∂U/∂x=2xy 
 MU2=∂U/∂y=x^2
なので、MU1/MU2=2y/x となり、x=y と 矛盾しません。
http://yosshy.sansu.org/

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