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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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接線・法線 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/5/2(木) 8:48
【問題】
曲線C:y=x^3-kx(kは実数)を考える。C上に点A(a,a^3-ka)(a≠0)をとる。次の問いに答えよ。
(1)点AにおけるCの接線をL1とする。L1とCのA以外の交点をBとする。Bのx座標を求めよ。
(2)点BにおけるCの接線をL2とする。L1とL2が直交するとき,aとkがみたす条件を求めよ。
(3)L1とL2が直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ。

【解答】
(1)
点A(a,a^3-ka)における接線の式L1は,L1:y=(3a^2-k)x-2a^3
交点を調べるので,y=x^3-kxとy=(3a^2-k)x-2a^3の連立を計算すると,
(x-a)^2(x+2a)=0 ∴B(-2a,-8a^3+2ak)
(2)
点Bの座標より,点Bにおける接線の式L2:y=(12a^2-k)x+16a^3
L1とL2が直交するので,それぞれの傾きを掛け合わせて-1になる。
(3a^2-k)(12a^2-k)=-1 ⇒ 36a^4-15ka^2+k^2+1=0
(3)
X-a^2とおくと,36X^2-15kX+k^2+1=0
この解が存在するので判別式Dを考えて,
D=225k^2-144k^2-149≧0 ⇒ k^2≧144/81 ⇒ k≦-4/3,4/3≦k

問題集では(3)の解答が,4/3≦k のみとなっているのですが,なぜk≦-4/3の範囲は不適切として省かれるのでしょうか?
ご教授をお願いします。



Re: 接線・法線
名前:IT    日付:2019/5/2(木) 10:35
> X-a^2とおくと
はおかしい(意味不明)です。
X=a^2 なら X≧0です。


Re: 接線・法線
名前:通りすがり    日付:2019/5/2(木) 14:36
横から失礼します。

>>X-a^2とおくと

X=a^2とおくと
のタイプミスと解釈して回答を。

Xに対する条件が足りません。
X=a^2
でaは実数ゆえ
X≧0
よって求める条件はXの二次方程式
36X^2-15kX+k^2+1=0
が「少なくとも一つX≧0なる」解を持つ条件
となります。
その点を踏まえてもう一度解いてみて下さい。


Re: 接線・法線
名前:通りすがり    日付:2019/5/2(木) 14:39
>>ITさんへ
ごめんなさい。X≧0のことは書かれていますね。


Re: 接線・法線
名前:Haru    日付:2019/5/3(金) 22:43
ご指摘の通り「X-a^2」⇒「X=a^2」でした。すみませんでした。

X≧0の条件で更に絞る必要があるため,k≦-4/3がなくなるのですね。

36X^2-15kX+(k^2+1)=0が「少なくとも1つX≧0となる解をもつ」の条件でkの範囲を絞っていくということで,
(i)判別式D (ii)軸の位置 (iii)f(k)の符号 から範囲を絞っていこうと考えました。
(i)では,先述したように k≦-4/3,4/3≦k
(ii)は,軸の位置は正負どちらもありえるため範囲を絞れない。
(iii)は,f(0)の値の正負を考えて,どちらもありえるため範囲を絞れない。

よって,上の方法では,kの範囲を絞り切れないため,2解の符号から絞っていこうと考えました。
36X^2-15kX+(k^2+1)=0 の2解をα,β(α<β)とおく。
2解は,「α<0,β>0」と「α>0,β>0」の2パターンがあるので,α+βとαβのどちらも正負が定まらず,kの範囲を絞れない。

初めに書いたように,判別式だけでは制約として不十分だということで,k≦-4/3の範囲がなくなるのであろうということは理解できたのですが,その具体的な絞り方がわからない状態です。
何度も質問して申し訳ないですがご教授いただけると幸いです。


Re: 接線・法線
名前:Halt0    日付:2019/5/4(土) 0:31
>2解は,「α<0,β>0」と「α>0,β>0」の2パターンがあるので,
「α<0,β<0」と「α>0,β>0」の2パターンがあるので, …の書き間違いかと思います.

>その具体的な絞り方がわからない状態です。

以下, D≧0 すなわち 36X^2-15kX+(k^2+1)=0 が実数解α,βをもつという条件のもとで考える.
解と係数の関係から
αβ = (k^2+1)/36 > 0 なので,
1) α<0, β<0
2) α>0, β>0
のいずれかだとわかる.
よって 2) になる条件を求めればよい.

1) のとき α+β<0, 2) のとき α+β>0 であることに注意すれば, 2) ⇔ α+β>0
α+β = 15k/36 = 5k/12 (解と係数の関係)
よって 5k/12>0 すなわち k>0


Re: 接線・法線
名前:Haru    日付:2019/5/4(土) 11:17
説明不足で誤解を生んでしまい申し訳なかったのですが,2解のうち,「少なくとも1つは正でなければならない」ことと「α<βとおいている」ことから,「α<0,β<0」の候補は元々考えていないため,「α<0,β>0」,「α>0,β>0」の2パターンを考えた過程は書き間違いではありません。

なるほど!
2次方程式の解と係数の関係からαβを考えると,必ずαβ>0とわかり,候補として(i)α<0,β<0 (ii)α>0,β>0 の2つに絞られるため,先述した考え方より,(i)は除外され,(ii)であることがわかるということですね。

申し訳ないのですが,重ねて質問があります。
個人的な考え方の過程として,「α+βが正負のどちらかに絞れないか,αβが正負のどちらかに絞れないか」を考えてから,「実際にα+βもしくは,αβを計算して範囲を絞っていく」という流れだと自然に考えられるのですが,教えていただいた考え方の過程は,「αβをとりあえず計算してみる」⇒「計算してみると,たまたまαβ>0となったので,そこから範囲を絞っていく」という流れのように見えました。
そこで質問です。
どのような思考過程で,αβの計算をしてみようと考えられたのでしょうか?
先述したように,「α+βとαβがグラフの形から正負のどちらの可能性も考えられる」ことを考えた時点で,「α+βとαβを計算してみよう!」という考えを排除していました。
計算方法ではなく,思考過程の質問になってしまい申し訳ないのですが,気になったので教えていただけると幸いです。


Re: 接線・法線
名前:IT    日付:2019/5/5(日) 9:25
横から失礼します。
> どのような思考過程で,αβの計算をしてみようと考えられたのでしょうか?
αβ>0 は計算するというほどではなく、方程式を一瞥すれば分かることと思います。


Re: 接線・法線
名前:Halt0    日付:2019/5/5(日) 9:52
>説明不足で誤解を生んでしまい申し訳なかったのですが,2解のうち,「少なくとも1つは正でなければならない」ことと「α<βとおいている」ことから,「α<0,β<0」の候補は元々考えていないため,「α<0,β>0」,「α>0,β>0」の2パターンを考えた過程は書き間違いではありません。
あ, なるほど. すみません, うっかりしてました.

ちなみに文章に微妙な誤りがあるように思います. (訂正したのが下記赤字部分です. 細かいですが, この後の話にも関わってくるので念の為)

36X^2-15kX+(k^2+1)=0 の2解をα,β(αβ)とおく。
2解は,「α0,β>0」と「α>0,β>0」の2パターンがあるので… (後略)

いただいた疑問については次のレスでお答えします.


Re: 接線・法線
名前:Halt0    日付:2019/5/5(日) 10:3
>どのような思考過程で,αβの計算をしてみようと考えられたのでしょうか?
今回はたまたま αβ>0 になりましたが, 「そうでない場合でもこのように解けばうまくいく」ということを知っていたので, このように解きました.
以下詳しく説明します.

2次方程式が2つの実数解をもつとき, その2解をα,β(α≦β)とおくと, α と β の少なくとも一方が正になるのは

@α<0, β>0
Aα=0, β>0
Bα>0, β>0

の3通りです.
ここで

@⇔αβ<0
A⇔αβ=0, α+β>0
B⇔αβ>0, α+β>0

と書き換えられるので, αβ の値と α+β の値さえ計算できれば, 「α と β の少なくとも一方が正になる」条件を求められることになります.
今回の問題の場合だと, αβ をまず計算したところでたまたま αβ>0 であることが発覚したので, @ と A の可能性が排除されたわけですが, 排除できない場合には @〜B のすべての場合を考慮すればよいです.


Re: 接線・法線
名前:Halt0    日付:2019/5/5(日) 10:13
あ, レスの流れを読んでなかったけど「少なくとも1つX≧0となる解をもつ」ってことは 「少なくとも一方が正になる」じゃなくて「少なくとも一方が0以上になる」か…. まあ, やり方は同じです.
(この場合だと「少なくとも一方が0以上になる」⇔「両方とも負ではない」⇔「『α<0, β<0』ではない」⇔「『αβ>0, α+β<0』ではない」みたいに言い換えて解いたほうが場合分けが少なくていいかもしれません.)


Re: 接線・法線
名前:Halt0    日付:2019/5/5(日) 10:18
ちなみに, Haruさんが最初に試みていた「グラフ (放物線) の形からkの範囲を絞る」やり方でもこの問題は解けます.
この場合, f(0)=k^2+1>0 より, グラフがy軸と y>0 で交わるということに注意してグラフを描けば, 「f(x) が少なくとも1つ正の解を持つ」⇔「放物線 y=f(x) の軸の位置が正」と言い換えられるので楽ですね.
(※気づかなければ「2つの解とも正の場合は…」のように場合分けしたりすれば解けます)


Re: 接線・法線
名前:Haru    日付:2019/5/10(金) 22:36
本当にご丁寧にありがとうございました!

「α+β」と「αβ」のそれぞれ単体では,決定することができなくても,2つの正負の組み合わせで,場合分けを行える方法は,1つずつ選択肢を試していきたい自分のやり方にとてもマッチして,解法の流れとしても納得することができました!

これからも類似問題では,教えていただいた場合分けの方法を念頭におきながら解いていきたいと思います!

ありがとうございました!

台形角度の問題 返信  引用 
名前:うさ    日付:2019/5/2(木) 1:11
辺ADと辺BCが平行な台形ABCDがあり∠ABD=18度、∠DBC=30度、∠ACB=54度。
この時の∠DCAの角度を求める問題です。
答えは42度だと思うのですが解き方が分かりません。
どなたか解説をお願いいたします。

不等式の証明 返信  引用 
名前:かえる    日付:2019/4/30(火) 13:11
不等式の証明について次の問題が分かりません。
どなたか教えてください。
不等式を拡張するという例文についてはできたのですが…。
どうぞよろしくお願いします。(中3です)


【問題】

|a|<1,|b|<1,|c|<1,|d|<1のとき、次の不等式を証明せよ。

(1)a+b<1+ab

(2)a+b+c+d<3+abcd



Re: 不等式の証明
名前:IT    日付:2019/4/30(火) 13:28
(1) 途中まで あとはやってください
ab+1-(a+b)> 0 を示せばよい。
ab+1-(a+b)=(a-1)(b-1)


Re: 不等式の証明
名前:IT    日付:2019/4/30(火) 13:34
(2) は(1) を3回使えばできますね
ヒント
|a|<1,|b|<1,|c|<1,|d|<1のとき
|ab|<1,|cd|<1 ですからab+cd<1+abcd です。

外心の証明 返信  引用 
名前:マカロン    日付:2019/4/29(月) 18:4
三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる。このことを証明するために、下記を利用するとありました。

線分ABの垂直二等分線Lと点Pについて、
 点PがL上にある ⇔  PA=PB

右ならば左は理解できますが、左ならば右が理解できません。
どなたか証明お願いします。何度もすみません。



Re: 外心の証明
名前:マカロン    日付:2019/4/29(月) 18:6
逆でした。左ならば右が理解できて、右ならば左が理解できません。


Re: 外心の証明
名前:マカロン    日付:2019/4/29(月) 18:19
考え直してみたらわかりました!

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