次の二変数の漸化式はどのようにして解いたらよいでしょうか？
P(n+1, m) = P(n, m-1)(n-2m+q+4) + P(n, m)(n+2m+p-2)
P(0, 1) = 1
P(0, t) = 0 if t ≠ 1
P(n, 0) = 0
P(n, n + 1) = 0
よろしくおねがいします。
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Re: 二変数の漸化式 |
| 名前：LCR 日付：2018/8/3(金) 11:29 |
(A) > P(n+1, m) = P(n, m-1)(n-2m+q+4) + P(n, m)(n+2m+p-2)
(B1) > P(0, 1) = 1
(B2) > P(0, t) = 0 if t ≠ 1
(B3) > P(n, 0) = 0
(B4) > P(n, n + 1) = 0
各項P(n,m) (n＝0,1,2,… ; m＝0,1,2,…) を左上の角が120°の平行四辺形状に書き並べる。
P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) ・・・
P(1,0) P(1,1) P(1,2) p(1,3) ・・・
P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) ・・・
P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) ・・・
・・・
すると、漸化式(A)より、P(0,0)とP(0,1 )にそれぞれ係数をかけてたした値が P(1,1) となる
という具合に、左上と右上の値により下の値が決まる。 (A)’
しかし、上の表の値は(B1)〜(B4) より、下の表のとおり0となる項がかなりある。
0 , 1 , 0 , 0 , 0 , ・・・
0 , ○ , 0 , ○ , ○ , ・・・
0 , ○ , ○ , 0 , ○ , ・・・
0 , ○ , ○ , ○ , 0 , ・・・
従って、P(n,t) (n＝1,2,… ; t≧n＋2)
すなわち右下方向に0が並んでいる右に並んだ○は、
(A)’ の計算方法により、P(n,t) の値はすべて0となる。
P(n＋1,1) (n＝0,1,2,…) は、(A)より
＝P(n,0) (n−2×1＋q＋4) ＋ P(n,1) (n＋2×1＋p＋2)
＝ P(n,1) (p＋n＋4) から
P(1,1) ＝ P(0,1) (p＋4) ＝ p＋4 , P(2,1) ＝ P(1,1) (p＋5) ＝ (p＋4) (p＋5)
これを繰り返して、P(n,1) ＝ (p＋4) (p＋5)・・・(p＋n＋2) (p＋n＋3)
P(n＋1,n＋1) (n＝1,2,…) は、(A)より
＝ P(n,n) (n−2(n＋1)＋q＋4) ＋ P(n,n＋1) (n＋2(n＋1)＋p＋2)
＝ P(n,n) (q−n＋2) から、
P(2,2) ＝ P(1,1) (q＋1) ＝ (p＋4) (q＋1) , P(3,3) ＝ P(2,2) q ＝ (p＋4) (q＋1) q
これを繰り返して、P(n,n) ＝ (p＋4) (q＋1) q・・・(q−n＋4) (q−n＋3)
すみません、確実に一般項が解けたのはここまでです。
上で計算した項以外 P(n,t) (n＝2,3,… ; t＝2,3,…,n−1) は複雑ですね。
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Re: 二変数の漸化式 |
| 名前：黄桃 日付：2018/8/3(金) 23:56 |
とりあえず、n,m,t の動く範囲をはっきりさせ、問題を確認しましょう。
nに0が代入できれば、
P(n,n+1)=0 にn=0を代入すると P(0,1)=0 となり、これは P(0,1)=1 と矛盾。
したがって、解はありません。
P(n,n+1)=0 for n≠0 としても、
最初の式で n=0, m=2 を代入して(t=2としてP(0,2)=0より)P(1,2)=q。
一方 P(n,n+1)=0 でn=1 とすることでP(1,2)=0。したがって q=0
となり、(qを出す意味がないので）問題が変な気がするので、これ以上解く気はおきません。
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