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数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前：ぷん    日付：2018/6/6(水) 21:17
数列anをan=[√(2n)＋1/2] ただしn≧1で定める [x]はxを越えない最大の整数である。
①an=13となる最小のnはア 最大のnはイ
②an=a2000となるnはウ個
③Sn=ΣK=1～n｜Sn－2000｜はn=エで最小値オをとる

どなたか助けていただけますか？泣


Re: (untitled)
名前：ぷん    日付：2018/6/6(水) 21:18
答えは
ア79
イ91
ウ63
エ165
オ1
です。

Re: (untitled)
名前：ぷん    日付：2018/6/6(水) 21:21
すみません、③Sn=Σk=1～nakとしたとき、｜Sn－2000｜は……です(__)

Re: (untitled)
名前：IT    日付：2018/6/6(水) 21:54
とりあえず（１）の略解
任意の自然数nについて a[n]≧1。
定義より　　　a[n]≦√(2n)+1/2＜a[n]+1
移項して　　　a[n]-1/2≦√(2n)＜a[n]+1/2
２乗して　　　a[n]^2-a[n]+1/4≦2n＜a[n]^2+a[n]+1/4

a[n]=13になるのは,
13^2-13+1/4≦2n＜13^2+13+1/4
∴78+1/8≦n＜91+1/8
∴　n=79,80,...,91

Re: (untitled)
名前：IT    日付：2018/6/6(水) 22:29
（2）の略解　（もっと良い方法があるかも知れません）
a[2000]^2-a[2000]+1/4≦4000＜a[2000]^2+a[2000]+1/4
これを解くと　a[2000]=63 (60+x)^2=3600+120x+x^2 などから見つけます。

a[n]=a[2000]=63 となるのは　(1) と同様に
　63^2-63+1/4≦2n＜63^2+63+1/4
∴3906+1/4≦2n＜4032+1/4
∴1953+1/8≦n＜2016+1/8
∴n=1954,...,2016 の63個

Re: (untitled)
名前：IT    日付：2018/6/6(水) 23:58
(3)
a[n]=m とすると　mは自然数。

m≦√(2n)+1/2＜m+1
m(m-1)/2+1/8 ≦n＜m(m+1)+1/8

m(m-1),m(m+1) は偶数なので　n=m(m-1)/2+1,....,m(m+1)/2
nの個数は m(m+1)/2-m(m-1)/2=m 個

よって　a[1],a[2],....,a[n]= 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,....., が分かります。
これを使うとできます。

Re: (untitled)
名前：ぷん    日付：2018/6/7(木) 0:23
おぉ！…ありがとうございます(__)
とくに③が謎だったので助かりました！

Re: (untitled)
名前：IT    日付：2018/6/7(木) 0:41
(3) 計算が面倒ですね。
n=1+2+3+...+m=m(m+1)/2 のとき,S[n]=1+2^2+3^2+....+m^2=m(m+1)(2m+1)/6
これが2000に近くなるm を調べる。m^3≒6*10^3 なので、m≒1.8*10

m=17 のとき n=153,S[153]=1785
m=18 のとき S[n]=2109
2109-1785=215=18*11+17

n=153+11=164 のとき　S[164]=1785+18*11=1983
S[165]=1983+18=2001
(untitled) 返信  引用 
名前：ポンスキー    日付：2018/6/6(水) 18:5
bn=2^n－n－1 で、bn=log3anのとき
an≧10^100となる最小のnを求めよでn=6が答えなんですが、なにをやってもn=8になってしまいます。誰かお助けください。


Re: (untitled)
名前：IT    日付：2018/6/6(水) 20:18
問題か答えが間違いでは？
bn=log[3](an) ですよね
その問題なら　n=8　で良いと思います

Re: (untitled)
名前：ポンスキー    日付：2018/6/6(水) 21:6
うーん…ですよね。
ありがとうございます。出題者に確認してみますね！
数学的帰納法について。 返信  引用 
名前：コルム    日付：2018/6/5(火) 22:16
なぜ、n=1と、n=2を試しているのでしょうか？教えていただけると幸いです。
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=21961
. 返信  引用 
名前：経済の計算について    日付：2018/6/5(火) 15:25
x,yの2財を消費する合理的な消費者の効用関数がu=x^2yで表されるとする。
x財の価格が2,y財の価格が1,所得が60のとき、この人のx財の消費量はいくつか？

という問題について、2x＋1y=60と答えるのはわかるのですが、解けません。答えはx=20になるようです。
解説の方、よろしくお願いしたいですm(_ _)m


Re: .
名前：ヨッシー    日付：2018/6/5(火) 16:45
ｘ財の消費量をｘ，ｙ財の消費量をｙとします。
　2x＋y＝60
より
　y＝－2x＋60
予算制約線の傾きは　－２　・・・(i)
　ｙ＝u/x^2
微分して
　ｙ’＝-2u/x^3＝－2x^2y/x^3＝－2y/x　　・・・(ii)
(ii)が(i)と一致するので、
　－2y/x＝－2
　ｙ＝ｘ
これと 2x＋y＝60 より、ｘ＝ｙ＝２０

↓参考先
https://dmjtmj-stock.com/entry/2017/01/26/005827

Re: .
名前：経済の計算について    日付：2018/6/5(火) 18:4
迅速な解説ありがとうございます、助かります。

P1/p2=2/1、MU1/MU2=y/x^2という所からy=2x^2(ⅰ)になると思うのですが、
解答にあるx=y=20を(ⅰ)に代入すると成立しません。なぜでしょう？

Re: .
名前：ヨッシー    日付：2018/6/6(水) 6:6
その式は、どこの記述によるものですか？
http://yosshy.sansu.org/

Re: .
名前：経済の計算について    日付：2018/6/7(木) 13:17
遅くなり申し訳ありません。
教授のプリントからなのですが、返信画面での添付ができないため、もし分かりにくければ新規作成して載せます。以下引用↓

限界代替率すなわち無差別曲線の傾きは、ふたつの財の限界効用比(MU1/MU2)と等しくなるのです。この関係を利用すると、無差別曲線と予算制約線の接点では、両者の傾きが等しくなっているはずなので、以下の関係が成立します。

-P1/p2=-Δx2/Δx1=-MU1/MU2

Re: .
名前：ヨッシー    日付：2018/6/8(金) 11:42
P1/P2 は価格比なので、2/1 なのは良いですが、
　MU1＝∂U/∂x＝2xy　
　MU2＝∂U/∂y＝x^2
なので、MU1/MU2＝2y/x　となり、x=y と 矛盾しません。
http://yosshy.sansu.org/
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