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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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二次関数 返信  引用 
名前:わんわん    日付:2017/4/19(水) 18:32
こんにちは。

y=3x^2+4ax+a^2+a
がx軸と異なる2点で交わり、x軸との交点の座標をα、β(α<β)とする時、
-1<α<β<1となるようなα の値の範囲を答えよ。(聞き方が偉そうだな!)

答えには、
-1<α<β<1
となる条件は

【1】D>0
【2】f(1)>0
【3】f(-1)>0
【4】軸について-1<-2/3a<1

と書いてありますが、

条件【1.2.3】を満たしていれば、軸は自然と -1<軸<1 になると思って条件【4】を入れずに解いて間違えました。

なぜ、どういう理由、で条件【4】を考えなくてはならないのですか?

よろしくお願いします。



Re: 二次関数
名前:通りすがり    日付:2017/4/19(水) 19:23
>>軸は自然と -1<軸<1 になる
なりません。
反例)
a=-3
のときを考えます。
このとき(1)(2)(3)を満たし
(4)は満足していませんが
問題の関数は
y=3x^2-12x+6
ですので、このグラフとx軸との交点のx座標は
x=2±√2
となり
2-√2<1<2+√2
ですので題意を満たしません。


Re: 二次関数
名前:通りすがり    日付:2017/4/19(水) 19:31
ごめんなさい、これは反例になっていませんね。
反例として
a=6
のときを考えてみましょう。


Re: 二次関数
名前:わんわん    日付:2017/4/19(水) 19:50
かーーーっなるほど!
条件【1.2.3】だけでは矛盾が生じてしまうわけですねー
反例が出てくるとは思ってもいませんでした…
超理解できました!


通りすがり(の天才)さんありがとうございましたm(._.)m

答え教えてください 返信  引用 
名前:あり    日付:2017/4/19(水) 14:29
p…x+y=3

q…x>1,y>1

このときp→qは必要十分条件のどれか



Re: 答え教えてください
名前:通りすがり    日付:2017/4/19(水) 17:55
必要条件でも十分条件でもありません。

(i)p⇒qの反例
x=4,y=-1のとき
x+y=3ですがy<1です
(ii)q⇒pの反例
x=y=2のとき
x>1,y>1
ですが
x+y=4≠3
です。

絶対値 返信  引用 
名前:あまゆき    日付:2017/4/19(水) 13:58
大学受験生です。お願いします。
問 √x^2-4x+4 + √x^2+4x+4 =x+3

答え1.-3

先生はグラフで書いた図から解答って流れだったんですけど、
例えば

(@)x<2の時〜と解答を書くならどーゆうふうな記述になるでしょうか?



Re: 絶対値
名前:ヨッシー    日付:2017/4/19(水) 14:28
タイトルに「絶対値」とあるので、
 |x−2|+|x+2|=x+3
と書いたほうが、場合分けのイメージがしやすいでしょう。

x=−2,x=2 を境に3つに場合分けします。

x<−2 のとき
 (2−x)+(−2−x)=x+3
 ・・・・
−2≦x<2 のとき
 (2−x)+(2+x)=x+3
 ・・・・
2≦x のとき
 (x−2)+(2+x)=x+3
 ・・・・
というような書き方なります。

ちなみに、答えは、x=1,3 のはずです。
 
http://yosshy.sansu.org/

(untitled) 返信  引用 
名前:さば    日付:2017/4/19(水) 8:30
10進数の演算式7÷32の結果を2進数で表したものはどれか。答え0.00111
この問について教えて下さい。2を掛けて00111になるところまでは理解できたのですが00111が0.00111になるのがわかりません。右にシフトしたのですか?



Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:2017/4/19(水) 11:56
シフトというか、一般的な言い方をすれば、「小数点を左に5つ動かした」です。
十進法だと、
 10 で割る→小数点を左に1つ動かす
 10^2 で割る→小数点を左に2つ動かす
 10^3 で割る→小数点を左に3つ動かす
 10^4 で割る→小数点を左に4つ動かす
ですよね?
それと同じです。32=2^5 なので、5つです。
 
http://yosshy.sansu.org/


Re: (untitled)
名前:さば    日付:2017/4/19(水) 12:36
ありがとうございます!

数列と、極限 返信  引用 
名前:よし    日付:2017/4/18(火) 21:54
a[n+1]=1/2(a[n]+7/a[n])、a1=3とする。
1番a[n]>√7を示せ。
2番b[n]=(a[n]-√7)/(a[n]+√7)とおくとき
b[n+1]={b[n]}^2を示せ。
3番lim[n→∞]a[n]を求めよ。
1番は帰納法ででき、2番も代入して計算して示せました。
3番で質問があります。
解説と違ったので自分のは正しいのか教えてください。
|a[n+1]-√7|=|1/2(a[n]+7/a[n])-√7|=|{(a[n]-√7)^2}/2a[n]|
=|(a[n]-√7)/2a[n]|×|a[n]-√7|
a[n]は帰納的に正で1番からa[n]>√7より
=1/2×(1-√7/a[n])×|a[n]-√7|

0<1/2×(1-√7/a[n])<1だからこれをrとおくと
|a[n+1]-√7|=r|a[n]-√7|より
|a[n]-√7|<r^(n-1)|a[1]-√7|
よってlim[n→∞]|a[n]-√7|=0だから
lim[n→∞]a[n]=√7としました。
よろしくお願いしますm(__)m



Re: 数列と、極限
名前:WIZ    日付:2017/4/18(火) 22:22
先ず、間違いではないですが絶対値記号は不要ですよね?
> |a[n+1]-√7|=|1/2(a[n]+7/a[n])-√7|=|{(a[n]-√7)^2}/2a[n]|
> =|(a[n]-√7)/2a[n]|×|a[n]-√7|
> a[n]は帰納的に正で1番からa[n]>√7より
> =1/2×(1-√7/a[n])×|a[n]-√7|

次は明らかに間違いですが、
> 0<1/2×(1-√7/a[n])<1だからこれをrとおくと
rは定数の意味だと思いますが、「1/2×(1-√7/a[n])」は定数ではないのでダメですね。

と言うか、「2番b[n]=(a[n]-√7)/(a[n]+√7)とおくときb[n+1]={b[n]}^2を示せ。」が示せたのなら、
b[n] = b[n-1]^2 = b[n-2]^4 = b[n-3]^8 = ・・・ = b[1]^(2^(n-1)) = {(3-√7)/(3+√7)}^(2^(n-1))
なのと、
0 < (3-√7)/(3+√7) < 1、かつn→∞のとき2^(n-1)→∞なので、
n→∞のとき{(3-√7)/(3+√7)}^(2^(n-1))→0です。

よって、b[n] = (a[n]-√7)/(a[n]+√7)→0ですが、a[n]+√7 > 2√7なので、
a[n]-√7→0が必要で、よってa[n]→√7といえますよね?


Re: 数列と、極限
名前:WIZ    日付:2017/4/19(水) 0:7
後半の説明に不備がありましたので訂正します。

> よって、b[n] = (a[n]-√7)/(a[n]+√7)→0ですが、a[n]+√7 > 2√7なので、
> a[n]-√7→0が必要で、よってa[n]→√7といえますよね?

もし、n→∞のとき、a[n]+√7→∞ならばa[n]-√7→0が必要とは言えませんでした。

スレ主さんが導いていた式が大いなる(私にとっての)ヒントになりました。
a[n+1]+√7 = (1/2)(a[n]+7/a[n])+√7
= (a[n]^2+2a[n](√7)+7)/(2a[n])
= ((a[n]+√7)^2)/(2a[n])
= (1/2)(1+√7/a[n])(a[n]+√7)

ここで、a[n] > √7より、0 < √7/a[n] < 1であり、0 < 1+√7/a[n] < 2と言えます。
よって、0 < (1/2)(1+√7/a[n]) < 1ですから、
2√7 < a[n+1]+√7 < a[n]+√7であり、nが増加するとa[n]+√7は減少するので、a[n]+√7→∞とはならない訳です。

以上から、a[n]-√7→0が必要と言えることが示されました。


Re: 数列と、極限
名前:よし    日付:2017/4/19(水) 7:26
ありがとうございます!
解説はそのようにしておりました!

定数rのつもりで書いてましたがr[n]とおいてr[n]が1より
小さいということを帰納法で示してからでもダメですか?


Re: 数列と、極限
名前:よし    日付:2017/4/19(水) 7:28
すいません、寝たまま投稿して返信見れてませんでしたm(__)m
詳しく説明して頂きありがとうございますm(__)m


Re: 数列と、極限
名前:WIZ    日付:2017/4/19(水) 8:20
> 定数rのつもりで書いてましたがr[n]とおいてr[n]が1より
> 小さいということを帰納法で示してからでもダメですか?

r[n] = (1/2)(1-(√7)/a[n])とおけば、任意の自然数nに対して、
0 < r[n] < 1であることは容易に分かります。
しかし、だからと言って、Π[k=1,∞]{r[k]} = 0とは言えません。
あまりいい例ではないですが、n ≧ 2のとき、0 < 1-1/n < 1ですが、
lim[n→∞]{(1-1/n)^n} = 1/e (eは自然対数の底)です。

従って、0 < r[n] < 1であることだけでなく、
「Π[k=1,∞]{r[k]} = 0」であることも示さなくてはなりません。

この為、問題文では「b[n]=(a[n]-√7)/(a[n]+√7)とおくときb[n+1]={b[n]}^2を示せ。」
という設問があり、lim[n→∞]{b[n]} = 0を導くように誘導している訳です。

A = (3-√7)/(3+√7)とおけば、
b[n] = (a[n]-√7)/(a[n]+√7) = A^(2^(n-1))
⇒ a[n]-√7 = {A^(2^(n-1))}(a[n]+√7)
⇒ {1-A^(2^(n-1))}a[n] = {1+A^(2^(n-1))}√7
⇒ a[n] = {1+A^(2^(n-1))}(√7)/{1-A^(2^(n-1))}
ですから、
r[n] = (1/2)(1-(√7)/a[n])
= (1/2)(1-(√7)/{{1+A^(2^(n-1))}(√7)/{1-A^(2^(n-1))}})
= (1/2)(1-{1-A^(2^(n-1))}/{1+A^(2^(n-1))})
= (1/2)({{1+A^(2^(n-1))}-{1-A^(2^(n-1))}}/{1+A^(2^(n-1))})
= (1/2)(2{A^(2^(n-1))}/{1+A^(2^(n-1))})
= {A^(2^(n-1))}/{1+A^(2^(n-1))})
です。
なので、Π[k=1,∞]{r[k]} = 0も容易に示せるかもしれませんね。

式変形 返信  引用 
名前:なもん    日付:2017/4/18(火) 19:12
a(b^2+c^2-A^2)/2bc + b(c^2+a^2-b^2)/2ca = c(a^2+b^2-c^2)/2ab

この式が

a(b^2+c^2-A^2) + b(c^2+a^2-b^2) = c(a^2+b^2-c^2)

に解答ではなってるんですけど、なぜですか?



Re: 式変形
名前:通りすがり    日付:2017/4/18(火) 19:42
>>a(b^2+c^2-A^2) + b(c^2+a^2-b^2) = c(a^2+b^2-c^2)

(a^2)(b^2+c^2-a^2)+(b^2)(c^2+a^2-b^2)=(c^2)(a^2+b^2-c^2)
のタイプミスと仮定して回答を。

a(b^2+c^2-a^2)/(2bc) + b(c^2+a^2-b^2)/(2ca) = c(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
の両辺に2abcをかけましょう。

注)
もしタイプミスでないのであれば、解答の方が間違っています。


Re: 式変形
名前:なもん    日付:2017/4/18(火) 21:37
すいません、タイプミスでした
理解できましたありがとうございました

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