【問題】
曲線C:y=x^3-kx(kは実数)を考える。C上に点A(a,a^3-ka)(a≠0)をとる。次の問いに答えよ。
(1)点AにおけるCの接線をL1とする。L1とCのA以外の交点をBとする。Bのx座標を求めよ。
(2)点BにおけるCの接線をL2とする。L1とL2が直交するとき，aとkがみたす条件を求めよ。
(3)L1とL2が直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ。
【解答】
(1)
点A(a,a^3-ka)における接線の式L1は，L1:y=(3a^2-k)x-2a^3
交点を調べるので，y=x^3-kxとy=(3a^2-k)x-2a^3の連立を計算すると，
(x-a)^2(x+2a)=0 ∴B(-2a,-8a^3+2ak)
(2)
点Bの座標より，点Bにおける接線の式L2:y=(12a^2-k)x+16a^3
L1とL2が直交するので，それぞれの傾きを掛け合わせて-1になる。
(3a^2-k)(12a^2-k)=-1 ⇒ 36a^4-15ka^2+k^2+1=0
(3)
X-a^2とおくと，36X^2-15kX+k^2+1=0
この解が存在するので判別式Dを考えて，
D=225k^2-144k^2-149≧0 ⇒ k^2≧144/81 ⇒ k≦-4/3,4/3≦k
問題集では(3)の解答が，4/3≦k のみとなっているのですが，なぜk≦-4/3の範囲は不適切として省かれるのでしょうか？
ご教授をお願いします。
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Re: 接線・法線 |
| 名前：Halt0 日付：2019/5/4(土) 0:31 |
>2解は，「α<0,β>0」と「α>0,β>0」の2パターンがあるので,
「α<0,β<0」と「α>0,β>0」の2パターンがあるので, …の書き間違いかと思います.
>その具体的な絞り方がわからない状態です。
以下, D≧0 すなわち 36X^2-15kX+(k^2+1)=0 が実数解α,βをもつという条件のもとで考える.
解と係数の関係から
αβ = (k^2+1)/36 > 0 なので,
1) α<0, β<0
2) α>0, β>0
のいずれかだとわかる.
よって 2) になる条件を求めればよい.
1) のとき α+β<0, 2) のとき α+β>0 であることに注意すれば, 2) ⇔ α+β>0
α+β = 15k/36 = 5k/12 (解と係数の関係)
よって 5k/12>0 すなわち k>0
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Re: 接線・法線 |
| 名前：Halt0 日付：2019/5/5(日) 10:3 |
＞どのような思考過程で，αβの計算をしてみようと考えられたのでしょうか？
今回はたまたま αβ>0 になりましたが, 「そうでない場合でもこのように解けばうまくいく」ということを知っていたので, このように解きました.
以下詳しく説明します.
2次方程式が2つの実数解をもつとき, その2解をα,β（α≦β）とおくと, α と β の少なくとも一方が正になるのは
①α<0, β>0
②α=0, β>0
③α>0, β>0
の3通りです.
ここで
①⇔αβ<0
②⇔αβ=0, α+β>0
③⇔αβ>0, α+β>0
と書き換えられるので, αβ の値と α+β の値さえ計算できれば, 「α と β の少なくとも一方が正になる」条件を求められることになります.
今回の問題の場合だと, αβ をまず計算したところでたまたま αβ>0 であることが発覚したので, ① と ② の可能性が排除されたわけですが, 排除できない場合には ①〜③ のすべての場合を考慮すればよいです.
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