数ベクトルa1,a2,,an∈K^nと正則行列B∈K^n×nに対して、a1,,,anが線形独立であることと Ba1,Ba2,,,Banが線形独立であることは同値であることを示せ。 ヒントとして、Bが正則行列なので、c1a1+c2a2+,,,+cnanとc1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan=0は同値であるとあるのですが 、c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan=0が正則であることから成り立つのでしょうか?(正則でなくとも両辺に左からかけても成り立つと思うのですが) 正則の定義Bが逆行列を持つという程度の認識なので、この記述の意味が分かりません。どなたか教えてください。おねがいします
|
Re: 線形代数 |
名前:WIZ 日付:2018/4/9(月) 7:48 |
c1,c2,,,cnは全てが0ではないスカラー値であるものと解釈してコメントします。
もし、 c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan = 0・・・・・(1) であると仮定すると、
Bは正則ですから逆行列B^(-1)を持つので、B^(-1)を(1)の左からかけると、 (B^(-1))(c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan) = (B^(-1))0 ⇒ c1a1+c2a2+,,,+cnan = 0・・・・・(2) となります。
(2)はベクトルa1,a2,,,anが線形独立であることに矛盾します。 従って、(1)の仮定が誤りで、c1,c2,,,cnの選び方によらず(但し全てが0ではない) c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan ≠ 0 でなくてはならず、Ba1,Ba2,,,Banも線形独立でなければならないということではないでしょうか。
|
|
|