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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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二変数の漸化式 返信  引用 
名前:すっとこポコ太郎    日付:2018/8/2(木) 22:58
次の二変数の漸化式はどのようにして解いたらよいでしょうか?

P(n+1, m) = P(n, m-1)(n-2m+q+4) + P(n, m)(n+2m+p-2)
P(0, 1) = 1
P(0, t) = 0 if t ≠ 1
P(n, 0) = 0
P(n, n + 1) = 0

よろしくおねがいします。



Re: 二変数の漸化式
名前:LCR    日付:2018/8/3(金) 11:29

(A) >  P(n+1, m) = P(n, m-1)(n-2m+q+4) + P(n, m)(n+2m+p-2)
(B1) >  P(0, 1) = 1
(B2) >  P(0, t) = 0 if t ≠ 1
(B3) >  P(n, 0) = 0
(B4) >  P(n, n + 1) = 0

各項P(n,m) (n=0,1,2,… ; m=0,1,2,…) を左上の角が120°の平行四辺形状に書き並べる。

       P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) ・・・
     P(1,0) P(1,1) P(1,2) p(1,3) ・・・
   P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) ・・・
 P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) ・・・
   ・・・

すると、漸化式(A)より、P(0,0)とP(0,1 )にそれぞれ係数をかけてたした値が P(1,1) となる
 という具合に、左上と右上の値により下の値が決まる。 (A)’
しかし、上の表の値は(B1)〜(B4) より、下の表のとおり0となる項がかなりある。

    0 , 1 , 0 , 0 , 0 , ・・・
   0 , ○ , 0 , ○ , ○ , ・・・
  0 , ○ , ○ , 0 , ○ , ・・・
 0 , ○ , ○ , ○ , 0 , ・・・

従って、P(n,t) (n=1,2,… ; t≧n+2)
 すなわち右下方向に0が並んでいる右に並んだ○は、 
 (A)’ の計算方法により、P(n,t) の値はすべて0となる。

P(n+1,1) (n=0,1,2,…) は、(A)より
 =P(n,0) (n−2×1+q+4) + P(n,1) (n+2×1+p+2)
 = P(n,1) (p+n+4) から
P(1,1) = P(0,1) (p+4) = p+4 , P(2,1) = P(1,1) (p+5) = (p+4) (p+5)
これを繰り返して、P(n,1) = (p+4) (p+5)・・・(p+n+2) (p+n+3)

P(n+1,n+1) (n=1,2,…) は、(A)より
 = P(n,n) (n−2(n+1)+q+4) + P(n,n+1) (n+2(n+1)+p+2)
 = P(n,n) (q−n+2) から、
P(2,2) = P(1,1) (q+1) = (p+4) (q+1) , P(3,3) = P(2,2) q = (p+4) (q+1) q
これを繰り返して、P(n,n) = (p+4) (q+1) q・・・(q−n+4) (q−n+3)

すみません、確実に一般項が解けたのはここまでです。
上で計算した項以外 P(n,t) (n=2,3,… ; t=2,3,…,n−1) は複雑ですね。


Re: 二変数の漸化式
名前:黄桃    日付:2018/8/3(金) 23:56
とりあえず、n,m,t の動く範囲をはっきりさせ、問題を確認しましょう。

nに0が代入できれば、
P(n,n+1)=0 にn=0を代入すると P(0,1)=0 となり、これは P(0,1)=1 と矛盾。
したがって、解はありません。

P(n,n+1)=0 for n≠0 としても、
最初の式で n=0, m=2 を代入して(t=2としてP(0,2)=0より)P(1,2)=q。
一方 P(n,n+1)=0 でn=1 とすることでP(1,2)=0。したがって q=0
となり、(qを出す意味がないので)問題が変な気がするので、これ以上解く気はおきません。


Re: 二変数の漸化式
名前:IT    日付:2018/8/4(土) 7:52
何かの問題を解く途中で出てきた式なら 元の問題をそのまま書かれたうえで
その漸化式の導出過程の要所も記載された方が有効な回答が得易いと思います。


Re: 二変数の漸化式
名前:すっとこポコ太郎    日付:2018/8/5(日) 15:19
すみません、P(n, n + 1) = 0ではなくP(n, n + 2) = 0でした。
しかし、LCRさんの考え方でヒントを得られたので、解けそうです。
ありがとうございました。

ダイバージェンスの計算 返信  引用 
名前:梅おむすび    日付:2018/8/2(木) 19:46
Px(0)=1 Py(0)=1/4 Pz(0)=1/8
Px(1)=0 Py(1)=3/4 Pz(1)=7/8

であるとき,
D(Px||Py)、D(Px||Pz)、D(Py||Pz)、D(Pz||Py)
を求めよ
という問題です。
最初2つは合うのですが、後半2つが合いません

わかるかた、計算式から細かくたててもらえるととても助かります。
よろしくお願いします。

中学物理 返信  引用 
名前:はる    日付:2018/8/2(木) 0:25
数学とは言い切れないかもしれませんが中学物理の「水圧」の計算方法について疑問があったので質問します。

水中の物体の上側にかかる圧力(つまり水圧)は物体の上側に乗っかっている水の重さによって生じる物体を押す力と物体上部の面積を用いて
(物体上部にかかる水圧)= (物体の上に乗っている水による力)/(物体上部の面積)で求めれることは納得できます。
そして,教科書などでは物体の下側にかかる圧力も上側と同様に物体下部の上に乗っている水の重さによって生じる力を用いて水圧を求めていますが,物体下部に乗っているものは,「物体上部までの水」+「物体自体」だと思うので,なぜ物体下部ぎりぎりまで水が乗っているような計算方法で水圧を出しているのかがわかりません。

汚い文章&わかりにくい説明ですが,どうしても気になったので教えてください。



Re: 中学物理
名前:けんけんぱ    日付:2018/8/2(木) 8:14
氷は水より軽いので、水面より上にも顔を出します。
これは、同じ面積を考えた時、氷のあるところと氷のない水だけのところとが
同じ重さになるためです。

もし、水より重いものを考えた場合、水の中に沈みます。
そして、水の中で周りの水圧と同じになるところまで沈みます。
沈みすぎて物体の大きさと重さと水圧のバランスが崩れると、物体は水圧によってぺちゃんこに凹みます。
これはその物体の重さは変わらないので体積を小さくするためです。
密度を高めることによって、その水深の水圧と同じ圧力が下に掛かるようになります。

こうして、物体が上にあるかないかに関わらず、掛かる水圧は一定になっています。
(注:わたしは高校物理の知識しかありません)


Re: 中学物理
名前:匿名希望    日付:2018/8/2(木) 15:51
物体下部に乗っているものは「物体上部までの水」+「物体自体」ですので、物体の底面はその重さの分だけ底面の下の水を押しています。それは確かです。しかしその力は底面における水圧ではありません。底面における水圧とは底面付近の水が底面を押す力のことをいいます。
 物体の比重が水より小さい場合には、物体の底面がその下の水を押す力よりも底面付近の水が底面を押す力(底面における水圧)の方が大きいため、力がバランスせず、その差が上方へ向かう力すなわち浮力となります。

高校数学 積分 返信  引用 
名前:高2女子    日付:2018/8/1(水) 23:12
a>3とする。曲線C:y=|x(x-a)|と直線l:y=2xの交点をx座標の小さい順にO,A,Bとし、Cと線分OAが囲む図形の面積をS1,Cと線分ABが囲む図形の面積をS2とする 次の問いに答えよ
(3)S1=S2となるようなaの値を求めよ

この求め方と答えがわからなく行き詰まってしまったので教えてください…
解答もなく困っています。



Re: 高校数学 積分
名前:IT    日付:2018/8/2(木) 0:3
出来たところ(1)(2)?まで書き込まれると有効な回答がつき易いと思います。


Re: 高校数学 積分
名前:高2女子    日付:2018/8/2(木) 0:34
すみません、情報不足でした

(1)Aのx座標αとBのx座標βを,aを用いて表せ。
解答 α=a-3, β=a+3

(2)a=4のとき S=S1+S2の値を求めよ。
解答 S=263/6

(2)は値は出たのですが確信はないです。


Re: 高校数学 積分
名前:ヨッシー    日付:2018/8/2(木) 11:44
問題最初の a>3とする、という条件と、(1) の答えを見る限り、直線lの式は
 y=3x
ではないかと思われます。

ここがはっきりしないと、解いてもムダになりますので、確認してください。
 
http://yosshy.sansu.org/


Re: 高校数学 積分
名前:高2女子    日付:2018/8/2(木) 23:49
度重なる間違い、失礼いたしました。
ヨッシーさんの通り直線の式はy=3xです
以下訂正したものです
------------------------------------------------

a>3とする。曲線C:y=|x(x-a)|と直線l:y=3xの交点をx座標の小さい順にO,A,Bとし、Cと線分OAが囲む図形の面積をS1,Cと線分ABが囲む図形の面積をS2とする 次の問いに答えよ

(1)Aのx座標αとBのx座標βをaを用いて表せ
解答 α=a-3. β=a+3

(2)a=4のときS=S1+S2の値を求めよ
解答 S=263/6

本題です、
(3)S1=S2となるようなaの値を求めよ

(3)の問題を教えていただきたいです、よろしくお願いします。


Re: 高校数学 積分
名前:ヨッシー    日付:2018/8/3(金) 6:46
公式
 ∫[α〜β](x−α)(x−β)dx=(α−β)^3/6
をふんだんに使う形で考えます。
 S1=(a-3)^3/6
y=x(x−a)とx軸とで囲まれた部分の面積をS3 とすると
 S3=a^3/6
y=x(x−a)と直線l(線分OB)とで囲まれた部分の面積をS4とすると
 S4=(a+3)^3/6
S2=S4+S1−2S3=9a
※実はこの時点で、(2) の正解は、a=4を代入して
 1/6+36=217/6
と分かる。

S1=S2 より
 (a-3)^3/6=9a
 (a-3)^3=54a

これを解くと
 a=3{1+2^(1/3)+4^(1/3)}
になるのですが、どこか違ってますかね?
 
http://yosshy.sansu.org/


Re: 高校数学 積分
名前:ヨッシー    日付:2018/8/3(金) 7:17
図を付け忘れてました。

http://yosshy.sansu.org/junk/2018/ko2joshi1.gif


Re: 高校数学 積分
名前:IT    日付:2018/8/3(金) 18:52
(3の 少し別解)ヨッシーさんの図を参照して確認してください。
S1=S2 よりS4=2S3
∴ ((a+3)^3)/6=2(a^3)/6
∴(a+3)^3=((2^(1/3))a)^3
∴(a+3)=(2^(1/3))a
∴a=3/{(2^(1/3))-1} これはヨッシーさんの答えと等しいです。

連投失礼しますm(*_ _)m 返信  引用 
名前:数学太郎    日付:2018/8/1(水) 22:58
正の整数nと実数aに対して,関数I[n](a)を
I[n](a)=∫[0→π/2]|(cosx)^n-a(sin2x)^n|dx
で定め,m[n]をI[n](a)の最小値とする。m[n]の最大値を求めよ。
この問題も高校数学の範疇でお願いします



Re: 連投失礼しますm(*_ _)m
名前:del    日付:2018/8/2(木) 8:11
a≦1/(2^n)のとき、絶対値の中は負にはならないのでI'[n](a)=-∫[0→π/2](sin2x)^n dx <0
a>1/(2^n)のとき、θを0<θ<π/2 かつ sinθ=1/2a^(1/n) (つまり(cosx)^n=a(sin2x)^n) を満たすθが存在し、
I[n](a)=∫[0→θ]{(cosx)^n-a(sin2x)^n}dx-∫[θ→π/2]{(cosx)^n-a(sin2x)^n}dxと表される。
このとき、I[n](a)をθがaに依存することに注意して微分すると
I'[n](a)=2(dθ/da)*{(cosx)^n-a(sin2x)^n}-∫[0→θ]{(sin2x)^n}dx+∫[θ→π/2]{(sin2x)^n}dx
=-∫[0→θ]{(sin2x)^n}dx+∫[θ→π/2]{(sin2x)^n}dx

θ=π/4となるようなaでI[n](a)は最小になる(※)ので、A=1/√2)^nとすると
m[n]=I[n](A)=∫[0→π/4]{(cosx)^n-A(sin2x)^n}dx-∫[π/4→π/2]{(cosx)^n-A(sin2x)^n}dx
=∫[0→π/4]{(cosx)^n-A(sin2x)^n}dx-∫[0→π/4]{(sinx)^n-A(sin2x)^n}dx (※)
=∫[0→π/4]{(cosx)^n-(sinx)^n}dx
以下、c[k]=(cosx)^k,s[k]=(sinx)^k と表すことにするとnが3以上のとき、
c[n]-s[n]=(c[2]+s[2])(c[n-2]-s[n-2])-s[2]c[2](c[n-4]-s[n-4])
よって、 m[1]>m[3],m[2]=m[4],m[n]<m[n-2] (n=5,6,...) (※)
以上よりm[1]<m[3]>m[5]>...かつm[2]=m[4]>m[6]>...である。
m[2]=1/2,m[3]=5√2/6-2/3>5*1.4/6-2/3=1/2 よりm[n]の最大値は5√2/6-2/3

この問題は難しく答案をしっかり書こうとすると長くなるため、質問者様の能力を信じて、
色々省かせていただきました。特に※は注意深くお確かめください。
計算が間違っている可能性も大いにあるので、質問者様自身でお確かめください。


Re: 連投失礼しますm(*_ _)m
名前:数学太郎    日付:2018/8/2(木) 9:57
ありがとうございますm(*_ _)m参考にさせていただきます。

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