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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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割合 返信  引用 
名前:    日付:2017/12/2(土) 9:55
ある牧場に牛一頭を放牧すると30分で草がなくなり、羊一頭ならば60日で草がなくなる。この牧場に牛と羊を二頭ずつ放牧すると、8日で草がなくなる。
ただし、牧場の草は一定の割合で生え、牛一頭と羊いっとうが1日に食べる草の量はそれぞれ一定であるとする。

(1)羊一頭と牛一頭が1日に食べる草の量の比を求めよ

(2)この牧場に牛3頭と羊2頭を放牧すると、放牧してから何日で草がなくなるか求めよ

答え:(1)5:3
(2)6日

解説を中学数学までの範囲でよろしくお願い致します。



Re: 割合
名前:由香    日付:2017/12/2(土) 11:31
元の牧場の草をa、羊一頭と牛一頭が1日に食べる草の量をそれぞれx、yとし、牧場の草は1日あたりzで生えるとして、方程式を立てます。

牛一頭を放牧すると30日で草がなくなり とは、
元の量と生える量の合計=a+30z が 30x に等しいことです。・・・A
羊一頭を放牧すると60日で草がなくなり とは、
元の量と生える量の合計=a+60z が 60y に等しいことです。・・・B
牛と羊を二頭ずつ放牧すると、8日で草がなくなる とは、
元の量と生える量の合計=a+8z が 8(2x+2y) に等しいことです。・・・C

ここまでできれば、(1)が計算出来ます。
A,Bから z=2y−x
Cへ代入して、a=24x
Aへ戻して、5y=3x で、x:y=5:3

この牧場に牛3頭と羊2頭を放牧するとき、日数をdとして草がなくなる
とすると、方程式は、
a+dz=d(3x+2y) ですね

(1)で使った式を用い、あとは、計算してみてください


単元が 割合ですか?
だとするとすごく難しいですね


Re: 割合
名前:    日付:2017/12/3(日) 14:23
すみません...。
答えがあいません。申し訳ないですが、式を見させてもらってよろしいでしょうか?


Re: 割合
名前:    日付:2017/12/3(日) 14:48
問題ぐらい正しく打とうよ


Re: 割合
名前:    日付:2017/12/3(日) 14:53
分と日も間違えてる

牛2羊3なら6日になる

なんで質問者の入力ミスに回答者が気を使わないといけないのか
(この回答者は親切に考慮してくれてるけど)


Re: 割合
名前:由香    日付:2017/12/4(月) 10:0
まず、xとyの両方あると出来ませんので、ひとつを消去して、dを求めます

a=24x なので、yを消去してみると、
5y=3x から y=(3/5)x  
z=2y−x=(6/5)x−x=(1/5)x 
3x+2y=((15+6)/5)x=(21/5)x
だから、

24x+(1/5)dx=(21/5)dx
xキ0だからxで割り、、
24=(20/5)d
d=6


Re: 割合
名前:    日付:2017/12/6(水) 18:53
返信遅れてすみません...。

あ さん>確かにそうですね。教えてもらう側なのに失礼でした。申し訳ございませんでした...。
由香さん>文章に脱字があってごめんなさい...。
それなのに、ご丁寧に教えていただいて頭が下がります。
本当にありがとうございました。

(untitled) 返信  引用 
名前:ancok    日付:2017/12/1(金) 23:11
整数n≧3に対して, C(n, 3)=Σ[k=3, n] C(k-1, 2)が成り立つことを示せ。

解答には
C(n, r)= C(n-1, r-1)= C(n, r)- C(n-1, r)となるので, n≧4のとき,
Σ[k=3, n] C(k-1, 2)= C(2, 2)+Σ[k=4, n] C(k-1, 2)= C(3, 3)+Σ[k=4, n]{ C(k, 3)- C(k-1, 3)= C(n, 3)
また、n=3のとき, Σ[k=3, 3] C(k-1, 2)= C(2, 2)= C(3, 3)より成り立つ
以上より, n≧3で, Σ[k=3, n] C(k-1, 2)= C(n, 3)

とあったのですが、2行目の式の意味がよくわかりませんでした。
また、帰納法で示すことが可能なのかについても教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:名無し    日付:2017/12/2(土) 0:5
Σ[k=3, n] C(k-1, 2)= C(2, 2)+Σ[k=4, n] C(k-1, 2)= C(3, 3)+Σ[k=4, n]{ C(k, 3)- C(k-1, 3)= C(n, 3)

この行の解説ですよね。
この式のどの部分が分からないかこっちは把握しておりませんので、
一応、全ての部分について書いておきます。なので、必要な部分を適宜、読んでください。

Σ[k=3, n] C(k-1, 2)= C(2, 2)+Σ[k=4, n] C(k-1, 2)
これはk=2の場合のC(k-1, 2)=C(2, 2)をΣの中から取り出したことによる変形です。


C(2, 2)+Σ[k=4, n] C(k-1, 2)= C(3, 3)+Σ[k=4, n]{ C(k, 3)- C(k-1, 3)}
第1項はC(2,2)=1=C(3,3)という関係による書き換えです。
残りの部分は前の行のC(n-1, r-1)= C(n, r)- C(n-1, r) (n≧4)という関係を用いてΣの中を変形させています。

C(3, 3)+Σ[k=4, n]{ C(k, 3)- C(k-1, 3)}= C(n, 3)
ここはΣの計算をしてみましょう。すると、
(左辺)=C(3,3)+{C(4,3)-C(3,3)}+{C(5,3)-C(4,3)}+…+{C(n,3)-C(n-1,3)}
となり、隣同士でC(3,3),-C(3,3)のようにC(n-1,3)までは打ち消し合うのでC(n,3)のみが残るという仕組みです。

数学的帰納法については
C(n-1, r-1)= C(n, r)- C(n-1, r)
の右辺の第2項を移項して
C(n, r)=C(n-1, r)+C(n-1, r-1)
とすれば容易に示せます。


Re: (untitled)
名前:ancok    日付:2017/12/2(土) 0:32
疑問点を具体的に書き忘れており申し訳ありません…2行目の最後ですね。
返信の内容を読んでΣの中身で打ち消し合うことが良く理解出来ました。ありがとうございます!

(untitled) 返信  引用 
名前:ins    日付:2017/12/1(金) 22:12

A = (0, 0); B = (3, 0); C = (1, 2) なる △ABC について;
∠Aの二等分線とBCとの交点をD, ∠Aの外角のニ等分線とBCの延長との交点をE とする。
Dの座標は ( , ) で E の 座標は ( , )
DEの中点をOとする時, O の 座標は ( , )である。
<---各 ●穴に正しい数を挿入● 願います。

(1)OB・OC=OD^2が成り立つ事を証明せよ。
(2)OB:OC=AB^2:AC^2が成り立つ事を証明せよ。



Re: (untitled)
名前:☆ミ    日付:2017/12/2(土) 0:19
AB=3, AC=√5 なので AB:AC=BD:CD より
→AD
=√5/(3+√5)*(3,0)+3/(3+√5)*(1,2)
=((3√5-3)/2, (-3√5+9)/2)

→AE=(t, 3-t) とおける
AD⊥AEより ベクトルの内積が0なので
3(√5-1)/2*t+3(3-t)(3-√5)/2=0
t=3(-√5-1)/2
よって E((-3√5-3)/2, (3√5+9)/2)

よって0=(-3/2, 9/2)

(1)(2)とも実際に左辺と右辺を求めると同じになります。

(untitled) 返信  引用 
名前:こんにちは    日付:2017/11/30(木) 18:47
複数枚になって申し訳ございません。
解説の黒線部分なのですが、Σl=1をk=lに飛ばした時なくなった?理由がわかりません
https://imgur.com/gallery/jOyzV



Re: (untitled)
名前:☆ミ    日付:2017/11/30(木) 19:12
なくなったとは?
(1)を利用して解いています。
問題の(1)の(ii),それもk=l≠0の場合だけ考えればよいわけです。
k=l=1、k=l=2、…、k=l=n
となる場合だけ考えてみてください。


Re: (untitled)
名前:こんにちは    日付:2017/11/30(木) 19:21
自分は
Σk(Σl√kl∫cosmxcosnx)
(1)よりk=lよって
Σk(Σk*k*Ikk)となり
回答がπn^2(n+1)/2となりました。

上の4行目のΣkがひとつ回答にはなぜないのかということです


Re: (untitled)
名前:☆ミ    日付:2017/11/30(木) 19:38
>Σk(Σl√kl∫cosmxcosnx)
上記の表記を正確に表してもらえませんか?
Σは何が幾つから幾つなのか、どこが掛け算なのか、等分かるようにお願いします。


Re: (untitled)
名前:こんにちは    日付:2017/11/30(木) 19:48
これが自分の回答です
https://imgur.com/ENqg17t


Re: (untitled)
名前:    日付:2017/11/30(木) 19:52
Σの扱いがおかしいんですわ。
k=lとした時点で二つあったΣは一つになる。


Re: (untitled)
名前:こんにちは    日付:2017/11/30(木) 20:3
ごめんなさい。詳しくお願いします


Re: (untitled)
名前:    日付:2017/11/30(木) 20:16
あなたの書いた式は1≦k,l≦nを満たすn^2個の整数の組(k,l)について
√(kl)∫[0,2π]cos(kx)cos(lx)dx
の和を取りなさいという意味です。
でもk≠lならば√(kl)∫[0,2π]cos(kx)cos(lx)dx=0なので、生き残る項は
k∫[0,2π]cos^2(kx)dx (k=1,…,n)
のn個だけです。

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