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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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線形代数学 返信  引用 
名前:EBS    日付:2019/1/10(木) 16:32
M{(1-t,-1,-1)(-1,1-t,-1)(-1,-1,1-t)}
上の行列の行列式を因数分解したいのですが、どのようにやれば良いでしょうか?簡単な質問で申し訳ないです。



Re: 線形代数学
名前:IT    日付:2019/1/10(木) 20:53
単に行列式を計算(サラスの方法か余因子法)し 因数分解すれば良いのでは?

答えは下記などで求められます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((1-t,-1,-1),(-1,1-t,-1),(-1,-1,1-t))


Re: 線形代数学
名前:EBS    日付:2019/1/10(木) 21:55
ありがとうございます!

図形問題2 返信  引用 
名前:うりぼーの親戚    日付:2019/1/10(木) 14:58
点Oを中心とする半径rの球面上の5点A,B,C,D,Eを頂点とする四角錐があり。
四角錐ABCDEの底面BCDEは一辺の長さが1の正方形で、
AB=AE=√3、AC=AD=2である。

rはいくらか。

解答は、√517/22です。

この問題を、外接球と考え三角形AECの外接円として平面的にとらえ、
余弦定理でcosをだし、sinをだして正弦定理で半径をだしました。
しかし、答えと一致しませんでした。

なぜこの方法ではとけないのでしょうか?

よろしくお願いいたします。



Re: 図形問題2
名前:関数電卓    日付:2019/1/10(木) 20:51
> なぜこの方法ではとけないのでしょうか?
「△AEC の外接円の半径が求める外接球の半径と一致する」 とお考えならば、そうなるはずはありませんね。

条件からいろいろ計算すると、△ABE⊥底面BCDE となるようです。
5 点 A(0,0,√11/2), B(1/2,0,0), C(1/2,1,0), D(−1/2,1,0), E(−1/2,0,0) の外接球
 x^2+(y−b)^2+(z−c)^2=r^2
から、b, c, r を求めてみて下さい。

もっとうまい方法があるかもしれませんが、以上の方法で解答が正しいことは確認できます。


大円の勘違いです
名前:由香    日付:2019/1/12(土) 18:26
BE、CDの中点を、各々M’、N’として、M’とN’を結ぶ直線と球との交点をM,Nとするとき
3点A,M,Nは大円上にあります(四角錐の対称性を見る)
MN=√2

あとは、あなたの方針通りです

簡単な数学の問題です。 返信  引用 
名前:yamatatsu    日付:2019/1/9(水) 23:13
Q1. ルート19600/n が整数となるような自然数nは全部で何個?

Q2. 3個のサイコロを同時に投げたとき、出た目の積が10で割り切れる確率は?


解説をお願いします。



Re: 簡単な数学の問題です。
名前:通りすがり    日付:2019/1/10(木) 6:19
Q1
19600=(2^4)(5^2)(7^2)
よって題意を満たすためにはnは
2^2,2^2,5^2,7^2
で構成される積になっていなければなりません。
よって重複順列を考え、更にここから2^2が
1個のみの場合の重複を差し引いて、
求める個数は
2^4-1=15[通り]


勘違いでは?
名前:由香    日付:2019/1/10(木) 17:46
>ここから2^2が1個のみの場合の重複
この『2^2が1個』に対する重複とは、5^2 、5^0 と7^2 、7^0の場合の4個で、
nは、2^4 −4=12個では?


Re: 簡単な数学の問題です。
名前:通りすがり    日付:2019/1/10(木) 22:38
>>由香さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>yamatatsuさんへ
ごめんなさい。由香さんの仰る通りです。

4次方程式の解の個数(1対1対応の演習) 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/1/9(水) 20:11
【問題】
4次方程式x^4-2x^3+bx^2-2x+1=0が実数解をもつbの範囲は?
【解説】
両辺をx^2で割り x^2-2x+b-(2/x)+(1/X^2)=0とする。
t=x+(1/x)とおいて式変形をして,t^2-2t+(b-2)=0 として判別式を用いて解く。

実際の解説には,判別式の計算や考え方が詳しく記載されているのですが全く理解ができず式変形の段階で止まってしまっています。
詳しい計算の過程はおそらく大丈夫なので,考え方の指針のようなものを教えていただきたいです。
漠然とした質問ですがお願いします。

ちなみに答えは b≦2 です。



Re: 4次方程式の解の個数(1対1対応の演習)
名前:由香    日付:2019/1/10(木) 17:50
まず、4次方程式のままでは、解くこともそうですが、このようなxの実数解の条件を直接求めるのはとても困難です。
問題の式の次数と係数を良く見ると、4次と0次、3次と1次、のこり2次の係数になにか取っ掛かりがありそう・・・
x≠0だから、とりあえずxで割ってみて次数を下げてみる・・・
もう一回xで割ってみると・・・
何かいいまとめの式が出来そう・・で、xの4次式から別の2次式へ、、、

そのために、元の式をx^2でわって、t=x+(1/x)とおいて式変形をして、tが実数になるのは? でもそのときxが実数であることが保障されるのか?と段階を追っていくことでしょうか
2段階を踏みますが、元のままよりずっと見晴らしよくなりますね

不等式 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2019/1/9(水) 20:8
不等式 4log(4)(sinx+cosx)+2log(2)(sinx-cosx)+!≦0 の解を求めよ。logの後ろの( )は底
真数条件までは出したのですが、式変形をして log(2)(sinx+cosx)(sinx-cosx)≦-1/2 まできて行き詰まりました。
どなたか、お願いします。



Re: 不等式
名前:通りすがり    日付:2019/1/9(水) 20:59
log[2](sinx+cosx)(sinx-cosx)≦-1/2
の対数を外すと
(sinx+cosx)(sinx-cosx)≦1/√2
これより
(sinx)^2-(cosx)^2≦1/√2
(cosx)^2-(sinx)^2≧-1/√2
左辺に二倍角の公式を使うと
cos2x≧-1/√2
後はよろしいですね。


Re: 不等式
名前:ハロー    日付:2019/1/9(水) 21:16
 なるほど!!二乗だから、二倍角の公式が使えるわけですか。納得しました。ありがとうございます!

高次方程式の因数分解について 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/1/8(火) 22:56
3次方程式の因数分解についてわかりにくいところがあったので質問させていただきます。

27x^3+21x^2-x-3=0の因数分解の解がx=1/3という問題があり,解説をみると一般的な因数定理を用いた解き方で「x=1/3を代入すると成り立つので〜」と説明されていました。

整数値ならばなんとか自力で探せるように思えますが,代入して確認する値が分数になると自力で発見できる気がしません。

このように,因数定理を用いる方法で分数を代入する必要があるような問題を解く際のコツのようなものはありますか?
ご教授をお願い致します。



Re: 高次方程式の因数分解について
名前:けんけんぱ    日付:2019/1/9(水) 11:2
27x^3+21x^2-x-3=0

これが因数分解できたとすると
27(x-a)(x-b(x-c)=0
となります。

展開して定数項をみれば、-27abcです。
これが-3ですから、-27abc=-3 abc=1/9 となりますから
簡単な数値で考えれば、a,b,c=±1,±1/3,±1/9が候補となります。


Re: 高次方程式の因数分解について
名前:Haru    日付:2019/1/9(水) 19:7
なるほど!
調べてみたwebサイトなどでも予測をして候補をだす方法がありましたが,教えていただいた定数項からの方法がとてもわかりやすく,これから使っていこうと思います!
ありがとうございました!

比の計算 返信  引用 
名前:みれい    日付:2019/1/8(火) 18:16
1.06/(88+12a/100):2.20/44=1:4+a/100
の計算方法を教えてください。
よろしくお願いします!



Re: 比の計算
名前:けんけんぱ    日付:2019/1/9(水) 10:55
a:b=c:d であるならば
ad=bc が成り立ちます。

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