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数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板

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次の式がxについての恒等式となるように、定数a,b,c,dの値を定めよ。という問題です 返信  引用 
名前：は    日付：2018/4/9(月) 15:39
x³=ax(x-1)(x-2)+bx(x-1)+cx+d


Re: 次の式がxについての恒等式となるように、定数a,b,c,dの値を定めよ。という問題です
名前：けんけんぱ    日付：2018/4/9(月) 18:30
px^3+qx^2+rx+s=0　が恒等式ならば
p=q=r=s=0　である
ということはわかりますか？

まず、px^3+qx^2+rx+s=0　の形を作りましょう。

Re: 次の式がxについての恒等式となるように、定数a,b,c,dの値を定めよ。という問題です
名前：IT    日付：2018/4/9(月) 19:12
（別の方針）
まずx^3 の係数から　a=1
x=0,1,2 のとき等式がなりたつための条件を求める。
（以上必要条件）

x=3 のときも等式がなりたつことを示す。
（これで十分条件であることが示せる）

Re: 次の式がxについての恒等式となるように、定数a,b,c,dの値を定めよ。という問題です
名前：IT    日付：2018/4/9(月) 19:23
x=3 のときも等式がなりたつことを示す。
（これで十分条件であることが示せる）
これより

右辺を展開した方が速くて確実ですね。
(untitled) 返信  引用 
名前：ぬ    日付：2018/4/9(月) 14:31
次の方程式を満たす整数x,yを求めよ
2x^2＋xy＋y^2−x＋2y＋1=0
手も足も出ません。誰か教えてください。


Re: (untitled)
名前：WIZ    日付：2018/4/9(月) 15:45
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

yについての2次方程式とみなせば
y^2+(x+2)y+(2x^2-x+1) = 0

yは整数故、実数でもあるので、上記の判別式は非負でなければなりません。
(x+2)^2-4(2x^2-x+1) ≧ 0
⇒ -7x^2+8x = x(8-7x) ≧ 0

よって、
(1)x ≧ 0かつ8-7x ≧ 0、つまり、0 ≦ x ≦ 8/7
または
(2)x ≦ 0かつ8-7x ≦ 0、つまり、x ≦ 0かつ8/7 ≦ xとなり、これは不可。

xは整数ですから(1)より、x = 0またはx = 1となります。
x = 0のとき、y^2+2y+1 = (y+1)^2 = 0より、y = -1
x = 1のとき、y^2+3y+2 = (y+1)(y+2) = 0より、y = -1またはy = -2

以上から(x, y) = (0, -1)(1, -1)(1, -2)の3通りとなります。

Re: (untitled)
名前：ぬ    日付：2018/4/9(月) 15:51
ありがとうございます。なるほどー…
絞り込みで判別式ですね。ありがとうございました
文字 返信  引用 
名前：あ    日付：2018/4/9(月) 10:18
問)平面上に，平行四辺形OACBがあり，辺OAの中点をDとする．さらに，線分BD(端点B，Dを含まない)上に任意に点Pをとり，半直線OA，OB(端点を含まない)上にそれぞ点Q，Rを，直線Q Rが点Pを通るようにとる．平行四辺形OACB，△OQRの面積をそれぞれS，Tとし，ある点Pに対するT /Sの最小値をm(P)とするとき，m(P)のとり得る値の範囲を求めよ．
質問)この問題で斜交座標を使おうと思ったのですが、比をおいてメネラウスの定理から出た1式しか式が立てられませんでした．どうすればいいですか．
そもそも方針が悪いんでしょうか．
線形代数 返信  引用 
名前：ハワイ    日付：2018/4/9(月) 4:34
数ベクトルa1,a2,,an∈Ｋ^nと正則行列Ｂ∈Ｋ＾n×nに対して、a1,,,anが線形独立であることと
Ｂa1,Ba2,,,Banが線形独立であることは同値であることを示せ。
ヒントとして、Ｂが正則行列なので、c1a1+c2a2+,,,+cnanとc1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan=0は同値であるとあるのですが
、c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan=0が正則であることから成り立つのでしょうか？（正則でなくとも両辺に左からかけても成り立つと思うのですが）
正則の定義Ｂが逆行列を持つという程度の認識なので、この記述の意味が分かりません。どなたか教えてください。おねがいします　


Re: 線形代数
名前：WIZ    日付：2018/4/9(月) 7:48
c1,c2,,,cnは全てが0ではないスカラー値であるものと解釈してコメントします。

もし、
c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan = 0・・・・・(1)
であると仮定すると、

Bは正則ですから逆行列B^(-1)を持つので、B^(-1)を(1)の左からかけると、
(B^(-1))(c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan) = (B^(-1))0
⇒ c1a1+c2a2+,,,+cnan = 0・・・・・(2)
となります。

(2)はベクトルa1,a2,,,anが線形独立であることに矛盾します。
従って、(1)の仮定が誤りで、c1,c2,,,cnの選び方によらず(但し全てが0ではない)
c1Ba1+c2Ba2+,,,+cnBan ≠ 0
でなくてはならず、Ｂa1,Ba2,,,Banも線形独立でなければならないということではないでしょうか。

Re: 線形代数
名前：ハワイ    日付：2018/4/10(火) 2:15
ありがとうございます。
わかりました。
等比数列の年利問題 返信  引用 
名前：高校2年    日付：2018/4/8(日) 22:41
---以下問題---
西暦2017年1月1日に100万円を年利率7%で借りた人がいる。この返済は2017年12月31日を第1回とし、その後、毎年年末に等額ずつ支払い、2019年年末に完済することにする。毎年年末に支払う金額を求めよ。ただし、1.07^3=1.225として計算し、1円未満は切り上げよ。
---以下解答---
借金の3年後の元利合計10^6・1.07^3 [円]と、毎年年末にx[円]ずつ積み立てると考えた時の3年分の元利合計 x(1.07^3 - 1)/1.07-1 が等しいことを考えて 381112[円]
---------------

等比数列を用いた基本的な年利の問題なのですが、疑問点がいくつかあったので質問させていただきます。
1. 他の問題ではよく「単利」か「複利」かの指定があると思いますが今回の問題で記述
がないのは関係がないからですか？
2. 元利合計がもともと預けた100万円に単純に3年分の利息をつけた10^6・1.07^3で示
　されていますが、2年目につく年利は1年目に支払い終わったx[円]を引いた10^6-x[円]
　に対して1.07倍したものになると思うのですが違うのでしょうか？（3年目もしかり借
　金は毎年減っているのに毎年100万円に対して1.07倍しているのが腑に落ちない）

「年利」や「元利合計」といった単語の意味を調べてはみましたが深く理解しているわけではないので思い違いも多々あると思いますが、疑問点に解答いただけると幸いです。
計算自体はおそらく問題ないと思うので、立式の段階までをご教授いただければと思います。


Re: 等比数列の年利問題
名前：IT    日付：2018/4/9(月) 0:14
最初の質問の答えだけ
> 1. 他の問題ではよく「単利」か「複利」かの指定があると思いますが今回の問題で記述
> がないのは関係がないからですか？

そうですね。
「複利」というのは、例えば３年間借りっぱなしで、途中で元金はもちろん利息も返済しない場合に
利息部分にも利息が発生するということです。
この問題の場合は、１年ごとに利息をすべて返済しますから「複利」ということはあり得ません。
（利息に加えて元金も返済する）

Re: 等比数列の年利問題
名前：IT    日付：2018/4/9(月) 0:19
　（利息に加えて元金も返済する）
→（利息に加えて元金の一部分も返済する）

Re: 等比数列の年利問題
名前：IT    日付：2018/4/9(月) 22:17
もう少し分かりやすい説明があるかもしれませんが

元金をa円,金利を年利率r（1%なら0.01),毎年末の償還額（元金+利息）をx円とする。
１年目末の償還前元金a[1]=a,２年目末の償還前元金a[2],３年目末の償還前元金a[3]とする。
a[2]=(1+r)a-x
a[3]=(1+r)a[2]-x

x=(1+r)a[3]
=(1+r)((1+r)a[2]-x)
=(1+r)((1+r)((1+r)a-x)-x)
=((1+r)^3)a-((1+r)^2)x-(1+r)x

移項して整理
x+(1+r)x+((1+r)^2)x=((1+r)^3)a

左辺の
((1+r)^2)xは1年目年末の償還金x円を年利率rの複利で２年間貯蓄した後の元利合計額と等しい。
(1+r)xは２年目年末の償還金x円を年利率rで１年間貯蓄した後の額と等しい。

右辺は、元金a円を年利率rの複利で３年間貯蓄した後の元利合計額と等しい。
虚数 返信  引用 
名前：ハロー    日付：2018/4/8(日) 21:12
　p を素数、a,b を互いに素な正の整数とするとき、(a+bi)^p は実数でないことを示せ。ただし、i は虚数単位を表す。
この問題を考える時、たとえば、二項展開した最後の項　ｐCp(bi)^p　は素数、つまり奇数乗だから虚数が残るから虚数となるという理屈ではダメでしょうか。
「a,b が互いに素」という条件が活かされていないので、不十分な解答のような気がします。


Re: 虚数
名前：通りすがり    日付：2018/4/8(日) 21:18
それを言うなら、kが
1≦k≦p
なる奇数のときも
(pCk){a^(p-k)}(ib)^k
は純虚数ですのでこれらの和を考える必要があり、
解答としては不十分です。

Re: 虚数
名前：ハロー    日付：2018/4/8(日) 22:5
そっか。a,b は数字だから加えたらゼロになる可能性を考えないといけないということですね。
どうもありがとうございました。
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