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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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-4進法 返信  引用 
名前:シドン    日付:2017/6/15(木) 20:7
整数からなる集合Xで次のような性質をもつものが存在するか決定せよ。
任意の整数nに対してa+2b=nを満たすa,b∈Xがちょうど1組存在する。
  
証明:存在する。以下に実例を構成する。
整数の-4進法表示、 
つまり、
n=Σ[c(i)・(-4)^i,{i,0,k}] (c(i)∈{0,1,2,3})
という表示を考える。
とあるのですが、何故このような発想をするのでしょうか?



Re: -4進法
名前:黄桃    日付:2017/6/17(土) 7:54
そうすれば解けるから、でしょう。

なぜ思いついたかといえば、
(1) たまたま閃いたから。
(2) 別の方法で苦労して解いた答を整理しているうちにこのような説明を思いついたから。
(3) 以前-4進法表示を勉強したのでこのような性質があることを知っていたから。
(4) この問題自体が-4進法表示をいじっているうちに思いついたものだから(解答者=出題者)。
あたりでしょう。

#出題される問題というのもそこらに落ちているわけではなく作る人がいるのです。
#解答も、寄り道した(うまくいかなかった)部分は書かれていません。
#舞台裏は隠されているので不思議に見えるのでしょう。


Re: -4進法
名前:シドン    日付:2017/6/17(土) 20:5
なるほどです。
しかし、巧妙な解答ですよね。

数列の極限 返信  引用 
名前:heliotrope    日付:2017/6/15(木) 18:52
a[n]=1+1/n (n≠10^1,10^2,10^3,…),=3 (n=10^1,10^2,10^3,…)
としたときにlim[x->∞]a[n]の極限値を求めよ。またその理由を述べよ。

----------------------------

大学生の問題です。

数列a[n]がn=10^1,10^2,10^3,…の時に3となり、
それ以外の時だと1+1/nとなる数列の極限値です。

収束しないことはわかっているのですが、場合分けして証明しようとしたら×をつけられてしまって…

εδ論法を使うかもしれないです。よろしくお願いします。



Re: 数列の極限
名前:ラーメン    日付:2017/6/15(木) 19:51
収束列は部分列も同じ値に収束する

という事実を使えば簡単です
3に収束する部分列と0に収束する部分列が取れるので、もとの数列が収束すると仮定すると矛盾します


Re: 数列の極限
名前:IT    日付:2017/6/15(木) 20:27
極限値(収束)の定義に戻ってεN論法を使わないといけないということだと思います。

積分が分かりません 返信  引用 
名前:Angela    日付:2017/6/15(木) 10:31
関数f(x)は等式
∫[0,x]tf(x-t)dt=sinx+kx
を満たす。この左辺を、x-t=uとおいて、uに関する積分に置き換え、
次に両辺をxで2回微分して、f(x)と定数kの値を求めなさい。
という問題が分かりません。
積分が苦手です。教えてください。



Re: 積分が分かりません
名前:WIZ    日付:2017/6/15(木) 11:33
tf(x-t)においてu = x-tとおくと、(x-u)f(u)です。
題意の定積分においてxは積分範囲を表す定数に過ぎませんから、
du = -dt, uの積分範囲は[x, 0]となりますので、定積分は
∫[0, x]{tf(x-t)}dt
= ∫[x, 0]{(x-u)f(u)}(-du)
= ∫[0, x]{(x-u)f(u)}du
= x∫[0, x]{f(u)}du-∫[0, x]{uf(u)}du・・・・・(1)

f(u)の原始関数をF(u)、uf(u)の原始関数をG(u)とおくと、
x∫[0, x]{f(u)}du-∫[0, x]{uf(u)}du
= x{F(x)-F(0)}-{G(x)-G(0)}

以上から、
x{F(x)-F(0)}-{G(x)-G(0)} = sin(x)+kx
となります。

上記の両辺をxで微分すると、
F(x)-F(0)+xF'(x)-G'(x) = cos(x)+k
⇒ F(x)-F(0)+xf(x)-xf(x) = cos(x)+k
⇒ F(x)-F(0) = cos(x)+k

もう一度の両辺をxで微分すると、
F'(x) = -sin(x)
⇒ f(x) = -sin(x)

上記を(1)に代入すると、
x∫[0, x]{f(u)}du-∫[0, x]{uf(u)}du
= x∫[0, x]{-sin(u)}du-∫[0, x]{u(-sin(u))}du
= x[cos(u)]_[0, x]+∫[0, x]{u*sin(u)}du
= x(cos(x)-1)+[u*(-cos(u))]_[0, x]-∫[0, x]{-cos(u)}du
= x(cos(x)-1)-x(cos(x))-∫[0, x]{-cos(u)}du
= x+[sin(u)]_[0, x]
= x+sin(x)

上記がsin(x)+kxに等しいので、k = 1となります。


Re: 積分が分かりません
名前:WIZ    日付:2017/6/15(木) 11:36
間違いがありましたので訂正します。

【誤】
= x+[sin(u)]_[0, x]
= x+sin(x)

上記がsin(x)+kxに等しいので、k = 1となります。

【正】
= -x+[sin(u)]_[0, x]
= -x+sin(x)

上記がsin(x)+kxに等しいので、k = -1となります。

申し訳ありません。


Re: 積分が分かりません
名前:Angela    日付:2017/6/16(金) 7:40
WIZさん
前回に続き丁寧な解答ありがとうございました。
積分が実感できなくて困っています。
ありがとうございました。

三角関数を用いた近似式の導出 返信  引用 
名前:Masu    日付:2017/6/14(水) 23:27
xが0付近において
 [cosx+(x+π/2)sinx][cosx+(x-π/2)sinx] ≒ (cos x)^3
という近似式を見たのですが,導出の糸口がいまいちわかりません.

実際これらは -π/2 から π/2 でよく一致しています.
WolframAlpha によるテイラー展開では左辺が
 1+(1-π^2/4)x^2+(π^2/12)x^4+... ≒ 1-1.47x^2+0.822x^4+...
右辺が
 1-3x^2/2+7x^4/8+... = 1-1.5x^2+0.875x^4+...
ということからもわかります.

もし何か導出方法がわかる方がいらっしゃいましたらご教示願います.



Re: 三角関数を用いた近似式の導出
名前:加賀屋    日付:2017/6/15(木) 12:16
そもそも近似式とはなにかについて今一度考えてみるのがいいと思います

普通はx=0付近での近似式といえば、x=0でテイラー展開したときの係数がある程度一致する式(関数)のことです

その場合今回の近似式は1次の係数まで一致しているので、そのレベルの近似式だと分かります(ちなみにf(x)=1という定数関数も同じレベルの近似式)

2次以上の係数も1.47と1.5のように近いからもっといい近似式だ、と思うかもしれませんが1.47と1.5が近いかどうかは人間の感覚の問題で数学的には意味がありません

係数の近さを適当に定義して、たとえば係数の差が0.1未満であれば「近い」と思うと決め、そのルールの中で今回の近似式が4次以上のレベルの近似式だと主張することは可能ですが、いずれにせよ証明はテイラー展開で尽きています


Re: 三角関数を用いた近似式の導出
名前:加賀屋    日付:2017/6/15(木) 14:32
とは言え、たしかに-π/2からπ/2くらいまでの範囲で2つの関数

f(x) = [cosx+(x+π/2)sinx][cosx+(x-π/2)sinx]
g(x) = (cos x)^3

はよく似た振る舞いをしますね
x〜0でのf(x)の近似式としては1+(1-π^2/4)x^2の方がg(x)よりよっぽどいい近似式なのですが、-π/2〜π/2の範囲で見るとg(x)の方がよく合っているように見えます(もちろん先の回答で述べた通りどういう意味で「合っている」かを定義しないと数学的な議論はできませんが、必要なら例えば差の[-π/2,π/2]における最大値などで評価できます)

近似という言葉の意味を曖昧にしたまま粗い議論をするなら
f(0) = g(0) = 1
f(±π/2) = g(±π/2) = 0
f'(0) = g'(0) = 0
f'(±π/2) = g'(±π/2) = 0
f''(±π/2) = g''(±π/2) = 0
f''(0) = 2-(π^2)/2 = -2.9348… 〜 -3 = g''(0)
などの、0および±π/2での関数の振る舞い(そこでの値、傾き、曲率)がほぼ一致する点が大きいです

0と±π/2との間での振る舞い(単調性など)も考慮するとこれだけ特徴の一致する関数はこの範囲で良い近似になっていて当然だと言えますね

他にも±π/4など適当な点で値や傾き、曲率が近いことなど根拠を増やすことはいくらでもできますが、いずれにせよ近似の定義を明確にしない限り数学的な証明にたどり着くことはありません


Re: 三角関数を用いた近似式の導出
名前:pqr    日付:2017/6/16(金) 0:53
平均値の定理を用いて, 「導出」らしいことをしてみると,

-sin c=(cos x-cos(π/2))/(x-π/2), つまり, -cos x/sin c=x-π/2 となるx<c<π/2が存在する.
-sin d=(cosx-cos(-π/2))/(x-(-π/2)), つまり, -cos x/sin d=x+π/2 となる -π/2<d<x が存在する.

よって,

[cosx+(x+π/2)sinx][cosx+(x-π/2)sinx]
=(cos x)^2(1-sin x/sin d)(1-sin x/sin c)
=(cos x)^2(1-(1/(sin c)+1/(sin d))sin x+1/(sin c sin d)(sin x)^2)

ここで, xが0に近いとすれば. d≒-cと考えられるので,

≒(cos x)^2(1-(1/(sin c)^2)(sin x)^2)

といったところまでは変形できますね. x=0の周りだけみるなら,
cos x=√(1-(sin x)^2) ≒ 1-(1/2)(sin x)^2 くらいのものですが, 1/(sin c)^2 ≒ π^2/4 ですので.
最後の項 1-(1/(sin c)^2)(sin x)^2 を cos x と近似する理由はちょっと見当たりません.

その近似式が出てきた前後の文脈はどのようなものかわかりますか?
そこに, (cos x)^3 と近似した理由が隠れているかもしれません.
例えば, 「左辺の関数(偶関数)を cos x の多項式で表したい」, といった背景があるのか,
加賀屋さんが示唆されているように, x=±π/2での値や傾きも考慮したいのか…


Re: 三角関数を用いた近似式の導出
名前:Masu    日付:2017/6/19(月) 0:42
加賀屋さん,pqrさん
返信ありがとうございました.
近似についてやご説明いただいたことなどもう少し考えたいと思います.
ちなみに文脈としては与式の -π/2 から π/2 での最大値が分かればよく(x=0),ただ急に (cos x)^3 の近似式が現れた形です.

(untitled) 返信  引用 
名前:math    日付:2017/6/14(水) 21:17
SUUGAKUの7文字を一列に並べるとき、次の並べ方は何通りあるか。
⑴GAUSUという文字列を含むように並べる
⑵Uはすべて奇数番目にくるように並べる
⑶Uは2つ以上隣り合わないように並べる
教えてください…(;_;)



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/6/14(水) 21:42
(1)
GAUSUという文字列を一つの文字と考えて
これと残りの文字でできる順列を考えます。

(2)
考えられる奇数番目の値は
1,3,5,7
この4か所にUを配置する方法の数を考え
残りの箇所でできるU以外の文字の順列を
考えましょう。

(3)
(i)Uが三つとも隣り合う場合
(ii)Uが二つのみ隣り合う場合
の順列の数を求め、全ての順列の数から引きます。
(まずは(i)の順列の数を求めましょう。
(ii)の順列の数は(i)の順列の数から計算できます。)

この説明で分からないようであればその旨をアップして下さい。

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