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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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確率の問題です 返信  引用 
名前:トロイ    日付:2017/5/14(日) 23:27
1から31までの数字を書いた31個の球が袋に入れてあります。この中から任意に5個取り出す動作を1ラウンドとします。1ラウンド終わると出た数字を記録した後、球は袋に戻します。
6ラウンド終わった後、7ラウンド目について
1)1〜6ラウンド目で出た数字5個から成る組合せが選ばれる確率を求めなさい
2)1〜6ラウンド目で出た数字が3個と1〜6ラウンド目で出なかった数字2個から成る組合せが選ばれる確率を求めなさい。
頭が混乱してきました。どなたかスッキリとした解説をお願いします。



Re: 確率の問題です
名前:IT    日付:2017/5/14(日) 23:44
1)だけ
1から31までの数字から5個取り出す組み合わせの数は,C(31,5)通りです。
簡単のため S=C(31,5)とおきます。

7ラウンドめの数字5個の組み合わせと異なる数字5個の組み合わせの数はS-1 通りです。
1ラウンドが7ラウンドと異なる確率は (S-1)/S です。
よって1から6ラウンドがすべて7ラウンドと異なる確率は ((S-1)/S )^6 です。
よって1から6ラウンドのいずれかが7ラウンドと同じ確率は 1−((S-1)/S )^6 です


Re: 確率の問題です
名前:IT    日付:2017/5/14(日) 23:49
題意を読み間違えていたようです。前の解答は無視してください。


Re: 確率の問題です
名前:トロイ    日付:2017/5/15(月) 0:3
問題の説明が拙かったようです。

1)7ラウンド目の組合せが、1〜6各ラウンドのいずれかの組合せと一致する確率ではありません。

1〜6ラウンドまでで最小で5個(6ラウンド全く同じ組合せ)最大30個(各ラウンドで重複なし)の数字が出現しますが、1)はその出現した数字だけでで構成される組合せが出る確率を求めなさい、という質問です。同様に2)は出現した異なるn個(5<=n<=30)の数字のうちから3個と出現しなかった異なるm個(1<=m<=26)の数字から2個の組合せになる確率を求めなさいというものです。


Re: 確率の問題です
名前:トロイ    日付:2017/5/15(月) 9:6
1)1〜6ラウンドで出た異なるn個数字(5<=n<=30)毎に場合分けするのでしょうか?
n=5のとき
条件を満たす7ラウンド目の組合せはC(5,5)個なので確率は
(C(5,5)/C(31,5))^7
n=6のときは
(C(6,5)/C(31,5))^7
同様にn=30のときは
(C(30,5)/C(31,5))^7
したがって求める確率をpとすると
P=(C(5,5)/C(31,5))^7 + (C(6,5)/C(31,5))^7 + ... + (C(30,5)/C(31,5))^7
=1/C(31,5)^7 * ( C(5,5)^7 + C(6,5)~7 + ... + C(30,5)^7 )

考え違いしていたらご指摘願います


Re: 確率の問題です
名前:IT    日付:2017/5/15(月) 17:44
1〜6ラウンドで出た異なる数字の個数がn個数になる確率を(漸化式などで)求める必要があると思います。

kラウンド目が終わった後の 7ラウンド目の5個と同じ数字の個数が0〜5の場合の確率について漸化式で求める
方法もあると思いますが、いずれも結構面倒そうですね。

kラウンド目が終わった後の異なる数字の個数nの期待値を使う方法も考えましたが分布が分からなければ期待値だけではダメなようです。

(untitled) 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/5/14(日) 21:6
整式P(x)を(xー1)^3で割った余りが2x^2+3x+4であり、(x+1)で割った余りが7であるとき、P(x)を(xー1)^2(x+1)で割った余りを求めよ。

余りをどのようにおくとうまくいくのか分かりませんん。よろしくお願いいたします。



Re: (untitled)
名前:noname    日付:2017/5/14(日) 21:39
>整式P(x)を(xー1)^3で割った余りが2x^2+3x+4であり

この条件より,ある多項式Q(x)を使ってP(x)=Q(x)(x-1)^3+(2x^2+3x+4)(…@)の様に表すことが出来ます.一方,

>(x+1)で割った余りが7である

という条件と剰余の定理より

7=P(-1)=Q(-1)・(-8)+(2-3+4).
∴Q(-1)=-1/2.

よって,ある多項式R(x)を使ってQ(x)=R(x)(x+1)-1/2(…A)と表すことが出来ます.この時に@,Aを用いると,

P(x)
={R(x)(x+1)-1/2}(x-1)^3+(2x^2+3x+4)
=R(x)(x+1)(x-1)^3-1/2・(x-1)^3+(2x^2+3x+4)
=R(x)(x+1)(x-1)^3-1/2・(x-1)^2{(x+1)-2}+(2x^2+3x+4)
={R(x)(x-1)-1/2}(x+1)(x-1)^2+(x-1)^2+(2x^2+3x+4)

が成立します.ところで,多項式を3次式で割った時の余りの次数は2次以下であり,余りはただ一つであるから,P(x)を(x-1)^2(x+1)で割った時の余りは(x-1)^2+(2x^2+3x+4)となります.細かな点に関しては一度ご自身でお考えください.


Re: (untitled)
名前:ハロー    日付:2017/5/14(日) 22:40
書いていただいたところは理解できました。ただ、今までやってきた剰余の定理の問題と解き方に違いがあるので、途中の式変形が自分ひとりでは出来ませんでした。復習しておきます。
 どうも、ありがとうございました。

式展開です 返信  引用 
名前:km    日付:2017/5/14(日) 20:39
10000-2x=3x
について、xの答えを出すまでの詳しい式を教えていただけませんか?



Re: 式展開です
名前:noname    日付:2017/5/14(日) 20:55
解き方の手順の例を以下に与えておきますので,この手順を参考にして一度お考えください.

[解き方の手順]
@等式の左辺にある'-2x'を右辺に移項する.
Aその次に,右辺を計算する.
B最後に,右辺のxの式の係数で両辺を割ると,'"数字"=x'の形が得られる.
C得られた等式をひっくり返して'x="数字"'の形にすれば,xの値が求められたことになる.
(Cの作業は本質的には意味がありませんが,念の為に書いておきました)

複素数平面 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/5/14(日) 16:37
複素数平面上で、O(0)、A(1+i)とする。点Zを直線OAに関して
対称移動した点をwとするとき、wをZで表せ

 模範解答を見たら、zの共役複素数が x 軸対象だから、その共役
複素数を90度回転させればいいとなっていました。とても思いつき
そうにない解き方でした。z=a+bi のような普通の置き方で解くこと
は出来ないでしょうか。



Re: 複素数平面
名前:WIZ    日付:2017/5/14(日) 18:0
xy座標で、xを実軸、yを虚軸とすれば、直線OAはy = xというグラフになります。
点Z(a, b)を通り、y = xに垂直な直線は、y-b = -(x-a) です。
y = x と y-b = -(x-a) の交点Pは、P((a+b)/2, (a+b)/2)となります。
線分ZPの長さは、√{((a-(a+b)/2)^2+(b-(a+b)/2)^2} = √{2((a-b)^2)/4} = |a-b|/√2 です。

直線ZP上にあり、Pからの距離が|a-b|/√2である点をW(u, v)とすると、
√{(u-(a+b)/2)^2+(v-(a+b)/2)^2} = |a-b|/√2
⇒ (u-(a+b)/2)^2+(v-(a+b)/2)^2 = ((a-b)^2)/2
⇒ {u^2-u(a+b)+((a+b)^2)/4}+{v^2-v(a+b)+((a+b)^2)/4} = ((a-b)^2)/2
⇒ u^2+v^2-(u+v)(a+b)+ab = -a
⇒ u^2+v^2-(u+v)(a+b)+2ab = 0
⇒ {u^2-(a+b)u+ab}+{v^2-(a+b)v+ab} = 0
⇒ (u-a)(u-b)+(v-a)(v-b) = 0

W(u, v)は直線ZP上にあるので、v-b = -(u-a)です。
よって、(u-a)(u-b)+(b-(u-a)-a)(-(u-a)) = 0
⇒ (u-a){(u-b)-(b-u)} = 0
⇒ 2(u-a)(u-b) = 0

Zが直線OA上になければ、WとZは異なるx座標を持つと思われるので、u = bとなります。
これから、v = b-(u-a) = b-(b-a) = a となります。
以上からW(b, a)となり、Z = a+biなら、W = b+aiです。


Re: 複素数平面
名前:ハロー    日付:2017/5/14(日) 18:7
ありがとうございます。でも、私にはこの代数的な解き方も無理かも。
これを、x軸とy軸を逆にした逆関数のように考えて、a+bi と b+ai
のように本番で書いたら得点にならないでしょうか。


Re: 複素数平面
名前:IT    日付:2017/5/14(日) 19:24
複素平面上に点z(a+bi)、直線OA を描いて
点zを直線OAに関して対称移動した点をw(x+yi)としたとき
x=b,y=a になることを
三角形の合同などを使ってきちんと図上で示せば良いと思います。


Re: 複素数平面
名前:noname    日付:2017/5/14(日) 21:10
>模範解答を見たら、zの共役複素数が x 軸対象だから、その共役
>複素数を90度回転させればいいとなっていました。とても思いつき
>そうにない解き方でした。



「回転の考え方を使いたくない」というわけでなければ,次の様に考えてみては如何でしょうか:

[考え方]
そのまま考えようとすると解きづらいため,一先ず,直線OAと点Z,Wの3つを複素平面の原点を中心に45度の角度で時計回りに回転させる.すると,

・直線OAは実軸に移る.
・点Zは,複素数z(cos(-45°)+i・sin(-45°))に対応する点に移る(この点をZ'とする).
・点Wは,複素数w(cos(-45°)+i・sin(-45°))に対応する点に移る(この点をW'とする).

ということが言える.この時,W'はZ'の実軸に関して対称な点であるから,

w(cos(-45°)+i・sin(-45°))
=conj(z(cos(-45°)+i・sin(-45°)))
=conj(z)・conj(cos(-45°)+i・sin(-45°))
=conj(z)・(cos(45°)+i・sin(45°)).
∴w=conj(z)・(cos(45°)+i・sin(45°))(cos(45°)+i・sin(45°))=conj(z)・(cos(90°)+i・sin(90°)).

ここで,複素数xに対してconj(x)とはxの共役複素数のことである.この時,z=a+ib(a,bは実数)と表しておくと,

w=(a-ib)(cos(90°)+i・sin(90°))=(a-ib)i=b+ia.
________________________________________________________________________________

※この考え方は模範解答の考え方と本質的には変わりませんが,考え方の切り口が「対称軸の直線を実軸に移して簡単な場合にしてから問題を考えてみる」ということですから,模範解答よりは使いやすいかもしれません.


Re: 複素数平面
名前:ハロー    日付:2017/5/14(日) 21:11
分かりました。親切にありがとうございました。


Re: 複素数平面
名前:ハロー    日付:2017/5/14(日) 21:17
一度に頭に入りそうにないので、プリントアウトして後から考えさせてもらいます。途中の式まで親切にありがとうございました。

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