関数f(x)は等式
∫[0,x]tf(x-t)dt=sinx+kx
を満たす。この左辺を、x-t=uとおいて、uに関する積分に置き換え、
次に両辺をxで２回微分して、f(x)と定数kの値を求めなさい。
という問題が分かりません。
積分が苦手です。教えてください。
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Re: 積分が分かりません |
| 名前：WIZ 日付：2017/6/15(木) 11:33 |
tf(x-t)においてu = x-tとおくと、(x-u)f(u)です。
題意の定積分においてxは積分範囲を表す定数に過ぎませんから、
du = -dt, uの積分範囲は[x, 0]となりますので、定積分は
∫[0, x]{tf(x-t)}dt
= ∫[x, 0]{(x-u)f(u)}(-du)
= ∫[0, x]{(x-u)f(u)}du
= x∫[0, x]{f(u)}du-∫[0, x]{uf(u)}du・・・・・(1)
f(u)の原始関数をF(u)、uf(u)の原始関数をG(u)とおくと、
x∫[0, x]{f(u)}du-∫[0, x]{uf(u)}du
= x{F(x)-F(0)}-{G(x)-G(0)}
以上から、
x{F(x)-F(0)}-{G(x)-G(0)} = sin(x)+kx
となります。
上記の両辺をxで微分すると、
F(x)-F(0)+xF'(x)-G'(x) = cos(x)+k
⇒ F(x)-F(0)+xf(x)-xf(x) = cos(x)+k
⇒ F(x)-F(0) = cos(x)+k
もう一度の両辺をxで微分すると、
F'(x) = -sin(x)
⇒ f(x) = -sin(x)
上記を(1)に代入すると、
x∫[0, x]{f(u)}du-∫[0, x]{uf(u)}du
= x∫[0, x]{-sin(u)}du-∫[0, x]{u(-sin(u))}du
= x[cos(u)]_[0, x]+∫[0, x]{u*sin(u)}du
= x(cos(x)-1)+[u*(-cos(u))]_[0, x]-∫[0, x]{-cos(u)}du
= x(cos(x)-1)-x(cos(x))-∫[0, x]{-cos(u)}du
= x+[sin(u)]_[0, x]
= x+sin(x)
上記がsin(x)+kxに等しいので、k = 1となります。
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