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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂点を通る の 逆 返信  引用 
名前:マカロン    日付:2019/4/29(月) 16:59
二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂点を通る、の逆つまり、

三角形の2つの頂点を結ぶ辺の垂直二等分線が,その三角形のもう1つの頂点を通るとき,その三角形は二等辺三角形であり,頂角が垂直二等分線により二等分されている。

これを証明することってできますか。どなたかお願いします。



Re: 二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂点を通る の 逆
名前:通りすがり    日付:2019/4/29(月) 17:29
△ABCにおいて辺BCの中点をMとします。
今、点Mを通る辺BCの垂線、つまり辺BCの垂直二等分線
が点Aを通るとすると、
△ABM≡△ACM
よって
AB=CA
となります。


Re: 二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂点を通る の 逆
名前:通りすがり    日付:2019/4/29(月) 17:31
もちろん
△ABM≡△ACM
から
∠BAM=∠CAM
ともなります。


Re: 二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂点を通る の 逆
名前:マカロン    日付:2019/4/29(月) 18:4
ありがとうございます。

返信  引用 
名前:KJ    日付:2019/4/28(日) 21:31
!(階乗)について質問です。
!の定義はなんなのでしょうか?
自分が調べたところ
*数学において非負整数 n の階乗n! は、1 から n までのすべての整数の積である。*
と言うものが出てきましたが、
これでは0! について説明がつきません。
じぶんはいまΣ[k=0~n]k! と言う式を答案に書こうと思い気になって質問したのですが、これは正しいのでしょうか?(0!=1だと言うことは機械式に覚えているだけです)



Re: !
名前:関数電卓    日付:2019/4/28(日) 22:13
 0!=1
は定義です。他から導かれるものではありません。
 

3次方程式の解の範囲 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/4/27(土) 22:1
【問題】
f(x)=x^3-3xについて,次の問いに答えよ。
(1)xの方程式f(x)=a(aは正の定数)が異なる3つの実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)(1)の条件下で,異なる3つの実数解をα,β,γ(α<β<γ)とすると,|α|+|β|+|γ|の取りうる値の範囲を求めよ。

【解答】
(1)は単純にf(x)のグラフを描くと,x=-1で極大値2,x=1で極小値-2をとるような形をしているので,0<a<2(∵aは正の定数)とわかったのですが,(2)の考え方がわかりません。
ご教授をお願いします。ちなみに答えは 2√3<|α|+|β|+|γ|<4 です。



Re: 3次方程式の解の範囲
名前:IT    日付:2019/4/27(土) 23:0
aの値で場合分けして α、β、γ の正負を考え|α|+|β|+|γ|を計算すればいいです。
βの正負がポイントになります。


グラフで考えると分かりやすいです。


Re: 3次方程式の解の範囲
名前:通りすがり    日付:2019/4/27(土) 23:2
条件からα、β、γはxの三次方程式
x^3-3x=a
の解ゆえ、三次方程式の解と係数の関係から
α+β+γ=0 (A)
一方、
S=|α|+|β|+|γ|
と置くと、y=x^3-3xとy=aのグラフを考えることにより
α<β<0<γ
∴S=-α-β+γ
=-(α+β)+γ (B)
(A)(B)から
S=2γ
後はγの取り得る値の範囲を
y=x^3-3xとy=aのグラフの
位置関係から求めます。


Re: 3次方程式の解の範囲
名前:IT    日付:2019/4/27(土) 23:6
aは正で 0<a<2 なので aの値での場合分けは必要ないですね。


Re: 3次方程式の解の範囲
名前:Haru    日付:2019/4/29(月) 12:40
ITさん>
ラフを用いると確かに,α,β,γの符号がすっきりとわかりました!

通りすがりさん>
わかりやすい解法をありがとうございます!解き方自体は問題ないのですが,考え方の部分で1つ質問があります。
α<β<0<γ の関係から |α|+|β|+|γ| = -α-β+γ と変形するところまでは考えつきそうなのですが,ここから,3次方程式の解と係数の関係を用いて -α-β = γ を用いようと思った理由などはありますか?
存在自体は知っているのですが,3次方程式の解と係数の関係をあまり使ったことがないため,どのような場面で活用していけばいいのかが不明確で,実際に他の類似問題でも考えつくかが心配なため,典型的な使用場面があれば教えていただければ幸いです。


Re: 3次方程式の解の範囲
名前:通りすがり    日付:2019/4/29(月) 14:25
二次方程式の解と係数の関係を使うときの考え方と同じです。

問題となっている
|α|+|β|+|γ|
はα、β、γについての対称式ですよね?
そこから三次方程式の解と係数の関係を
使ってはどうか?ということです。

比例式 返信  引用 
名前:Plon    日付:2019/4/26(金) 18:22
問題
b+c/a=c+a/b=a+b/c=k
a+b+c=0の時のkの値

式変形で(k+2)(a+b+c)=0に変形した後にa+b+c=0を代入し
k=すべての実数と答えたのですがK=−1という答えでした。
a+b+cに代入してはいけない理由がわかりません
よろしくお願いします



Re: 比例式
名前:通りすがり    日付:2019/4/26(金) 18:52
代入していけないのではありません。

確かに
(k+2)(a+b+c)=0
から
a+b+c=0 (A)
のときkは任意の実数に取れますが、一方で
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=k (B)
と(A)より
k=-1
という値が求められます。
((∵)
(A)より
a+b=-c
これを(B)の第三辺に代入します。)

よって
kの値は
任意の実数 かつ -1
ということで
k=-1
となります。


Re: 比例式
名前:IT    日付:2019/4/27(土) 7:51
(少し別の説明)

(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=k …(ア)
かつ
a+b+c=0 …(イ)

ですよね? ※カッコは適切に付けてください。

(ア)より、 abc≠0 かつ b+c=ak…@ かつc+a=bk…A かつ a+b=ck…B

@+A+B を整理すると (k-2)(a+b+c)=0 よって k-2=0 または a+b+c=0

これと(イ)より、a+b+c=0 ※ これは必要条件です。(十分条件かどうかは不明です)
また、実はここまでで、新しいことは導出できていません。

>後にa+b+c=0を代入し
どこにa+b+c=0を代入したのですか?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
下記のように考えると分かり易いかも

(イ)⇔b+c=-a、(イ)⇔c+a=-b、(イ)⇔ a+b=-c 
これらを(ア)に代入 -a/a=-b/b=-c/c=k ⇒ k=-1


Re: 比例式
名前:IT    日付:2019/4/27(土) 14:52
> また、実はここまでで、新しいことは導出できていません。
「新しいこと」というのは、あいまいな表現でしたね。
この文は無視してください。

極限の問題 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/4/24(水) 23:29
【問題】
3次関数:f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0が lim[x→1]{f(x)/(x^2-1)}=4,lim[x→-1]{f(x)/(x^2-1)}=2 を満たす時,定数a,b,c,dの値は?

【考え】
「分母の極限が0」⇒「分子の極限が0」を用いると,
lim[x→1]{f(x)} = f(1) = a+b+c+d = 0 −@
lim[x→-1]{f(x)} = f(-1) = -a+b-c+d = 0 −A
が導出できる。
a,b,c,dを導出するには,あと2つの関係式が必要になると思いますが,それらの式はどのようにして用意すればよいですか?
極限値がそれぞれ"4"と"2"とでているので,これらを使用するのだろうというのは予想しているのですが,ご教授いただけると幸いです。



Re: 極限の問題
名前:ast    日付:2019/4/25(木) 0:25
@およびAは f(x) がそれぞれ x-1 および x+1 で割り切れることを示している(因数定理)のだから, 実際にそれぞれ割り算して f(x)/(x^2-1) をそれぞれ x-1 および x+1 で約分すれば,
# あるいはロピタルの定理を使ってもいいが
それぞれの極限は x=1 および x=-1 を代入すれば求まる形になるので, それをそれぞれ 4 および 2 と等しいとしたものが残りの2式.


Re: 極限の問題
名前:Haru    日付:2019/4/27(土) 8:47
"因数定理を用いた方法"と"ロピタルの定理を用いた方法"の2通りも教えていただきありがとうございます!
どちらの方法でも解いてみましたが,ロピタルの定理を使って,4式からゴリゴリ解いていくのが性に合っていそうなのでこれから使わせていただきます。


Re: 極限の問題
名前:ast    日付:2019/4/27(土) 12:17
蛇足だとは思いますが, 実際に割ってもロピタルでも代入して得られる式は同一です.
# 例えば ax^3+bx^2+cx+d = (x-1)(ax^2+(a+b)x+(a+b+c)) +(a+b+c+d) なので
# f(x)/(x^2-1) = (ax^2+(a+b)x+(a+b+c))/(x+1),
# x=1 を代入して (3a+2b+c)/2 (これが = 4)
## ロピタルでは (3ax^2+2bx+c)/(2x) に x=1 を代入して (3a+2b+c)/2
## を得るので確かに同じ条件式が得られています.
# x=-1 のほうも
# ax^3+bx^2+cx+d = (x+1)(ax^2+(-a+b)x+(a-b+c)) + (-a+b-c+d)
# から以下同様.

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