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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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極限 返信  引用 
名前:数学太郎    日付:2018/8/1(水) 22:48

lim∫[√π→x ]{(x²+√πt)e^t²/(x³-√πx²+πx-π√π)t²logt}dt
x→√π
この問題をどなたか高校数学の範疇で解法と答えを教えて頂けないでしょうか?



Re: 極限
名前:del    日付:2018/8/2(木) 20:10
a=√π とします。
lim[x→a]∫[a→x]{(x²+at)e^t²/(x³-ax²+a²x-a³)t²logt}dt

(x³-ax²+a²x-a³)=(x-a)(x²+a²)より
lim[x→a]∫[a→x]{(x²+at)e^t²/(x³-ax²+a²x-a³)t²logt}dt
=lim[x→a]∫[a→x]{(x²+at)e^t²/(x-a)(x²+a²)t²logt}dt
=lim[x→a]∫[a→x]{f(t)/(x-a)g(t)}dt
=lim[x→a]∫[x→a]{f(t)/(a-x)g(t)}dt
(f(t)=(x²+at)e^t²,g(t)=(x²+a²)t²logt)
ここで I=∫[a→x]{f(t)/(x-a)g(t)}dtとすると

このとき、
x>aならば、a<t<xなるtに対して
0<f(a)<f(t)<f(x),0<g(a)<g(t)<g(x)より
f(a)/(x-a)g(x)<f(t)/(x-a)g(t)<f(x)/(x-a)g(a)
よって
f(a)/g(x)<I<f(x)/g(a)

x<aならば、x<t<aなるtに対して
0<f(x)<f(t)<f(a),0<g(x)<g(t)<g(a)より
f(a)/(a-x)g(x)<f(t)/(a-x)g(t)<f(x)/(x-a)g(a)
よって
f(a)/g(x)<I<f(x)/g(a)

以上よりf(a)/g(x)<I<f(x)/g(a)
lim[x→a]f(a)/g(x)=lim[x→a]f(x)/g(a)=f(a)/g(a)
はさみうちの原理よりlim[x→a]I=f(a)/g(a)

細かい補完は自身でお願いいたします。


Re: 極限
名前:del    日付:2018/8/2(木) 20:13
細かいですが関数はf(t),g(t)ではなくf(t,x),g(t,x)と置くべきでしたね。


Re: 極限
名前:数学太郎    日付:2018/8/3(金) 19:7
2問とも分かりやすく説明して頂きありがとうございますm(*_ _)m

(untitled) 返信  引用 
名前:高3女子    日付:2018/8/1(水) 14:28
ITさんastさんありがとうございました。
数学の補習授業が金曜日にあるのでそれまでに
課題のレポートがまとめられます。
今後もご指導ください。

(untitled) 返信  引用 
名前:まお    日付:2018/8/1(水) 13:46
-sin(x+y) を微分すると、-cos(x+y)になるのはなぜでしょうか?
合成関数の微分を使うと思っていました。

参考サイト→https://mathtrain.jp/composite
の三角関数などの例題を参考にしました



Re: (untitled)
名前:LCR    日付:2018/8/2(木) 9:16

質問者さんは専門の微積ではなく高校数学でしょうか。
高校の特に数Uでは意識しないでしょうが、

z = sin(x+y) を微分すると言っても、xで微分するかyで微分するかで意味が違います。
 (この関数では微分した結果は同じ cos(x+y) になりますが)

zをxでびぶんした結果を dz/dx = (d/dx) sin(x+y) と書きます。
合成関数による計算方法は、
 t = x+y で置き換えれば、z = sin(x+y) = sin t
 yを定数と考えて tをxで微分すると dt/dx = (d/dx) (x+y) = 1
 zをtで微分すると dz/d/t = (d/dt) sin t = cos t
dz/dx = (dz/dt) (dt/dx) = (cos t)×1 = cos t = cos(x+y)   (答)

x+y がxの1次関数で係数が1なので、結果的に sin を微分した cos そのままになります。

z = sin(x+y) をyで微分したときも、
 xを定数と考えて、x+y はyの1次関数なので、
 dz/dy = (d/dy) sin(x+y) = cos(x+y) となります。
慣れればこの最後の1行の説明で十分。


Re: (untitled)
名前:LCR    日付:2018/8/2(木) 9:36
ちょっと読み間違いしました。
sin(x+y) ではなく −sin(x+y) でした。
でも、sin(x+y) をxで微分してもyで微分しても cos(x+y) となる解説はしましたから、
−sin(x−y) をxで微分してもyで微分しても −cos(x+y) になることは難しくないでしょう。

二次関数 返信  引用 
名前:よこあき    日付:2018/8/1(水) 9:0
a,bは定数で、a≠0とする。xの2次不等式a^2x^2-6ax+b<0の解が存在するようなbの範囲を求めよ。
という問題がわかりません。お願いします。
答えb<9



Re: 二次関数
名前:ヨッシー    日付:2018/8/1(水) 10:13
y=a^2x^2-6ax+b のグラフは、下に凸なので、このグラフが、
x軸と2点で交われば、y<0 の部分をグラフが通って、解(不等式を
満たすxの範囲)が存在します。

判別式を作ったら、両辺 a^2 で割りましょう。

a^2>0 なので、割ることが出来ます。
http://yosshy.sansu.org/


Re: 二次関数
名前:よこあき    日付:2018/8/1(水) 12:45
解が存在すということなので重解かもしれないということにより、D≧0ではだめなのでしょうか?そうすると答えがb≦9になりますが。


Re: 二次関数
名前:IT    日付:2018/8/1(水) 18:44
問題をよく読んでみましょう。
不等式a^2x^2-6ax+b<0の解 です。a^2x^2-6ax+b=0の解ではありません。
グラフを描いてみるのも大切です。

(untitled) 返信  引用 
名前:複素積分    日付:2018/7/31(火) 16:50
aを非負の整数,bを正の整数としたとき
lim[x→0]x^(-a)exp(-1/x^(2b))=0
を示したいのですが、どうすればよろしいですか

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