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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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代数学 返信  引用 
名前:けん    日付:2019/1/7(月) 19:2
関係Rを
aRb := n|(a-b)
つまり、a-bはnで割り切れると定義する。
この時Rが同値関係であることを示せ。

という問題がわかりません。
解答お願いします。



Re: 代数学
名前:s    日付:2019/1/7(月) 21:58
反射律、対称律、推移律のどれがわからないですか。

代数学について 返信  引用 
名前:けん    日付:2019/1/7(月) 9:56
 N,HをGの正規部分群とすると、
 NHもGの正規部分群になることを示せ

この問題が分かりません。解答お願いします。



Re: 代数学について
名前:s    日付:2019/1/7(月) 10:45
gnhg^-1 = (gng^-1)(ghg^-1) ∈ NH
ですね

(untitled) 返信  引用 
名前:もんぶらん    日付:2019/1/7(月) 6:12
続きです。お願いします。

x=√3-√5/√3+√5のとき、x+1/x,x³+1/x³ の値を求めよ。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 7:4
x,1/xの値を分母を有理化して求めた上で
x+1/x
の値を先に求めておきましょう。


Re: (untitled)
名前:えら    日付:2019/1/7(月) 19:59
ついでに x^n + 1/x^n(n∈{1,3,5,7,9,11,13,15}
は{-8,-488,-30248,-1874888,-116212808,-7203319208,-446489578088,-27675150522248}

(untitled) 返信  引用 
名前:もんぶらん    日付:2019/1/7(月) 6:9
x=1/1+√2,y=1/1-√2のとき、
@x+y Axy Bx²+y² Cx³+y³

簡単だと言われましたが、解き方がわかりません。
そのまま計算したら変な解答になってしまいました…



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 6:47
x,yのいずれも分母を有理化した上で
もう一度計算してみましょう。
尚、BCは@Aの結果を使った方が簡単です。


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 7:2
もう少しヒントを。
BCは@Aの結果が代入できるように
式の形を変形した方がが簡単です。

(untitled) 返信  引用 
名前:サボてん    日付:2019/1/7(月) 5:48
次の方程式、不等式の解き方を教えてください。お願いします。
⇓ ⇓ ⇓

@(1/9)^x=3 A(1/5)^x≦1/125

B5^(2x+1)+4・5^x-1=0 C4^x+2^x-20>0



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 18:48
@
問題の方程式から
log[3]{(1/9)^x}=log[3]3
これより
-2x=1
∴x=-1/2

A
問題の不等式の両辺の5を底とする対数を取ると
log[5]{(1/5)^x}≦log[5](1/125)
これより
-x≦-3
∴3≦x

B
5^x=tと置くと問題の方程式は
5t^2+4t-1=0
これより
(5t-1)(t+1)=0
t>0に注意すると
t=1/5
tを元に戻して
5^x=1/5
∴x=log[5](1/5)
となるので
x=-1

C
2^x=tと置くと問題の不等式は
t^2+t-20>0
(t+5)(t-4)>0
t>0に注意すると
0<t<4
tを元に戻して
0<2^x<4
∴x<log[2]4
となるので
x<2


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2019/1/7(月) 18:56
@(1/9)^x=3
(3^(-2))^x=3,3^(-2x)=3,∴-2x=1∴x=-1/2

A(1/5)^x≦1/125
(5^(-1))^x≦5^(-3)
5^(-x)≦5^(-3),∴-x≦-3 ∴x≧3

B5^(2x+1)+4・5^x-1=0
t=5^x とおくとt>0、5t^2+4t-1=0 ∴t=1/5 ∴x=-1

C4^x+2^x-20>0
t=2^x とおくとt>0,t^2+t-20>0、
∴t>4 ∴x>2


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 19:3
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>サボてんさんへ
ごめんなさい。
CはITさんの解で正解です。

3次方程式 返信  引用 
名前:しょこらん    日付:2019/1/7(月) 5:41
どなたか解いてください
お願いします。

@x³-5x+4=0
Ax³+5x+6=0
Bx³-4x²+9x-10=0
C2x³-x²-12x-9=0



Re: 3次方程式
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 18:39
いずれも定数項の適当な因数を問題の方程式に代入する試行をして
解の一つを特定した上で、因数定理を使います。
@だけ解きますので参考にして残りはご自分でどうぞ。

@
問題の方程式は
x=1
を解に持ちますので、
問題の方程式の左辺をf(x)とすると
因数定理により、f(x)は
x-1
を因数に持ちます。
そこでf(x)÷(x-1)を実際に実行することにより
f(x)=(x-1)(x^2+x-4)
∴問題の方程式の解は
x=1,(-1±√17)/2

A
問題の方程式は
x=-1
を解に持ちますので…

B
問題の方程式は
x=2
を解に持ちますので…

C
問題の方程式は
x=-1
を解に持ちますので…

これも教えてください 返信  引用 
名前:明日から学校マン    日付:2019/1/7(月) 5:37
・0≦Θ<2πのとき、

@2sin²Θ+cosΘ-2=0 A2cos²Θ≦3sinΘ


・0≦Θ<2πのとき、

@√2sinΘ+1≧0 A2cosΘ-√3<0 BtanΘ+1≧0



Re: これも教えてください
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 19:15
いずれの問題も、このスレの下のスレで質問されている問題が
解けることが前提で取り組むべき問題です。

スレの下のスレで質問されている問題を解いた上で
もう一度考えてみましょう。


とはいっても、何もヒントがないのはどうかと思いますので
ヒントだけ。

上段@
cosθ=tと置きましょう。
このとき、公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
により
(sinθ)^2=1-t^2
となり、問題の方程式はtの二次方程式となります。

上段A
sinθ=tと置きましょう。
このとき、公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
により
(cosθ)^2=1-t^2
となり、問題の方程式はtの二次方程式となります。

注)
上段の問題については
公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
を使うことで
高次数となっている
異なる三角関数も同じ変数に
置き換えることができる
という考えがミソです。


下段@AB
これも不等式に使われている三角関数をtと置いて
tの不等式として解きましょう。

どうやって解きますか? 返信  引用 
名前:明日から学校マン    日付:2019/1/7(月) 5:31
0≦Θ<2のとき、
@sinΘ= -√3/2 AcosΘ=1/√2

BtanΘ= -1 CsinΘ>1/2

DcosΘ≧ -1/2 EtanΘ≦ -1/√3



Re: どうやって解きますか?
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 19:4
教科書で単位円と三角関数の関係を復習しましょう。

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