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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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2次方程式の問題です。 返信  引用 
名前:せーん    日付:2017/6/14(水) 19:30
文章題で質問があります。
あるリーグ戦で、n人の選手が他のすべての選手と一回ずつ試合をする。勝者、敗者はそれぞれ1点、0点、引き分けは両者に0.5点が与えられる。
全ての試合が終わったとき、総得点が低い10人を「ワースト10」と呼ぶ。
するとn人全員が、得点のうち半分は「ワースト10」から獲得した点で、
特に「ワースト10」の選手は、その総得点の半分は「ワースト10」の他の9人から獲得したものであった。nの値を求めよ。
答えはn=25なのですが、方程式を組み立てることができません。方程式を詳しく教えていただければ幸いです。



Re: 2次方程式の問題です。
名前:IT    日付:2017/6/14(水) 22:46
ワースト10をA(グループ)、それ以外をB(グループ)と書く。
AがBに与えた得点の合計をx、BがAに与えた得点の合計をyとおく。
x+y=10(n-10)…(1)
A同志の得点の合計は(10×9)/2=45
Aの総得点=45+y
A同志の得点の合計=45はAの総得点の半分なので
y=45
(1)に代入し,x=10(n-10)-45…(2)

全得点はn(n-1)/2
この半分はn(n-1)/4=x+45…(3)
(2)を代入し整理 n^2-41n+400=0…(4)
(n-25)(n-16)=0

n=16 が不適であることをAがワースト10であることなどから示すのだと思います。


Re: 2次方程式の問題です。
名前:IT    日付:2017/6/14(水) 23:1
Aの総得点=45×2=90 点 なのでAの平均点は9点である。
よって全体の平均点は9点以上。
よってnは9×2=18 以上。


Re: 2次方程式の問題です。
名前:黄桃    日付:2017/6/14(水) 23:23
n=25の時に実際に条件を満たす場合があることも示さないといけないですね。
上位15チーム同士、下位10チーム同士はすべて引分け、上位15チームの下位10チームに対する星取表(o勝ち, x負け,- 引分け)が
ooox-ooox-
-ooox-ooox
x-ooox-ooo
ox-ooox-oo
oox-ooox-o
ooox-ooox-
-ooox-ooox
x-ooox-ooo
ox-ooox-oo
oox-ooox-o
ooox-ooox-
-ooox-ooox
x-ooox-ooo
ox-ooox-oo
oox-ooox-o
であれば条件を満たすので、確かにn=25は解です。


Re: 2次方程式の問題です。
名前:IT    日付:2017/6/15(木) 0:41
「よってnは9×2=18 以上。」 でも結果的には間違いではないですが

全体の平均点={n(n-1)/2}/n ≧9 より n-1≧18 ですね。

(untitled) 返信  引用 
名前:未熟Dreamer    日付:2017/6/14(水) 11:14
領域の最小値の問題でx^2+y^2が3x+y-6と接するとき接点はy=1/3xの交点となると書いてあるのですがなぜそうなるのか分かりません。どうやれば1/3xという数が出てくるのでしょうか? 
どなたかお教えください。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/6/14(水) 19:28
>>y=1/3x
は接点における問題の円の法線の方程式です。

まず原点中心の円の法線(接線ではなくて)が
必ず原点を通ることはよろしいですか?
ここで接線の方程式である
3x+y-6=0
の傾きは-3ですので法線の傾きをaとすると
-3a=-1
∴a=1/3
よって法線の方程式は
y=(1/3)x
となります。

数V「定積分の問題です 返信  引用 
名前:Angela    日付:2017/6/14(水) 9:57
f(x)=x^2+1+2∫(1,x)tf(t)dtを満たすようなf(x)を求めなさい。
という問題が分かりません。どうかわかりやすく教えてください。



Re: 数V「定積分の問題です
名前:WIZ    日付:2017/6/14(水) 11:18
tf(t)の原始関数をG(t)とおくと、∫[1, x]{tf(t)}dt = G(x)-G(1)です。
よって、f'(x) = {x^2+1+2(G(x)-G(1))}' = 2x+2G'(x) = 2x+2(xf(x))です。

y = f(x)とおくと、
y' = 2x(1+y)
⇒ y'/(1+y) = 2x
⇒ log(1+y) = x^2+C (Cは積分定数)
⇒ 1+y = e^(x^2+C) = A(e^(x^2)) (A = e^Cは定数)
⇒ y = A(e^(x^2))-1

検算すると
∫[1, x]{tf(t)}dt
= ∫[1, x]{t(A(e^(t^2))-1)}dt
= [(A/2)(e^(t^2))-(t^2)/2]_[1, x]
= (A/2)(e^(x^2))-(x^2)/2-Ae/2+1/2

よって、
f(x) = x^2+1+2{(A/2)(e^(x^2))-(x^2)/2-Ae/2+1/2} = A(e^(x^2))-Ae
なので、Ae = 1であることが必要です。

以上から、f(x) = (e^(x^2-1))-1となります。


Re: 数V「定積分の問題です
名前:WIZ    日付:2017/6/14(水) 12:5
間違いがありましたの訂正します。

【誤】
f(x) = x^2+1+2{(A/2)(e^(x^2))-(x^2)/2-Ae/2+1/2} = A(e^(x^2))-Ae
なので、Ae = 1であることが必要です。

以上から、f(x) = (e^(x^2-1))-1となります。

【正】
f(x) = x^2+1+2{(A/2)(e^(x^2))-(x^2)/2-Ae/2+1/2} = A(e^(x^2))+2-Ae
かつ
f(x) = A(e^(x^2))-1
なので、Ae = -3、つまりA = -3/eであることが必要です。

以上から、f(x) = -3(e^(x^2-1))-1となります。

# ちなみにlogは自然対数関数、eは自然対数の底とします。

申し訳ありませんでした。


Re: 数V「定積分の問題です
名前:WIZ    日付:2017/6/14(水) 12:48
更に間違いがありましたの再度訂正します。

【誤】
なので、Ae = -3、つまりA = -3/eであることが必要です。

以上から、f(x) = -3(e^(x^2-1))-1となります。

【正】
なので、Ae = 3、つまりA = 3/eであることが必要です。

以上から、f(x) = 3(e^(x^2-1))-1となります。

申し訳ございません。


Re: 数V「定積分の問題です
名前:Angela    日付:2017/6/14(水) 15:10
丁寧な回答有り難うございました。
感謝します。
           高2女子

(untitled) 返信  引用 
名前:そら    日付:2017/6/14(水) 0:4
質問です

問題
Rを可換環、MをR加群とするとき、次の条件は同値であることを証明せよ
1 Mが有限生成
2 ある自然数Nに対して、全射なR準同型R⊕・・・⊕R(N個の直和)→Mが存在する

1ならば2は証明できました。
Mの生成元を{x1,...,xk}としたとき、N=kとしてfを
f(a1,...,ak)=a1x1+・・・+akxk
と定義すればいいからです。
2ならば1を考えています。
1ならば2で構成した写像fのほかに、2を満たす写像gをとって、f=gを示せばいいと考えました。
しかし、うまく証明ができずに困っています。
どのようにすればいいのでしょうか?それとも、根本的に間違っているのでしょうか?



Re: (untitled)
名前:加賀屋    日付:2017/6/14(水) 9:48
2の全射はひとつとは限らない(実際複数ある)ので f=g を示そうとするのは悪手です

単にMを生成する有限個の元を構成すればOKです

g(1,0,0,...)
g(0,1,0,...)
g(0,0,1,...)
...

などがそうです


Re: (untitled)
名前:そら    日付:2017/6/14(水) 21:45
返信ありがとうございます

R⊕・・・⊕Rの標準基底をe1,...,enとして、
a1*f(e1)+・・・+an*f(en)=0
とおくとき、これが1次独立であること(a1=・・・=an=0であること)を示そうと思います
fは準同型なので、上の式は
f(a1*e1+・・・+an*en)=0
よってa1*e1+・・・+an*en∊kerfがわかります

このあと、係数を決定したいのですが、どのようにすればいいのでしょうか…?


Re: (untitled)
名前:加賀屋    日付:2017/6/14(水) 23:2
fは2で存在が保証された全射のひとつのことですね?(今までgと書いていたはずですが)

その場合,fは単射とは限らないので
a1*e1+・・・+an*en∊kerf
が分かったところで係数を決定することはできません

実際Nに対して2の条件を満たす全射fが存在すれば,Nより大きい全ての自然数に対してもそのような全射が作れ,単射でないような例はいくらでも作れます

そもそも,Mが有限生成であることを示す上で
>> これが1次独立であること(a1=・・・=an=0であること)を示そう
これは不要です.

(必ずしも一次独立とは限らない)有限個のMの生成元を見つければよく,それは一つ目の僕の回答で尽きています


Re: (untitled)
名前:そら    日付:2017/6/15(木) 21:23
返信ありがとうございます

fはその通りで、2で挙げていた全射です。

>(必ずしも一次独立とは限らない)有限個のMの生成元を見つければよく,それは一つ目の僕の回答で尽きています

とのことですが、それはなぜでしょうか?
つまり、f(e1),...,f(en)がMを生成することはどのように考えるのでしょうか?
生成系は準同型で生成系に移るからでしょうか・・・?


Re: (untitled)
名前:加賀屋    日付:2017/6/16(金) 10:36
>> 生成系は準同型で生成系に移るからでしょうか・・・?

全射準同型ならそうです
(全射という条件がなければ零写像を考えれば明らかなように、生成系が生成系に移るとは限りません)


(fの全射性より) Mの任意の元は f(x) (xはあるR⊕・・・⊕Rの元) と書けます
xは生成系e1,...,enを使って x = a1*e1 + … + an*en (ai∈R) と書けるのでfの準同型性より
f(x) = a1*f(e1) + … + an*f(en)
です

つまりMのどんな元を取ってきてもそれはf(e1),...,f(en)の線形結合で書けるので、f(e1),...,f(en)は生成系です


Re: (untitled)
名前:そら    日付:2017/6/18(日) 1:22
理解できました
ありがとうございます

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