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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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集合と論理のカンマの解釈について 返信  引用 
名前:N    日付:2017/10/8(日) 10:10
以下の2つの問題ではカンマが「または」、「かつ」のどちらにもなっている
ように思います。問題文の記述に「または」、「かつ」のような記載があれば
はっきりわかりますが、問題文の記述が少なく文脈からも判断しにくい時には
どうしたらよいのでしょうか。

問題1
実数全体を全体集合とし、その部分集合A、BをA={x|2≦x≦5}
B={x|x<3,7<x}とするとき、次の集合を求めよ。

(解釈)
ここでは、Bの条件の,は「または」と解釈する

問題2
次の( )に必要、十分、必要十分のうちから最も適当なものを入れよ。
(1)a>b,c<dはa-c>b-dであるための( )条件である。

(解釈)
 問題文のa>bの次にある,は「かつ」と解釈する。

以上、2問ですがカンマは「または」「かつ」のどちらにもなりますが
明確に見分けることができません。

どうぞよろしくお願いします。



Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/8(日) 17:30
問題1、2、どちらも「かつ」ですね。

集合の範囲は大体、「かつ」、です。「または」、であればその時には「Bがx<3, 7<xにある時に場合を分けよ。」みたいな指定がくると思います。ちなみに、私は集合の問題で、「場合を分けよ」という指定をみたことがないです。実際にないとおもいます。

っていうか、「,」は全て「かつ」と思っていいです。または、であれば「または」が文章中に入ると思います。

解りにくい場所があったら遠慮なくいってください。


Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:N    日付:2017/10/8(日) 18:28

返信ありがとうございます。

問題1のカンマが「かつ」であれば
x<3と7<xを同時に満たすxを考えることになり
そのようなxは存在しないため「または」と解釈する
べきではなかと思いますが・・・

よろしくお願いいたします。


Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:イプシロン    日付:2017/10/8(日) 20:24
問題1の集合Bの中にあるカンマは,
「または」と解釈すべきだと思います。

カンマを,「かつ」と解釈するか「または」と解釈するかは,
文脈から読み取るしかありません。

ある文字 a が与えられたとき,
それが定数か変数かを区別するのも,
文脈に頼らなければならないことがあります。

数学では「文脈から推測する力」が必要なのだと思います。


Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:N    日付:2017/10/8(日) 20:56
返信ありがとうございます。

やはり、文脈から判断することになりカンマは
「かつ」にも「または」にもなるんですね。

問題1の解釈はわかりましたが、問題2はカンマは一見
どちらかわかりませんでしたが、問題の条件をみてみると
必要、十分、必要十分のいずれかをいれるとあるので、
「または」とするとどちらから見ても偽となり必要にも十分
にもならないため「または」と解釈することに至りました。

ありがとうございました。


Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/9(月) 10:51
問題1のカンマが「かつ」であれば
x<3と7<xを同時に満たすxを考えることになり
そのようなxは存在しないため「または」と解釈する
べきではなかと思いますが・・・

に対してですが、問題1の後に続く問題文が省略されているため、何ともいえないですが、その問題が、AとBの被っているところを求めよ、であれば、7<xを絶対に満たす必要はなく、答えは2≦x<3

貴方は範囲を与えられば、必ず全ての範囲を満たさなければいけないと思っていませんか?その必要はなく、共通範囲なし、ということもありえますからね。

例えば、
問)A={x/1<x<2}, B={x/x<0,3<x}
があるとき、集合AとBの共通範囲を求めよ、
という問題であれば、答えは
「共通範囲なし」
です。
また、ある問題では
問)A={x/1<x<3},B={x<0,2<x}
があるとき、集合AとBの共通範囲を求めよ、
という問題であれば、答えは
「2<x<3」
です。Aは必ずしもBのx<0
の方の範囲と被る必要はない。

的外れな回答だったらスイマセン。


Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:黄桃    日付:2017/10/9(月) 14:17
崖の上の、ンッポんニョッさん
元の質問は、
カンマが「かつ」の意味なら、B={x|x<3,7<x}はなぜ{x|x<3}∩{x|7<x}ではなく{x|x<3}∪{x|7<x}の意味なのか、ということです。
それに対する答はイプシロンのいう通りです。

おっしゃるように基本的にカンマは「かつ」を意味しますが、混乱の怖れがないときは「列挙」の意味で「または」を表すことがあります。
「列挙のまたは」を意味する例としては、方程式の解 x=2,3 とか不等式の解で x<2, x>5 とかです。
集合の要素を列挙するX={1,2,3} におけるカンマもこの類と思ってもいいでしょう。

混乱の怖れがない、とは「かつ」の意味でとらえるのは明らかに不自然な場合であり、不自然かどうかは問題の数学的内容によるので問題文の記述だけから機械的に判断することはできないということです。

問題1の場合は、かつの意味なら、最初からBを空集合とするのが自然だと思われ、通常の2次不等式の解の書き方と比べても「かつ」で解釈するのは不自然と思われるので「または」と見るべきですが、それを数学的内容を無視して文章だけから説明するのは無理、ということです。

崖の上の、ンッポんニョッさんは数学的内容がすぐ理解できるので、不自然な解釈を自動的に除いているのだと思います。

#「好きにしなさい」と日本語で言われた時、本当に好きにしていい場合と好きにしてはいけない場合があります。
#どういう場合に「好きにしてはいけないのか」ということを状況抜きで機械的に判断することはできないのと同様です。


Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/9(月) 14:30
確かに黄桃さんのいった風に見れば、状況は変わりますね。

「崖の上の、ンッポんニョッさんは数学的内容がすぐ理解できるので、」
 お言葉、ありがとうございます。


Re: 集合と論理のカンマの解釈について
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/9(月) 14:39
投稿を二つに分けてしまい、すいません。

おそらく、Nさん、イプシロンさんは、「3より小さく、7より大きい数xはないから」「または」、と解釈し、

私は、「または」そのものを「二者択一」と受けとってしまい、場合分けでもしない限り「かつ」かなー?、と解釈し、

黄桃さんは列挙の意味で「または」と解釈しました。

で、いいのかな。 
全員の言い分に納得しました。

正多面体について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2017/10/8(日) 9:5
正2016角形Pがある。頂点がすべてPの頂点であるような正多角形は全部で?個ある。ただし、頂点の異なる正多角形は異なるものとする。



Re: 正多面体について。
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/9(月) 14:6
1*1+2*2+3*3+4*4+6*6+7*7+8*8+9*9+12*12+14*14+16*16+18*18+21*21+24*24+28*28+32*32+36*36+42*42+48*48+56*56+63*63+72*72+84*84+96*96+112*112+126*126+144*144+168*168+224*224+288*288+336*336+504*504+672*672=1066926

答え)1066926個

間違っている可能性アリ。

整数解 返信  引用 
名前:Z    日付:2017/10/7(土) 19:15

(2^(1/3) - 1)^x*y - 3*(2^(1/3) - 1)^(2*x) + (2^(1/3) - 1)^(3*x) - 1 = 0
       の 整数解 を 求めよ (をお願いします)



Re: 整数解
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/9(月) 14:50
存在しないと思います。

行列 返信  引用 
名前:行列    日付:2017/10/7(土) 14:8
P=XtAX

ここでXは任意の基底(tは転置)とするとき、
Pはどのような変換を意味するのですか。

直感ですが、空間をXを基底とする座標系に置き換えている気がするんですが、解説お願いします。



Re: 行列
名前:行列    日付:2017/10/7(土) 16:50
すみません、質問を変えます

P=XtAX とは、Aをどうしたいのでしょうか
PとAの関係は?
わかりにくい質問ですみません。


Re: 行列
名前:ベクトル    日付:2017/10/7(土) 18:31
質問が意味不明です

PとAの関係はご自身で書かれている通り
P = XtAX
では?

「Xは任意の基底」というのも意味不明です
たとえば「R^nをn次元ユークリッド空間,X∈R^nとする」などと数学の言葉で曖昧さ無く書いて下さい

もう一度,ご自身の中で整理して質問しないと回答のしようがないです


Re: 行列
名前:行列    日付:2017/10/8(日) 9:51
一般的な話ですみません
正方行列Aはある変換の表しますが、
では、(XtAX)はどのような変換を表すのでしょうか。
Xは任意の基底行列です。

Xはどういう幾何学操作をしてるのですか。
相似とか呼ぶそうですが、何がどう相似になるのでしょう。


Re: 行列
名前:ベクトル    日付:2017/10/8(日) 23:53
基底行列とはなんですか?

相似の定義も通常のものと若干違いますが,求める答えは

https://ja.wikipedia.org/wiki/行列の相似

にあるのではないかと推測します.


ps.
もっと使う言葉の定義をきちんと理解したほうがいいです
言葉の使い方が適当すぎます


Re: 行列
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/9(月) 16:48
そんな言い方はないだろ。

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