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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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等差数列の和 返信  引用 
名前:ハナ    日付:2017/5/14(日) 11:17
n{-3×21+(n-1)×(-3) / 2 =75 が、

なぜ、 n(-3n+45)=75
になるのか分かりません。詳しく教えて下さい。



Re: 等差数列の和
名前:通りすがり    日付:2017/5/14(日) 11:38
数式は正確に書いて下さい。
一行目の左辺の
{
と対になる
}
はどこに入りますか?


Re: 等差数列の和
名前:ハナ    日付:2017/5/14(日) 11:52
(-3)の後です


Re: 等差数列の和
名前:通りすがり    日付:2017/5/14(日) 13:2
-3×21+(n-1)×(-3)=-63-3n+3
=-60-3n
∴問題の等式から
(n/2)(-3n-60)=75
となります。
これを変形しても
>>n(-3n+45)=75
とはなりません。

微分 返信  引用 
名前:SR    日付:2017/5/14(日) 9:47
log(4^n + 3^n) のnについての微分です。
答え 4^n * log4 + 3^n * log3



Re: 微分
名前:通りすがり    日付:2017/5/14(日) 10:4
答えが間違っています。
(d/dn)log(4^n+3^n)={(4^n)log4+(3^n)log3}/(4^n+3^n)
となります。


Re: 微分
名前:SR    日付:2017/5/14(日) 10:7
ありがとうございます。

1 返信  引用 
名前:EX    日付:2017/5/13(土) 21:44
xについての連立不等式
{x>3a+1, 2x-1>6(x-2)  
について、次の条件を満たすaの値の範囲を求めよ。

・この連立不等式の解が存在しない。



Re: 1
名前:通りすがり    日付:2017/5/13(土) 21:59
2x-1>6(x-2)
より
4x<11
x<11/4
この範囲と
x>3a+1
が重ならなければよいので
11/4≦3a+1
これを解いて
7/12≦a


Re: 1
名前:EX    日付:2017/5/13(土) 22:30
範囲が重ならない時って、
11/4<3a+1
じゃないのでしょうか?
ここがよくわからないので、教えてください。


Re: 1
名前:通りすがり    日付:2017/5/13(土) 22:50
x>3a+1
はx=3a+1を含みません。
同様に
x<11/4

x=11/4
を含みません。
従って
11/4≦3a+1
の等号は必要になってきます。

軌跡 返信  引用 
名前:mi=go    日付:2017/5/13(土) 20:0
kx-y-k-1=0、x+ky-2k-3=0について、kが実数全体を動くときこの2直線の交点はどのような図形を描くか
答え:中心(2,1/2)半径√13/2の円を描く。ただし点(1,2)は除く

除く点のことがよくわかりません。また学校で2直線の交点を通る直線の方程式を授業で学んだのですが、この問題と何か関係があるのでしょうか。
よろしくお願いします。



Re: 軌跡
名前:通りすがり    日付:2017/5/13(土) 21:1
>>除く点のことがよくわかりません。
問題の2直線は実数kをどのように選んでも
点(1,2)を通るようには取れないからです。

直線
kx-y-k-1=0 (A)
はどのような実数kに対してもy軸平行にはなりません。
このことと(A)がkの値によらず
点(1,-1)
を通ることから、
点(1,-1)以外に(A)がx座標が1となる点
を通ることはあり得ません。

同様に直線
x+ky-2k-3=0 (B)
はどのような実数kに対してもx軸平行にはなりません。
このことと(A)がkの値によらず
点(3,2)
を通ることから、
点(3,2)以外に(B)がy座標が2となる点
を通ることはあり得ません。

(問題の軌跡となっている円と、
その円周上の点である点(1,2)
点(1,-1)を通るy軸平行でない直線
点(3,2)を通るx軸平行でない直線
を図示してみて考えてみましょう。)


>>また学校で2直線〜
mi=goさんが学習されたという直線の方程式とは例えば

直線x+y-1=0と直線2x-y+2=0の交点を通る直線の方程式は
(x+y-1)+k(2x-y+2)=0
(kは実数の定数)

というものでしょうか?
もしそうでしたら全く関係ありません。


Re: 軌跡
名前:通りすがり    日付:2017/5/13(土) 21:14
>>また学校で2直線〜
への回答に対してもう少し解説を。

例として提示した

直線x+y-1=0と直線2x-y+2=0の交点を通る直線の方程式は
(x+y-1)+k(2x-y+2)=0
(kは実数の定数)

は条件を満たす「無数の」直線を表しています。
(2直線の交点という1つの点を通る直線は
無数に存在しますので。)
一方、ご質問の問題の軌跡は
(直線、曲線の違いももちろんですが)
複数ではなくて「単一の」曲線を表しています。
その点で両者は全く関係ありません。


Re: 軌跡
名前:mi=go    日付:2017/5/13(土) 23:6
kx-y-k-1=0はkがどの値であってもx=aというy軸と平行する直線の形にはならない。同じようにx+ky-2k-3=0もx軸に平行な直線には絶対ならないから除く点が現れるのですね。
あと授業で習った方程式は2直線の交点を通る無数の直線を表しているんですね。
細かく説明して頂き有難うございました!すごく納得がいきました。

(untitled) 返信  引用 
名前:キルキン    日付:2017/5/13(土) 13:51
仕事/速度算の総合的な立式方法(思考過程)についてご相談させて下さい。

問題:
画家たちは全部で80軒の家を描いた。
彼らは1週間にx軒の割合で最初のy軒を描いた。
その後、より多くの画家が到着し、すべての人が協力して残りの家屋を1週間に1.25x軒のペースで描いた。80軒すべてをペイントするのに何週間かかったか、xとyで表せ。

回答:
y+320/5x

なのですが、初見でこのような仕事/速度算の問題を、どのような思考過程で立式すれば良いのか、ステップバイステップでご教示頂けませんでしょうか。

通常、距離か時間の方程式を作るのだと思うのですが、問題を見た際に、答えを導くまでのステップが全くイメージできず、手がつけられません。。

仕事/速度算の基本的なことは理解しているのですが、それを実際の問題に、どのような順序で当てはめるのかがわからない状態です。

答えを見れば理解できるのですが、問題によって、距離で方程式を作る場合もあれば、時間で作る場合もあり、違う問題になると、どう解けば良いかが全くわからなくなります。。



Re: (untitled)
名前:noname    日付:2017/5/13(土) 16:42
本問の場合では求めるべきものが「80軒全てをペイントするのに何週間かかったか?」ということであり,また,問題文を見ると

・より多くの画家が到着する前
→作業に携わっている画家たち全員の集団の作業ペースは「1週間にx軒の割合」である
・より多くの画家が到着した後
→作業に携わっている画家たち全員の集団の作業ペースは「1週間に1.25x軒の割合」である

の様に書かれています.この時に「『画家の集団がペイントした分』を『作業ペース』で割ると『作業にかかった週数』が求められる」ということから

・より多くの画家が到着するまでで,作業にかかった週数
・より多くの画家が到着した後から作業終了までで,作業にかかった週数

を求めてこれらを足せば問題の答えが出る,という考えが思い付くとよいです.この後の具体的な計算に関しては,

・より多くの画家が到着するまで
→ペイントした数の合計はyであるから,これを作業ペースで割ると,作業にかかった週数はy÷x=y/xである.
・より多くの画家が到着してから作業終了まで
→ペイントした数の合計は(80-y)であるから,これを作業ペースで割ると,作業にかかった週数は(80-y)÷(1.25x)=(320-4y)/(5x)である.

の様に求められ,後はこれらを足すと問題の答え(y+320)/(1.25x)が得られます.


この問題でもそうですが,問題を解く上で大事なのは「『問題文を読んで問題の設定を正確に読み取れているか?』と『問題の設定から分かることを推論できているか?』という2点を行えているかどうか?」ということです.問題を解く際にはやり方を理解することに目がいきがちですが,実はどの問題においても寧ろ「問題設定の理解」と「問題設定からの推論」が重要となります.この2点さえ出来ていれば,基本的にはどの問題もある程度のところまで食らいつくことは可能です.


Re: (untitled)
名前:キルキン    日付:2017/5/14(日) 13:1
ご解説ありがとうございます。

本当に仰る通りで、問題を一瞥した時に、求められていること(全体の週数)=多くの画家以前+多くの画家以後、と立式ができていないのです、ご指摘頂ければ、最初からそう考えるべきだったと理解はできるのですが。。

問題設定の理解と、問題設定からの推論の力は、おそらく解法を理解する勉強をしていても身に付かないのではないかと感じます。
日常の学習の中で、どのようにすれば、その二つの力を涵養することができるでしょうか。


Re: (untitled)
名前:ぽんすれ氏    日付:2017/5/14(日) 22:21
>問題設定の理解と、問題設定からの推論の力は、おそらく解法を理解する勉強をしていても身に付かないのではないかと感じます。
>日常の学習の中で、どのようにすれば、その二つの力を涵養することができるでしょうか。


簡単には身に付かないと思います.そのため,問題に挑む度に,どれだけ時間をかけてもよいので分かるまでじっくりと考えるということが重要なのではないかと思います.また,問題文を読んでもその情報を把握しづらい場合は「問題文を箇条書きのスタイルで書いてみて,一行ずつ順番に理解していく」というのは一つの手かもしれません.問題設定から何かを推論する場合も「とりあえず紙面上に何かを書いてみて『ああでもないこうでもない』という風に色々と考えてみる」とよいかもしれません.

簡単に言うと,スポーツにおいて上達するためには基礎訓練と反復練習が重要ですが,問題を解く場合も全く同じです.先の回答で述べた2点を身に付けるためには日頃からの基礎訓練と反復練習が必要不可欠なのです.身に付くまでは大変辛いものがあるかもしれませんが,勉強においては辛抱強く基礎訓練と反復練習を続けているとある時から嘘みたいに円滑に解ける様になります.


Re: (untitled)
名前:キルキン    日付:2017/5/16(火) 8:20
問題文は1つ1つ書き出すことを時間の浪費と見ずに、しっかりと整理して解くということですね。特に文章題だと問題の各要素の繋がりがわからなくなることが多いので、心がけます。
やはり、しっかりと視点を持ちながら、繰り返しかつ多くの問題を解くことで、問題を見たときにある解法グループに自然と落とし込めるようになるのでしょうね。
なかなか成果が上がらず、このまま解いていても良いのか不安続きではありますが、頑張ります。
大変ありがとうございました!

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