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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:まさる    日付:2017/8/2(水) 23:38
xy平面上の原点中心半径2の円をCとするとき、ベクトル関数F=xi+(xz)j+(x+z)kの接線線積分
∫[c]F・drを求めてください
お願いします



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/3(木) 5:49
積分の向きはどうなっていますか?
問題文のどこにも書かれていません。


Re: (untitled)
名前:まさる    日付:2017/8/3(木) 11:43
問題文はこの通りです
おそらくストークスの定理を使うんだと思います


Re: (untitled)
名前:まさる    日付:2017/8/3(木) 11:51
曲線Cの向きは、曲面の正の側からみて半時計回りの方向にしてください


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/3(木) 16:24
xy平面上でCに囲まれた領域をSとすると
ストークスの定理により
∫[C]↑F・d↑r=∬[S]{(rot↑F)・↑k}dS
=∬[S]zdS=0

証明 返信  引用 
名前:エミール    日付:2017/8/2(水) 23:32
平面内の点Fと、Fを通らない直線lを考える。Fを焦点、lを凖線とする放物線をCとする。Aをl上の点とする。このとき、線分AFの垂直二等分線mは、Cの接線であることを証明せよ。
解いてくださいお願いします。



Re: 証明
名前:通りすがり    日付:2017/8/3(木) 17:20
座標平面上に
F(0,p)
と取り、
直線y=-pをlに取っても
一般性を失いません。(但し、p≠0)
このとき、Cの方程式は
x^2=4py (A)
又、条件から
A(t,-p)
と置くことができますから、
m上の点をP(x,y)
線分AFの中点をHとすると
↑AF⊥↑HP
により
↑AF・↑HP=0
これより
(↑OF-↑OA)・(↑OP-↑OH)=0
(-t)(x-t/2)+2p(y-0)=0
y=t(x-t/2)/(2p) (B)
(B)がmの方程式となります。

後は(A)(B)からyを消去して
得られるxの二次方程式の解の
判別式をDとしたとき
D=0
となることを示します。

零行列、正則 返信  引用 
名前:yuki    日付:2017/8/2(水) 20:40
a、bが有理数の時
a b
5b a
という行列が零行列でなければ正則であることを示せ

これの解き方がわかりません。よろしくお願いします。



Re: 零行列、正則
名前:通りすがり    日付:2017/8/2(水) 20:51
問題の行列をAとして方針を。

問題の対偶、つまり
a,bが有理数のとき
Aが正則でない⇒A=O
を証明しましょう。

指数計算について。 返信  引用 
名前:Tes    日付:2017/8/2(水) 13:14
5^k-1=5^k -500 の計算で、

回答が
5^k(5-1)=2500
5^k=2500÷4=625

となっているのですが、なぜ5^k(5-1)=2500のかが
理解できません。どなたかご教授願えれば幸いです。



Re: 指数計算について。
名前:mo    日付:2017/8/2(水) 13:59
5^(k−1)=5^(k)−500

●両辺 −5倍
−5^(k)=−5*5^(k)+2500

●移項
5*5^(k)−5^(k)=2500

●5^(k)で括る
5^(k){5−1}=2500


Re: 指数計算について。
名前:Tes    日付:2017/8/3(木) 10:25
ありがとうございます。

5^(k−1)=5^(k)−500

●両辺 −5倍
−5^(k)=−5*5^(k)+2500
この時、-1はどこに行ってしまったのでしょうか。

●5^(k)で括る
5^(k){5−1}=2500

ここで5が残るのは、移項したあとの5の肩に指数がついていないからそのままいきるという理解で間違いないでしょうか。


Re: 指数計算について。
名前:mo    日付:2017/8/3(木) 13:44
★もう少し細かく変形してみます
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
5^(k−1)=5^(k)−500

@5^(k−1)={5^(k)}*{5^(−1)}={5^(k)}*{1/5}なので
{5^(k)}*{1/5}=5^(k)−500

A両辺 −5倍
−5^(k)=−5*5^(k)+2500

B移項
5*5^(k)−5^(k)=2500

C5^(k)=tと置くと
5t−t=2500

Dtで括ると
t(5−4)=2500

Et=5^(k)と戻すと
5^(k){5−1}=2500
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

>この時、-1はどこに行ってしまったのでしょうか。
【@で述べたように、5^(k−1)={5^(k)}*{5^(−1)}={5^(k)}*{1/5}なので】
●両辺 −5倍 したときに
約分されて、1になり現れなくなります

>ここで5が残るのは、移項したあとの5の肩に指数がついていないから
>そのままいきるという理解で間違いないでしょうか。
【「そのままいきる」という表現が把握できませんが】
●CDEの流れを追ってみてください


Re: 指数計算について。
名前:Tes    日付:2017/8/13(日) 8:6
ご丁寧にありがとうございます。
りかいできました。返信が遅くなり申し訳ありません。

(untitled) 返信  引用 
名前:まさる    日付:2017/8/2(水) 3:18
xyz空間内の3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)を結んでできる△ABCの辺をA→B→C→Aの順に進む経路をLとし、それらの辺で囲まれる平面をSとする。
ベクトル関数A(x,y,z)=(zx^2)i-(x^2y+z)j-(4x)kについて、線積分∫[L]A(x,y,z)・dr(rはベクトルです)をストークスの定理を用いて計算せよ
という問題についてです
自分で計算してみると答えが21/4になったのですがあっていますか?



Re: (untitled)
名前:まさる    日付:2017/8/2(水) 15:4
どなたかわかるかたいらっしゃいませんか?


Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/2(水) 21:26
問題の線積分をストークスの定理を使わずに
直接計算してみましたが、結果は
21/4
となりました。

(untitled) 返信  引用 
名前:まさる    日付:2017/8/2(水) 2:56
原点を中心とし半径aの球面をSとし、ベクトル関数F=2(x+y)i+zkとするとき(i,kはそれぞれ直交座標のx,z軸の基本ベクトル)、S上のFの法線面積分
∫[s]F・ndSを求めよ。
という問題についてです
自分で計算してみると答えが2πa^4となったのですがあってまいますか?



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/2(水) 5:35
間違えています。

ガウスの発散定理を使いましょう。
こちらの計算では
4πa^3
になりました。

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