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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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近似式(数学V微分)の問題 返信  引用 
名前:高3女子    日付:2018/7/31(火) 13:4
近似式√(ab)≒(a+b)/2について、aとbの差はわずかで
b>a>0、この近似式が成り立つことを証明して、誤差を
考える。という問題です。近似式の証明はb=a+hと置い
てh→0と考えて証明出来たのですが、誤差がわかりませ
ん。どうぞご指導ください。 



Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:IT    日付:2018/7/31(火) 18:22
単に差を計算するといいのでは?
√(ab)-(a+b)/2 逆にしたほうが良かったかも
=(√(ab)-(a+b)/2)(√(ab)+(a+b)/2)/(√(ab)+(a+b)/2)
=(4ab-(a^2+2ab+b^2)/(4√(ab)+2(a+b))
=(-(a-b)^2)/(4√(ab)+2(a+b))


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:IT    日付:2018/7/31(火) 18:33
近似式の証明 の途中で 誤差が出てきているのでは?


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:ast    日付:2018/8/1(水) 5:48
ITさんが何を示されようとされたのかよくわかりませんので, 横から行き過ぎた指摘となるかもしれませんが, まず誤差は厳密に
 (a+b)/2 - √(ab) = (2√(ab)-(a+b))/2 = (√b - √a)^2/2
と (とくに近似とは無関係に) 計算できます (ので, aとbが近ければ小さそうというのは見ればわかるレベルの状況だと思います). より厳密に誤差の大きさを測ることがいま必要なことと思われ, したがって, f(x)=√x に区間 [a,b] 上で平均値の定理などを用いて見積もることになるのではないかと想定できます (単元が「微分」ということなので, そういう意味でもおそらく).

ITさんも示唆されている通り「近似式が成り立つこと」の定式化に誤差の見積りに関する事項が無いとは考えにくいので, 教科書などでどのように定式化しているのかについて確認してその内容を提示していただいたほうが良いのではないかと思います.
そういったことも踏まえて, 書き込みを読む限り,
> 近似式の証明はb=a+hと置いてh→0と考えて証明出来た
というのが本当にちゃんと証明になっているかということさえ, かなり疑わしいと言わなければなりません.
# たとえば, たとえ h→0 で差が0になるからと言っても,
# h=0のかなり近くまでずっと大きな差があって
# h=0の極めて近くだけで急激に(ある種不連続的に)0になるような極限
# だったとしたら, それは近似できているとはとても言えない.
# だから, そんな曖昧な言及では困るというわけです.


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:ast    日付:2018/8/1(水) 5:49
ミスった

× (a+b)/2 - √(ab) = (2√(ab)-(a+b))/2 = (√b - √a)^2/2
○ (a+b)/2 - √(ab) = (a+b - 2√(ab))/2 = (√b - √a)^2/2


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:高3女子    日付:2018/8/1(水) 7:53
問題に続きがあります。この誤差は
(b-a)^2/8aを超えないことを証明しなさい。
という問題です。この近似式の誤差を
(√b-√a)^2/2と考えるならば、
(b-a)^2/8a−(√b-√a)^2/2>0
を証明すれば良いと思うのですが。うまく証明
できません。教えてください。


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:ast    日付:2018/8/1(水) 9:11
書いた内容をほとんど読んでいただかなかったようなので, 私はこれにて遠慮させていただきます.


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:高3女子    日付:2018/8/1(水) 10:0
astさん、お気持ちを傷つけてしまい、申し訳ありますせん。
astさんのご説明の内容が私には難し過ぎて理解できませんで
した。折角ご解説頂いたのに、分かりませんとは言い難く
再度投稿してしまいました。ご不快に思わせたことすみま
せん。学校の補習、塾の宿題でいっぱいいっぱいで気持ち
にゆとりがありません。最後に書い不等式の証明方法だけ
でも教えてくださ。厚かましお願いですが、助けてください。


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:IT    日付:2018/8/1(水) 12:33
0<(a+b)/2-√(ab)=((b-a)^2)/(4√(ab)+2(a+b))<(b-a)^2/8a
∵ b>a>0

でOKだと思います。


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:IT    日付:2018/8/1(水) 12:51
最初の差の式を変えておきます。
(a+b)/2-√(ab)
分子を有理化して
=((a+b)/2-√(ab))((a+b)/2+√(ab))/((a+b)/2+√(ab))
=((b-a)^2)/(2(a+b)+4√(ab))

分子の有理化は結構使います。

ast さんの計算が素直ですね

((√b-√a)^2)/2
=((√b-√a)^2)((√b+√a)^2)/(2(√b+√a)^2)
=((b-a)^2)/(√b+√a)^2
<((b-a)^2)/(2(2√a)^2)


Re: 近似式(数学V微分)の問題
名前:けんけんぱ    日付:2018/8/1(水) 21:44
すみません、ひとこと言わせてください。
後出しじゃんけんはマナー違反です。
質問事項は、少なくとも問題文は、最初の質問時にすべてあげておくべきです。

回答をもらってから、実は問題文にはこうあって・・・というのは、回答者を試しているとしか思えませんし
正しい回答を得ようとする姿には、到底思えません。
私は回答者ではありませんが、不愉快でしかないことを知っておいてください。

同一平面上にあることの証明 返信  引用 
名前:あきお    日付:2018/7/31(火) 6:2
空間において、直線ABと平面αとの交点をPとし、A,Bからαに下ろした垂線の足をそれぞれH1,H2とするとき、A,B,H1,H2は同一平面上にあることの正式な証明は、どのようにするのでしょうか?

感覚的には分かるのですが、証明を改めて考えたとき分からなくなりました・・・。
宜しくお願いします。



Re: 同一平面上にあることの証明
名前:ヨッシー    日付:2018/7/31(火) 9:14
1つの平面から引いた2つの垂線は平行である。
平行な2直線は、同一平面に含まれる。

この2つをどこまで掘り下げるかだと思います。

すんなり受け入れるなら、それで証明完了です。
 
http://yosshy.sansu.org/

関数について 返信  引用 
名前:予備校生    日付:2018/7/30(月) 22:0
関数f(x)=p(cosx)^2+2sinxcosx+2x-pがある。
ただし、pは実数の定数とする。
(1)導関数f'(x)を求めよ。
(2)f(x)が0<x<π/3の範囲に極値を持つようなpの値の範囲を求めよ。
(3)f(x)の0≦x≦π/3における最大値が(√3/8)+(2π/3)以上となるようなpの値の範囲を求めよ。

上記の(1)〜(3)の問題の解き方がわかりません。
何方かおしえてください。よろしくお願いします。



Re: 関数について
名前:    日付:2018/7/30(月) 22:20
(1)も分からんようじゃこの問題を解くレベルに達していないから

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