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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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高校数学 大学入試過去問 返信  引用 
名前:名無し    日付:2018/10/7(日) 1:17
お世話になっております。

a,bを実数とする。2次関数f(x)=x^2+ax+bを考える
(1)実数α,βがf(α)=β、f(β)=α、α≠βを満たすとき、α+βとαβをa,bを用いて表せ
(2)f(α)=β、f(β)=α、α≠βをみたす実数α、βが存在するためのa,bについての条件を求めよ

どこから手を付けてよいか困っています。
ヒントをいただけないでしょうか?



Re: 高校数学 大学入試過去問
名前:del    日付:2018/10/7(日) 1:48
ヒントだけ少し書きます。
(1)
α-β=f(β)-f(α)=... ここからα+βを求める。
α+β=f(β)+f(α)=... ここからαβを求める。

(2)
二次方程式の実数解を持つ条件に帰着させる。


Re: 高校数学 大学入試過去問
名前:名無し    日付:2018/10/7(日) 13:28
返信ありがとうございます
いただいたヒントから(1)は
α+β=-a-1
αβ=a+b+1
とわかりました。
(2)はここから解と係数の関係から二次方程式
t^2+(a+1)t+a+b+1=0
が異なる二つの実数解を持てばいいと考え、判別式D>0となる条件を考えればいいと思いました。
すると(a+1)^2>4a+4b+4
となりましたが、ほかに条件もなさそうなのでこれでいいと思いますが、大丈夫でしょうか・・・?


Re: 高校数学 大学入試過去問
名前:del    日付:2018/10/7(日) 13:48
大丈夫だと思います。


Re: 高校数学 大学入試過去問
名前:名無し    日付:2018/10/7(日) 14:24
ありがとうございました。

(untitled) 返信  引用 
名前:ベース    日付:2018/10/6(土) 22:33
条件付き確率の問題で疑問を抱いたのですが
Pa(b)が9/10のときPa ̄bはそのまま余事象を使って1-9/10 で1/10としてもいいのでしょうか。

(untitled) 返信  引用 
名前:Mr.ブーン    日付:2018/10/6(土) 22:32
2個の文字A,Bを重複を許して左から7文字ならべるとき、Aが3個以上連続して現れるものはいくつあるか?
どなたか助けてください。



Re: (untitled)
名前:Mr.ブーン    日付:2018/10/6(土) 23:28
すみません、自己解決いたしました(__)

京都大学数理工学専攻院試問題より 返信  引用 
名前:桑田ロード    日付:2018/10/6(土) 20:35
英語ですみませんが、どなたか解答できますでしょうか?
Let n×n complex matrices A=(aij)1≤i,j≤n and B=(bij)1≤i,j≤n be a tri-diagonal matrix whose off-diagonal entries are non-zero and a diagonal matrix, respectively. Equivalently, the entries aij,bij∈ℂ of A and B satisfy aij=0 (|i−j|>1), aij≠0 (|i−j|=1), bij=0 (|i−j|≥1).

Suppose that A and B can be converted into a diagonal matrix and a tri-diagonal matrix whose off-diagonal entries are non-zero, respectively, by a similarity transformation with a common regular matrix P: A↦P^{−1}AP, B↦P^{−1}BP.

Let λi be the eigenvalues of A. Hereafter, I denotes the identity matrix, and O denotes the zero matrix. Answer the following questions.

i.) Let c0,c1,...,c{n−1} be constants. Show that

農{n−1}^k ckAk=O

holds only when c0=c1=⋯=c{n−1}=0.

ii.) Show that all the eigenvalues of A are mutually distinct.



Re: 京都大学数理工学専攻院試問題より
名前:del    日付:2018/10/7(日) 1:36
i)
元の問題を見ましたが Σ[k=0,n-1]c[k]A^k=O ですね。
いろいろな手順があると思いますが自分が考えたのは、
まずA^kの(i,j)成分について、
|i-j|>k ならば (i,j)成分は0,|i-j|=k ならば (i,j)成分は非零
であることを数学的帰納法を用いて導きます。

すると
Σ[k=0,n-1]c[k]A^k の(n,1)成分は0であり、
この成分に寄与しているのはA^(n-1)のみであるので c[n-1]=0
このとき、Σ[k=0,n-1]c[k]A^k の(n-1,1)成分は0であり(略) c[n-2]=0
と続いていき、c[0]=c[1]=...=c[n-1]=0 が示せると思います。

ii)
Aは対角化可能なので Λ=diag(λ[0],...,λ[n-1])として
PAP^(-1)=Λ となります。
これを踏まえて Σ[k=0,n-1]c[k]A^k=O を変形すると
Σ[k=0,n-1]c[k]Λ^k=O となり、これの対角成分に注目すると Vc=O というcに関する方程式が導くことができます。
ただし、c=(c[0],c[1],...,c[n-1])T (Tは転置), V[i,j]=λ[i-1]^(j-1) とします。
i)よりこの解はc=0のみなのでVは正則です。したがってdetV≠0
Vはヴァンデルモンド行列で detV=Π[0≦i≦j≦n-1](λ[j]-λ[i])なのでAの固有値は相異なることがわかります。
(行列式の導出は調べれば出てきます。)


Re: 京都大学数理工学専攻院試問題より
名前:桑田ロード    日付:2018/10/7(日) 12:0
誤記誠に失礼いたしました。
解答ありがとうございます。

シグマ 返信  引用 
名前:数列    日付:2018/10/6(土) 12:24
数列{b_n}はΣ(k:1→n)b_k = 3/4 b_n +S_n を満たす。
Σ(k:1→n+1)b_k = Σ(k:1→n)b_k + b_(n+1)に注意すると、
b_(n+1) = 「・・・」となる。

上記問題の「・・・」部分ですが、b_nやS_nを用いると思います。「・・・」部分の求め方はどうすればよいでしょうか?
回答お願いします。



Re: シグマ
名前:通りすがり    日付:2018/10/6(土) 16:55
Σ[k:1→n]b[k]=(3/4)b[n]+S[n] (A)
より
Σ[k:1→n+1]b[k]=(3/4)b[n+1]+S[n+1] (B)
(B)-(A)より
b[n+1]=(3/4)b[n+1]+S[n+1]-(3/4)b[n]-S[n]
∴b[n+1]=4S[n+1]-4S[n]-3b[n]
となります。


Re: シグマ
名前:数列    日付:2018/10/6(土) 20:22
ありがとうございます!

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