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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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ベクトル空間における移項 返信  引用 
名前:ハワイ    日付:2018/6/2(土) 10:29
ベクトル空間の公理(8つ)から移項の原理
x+y=z⇔x=z-yを導くにはどうすればよいのですか?
等式の場合
a=b⇒a+c=b+cから導いているようですが



Re: ベクトル空間における移項
名前:黄桃    日付:2018/6/2(土) 11:23
その「ベクトル空間の公理(8つ)」の中に

z-y

に現れる演算 - の定義はありますか?

なければ、どうやっても(公理だけからは)証明できないでしょう。
あるのなら(なければ公理の外でうまく定義すれば)、等式の場合と同様でしょう。


Re: ベクトル空間における移項
名前:ハワイ    日付:2018/6/3(日) 19:0
ありがとうございます。
x+x`=0を満たすVの元x`が存在する。
このx`は各xに対して一意的に定まり、これをxの逆元という。
そして、−xで表す。
というように定義されています。
また、ベクトル空間の公理から、−x=(−1)xというスカラー倍に等しいことも示されます。
根本的には、ベクトル空間Vには演算+が定義されたアーベル群であり、
x+y=zの両辺にyの逆元ーyを加えているのでしょうか?
(アーベル群という言葉を使いましたが、群の定義を少し知っている程度なので、間違っていたらごめんなさい。)


Re: ベクトル空間における移項
名前:黄桃    日付:2018/6/3(日) 21:12
>そして、−xで表す。

これはxの(加法についての)逆元の定義であり、x-y が定義されているわけではありません。

#-x=(-1)*x も x-y を定義しているわけではありません。
#x-yが何かわからないのに導くのは不可能です。
#導く、と書かれている以上、ハワイさんは、 x-y の定義をご存知のはずです。
#普通、x-yは、2つの元x,yについて定まる演算でしょう。

>x+y=zの両辺にyの逆元ーyを加えているのでしょうか?

確かに両辺の右側に(-y)を加えると、x=z+(-y) になります(使っているのは結合法則と逆元の定義)。そして、この式の両辺に右からyを加えると元に戻ります。

もし、x-y を x+(-y) で定義するのであれば、これで証明終わりです。

(untitled) 返信  引用 
名前:苦手    日付:2018/6/1(金) 17:57
ある公園の面積を区分すると、公園全体の1/10は道路、道路以外の
5/18が森林、道路以外の2/7が池、その他はすべて芝生である。
芝生の面積は、公園全体のいくらの割合か。

答え
公園全体の1/10が道路なので、道路以外の面積は1-1/10=9/10
全体に対する割合を求めると、
森林は9/10×5/18=1/4
池は9/10×2/7=9/35
芝生=道路以外-森林-池
=9/10-1/4-9/35
=11/28
11/28×10=3.92


という問題で、
>全体に対する割合を求めると、
>森林は9/10×5/18=1/4
>池は9/10×2/7=9/35
なぜ、森林は9/10×5/18、池は9/10×2/7
というように9/10×5/18、9/10×2/7という掛け算になるのでしょうか?



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/6/1(金) 18:21
例えば
公園全体に対する道路の面積の割合

公園全体の面積を1としたときの道路の面積
とは同じ値になります。

これを踏まえて、まず
1)公園全体の面積を1としたときの道路以外の面積
2)公園全体の面積を1としたときの森の面積
3)公園全体の面積を1としたときの池の面積
を求める式を考えてみて下さい。

場合の数 返信  引用 
名前:赤玉    日付:2018/6/1(金) 15:19
赤玉10個を区別ができる4つの箱に分ける方法は何通りあるか
ただし、空の箱があってもよいとし、玉は区別できないとする。

この場合の解答は、異なる4個の箱から重複を許して10個とった
13C3で286通りとなりますが、もし赤玉が区別できる場合は
@の赤玉を4つのどの箱にいれるかの4通り
A〜Iの赤玉も同様で、答えは4^{10}で間違いないでしょうか?



Re: 場合の数
名前:通りすがり    日付:2018/6/1(金) 16:4
それで問題ありません。

中学3年 有理数と無理数 返信  引用 
名前:名無し    日付:2018/5/31(木) 23:42
学校のワークからの問題です

次の数のうち、有理数をすべて選びなさい
0.5
-3
√2
-√81
4/7(7分の4)
π

このうち、有理数はちゃんと選べたのですが、先生は「√2やπが無理数なことは知られているけれど、難しすぎるから今は説明できない」と言われました。
・・・ですが、ごまかされた感じがしてあんまり納得ができませんでした。
かといって、調べてはみたのですが、結局はよくわからずじまいでした(背理法?という方法で証明できるらしいです。)

√2やπが無理数だということは中学生には難しいことなので、あまり深く立ち入らないほうが良いのでしょうか?



Re: 中学3年 有理数と無理数
名前:pqr    日付:2018/6/1(金) 0:47
πはともかく, √2が無理数であることはそう難しくはありません.

「背理法」というのは,
「√2が無理数でない」と仮定して, 議論を進めていくと, 矛盾(論理的におかしいこと)が起こるので,
「√2が無理数でない」と仮定したのが間違っていたことになり, 「√2は無理数だ」とわかる,
という流れの証明の手法のことをいいます。

実際に, 背理法で「√2が無理数であること」を証明してみます。
(これは, 高校1年生でも学ぶことになります)

-----
もし仮に, √2が無理数でない, つまり, 有理数だったと仮定すると,
√2=a/b (a, b は整数で, 最大公約数が1) と既約分数に表すことができます。
両辺を2乗すると, 2=(a^2)/(b^2) なので, 2b^2=a^2 (★) となります。
左辺は偶数ですので, 右辺も偶数です。
ここで, 「整数 n の2乗が偶数だったら, n も偶数」(☆)ということがわかるので,
a は偶数になります。そこで, a=2c と整数 c を使って表すことができます。
これを(★)に代入すると, 2b^2=(2c)^2=4c^2 なので, b^2=2c^2 となります。
すると, 右辺は偶数ですから, 左辺も偶数で, ふたたび (☆) を使うと, b は偶数となります。
ここまで来て, a も b も偶数となりましたが, これは, a と b の最大公約数が 1 であったことに矛盾します。
「√2が無理数でない」と仮定したために, このような事が起きてしまったので,
「√2は無理数である」ことがわかりました。
-----

「πが無理数であること」も同様に, π=a/b と分数でかけたとして,
何らかの「おかしなこと」が起きてしまうことを説明すればよいのですが,
こちらは, その「おかしなこと」を導くのが, √2のときに比べると, 長く難しくなります。
いまは, 検索すれば, いろいろ情報が手に入りますから, 「πの無理数性」などで調べれば,
証明は見つかると思います。


Re: 中学3年 有理数と無理数
名前:pqr    日付:2018/6/1(金) 1:5
ご自身でも調べてみたのですね。

そういう興味からどんどん勉強を進めていくのは良いことだと思いますし,
√2については, 上にも書いたように, 論理的な力と背理法が納得できれば,
証明を理解するのに難しい知識はいらないので, 多少深入りしても良いと思います。

πについては, すくなくとも私が知る限りでは, 証明を理解するのに
それなりに準備が必要だと思うので, 今のうちは, 知識として覚えておけば良いと思います。


Re: 中学3年 有理数と無理数
名前:名無し    日付:2018/6/1(金) 18:14
ありがとうございます、
がんばります

規則性を見つける問題 返信  引用 
名前:赤いカナリア    日付:2018/5/31(木) 22:37
87 89 92 93 94 96 98

ノルムの性質 返信  引用 
名前:hoge    日付:2018/5/31(木) 20:21
Vをバナッハ空間とします。
v_k ∈ Vとして、
ノルム||・||について、
||v_k|| ≦ ||v_k - v_(k-1)|| + ||v_(k-1) - v_(k-2)|| + ... + ||v_1 - v_0|| ((A)とします)
という式は成り立ちますか?
私が導出しようとすると、

||v_k||
= ||v_k - v_(k-1) + v_(k+1) - .... - v_1 + v_1 - v_0 + v_0||
≦ ||v_k - v_(k-1)|| + ||v_(k-1) - v_(k-2)|| + ... + ||v_1 - v_0|| + ||v_0||

となり、||v_0||という項が出てきてしまい、(A)と一致しません。
何がおかしいでしょうか。
ご指摘お待ちしております。



Re: ノルムの性質
名前:LCR    日付:2018/6/1(金) 8:57

Vがただバナッハ空間 (完備とは限らないノルム空間でも同様) というだけでは、
 ||c−a|| ≦ ||c−b|| + ||b−a||   (∀a,b,c∊V)
のノルムの公理をを繰り返し用いることにより、
 ||v_k−v_0|| ≦ ||v_k−v_k-1|| +・・・+ ||v_1−v_0||
が成り立ちますが、
 ||v_k|| ≦ ||v_k−v_k-1|| +・・・+ ||v_1−v_0||
は、仰るとおり一般には成り立ちません。

その場合のVがどんな要素の集合か?と
 ノルム||・||の定義は?と
 {v_k} がどんな列か?
によっては成り立つかもしれないので、上の3つをご確認ください。


Re: ノルムの性質
名前:LCR    日付:2018/6/1(金) 9:30
訂正
ノルムの公理の1つは
 ||x+y|| ≦ ||x|| + ||y||   (∀x,y∊V)
であって、x=c−b , y=b−a を代入したものが
 ||c−a|| = ||(c−b)+(b−a)c−a|| ≦ ||c−b|| + ||b−a||   (∀a,b,c∊V)
となります。
もちろん結果は正しいですが、定義はより一般的な距離空間と混同していた。


Re: ノルムの性質
名前:hoge    日付:2018/6/1(金) 10:31
実はバナッハの不動点定理を証明しようとしていたのです。

Vをバナッハ空間、T: V -> Vを縮小写像とする。このときTは唯一の不動点を持つ。さらに、vがTの唯一の不動点であるとき、任意の初期ベクトルv_0 ∈ Vに対して、v_(n+1) = Tv_nと定義されるベクトル列はv_n -> vを満たし、この収束は等比級数的な速度である。

この背景が明らかになると、(A)は成り立つようになりますか?


Re: ノルムの性質
名前:LCR    日付:2018/6/1(金) 21:58

不動点定理を証明するなら、(A)は使わないと思います。
 タイピングに時間がかかりそうで証明はすべて書けていませんが、
次の3段階で証明してはどうでしょうか。

(1) 不動点の構造 (何が不動点らしいのか見つけ出す)
 {v_k} がCauchy列であることを示して、Vが完備より極限vが存在する。
(2 (1)のvが不動点であることを示す。
 ||Tv−v|| ≦ ||T(v−v_k)||+ ||v_k+1−v|| → 0 (k→∞) を用いるかと。
(3) 不動点の一意性
 u,v をともに不動点とすると u=v を示す。
 ||u−v|| ≦ ||u−Tu||+…+||Tv−v|| → 0 のような具合かと。

(1)でCauchy列であることを示すために、以下の不等式を用いるかと。
 n≧k≧m≧1 に対して、
v_k−v_k-1 = T v_k-1−T v_k-2 = T(v_k-1−v_k-2)

 ||v_k−v_k-1|| ≦ ||T||・||v_k-1−v_k-2|| ≦・・・≦ ||T||^(k-1) ||v_1−v_0|| , 

||v_n−v_m|| ≦ ||v_n−v_n-1|| +・・・+ ||v_m+1−v_m||
 ≦ (||T||^(n-1)|| +・・・+ ||T||^(m-1)||) ||v_1−v_0|| → 0 (m,n→∞)

線型代数 返信  引用 
名前:ささみ    日付:2018/5/31(木) 17:45
双対空間に関する問題です。

Vを2次元C線型空間でその基底(a_1,a_2)を1つ固定し、その双対基底を(f_1,f_2)で表す。Vの別の基底(b_1,b_2)を
b_1:=3a_1+a_2
b_2:=5a_1+2a_2
で定めその双対基底を(g_1,g_2)とする。

g_1,g_2をf_1,f_2の線型結合で表せ。
よろしくお願いします

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