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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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場合の数について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2017/10/7(土) 13:55
x+y+z=7を満たす自然数x、y、zの組(x、y、z)は?通り
ある。また、x+y+z=7を満たす0以上の整数x、y、zの組
(x、y、z)は?通りです。
教えていただけると幸いです。



Re: 場合の数について。
名前:はにゃーん    日付:2017/10/7(土) 15:53
7個の◯と6個の仕切りを考えれば
6個の仕切りから2つを選んだ時の◯の数を
左からx, y, zと対応させることができます。
◯|◯|◯|◯|◯|◯|○


Re: 場合の数について。
名前:コルム    日付:2017/10/7(土) 17:31
どういうことなのかよくわかりません。考え方です。


Re: 場合の数について。
名前:はにゃーん    日付:2017/10/7(土) 18:38
問題2問ありましたね。

x + y + z = 7なので◯を7つ用意します。

1問目のx, y, zが自然数の場合は
7個の丸を一列に並べてそれらの間の6つの隙間に
2つ仕切りを入れる場合の数を数えます。

例えば以下の場合は
◯|◯|◯◯◯◯◯
(x, y, z) = (1, 1, 5)
となります。

以下の場合は
◯◯◯|◯|◯◯◯
(x, y, z) = (3, 1, 3)
となります。

全部数え上げれば、求めるものが得られます。

2問目の0以上の整数の場合も上記の考え方の応用でいけます。
1問目の場合、x, y, zが自然数なので仕切りが隣り合ってはいけなかったのですが
2問目は0以上なので仕切りが隣り合って良いので
7つの丸と2つの仕切りを並び替えた場合の数を数えれば良いです。

2次方程式 食塩水問題 返信  引用 
名前:tiara中学3年    日付:2017/10/6(金) 20:49
8%の濃さの食塩水が300g入っている容器Aと6%の濃さの食塩水が300g入っている容器Bがある。Aから何gかをBに入れ、次にBから同量の食塩水をAに入れたら、Aの食塩水の濃度が7.2%になった。はじめにAからBに移した食塩水の量を求めなさい。

…という問題です。わかっていることを整理します。
容器Aに入っている食塩の量は、24g。
容器Bに入っている食塩の量は、18g。
容器AからBに移した量をaとすると、aの中に含まれる食塩の量は0.03a。
だから、容器Bには18+0.03aの食塩が入っている。
…この後、どうすればよいのでしょうか。



Re: 2次方程式 食塩水問題
名前:通りすがり    日付:2017/10/6(金) 22:16
>>容器AからBに移した量をaとすると、aの中に含まれる食塩の量は0.03a。
間違えています。AからBに移したa[g]の食塩水
に含まれる食塩の量は
0.08a[g]
です。従って移した後にA,Bに含まれる食塩の量
はそれぞれ
24-0.08a[g]
18+0.08a[g]
よってBからAに移したa[g]の食塩水の中の
食塩の量は
(18+0.08a){a/(300+a)}[g]
となりますのでBからAに移した後のAの中の
食塩の量は
24-0.08a+(18+0.08a){a/(300+a)}[g]

よってAの濃度について
{24-0.08a+(18+0.08a){a/(300+a)}}/300=7.2/100
これをaの方程式として解きます。
(まずは両辺の分母をすべて払うことを考えましょう。)

割合 返信  引用 
名前:spi    日付:2017/10/6(金) 12:21
A社のある年の1年間の広告費を調べたところ、雑誌広告費は
広告費全体の7%、ラジオ広告費は広告費全体の1%、テレビ
広告費は広告費全体の34%で金額は2890万円であった。

新聞・雑誌・ラジオ・テレビの広告費の計は全体の60%である。
この4つの中に占める新聞広告費の割合は何%か。

答え
新聞広告費の全体に対する割合は、60-34-7-1=18%
全体に対する割合が、新聞・雑誌・ラジオ・テレビの
広告費の計は60%、新聞広告費は18%だから、
18/60×100=30%
よって、新聞・雑誌・ラジオ・テレビの広告費に占める
新聞広告費の割合は30%

質問
新聞広告費の割合が30%だと、60%のうち残りは30%なのに、
テレビが34%だから60%をオーバーしていると考えてしまい、
理解できず困っています。



Re: 割合
名前:けんけんぱ    日付:2017/10/6(金) 13:19
数字が先行してしまい、元が何であったかを忘れていると思います。

たとえば、

ケーキを半分にします。
片方を3等分して1/3にします。

1/3を2個と半分にしたものをすべて合わせると
(1/3)×2 + (1/2)= 7/6 となり、ケーキ1個より増えてしまいました。

というようなものです。


Re: 割合
名前:ヨッシー    日付:2017/10/6(金) 13:27
図のように、割合のもとになる量が違うので、足すこと自体無意味です。

1ドルと100円の数字だけ足した101という数字に何の意味もないのと同じです。

↓図
http://yosshy.sansu.org/junk/2017/spi1.gif


Re: 割合
名前:spi    日付:2017/10/6(金) 15:8
ヨッシーさんの図が非常に分かりやすかったです。
目から鱗です。ありがとうございました。

整数論 返信  引用 
名前:ぴたごらす    日付:2017/10/6(金) 9:23
任意の整数は連続する平方数の和と差で無限に多くの方法で表わされる事を示して下さい。例えば、1〜4を連続する平方数の和と差で表すと
1=1
2=−1−4−9+16
3=−1+4
4=−1−4+9  と書けます。



Re: 整数論
名前:ヨッシー    日付:2017/10/6(金) 10:33
Aを正の整数とします。
Aが奇数の時
 A=2n+1 とすると
 A=(n+1)^2−n^2 で表せる。

以下
 任意の自然数nについて
  n^2−(n+1)^2−(n+2)^2−(n+3)^2=4
であることを、最大限利用します。

A=2 は、例にある
 A=−1−4−9+16 や
 A=1−4+9−16+25+36−49 で表せ、
これに続く4つの平方数を、+、−、−、+ の順で加えると、
4大きい数が作れるので、Aが2×奇数の形の任意の自然数を作ることが出来る。

A=0 は
 0=0^2 または 0=−3^2−4^2+5^2 で表せ、
これに続く4つの平方数を、+、−、−、+ の順で加えると、
4大きい数が作れるので、任意の4の倍数の自然数を作ることが出来る。

任意の正の整数は、少なくとも1通りの、作り方があることが示せた。
また、符号を全て逆にすれば、負の整数も表せる。

ある1つの表し方をした時の最後の(最大の)平方数を、n^2 とすると、それに
 {n^2−(n+1)^2−(n+2)^2+(n+3)^2}−{(n+4)^2−(n+5)^2−(n+6)^2+(n+7)^2}(=0)
を加えると、同じ整数について、別の表し方が無数にできる。
 
http://yosshy.sansu.org/


Re: 整数論
名前:ヨッシー    日付:2017/10/6(金) 10:37
訂正です。

上記の4行目
 A=(n+1)^2−n^2

 A=−n^2+(n+1)^2
とした方が、正確です。

7行目(空行含まず)
 n^2−(n+1)^2−(n+2)^2−(n+3)^2=4
は、
 n^2−(n+1)^2−(n+2)^2+(n+3)^2=4
の誤りです。
 
http://yosshy.sansu.org/

数学T 返信  引用 
名前:ちひろ    日付:2017/10/5(木) 22:35
直径4の円の円上の点A,B,C,Dについて、四角形ABCDは対角線ACとBDが垂直に交わり

AC=BD=2√3、AB>DCであるという

対角線の交点を点Eとするとき、次の問に答えよ。

(1)BCの長さを求めよ。



Re: 数学T
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/8(日) 17:4
AE=a, BE=b
とする。すると、CE=(2√3)-a, DE=(2√3)-b
となる。方冪の定理より、
a((2√3)-a)=b((2√3)-b)
よって、a=b=√3
つまり、AB=DC
だが、AB 不等号 DC
より、矛盾。よって、四角形ABCDは存在しえない。

と、思う。間違っているかもしれないから、間違っていたら指摘して。

(untitled) 返信  引用 
名前:masu    日付:2017/10/3(火) 23:25
この大問の初めの問で θの取り方がおかしいようにかんじるのですが
接線の傾きはこの問いではタンジェント(π/2ーθ)を表していると思います。
僕が間違ってると思うのですが、ご指摘ください。
http://www.k-kyogoku.com/cn137/cn114/pg3018.html



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/10/4(水) 4:27
おかしくありません。
lをz軸に関してθだけ傾けた上でlを改めてz軸に取っています。

非線形漸化式 返信  引用 
名前:くろしか    日付:2017/10/3(火) 14:41
a[1]=8、a[n+1]=(3a[n]+2)/(a[n]+2)の一般項を求めよ
x=(3x+2)/(x+2) x=2,-1
a[n]-x=a[n]-(-1) これをA[n]とおく
A[n+1]=a[n+1]+1=4An/(A[n]+1) …以下略
二行目の特性方程式の解は何を表すんでしょうか。
また、なぜa[n]-(-1)=A[n]とおくんですか。高校生です。



Re: 非線形漸化式
名前:ヨッシー    日付:2017/10/4(水) 11:1
個人的には、特性方程式は、いろんな考察の上の産物と思っています。
どんな考察かを言う前に、「なぜa[n]-(-1)=A[n]とおくんですか」を考えてみます。
実際そのように置くと、
 a[n+1]=(3a[n]+2)/(a[n]+2)
は、
 A[n+1]−1=(3A[n]−1)/(A[n]+1)
 A[n+1]=(3A[n]−1)/(A[n]+1)+1
 A[n+1]=(4A[n])/(A[n]+1)    ・・・(i)
逆数をとると、
 1/A[n+1]=(A[n]+1)/(4A[n])
 1/A[n+1]=1/4+1/(4A[n])
さらに、B[n]=1/A[n] とおくと、
 B[n+1]=(1/4)B[n]+1/4
という、よく見る形の漸化式となります。

ここで、(i) のところで、分子から定数項(A[n] を含まない項)が
消えていることが重要で、だからこそ、つぎの「逆数を」につながります。
本来は、a[n]=A[n]+α などとおいて、定数項がなくなるようなαを
見つけていくのです(これが上記の「考察]です)が、特性方程式を使うと、
それが楽に見つかるのです。
 
http://yosshy.sansu.org/

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