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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:受験生    日付:2018/2/11(日) 21:42
サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える。ただし、8をゴールとしてちょうど8の位置へ移動したときにゲームを終了し、8をこえた分についてはその数だけ戻る。例えば7の位置で3が出た場合は8から2戻って6へ移動する。サイコロの出る目はどれも等確率である。原点から始めて、サイコロをn回投げ終えたときに8へ移動してゲームを終了する確率をp_nとする。

1番 p_2を求めよ
2番 p_3を求めよ
3番 4以上のすべてのnに対してp_nを求めよ

この問題で1番と2番は場合分けすればいいと思うのですが、3番は
S_n=p_1+....+p_nとして、p_(n+1)=(1-S_n)/6 ただしnは4以上のようにして
漸化式をたてる方針で正しいでしょうか。確率漸化式で和の形式が出てきたこと
がなかったので不安です。
教えてください!



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/2/11(日) 22:33
いいと思います。


Re: (untitled)
名前:受験生    日付:2018/2/11(日) 23:2
ありがとうございます!

(untitled) 返信  引用 
名前:MAI    日付:2018/2/11(日) 20:29
•4進法で表された3桁の数がある。この数を10進法として読むともとの数の5倍の大きさとなる。もとの数を求めよ。ただし、4進法で表すこと。



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/2/11(日) 20:57
もとの数をabc (4進法で表して)とすると、
(10^2)a+10b+c={(4^2)a+4b+c}*5,1≦a≦3,0≦b≦3,0≦c≦3
100a+10b+c=80a+20b+5c
移項して2で割ると 10a-5b=2c
よってcは5の倍数なのでc=0
よって 2a=b,
(a,b)=(1,2)
もとの数は120。


Re: (untitled)
名前:MAI    日付:2018/2/11(日) 22:3
解答ありがとうございます。
理解できました!

(untitled) 返信  引用 
名前:MAI    日付:2018/2/11(日) 20:28
•P=(x+a)^2 - 9c^2(y+b)^2,
Q=(x+11)^2+13(x+11)y+36y^2,
R=x^2+(p+2q)xy+2pqy^2+4x+(11p-14q)y-77を考える。
PとQ,QとR,RとPはそれぞれxyの1次式を共通因数として持っているとする。この時、整数abcpqを求めよ。



Re: (untitled)
名前:Delta    日付:2018/2/11(日) 23:21
Pはf^2-g^2=(f+g)(f-g)という形で因数分解できます。
P=(x+3cy+a+3bc)(x-3cy+a-3bc)

QはX=x+11と置けば容易に因数分解できるはずです。
Q=(x+4y+11)(x+9y+11)

Rはxの2次の項、xの1次の項、xを含まない項に分けると
R=x^2+{(p+2q)y+4}x+2pqy^2+(11p-14q)y-77
=x^2+{(p+2q)y+4}x+(py-7)(2qy+11)
=(x+py-7)(x+2qy+11) となります。

以下、cは正として考えます。
a,b,c,p,qが整数であることを考えると
Pの因数のyの係数が3の倍数なのでPとQの共通因数は
x+3cy+a+3bc=x+9y+11 ...@

このようにして
Q,Rの共通因数:x+4y+11=x+2qy+11 ...A
P,Rの共通因数:x-3cy+a-3bc=x+py-7 ...B
@より c=3, a+3bc=a+9b=11...C
Aより q=2
Bより p=-3c=-9,a-3bc=a-9b=-7...D CDよりa=2,b=1
Pの式を見るとcは正負どちらの値もとることが分かるので
(a,b,c,p,q)=(2,1,±3,-9,2) (計算ミスしてたらごめんなさい)

(untitled) 返信  引用 
名前:MAI    日付:2018/2/11(日) 20:26

•一辺の長さがaの正四面体ABCDにおいて辺BCの中点Mとし、頂点AからDMに下ろした垂線AHとする。AHを求めよ。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/2/11(日) 21:43
条件から点Hは△BCDの重心になっているので
BH=…
よって△ABHにおいて三平方の定理により…


Re: (untitled)
名前:MAI    日付:2018/2/11(日) 21:57
解答ありがとうございます。
申し訳ないのですが、重心になる理由を教えていただけないでしょうか。


Re: (untitled)
名前:B♭コルネット    日付:2018/2/12(月) 14:57

MがBCの中点であることと、BD=CDから △DBM≡△DCMで BC⊥DM
△ABCは正三角形なので、BC⊥AM 
これから BC⊥平面ADMになります。
AHは平面ADM上にあり、従って、BC⊥AH ・・・@

頂点AからDMに下ろした垂線をAHとすれば、当然ですが、DM⊥AH・・・A
@、Aにより、BCとDMのなす平面BCDとAHは垂直になります。
結果、AH⊥BH,AH⊥CH,AH⊥DHになります。
よって、
△ABH,△ACH,△ADH はそれぞれ直角三角形です。

直角三角形の合同条件
・一つの角度が90度
・斜辺が等しい
・他の一辺が等しい または 他の角度が等しい
を見ると、適合しています(他の一辺は共通のAHです)
なので、△ABH≡△ACH≡△ADH
よって、BH=CH=DHとなって
△BCH≡△CDH≡△DBH となり、Hが△BCDを3等分し△BCDの重心になる。


Re: (untitled)
名前:MAI    日付:2018/2/14(水) 9:50
わかりやすい解説ありがとうございます。
理解できました。

数学1A 返信  引用 
名前:MAI    日付:2018/2/11(日) 20:25

•点Pは数直線上の原点Oから出発し、サイコロを投げたとき出た目が2以下ならば−2だけ、3以上ならば+4だけ動く。サイコロを6回投げて、Pがちょうど原点に来る確率を求めよ。



Re: 数学1A
名前:通りすがり    日付:2018/2/11(日) 21:40
6回の試行のうち、3以上の目がk回出たとすると
6回の試行の後の点Pの座標は
4k-2(6-k)=6k-12
ここで点Pが原点にあることから
6k-12=0
これより
k=2
よって求める確率は
(6C2){(4/6)^2}(2/6)^4}=…


Re: 数学1A
名前:MAI    日付:2018/2/11(日) 22:2
解答ありがとうございます。
それは2以下が出る回数をx、3以上が出る回数をyとした時に、-2x+3y=0とx+y=6の連立方程式で解きy=3にやるやり方でも、やり方としては合っていますか。


Re: 数学1A
名前:通りすがり    日付:2018/2/12(月) 8:34
-2x+3y=0
ではなくて
-2x+4y=0
であれば方針に問題はありません。


Re: 数学1A
名前:MAI    日付:2018/2/14(水) 9:36
打ち間違えてしまいました。
ありがとうございます。

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