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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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円と放物線 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/4/24(水) 10:37
【問題】
放物線C:y=x^2/4 と点B(0,b)を中心とする半径rの円(ただしr<b)は,異なる2点を共有し,それ以外に共有点をもたないとする。
(1)円の中心Bの座標をrを用いて表せ。
(2)rの値の範囲を求めよ。

【考え】
(1) C:y=x^2/4 −@ 円:x^2+(y-b)^2=r^2 −A を連立して,yのみの方程式を導出すると,
y^2-2(y-b)^2=r^2 −B
これが,接するので,重解条件よりyの方程式の判別式をDとおくと,
D/4 = (b-2)^2 - (b^2 - r^2) = 0 ⇒ b=r^2/4 +1

(1)は上記のように考えましたが,(2)のrの範囲の求め方がわかりません。
ご教授をお願いします。



Re: 円と放物線
名前:ast    日付:2019/4/24(水) 12:3
その条件設定だと異なる二点どころか共有点は存在しないと思います (r < b ではなく r > b なのでは?).

それは置いといても
> これが,接するので,重解条件より
は問題の状況設定
> 異なる2点を共有し,それ以外に共有点をもたないとする。
に合っていません.

そこを直せば (2) は「(1) で求めた不等式を解け」というような趣旨と理解してよいと思います.


Re: 円と放物線
名前:ast    日付:2019/4/24(水) 12:11
いや, そうでもないか, 上の書き込みは忘れてください.


Re: 円と放物線
名前:ast    日付:2019/4/24(水) 13:4
問題の条件から, 接点の y-座標は必ず 0 より大きいから, (1) のもとBが y > 0 に重根を持つ条件を決めればよいようです.


Re: 円と放物線
名前:Haru    日付:2019/4/24(水) 18:20
教えていただいた通り,yのみの方程式:y^2-2(b-2)y+(b^2-r^2)=0に導出したb=r^2/4+1 を代入して,yとrだけの式に直し,解の公式からyの重解を導くことで解くことができました。

yとrの式が複雑な形をしており,解の公式で素直に重解をだす方法をなんとなく選択肢から外してしまっていましたが,求めてみると√部分が消えて比較的楽に求めることができました。

ありがとうございました!


Re: 円と放物線
名前:ast    日付:2019/4/25(木) 0:31
> 求めてみると√部分が消えて
二次式 ax^2+bx+c の根の公式は x=(-b±√D)/(2a) で, いまは D=0 のときを考えてるんだから, むしろ消えないとマズいレベルの話なんだよなあ…….
# 一見面倒くさそうという気分はまあわかる

漸化式 返信  引用 
名前:シューミ    日付:2019/4/22(月) 20:39
初項=1 a(n+1)=5a(n)+n^2のとき
一般式はどうなるでしょうか?
等比数列とn^2の文字式が混ざっていてうまくいきません。
よろしくお願い致します。



Re: 漸化式
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 21:22
b(n)=a(n)+cn^2+dn+e とおいて
b(n+1)=5b(n) となるように c,d,e をきめる

b(n+1)=a(n+1)+c(n+1)^2+d(n+1)+e
=5a(n)+n^2+c(n+1)^2+d(n+1)+e
=5a(n)+(c+1)n^2+(2c+d)n+c+d+e
5b(n)=5a(n)+5cn^2+5dn+5e なので

c=1/4,d=1/8,e=3/32 とするとよい。
すなわち

a(n+1)+(1/4)(n+1)^2+(1/8)(n+1)^2+3/32=5{a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n^2+3/32}


Re: 漸化式
名前:匿名希望    日付:2019/4/22(月) 21:36
初めに問題の漸化式を以下のように変形します。
{a(n+1)}-5{a(n)}=n^2 ・・・(A)

次に色々な数列について同じパターンの漸化式を作ってみます。
数列{1,4,9,16,・・・}の場合:
 {(n+1)^2}-5{n^2}=-4n^2+2n+1 ・・・(B)
数列{1,2,3,4,・・・}の場合:
 {(n+1)}-5{n}=-4n+1 ・・・(C)
恒等数列{1,1,1,1,・・・}の場合:
 {1}-5{1}=-4 ・・・(D)

(A)+(B)×(1/4)+(C)×(1/8)+(D)×(3/32)により
 {a(n+1)+(1/4)(n+1)^2+(1/8)(n+1)+3/32}-5{a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32}=0
∴{a(n+1)+(1/4)(n+1)^2+(1/8)(n+1)+3/32}=5{a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32}
両辺を5^nで割ると
{a(n+1)+(1/4)(n+1)^2+(1/8)(n+1)+3/32}/5^n={a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32}/5^(n-1)=0
この式は数列{(a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32)/5^(n-1)}が恒等数列であることを示しているから
この数列の任意の項は初項=(a(1)+(1/4)+(1/8)+(3/32))/1=47/32に等しい
よって
 (a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32)/5^(n-1)=47/32
∴a(n)=(47/32)5^(n-1)-(1/4)n^2-(1/8)n-(3/32)


Re: 漸化式
名前:匿名希望    日付:2019/4/22(月) 21:39
かぶりました。

また、ミスタイプがありました。

> 両辺を5^nで割ると
> {a(n+1)+(1/4)(n+1)^2+(1/8)(n+1)+3/32}/5^n={a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32}/5^(n-1)=0


> 両辺を5^nで割ると
> {a(n+1)+(1/4)(n+1)^2+(1/8)(n+1)+3/32}/5^n={a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32}/5^(n-1)


Re: 漸化式
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 21:46
私のは、計算ミスがあるかもしれません。


Re: 漸化式
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 21:49
a(n+1)+(1/4)(n+1)^2+(1/8)(n+1)+3/32=5{a(n)+(1/4)n^2+(1/8)n+3/32}

ですね。途中タイプミスがありました。


Re: 漸化式
名前:関数電卓    日付:2019/4/22(月) 22:2
お二人の計算の速さにまず脱帽。
しかしながら
いくつかの項の値が必要ならば、エクセルで漸化式からすぐに求まる。
一般項がわかったからといって、値の計算は結局エクセル頼み。
↓参照。もはやこのような煩問 (難問でなく) を、筆算で解く計算力が必要だとは思えません。← 私見です。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5Bn%2B1%5D%3D5*a%5Bn%5D%2Bn%5E2,a%5B1%5D%3D1


Re: 漸化式
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 22:9
私も下記で検算しました。(もう一方は関数電卓さんのと同じ)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=a(n%2B1)%2B(1%2F4)(n%2B1)%5E2%2B(1%2F8)(n%2B1)%2B3%2F32%3D5%7Ba(n)%2B(1%2F4)n%5E2%2B(1%2F8)n%2B3%2F32%7D,a(1)%3D1


Re: 漸化式
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 22:13
たしかに実用上の計算なら、関数電卓 さんのおっしゃるとおりですし
入試(対策)問題だとすると パズル的で良問とは言い難いですね。


Re: 漸化式
名前:シューミ    日付:2019/4/22(月) 23:10
ありがとうございました。
他の題意の問題で気になったもので投稿させて頂きました。
こんなの複雑になるとはびっくりしました。
ただスッキリしました。
お手数おかけしました。


Re: 漸化式
名前:関数電卓    日付:2019/4/22(月) 23:41
結構難儀しながら回答しても梨のつぶてが多い中で、最後にこのように言われるのは嬉しいものですね。

確率の問題 返信  引用 
名前:Haru    日付:2019/4/22(月) 18:36
【問題】
くじが10本ずつ入った袋A,Bがある。袋Aのくじのうち5本,袋Bのうち2本が当たりであり,残りははずれである。
太郎さんと花子さんがこれらの袋からくじを引く。ただし,2人とも中にある当たりくじの本数は知らない。
まず,太郎さんが袋A,Bの一方を無作為に選び,1本くじを引く。太郎さんが引いたくじは袋に戻さない。次に,花子さんが「太郎さんが当たりくじを引いたなら同じ袋からくじを引き,はずれていたなら異なる袋からくじを引く」という方法でくじを引く。
(1)太郎さんが当たりくじを引く確率は?
(2)太郎さんが当たりくじを引いたときに,花子さんも当たりくじを引く確率は?
(3)花子さんが当たりくじを引く確率は?

【考え】
(1)
袋A,Bを選ぶ確率は無作為なので,1/2と考えて,
1/2 × 5/10 + 1/2 × 2/10 = 7/20
(2)
事象A:太郎が当たりくじを引く,事象B:花子が当たりくじを引く と考える。
A,Bが起こる確率をそれぞれP(A),P(B)と表し,AとBが同時に起こる確率をP(A∧B),Aが起こった後にBがおこる確率をP_A(B)と表す。
すると,条件付き確率の公式より P_A(B) = P(A∧B)/P(A) なので,P(A∧B)を求めていく。
「太郎がAが当たりを引いたときにAの残りから花子が当たりを引く確率」と「太郎がBから当たりを引いたときにBの残りから花子が当たりを引く確率」を足し合わせればP(A∧B)がでるので,
P(A∧B) = (1/2 × 5/10) × 4/9 + (1/2 × 2/10) × 1/9 = 11/90
P(A)は(1)より 7/20
よって P_A(B) = 11/90 ÷ 7/20 = 22/63
(3)
(i)太郎が当たりを引いて,花子が当たる確率
(ii)太郎がはずれを引いて,花子が当たる確率
を求めて足し合わせれば求めれる。
(i)は(2)より 22/63
(ii)も(2)の事象Aを「太郎がはずれを引く」と設定しなおして同様に考えると,
P(A) = (1/2 × 5/10) + (1/2 × 8/10) = 13/20
P(A∧B) = (1/2 × 5/10) × 2/10 + (1/2 × 8/10) × 5/10 = 1/4
よって P_A(B) = 1/4 ÷ 13/20 = 5/13
したがって, (i)+(ii) = 22/63 + 5/13 = 601/819

(1)と(2)の解答は,計算方法は少し違いますが値はあっていました。
解答と違ったのは(3)で解答は 67/180 です。
上記の考え方のどの部分で勘違いをしてしまっているのでしょうか?
ご教授いただけると幸いです。



Re: 確率の問題
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 19:13
条件付確率を足すのではなく 単にそれぞれの確率を足さないといけません。


Re: 確率の問題
名前:Haru    日付:2019/4/22(月) 21:14
(i)と(ii)の2つの条件付き確率を足し合わせることで,「単に花子さんが当たる確率」が導出できると考えたのですが,間違いでしょうか?

"単にそれぞれの確率"というのが,どの部分かを教えていただけると幸いです。


Re: 確率の問題
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 21:27
なぜ「条件付確率」を加えるのですか「条件付き確率」 ではダメです。 

「条件付き確率」の意味を良く考えてみられることが必要だと思います。

図や表を書いて考えてみてください。


Re: 確率の問題
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 22:37
最初の御質問に明確に回答していませんでしたので回答します。
> (i)と(ii)の2つの条件付き確率を足し合わせることで,「単に花子さんが当たる確率」が導出できると考えたのですが,間違いでしょうか?
間違いです。

後の御質問は、上記を理解されれば解決すると思います。


Re: 確率の問題
名前:Haru    日付:2019/4/24(水) 8:20
ご指摘の通り「条件付き確率」の認識が間違っていたことがミスを招いていることが理解できました。
"花子が当たる"シチュエーションは,太郎が"当たり"or"はずれ"という前提条件下で考えるものではなく,ITさんがおっしゃるとおり「単なる確率の足し合わせ」で求めるのですね。

(i)太郎がAから当たりを引いて,花子がAから当たりを引く
(ii)太郎がAからはずれを引いて,花子がBから当たりを引く
(iii)太郎がBから当たりを引いて,花子がBから当たりを引く
(iv)太郎がBからはずれを引いて,花子がAから当たりを引く

の単に"花子が当たる"シチュエーション網羅して確率をそれぞれ求めて,足し合わせることで解答を導くことができました。
ありがとうございました!

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