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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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3次方程式 返信  引用 
名前:しょこらん    日付:2019/1/7(月) 5:41
どなたか解いてください
お願いします。

@x³-5x+4=0
Ax³+5x+6=0
Bx³-4x²+9x-10=0
C2x³-x²-12x-9=0



Re: 3次方程式
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 18:39
いずれも定数項の適当な因数を問題の方程式に代入する試行をして
解の一つを特定した上で、因数定理を使います。
@だけ解きますので参考にして残りはご自分でどうぞ。

@
問題の方程式は
x=1
を解に持ちますので、
問題の方程式の左辺をf(x)とすると
因数定理により、f(x)は
x-1
を因数に持ちます。
そこでf(x)÷(x-1)を実際に実行することにより
f(x)=(x-1)(x^2+x-4)
∴問題の方程式の解は
x=1,(-1±√17)/2

A
問題の方程式は
x=-1
を解に持ちますので…

B
問題の方程式は
x=2
を解に持ちますので…

C
問題の方程式は
x=-1
を解に持ちますので…

これも教えてください 返信  引用 
名前:明日から学校マン    日付:2019/1/7(月) 5:37
・0≦Θ<2πのとき、

@2sin²Θ+cosΘ-2=0 A2cos²Θ≦3sinΘ


・0≦Θ<2πのとき、

@√2sinΘ+1≧0 A2cosΘ-√3<0 BtanΘ+1≧0



Re: これも教えてください
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 19:15
いずれの問題も、このスレの下のスレで質問されている問題が
解けることが前提で取り組むべき問題です。

スレの下のスレで質問されている問題を解いた上で
もう一度考えてみましょう。


とはいっても、何もヒントがないのはどうかと思いますので
ヒントだけ。

上段@
cosθ=tと置きましょう。
このとき、公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
により
(sinθ)^2=1-t^2
となり、問題の方程式はtの二次方程式となります。

上段A
sinθ=tと置きましょう。
このとき、公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
により
(cosθ)^2=1-t^2
となり、問題の方程式はtの二次方程式となります。

注)
上段の問題については
公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
を使うことで
高次数となっている
異なる三角関数も同じ変数に
置き換えることができる
という考えがミソです。


下段@AB
これも不等式に使われている三角関数をtと置いて
tの不等式として解きましょう。

どうやって解きますか? 返信  引用 
名前:明日から学校マン    日付:2019/1/7(月) 5:31
0≦Θ<2のとき、
@sinΘ= -√3/2 AcosΘ=1/√2

BtanΘ= -1 CsinΘ>1/2

DcosΘ≧ -1/2 EtanΘ≦ -1/√3



Re: どうやって解きますか?
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 19:4
教科書で単位円と三角関数の関係を復習しましょう。

冬休みの課題 返信  引用 
名前:死にそうなねこ    日付:2019/1/7(月) 5:23
3次方程式x³-2x²+x+3=0の3つの解をα、β、γとするとき
@α²+β²+γ²  Aα³+β³+γ³  B(α+β)(β+γ)(γ+α)
の値がどうなるか教えてください。



Re: 冬休みの課題
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 6:37
三次方程式の解と係数の関係から
α+β+γ=2
αβ+αβ+γα=1
αβγ=-3
よって
@
(与式)=(α+β+γ)^2-2(αβ+αβ+γα)=2
A
問題の方程式が
x^3=2x^2-x-3
となることから
(与式)=2(α^2+β^2+γ^2)-2(α+β+γ)-3・3
=-5
B
(与式)=(2-γ)(2-β)(2-α)
=8+2(αβ+αβ+γα)-4(α+β+γ)-αβγ
=5

(untitled) 返信  引用 
名前:ずんだ餅    日付:2019/1/7(月) 5:15
数学の宿題!誰か助けてください…
自分で解いていたら途中から分からなくなりました。

 問1:2次方程式 x²-2√5x+3=0 の2つの解を、α・βとする。
  このとき、次の値を求めよ。

@ α+β A αβ B β/α+α/β C α³+β³


 問2:x=1+√7のとき、x⁴+2x³-12x²-26x-14の値を求めよ。

どなたか解説と一緒にどうやって解くのか解答も含め、教えてください!



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 19:1
問1
@
解と係数の関係から
α+β=2√5
A
解と係数の関係から
αβ=3
B
(与式)=(α^2+β^2)/(αβ)
={(α+β)^2-2αβ}/(αβ)
これに@Aの結果を代入して
(与式)=14/3
C
(与式)=(α+β)^3-3αβ(α+β)
これに@Aの結果を代入して
(与式)=22√5

問2
まずは
x=1+√7 (A)
を使って、値を求める式の次数を落とします。

(A)より
x-1=√7
(x-1)^2=7
∴x^2-2x-6=0 (B)
そこで問題の式をf(x)として
f(x)÷(x^2-2x-6)
を実行すると
f(x)=(x^2-2x-6)(x^2+4x+2)+2x-2
∴(B)により
f(x)=2x-2
これに(A)を代入して
f(x)=2√7
となります。

解き方ど忘れ 返信  引用 
名前:ハンバーグドリア    日付:2019/1/7(月) 5:12
 至急お願い!誰かこの数学の問題の解き方を教えてくれ!
 @ 4^(2x)+4^(x+1)-12=0

 A 100^(x)+10^(x)=2

 B 9^(x)+2・3^(x)-15>0

 C 1/4^(x)-3(2/1)^(x)≦4


 D (log₃X)²‐4log₃X+3=0

 E (log₂X)²-log₂X²-3≦0

(上の4つの問題は数字にかかってるものを(  )でくくってます。
なので、4^(2x)は4の2x乗ってことです。)



Re: 解き方ど忘れ
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 6:52
いずれも適当な置き換えをした上で
方程式、不等式を解き、置き換えを
元に戻します。

@
2^x=tと置きましょう。
A
10^x=tと置きましょう。
B
3^x=tと置きましょう。
C
(1/2)^x=tと置きましょう。
但し、得られたtの値の範囲から
tを元に戻して、各辺の1/2を底とした
対数を取るとき、
(対数の底辺)=1/2<1
となることから不等号の向きが逆転する
ことに注意しましょう。

高校の課題です 返信  引用 
名前:豆大福    日付:2019/1/7(月) 5:2
計算の過程を教えてください! 問:次の方程式、不等式を解け。

@log₂(2x-5)=3 Alog10(x-3)+log10x≦1

B(log₂x)²-2log₂x-8=0 C(log1/3x)²+log1/3x²-15≦0



Re: 高校の課題です
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 6:25
@
問題の方程式から
2x-5=2^3
∴x=13/2
A
問題の不等式のlogの中の10は底と仮定して解答を。
問題の不等式から真数条件により
x-3>0かつx>0
∴3<x (A)
このとき問題の不等式は
log[10]{x(x-3)}≦1
∴両辺の対数を外すと
(対数の底)=10>1
により、不等号の向きは変わらず
x(x-3)≦10
∴(x-5)(x+2)≦0
∴-2≦x≦5 (B)
(A)(B)より求める解は
3≦x≦5
B
問題の方程式から
(log[2]x-4)(log[2]x+2)=0
∴log[2]x=4,-2
よって
x=2^4,2^(-2)
∴x=16,1/4
C
問題の不等式の左辺の対数の中の1/3は
底と改定して解答を。
問題の不等式から
(log[1/3]x)^2+2log[1/3]x-15≦0
(log[1/3]x+5)(log[1/3]-3)≦0
∴-5≦log[1/3]x≦3
各辺の対数を外すと
(対数の底)=1/3<1
により不等号の向きは逆になり
(1/3)^3≦x≦(1/3)^(-5)
∴1/27≦x≦243

教えてください 返信  引用 
名前:しばねこ    日付:2019/1/7(月) 4:55
4次方程式x⁴-3x³+ax²+bx-4=0の解のうち、2つが1と2であるとき、定数a、b
bの値を求めよ。また、他の解を求めよ。



Re: 教えてください
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 6:14
方針を。
前半)
問題の方程式に
x=1,2
を代入してa,bの連立方程式を導きます。
後半)
条件から因数定理により、問題の4次方程式の左辺は
(x-1)(x-2)(=x^2-3x+2)
を因数に持ちます。
このことから問題の4次方程式の左辺を
実際にx^2-3x+2で割ってみます。
(但し、a,bに前半の結果を代入した上で、ですが。)

高校数学 返信  引用 
名前:うさりんご    日付:2019/1/7(月) 4:53
2次方程式x²-2x+5=0の2つの解をα、βとするとき、次の式の値を求めよ。

@α²β+αβ²

A(α-β)²

Bα²/β+β²/α

Cα⁴+β⁴

教えてください。



Re: 高校数学
名前:通りすがり    日付:2019/1/7(月) 6:10
解と係数の関係から
α+β=2
αβ=5
よって
@
(与式)=αβ(α+β)=10
A
(与式)=(α+β)^2-4αβ=-16
B
(与式)=(α^3+β^3)/(αβ)
={(α+β)^3-3αβ}/(αβ)
=-7/5
C
(与式)=(α^2+β^2)^2-2(αβ)^2
={(α+β)^2-2αβ}^2-2(αβ)^2
=-14

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