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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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三角関数 返信  引用 
名前:アホです。簡単な問題ですみませんm(_ _)m    日付:2017/10/1(日) 10:3
関数y=sinθ+√3cosθのグラフをθ軸方向にπ/6だけ平行移動したグラフを表す関数をy=psinθ+qcosθとする時,定数p,qの値を求めよ。更に,この時,0≦θ<2πにおいて,(p+1)sinθ+(q+√3)cosθ=√2/√3-1を満たすθの値を求めよ。この問題の解説お願いします。



Re: 三角関数
名前:通りすがり    日付:2017/10/1(日) 20:2
前半)
y=sinθ+(√3)cosθ
を三角関数の合成を使って整理をすると
y=2sin(θ+π/3)
∴平行移動後のグラフを表す関数は
y=2sin{(θ-π/6)+π/3}
つまり
y=2sin(θ+π/6)
y=(√3)sinθ+cosθ
よって
(p,q)=(√3,1)
注)
y=sinθ+(√3)cosθ
から、平行移動後のグラフの関数を
y=sin(θ-π/6)+(√3)cos(θ-π/6)
と導き、加法定理を使って展開してもできますが
平行移動前の関数に一旦、三角関数の合成を
使った方が多少計算が煩雑にならないと思います。

後半)
前半の結果を
(p+1)sinθ+(q+√3)cosθ=√2/(√3-1)
に代入すると
(√3+1)sinθ+(1+√3)cosθ=√2/(√3-1)
これより
(√3+1)(sinθ+cosθ)=√2/(√3-1)
(√3+1)(√3-1)(sinθ+cosθ)=√2
2(sinθ+cosθ)=√2
左辺の()内に三角関数の合成を使うと…

ベクトルの問題です 返信  引用 
名前:高3女子    日付:2017/10/1(日) 7:47
西から東に毎秒2mの速さで流れる川がある。この川の
南から北に真っ直ぐ秒速2mの速さで進む船がある。
この船の実際の速度を求めなさい。という問題です。
私は45度の直角三角形の関係を使って、2√2、約2.8m
と求めましたが、友達はベクトルの問題なのだから4m
だと言います。どう説明すればよいでしょうか。



Re: ベクトルの問題です
名前:通りすがり    日付:2017/10/1(日) 8:2
高3女子さんの解答では不十分です。
求めるのは速度であって速さではありませんので
速度の向きについても答える必要があります。

南北に進む船の速度ベクトルから
流れる川の速度ベクトルを引けば
よいので、45°の直角三角形を
考えて船の実際の速さは
2√2≒2.82[m/s]
速度の向きは北東から南西への向き
となります。


Re: ベクトルの問題です
名前:IT    日付:2017/10/1(日) 11:56
数学というより物理や国語の問題ですが
文脈から出題者が求めている解答は、通りすがり さんのとおりなのだろうと思いますが、
これを「この船の実際の速度」と呼ぶのは違和感がありますね。


Re: ベクトルの問題です
名前:通りすがり    日付:2017/10/2(月) 19:2
>>ITさんへ
そうですね。実際の速度、というよりは
川の流れから見た船の速度
などというべきでしょうね。


名前:B♭コルネット    日付:2017/10/2(月) 21:5
>速度の向きは北東から南西への向き
逆では?


Re: ベクトルの問題です
名前:通りすがり    日付:2017/10/3(火) 18:45
>>B♭コルネットさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>高3女子さんへ
ごめんなさい。訂正します。
誤:速度の向きは北東から南西への向き
正:速度の向きは南東から北西への向き

命題と不等式について 返信  引用 
名前:N    日付:2017/9/30(土) 20:11
正の数a,bについて,ab<1であることはa+b<2であるための何条件か。

解)条件をp、結論をqとおくと
  ア)p⇒qについて
    反例としてa=3,b=1/6があるため偽
  イ)q⇒pについて
    a+b<2⇔b<2-a
a>0よりab<a(2-a)⇔ab<-(a-1)^2+1
    よって、ab<-(a-1)^2+1≦1となるから
    ab<1
    したがって、真であることから
    求める条件は必要条件である

    このように解答は書いているのですが、
    ab<-(a-1)^2+1≦1となるからab<1の部分が
    よくわかりません。
   
    単純に連立不等式A≦B≦Cのとき
    両端をとりA≦Cとするならば等号が
    つくように思います。

    細かいところですが、この考えていくと
    ab<-(a-1)^2+1≦1となるからab≦1となり
    ab≦1ならばab<1は反例がab=1のときとなり
    必要条件でも十分条件でもなくなりように
    思えてしまいます。

    どうぞよろしくお願いいたします。
    
   

    



Re: 命題と不等式について
名前:IT    日付:2017/9/30(土) 20:27
不等号をもう一度確認してみてください。
ab<-(a-1)^2+1 の不等号には 等号がついてないと思いますが?


Re: 命題と不等式について
名前:N    日付:2017/9/30(土) 20:37
ITさん
返信ありがとうございます。

等号を確認しましたが、ab<-(a-1)^2+1≦1より

ab<1と書いてあります。

ここの論理の展開がよくわかりません。

よろしくお願いします。


Re: 命題と不等式について
名前:IT    日付:2017/9/30(土) 20:45
A<B<C のときはAとCの大小関係はどうですか?
A<B=C のときはAとCの大小関係はどうですか?


Re: 命題と不等式について
名前:N    日付:2017/9/30(土) 21:8

A<B<C のときはAとCの大小関係はどうですか?
⇒A<C

A<B=C のときはAとCの大小関係はどうですか?
⇒A<C

どちらも同じではないでしょうか。


Re: 命題と不等式について
名前:IT    日付:2017/9/30(土) 21:16
そうですね。
では、A<B≦C のときはAとCの大小関係はどうですか?
これが元の問題の場合です。


Re: 命題と不等式について
名前:N    日付:2017/9/30(土) 21:29

A<B≦C のときはAとCの大小関係はどうですか?
これが元の問題の場合です。


文字の状態だとわかりにくいので
具体的に値を入れて考えると

ア) A=5,B=6,C=6のとき
   A<C

イ) A=5,B=6,C=7のとき
   A<C

いずれの場合も等号がつかず、A<Cとなりました。






Re: 命題と不等式について
名前:IT    日付:2017/9/30(土) 22:5
それで、元の問題は理解できましたか?

具体的な値で考えるのは有効な方法ですが、必ずしもすべての場合にあてはまるとは限りません。
注意してください。(この不等式の場合は、一般の場合も正しいですが)


Re: 命題と不等式について
名前:N    日付:2017/9/30(土) 22:20

段階を踏んだ説明をして下さりわかりやすく理解できました。

ありがとうございました。

ご指摘いただきました具体的な数値を入れない一般化の
点についても注意していきたいと思います。

広義積分 返信  引用 
名前:オードリー    日付:2017/9/30(土) 18:15
∫[0,∞] log(x)/{(ex)^2+1}^2 dx

これの求め方を教えて下さい



Re: 広義積分
名前:崖の上の、ンッポんニョッ    日付:2017/10/1(日) 7:35
答えだけ書くと
-(π)/(2e)
である。

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