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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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数学B 返信  引用 
名前:mika    日付:2017/6/12(月) 18:2
Σ【k=1,n】[5^(k-1)]

答え (5^n-1)/4

解き方教えてください!



Re: 数学B
名前:通りすがり    日付:2017/6/12(月) 18:38
等比数列の和の公式を使います。

数学B 返信  引用 
名前:mika    日付:2017/6/12(月) 17:59
Σ【k=1,n】(3k+1)(2k-3)

答え 1/2(4n^2-n-1)

解き方お願いします!



Re: 数学B
名前:通りすがり    日付:2017/6/12(月) 18:39
(3k+1)(2k-3)を展開してΣの公式を適用します。

数列 返信  引用 
名前:N    日付:2017/6/12(月) 10:10
Sn=1/1・2・3+1/2・3・4+1/3・4・5+…+1/n(n+1)(n+2)の和Snを求めよ
答えはn(n+3)/4(n+1)(n+2)になるそうなのですが、部分分数分解が全くできません。よろしくお願いします。



Re: 数列
名前:通りすがり    日付:2017/6/12(月) 11:19
1/{n(n+1)(n+2)}=a/n+b/(n+1)+c/(n+2)
と変形できるとすると、
1/{n(n+1)(n+2)}={a(n+1)(n+2)+bn(n+2)+cn(n+1)}/{n(n+1)(n+2)}
1/{n(n+1)(n+2)}={(a+b+c)n^2+(3a+2b+c)n+2a}/{n(n+1)(n+2)}
両辺の分子の係数を比較すると
a+b+c=0 (A)
3a+2b+c=0 (B)
2a=1 (C)
(A)(B)(C)を連立して解き
(a,b,c)=(1/2,-1,1/2)
よって
1/{n(n+1)(n+2)}=(1/2){1/n-2/(n+1)+1/(n+2)}
=(1/2){1/n-1/(n+1)}-(1/2){1/(n+1)-1/(n+2)}
となるので
S[n]=(1/2)(1/1-1/2)-(1/2)(1/2-1/3)
+(1/2)(1/2-1/3)-(1/2)(1/3-1/4)
+(1/2)(1/3-1/4)-(1/2)(1/5-1/6)
+…
+=(1/2){1/n-1/(n+1)}-(1/2){1/(n+1)-1/(n+2)}
=…


Re: 数列
名前:通りすがり    日付:2017/6/12(月) 11:19
ごめんなさい。訂正します。
誤:+=(1/2){1/n-1/(n+1)}-(1/2){1/(n+1)-1/(n+2)}
正:+(1/2){1/n-1/(n+1)}-(1/2){1/(n+1)-1/(n+2)}


Re: 数列
名前:IT    日付:2017/6/12(月) 18:54
別解
1/(k+1)(k+2) - 1/(k+2)(k+3)
={(k+3)-(k+1)}/{(k+1)(k+2)(k+3)}
=2/{(k+1)(k+2)(k+3)}

よって
1/1・2・3+1/2・3・4+1/3・4・5+…+1/n(n+1)(n+2)
=(1/2)[{1/1・2-1/2・3}+{1/2・3-1/3・4}+…+{1/n(n+1)- 1/(n+1)(n+2)}]
=(1/2){1/2-1/(n+1)(n+2)}
=(1/4){(n+1)(n+2)-2}/(n+1)(n+2)
=n(n+3)/{4(n+1)(n+2)}

射影加群に関して 返信  引用 
名前:かい    日付:2017/6/12(月) 1:16
お世話になってます。

以前質問させていただいた、加群に関しての問題です。
その時に、射影加群というヒントをいただき考えていました。b⇒aは証明できたのですが、その逆が証明できませんでした
ご教授をお願いできないでしょうか?


R:可換環、P:R-加群とする。
このとき、次の(a),(b)は同値であることを示せ
(a):M,NをR-加群としたとき、任意の全射R準同型f:M→Nと任意のR準同型g:P→Nに対して、f◦h=gを満たすR準同型h:P→Mが存在する。
(b):ある自由R-加群FとR-加群Nが存在して、(PとNの直和)とFがR-同型になる。

よろしくお願いします



Re: 射影加群に関して
名前:pqr    日付:2017/6/12(月) 20:0
見覚えがあるので, 再度回答させていただきます.

(a)を使うためには全射を作る必要がありますので,
Pの生成元を{x_i}_{i∈I} とし, F=(直和)_{i∈I} Re_i として,
全射f:F→P を e_i を x_i に写すものとして定義します,
N=Ker(f) としたとき, P(直和)N = F かどうかを考えてみてはいかがでしょうか?

まずは, (a) を使う上で, g として何をとってくればよいかを考えてみて下さい.


Re: 射影加群に関して
名前:かい    日付:2017/6/26(月) 14:55
返信が遅くなり申し訳ありません


やっと理解できました、ありがとうございます

cosの計算 返信  引用 
名前:りす    日付:2017/6/11(日) 20:22
2cosθcos2/3π=-cosθ
と問題の解説にあったのですが、途中式が省略されわかりません。教えて下さい🙏



Re: cosの計算
名前:通りすがり    日付:2017/6/11(日) 20:40
何も特別な計算はしていません。
cos(2π/3)
の値はいくつになりますか?

関数列の一様収束 返信  引用 
名前:基礎解析    日付:2017/6/11(日) 10:58
f_n(x)=x^n/(a+x^n) 区間[a,∞] aは実数
としたとき、f_n(x)は一様収束するかどうか調べよ。

複雑で分かりませんでした。



Re: 関数列の一様収束
名前:IT    日付:2017/6/11(日) 11:48
aの値で場合分けして調べる必要があると思います。
a<0,a=0,0<a<1,a=1,1<a

まずは、簡単な順にa=0,1<a,a=1 を調べてみられると良いと思います。


Re: 関数列の一様収束
名前:IT    日付:2017/6/11(日) 12:16
f_n(x)が連続の場合は、判定の方法(一様収束の必要条件)として下記も使えます。
区間I 上で定義された連続関数列 {f_n(x)} が f(x) に一様収束するならば f(x) は連続である。

(untitled) 返信  引用 
名前:あい    日付:2017/6/11(日) 10:29
|x|+|y|≠0と同値である条件なのですが、答えは「x≠0またはy≠0」なのですが、
「x=0またはy=0」ではなにがダメなんでしょうか?



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/6/11(日) 10:37
>>x=0またはy=0

x=0かつy=0
を含むからです。

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