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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:    日付:2018/5/31(木) 11:41
a>0とする。x,yの連立方程式
{ay=x-x^3,ax=y-y^3
がx>0,y>0,x≠yを満たす解(x,y)をもつようなaの値の範囲を求めよ。

という問題で写真のような回答になったのですが
赤ペンのところをただ「解を持てばよいので」としてしまったのですが、「相異なる2つの正の解があればよい」となるのはなんでですか?
https://imgur.com/gallery/DiRJE9M



Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:2018/5/31(木) 14:58
2解が a,b とすると、対称性から
 (a,b) (b,a)
が、条件を満たす解となります。
これが重解となると、両方とも、(a,a) となり、x≠y となりません。

グラフを描けば一目瞭然です。

↓グラフ
http://yosshy.sansu.org/junk/2018/ra1.gif


Re: (untitled)
名前:    日付:2018/5/31(木) 18:28
なぜ正の解でないといけないのですか?


Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:2018/6/1(金) 17:9
>(C)(D)より、実数tを用いた2次方程式
> t^2−t+a^2=0 が
> 相異なる正の解をもてばよい。

の部分を

x^2, y^2 は、tの2次方程式
 t^2−t+a^2=0
の2解であり、これが相異なる正の解をもてばよい。

と書き換えれば、解が正でなければならないことがわかるでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/

有界関数の一様ノルムにおける完備性 返信  引用 
名前:完備    日付:2018/5/31(木) 10:29
http://ums.futene.net/wiki/Math/48696C62657274205370616365.html#i7
の「有界関数の一様ノルムにおける完備性」という証明を参考にしていますが、よくわからないところがあります。

以下、転記します。

有界関数が一様ノルムで完備であることを示すためには、有界関数の列f_n ∈ B(I)がCauchy列であれば有界関数に一様収束することを示せばよい。

f_nがCauchy列であるとする。すなわち、
任意のε>0について、あるNが存在してn,m>Nについて、||f_n-f_m||_∞ < ε となる。

ここでx ∈ Iについて

|f_n(x)-f_m(x)| ≦ ||f_n - f_m||_ ∞ < ε

が成り立つのでf_n(x)はCauchy列である。f_n(x)の収束先をf(x)とする。つまりfはf_nの点収束先

さて、上の不等式のmを固定したまま、n→∞を計算すると

||f_m(x)-f(x)||_∞ < ε

となる。これが任意のx ∈ Iについて成り立つので

||f_m - f||_∞ < ε

つまりf_nはfに一様収束しているということが言える。また、あるnについて、||f_n||_∞ ≦ Mが成り立つとき、上から||f|| ≦ M+εがいえる。よって一様収束する先は有界関数

以上から有界関数が完備であることが示された□

上記の証明で、fはf_nの点収束先を示した後の証明がよくわかりません。
まず上の証明、正しいでしょうか?
「n→∞を計算すると、 ||f_m(x)-f(x)||_∞ < ε となる。」
この部分ですが、これは記号の使い方的に、一様ノルムなら中に実数ではなく、関数が入るはずですから、| f_m(x)-f(x) |の間違いじゃないかなと思っています。

まず、そこが正しいのか間違っているのか教えていただきたいです。
詳しい方、お助けください。



Re: 有界関数の一様ノルムにおける完備性
名前:LCR    日付:2018/6/2(土) 11:19

> 「n→∞を計算すると、 ||f_m(x)-f(x)||_∞ < ε となる。」
この部分ですが、これは記号の使い方的に、一様ノルムなら中に実数ではなく、関数が入るはずですから、| f_m(x)-f(x) |の間違いじゃないかなと思っています。

その通りです。
各点xで収束することを利用するのだから、当然ノルム||・||ではなく絶対値|・|です。

> つまりf_nはfに一様収束しているということが言える。

すべての x∊I について一様に、正確には x∊I に関係なく N:正整数を取ることができる
 が一葉収束の定義ですから、{f_m} が一葉収束する、は表現がおかしい。単に収束かと。

上記は表記法で著者が勘違いしたくらいの細かいことですが、本質的なのはこれからです。


> ここでx ∈ Iについて
|f_n(x)-f_m(x)| ≦ ||f_n - f_m||_ ∞ < ε
が成り立つのでf_n(x)はCauchy列である。f_n(x)の収束先をf(x)とする。つまりfはf_nの点収

これは成り立ちません。
証明の後のほうを読むと、すべての x∊I で成り立つ必要がありますが、
 有限個の点 x∊I で {f_m(x)} が収束していなくても、
 {f_m} が収束するゆえにコーシー列になる反例があり、
 |f_m(x)−f_n(x)|≦||f_m−f|| はすべての x∊I では成り立ちません。
反例
f(x)=c1 (x∊I) , f_m(x)=c1 (x≠x1,x∊I) , f_2L(x1)=c1 , f_2L+1(x1)=c2≠c1
 と f(x)とf_m(x) を定義しても、ノルムに1点だけの値c2は影響なく、
 ||f_m−f||= lim_p(∫_I (c1−c1)^p dx)^1/p = 0 だが
 |f_2L+1(x)−f(x)| は x≠x1 で |c2−c1|>0 。

しかし、たとえ有限個の点 x∊I で {f_m(x)} が収束しなくても、
  {f_m} は結果的に収束するので、別の証明方法が必要。
ちなみに、仮にすべての x∊I で {f_m(x)} がコーシー列ならば、
 各点 x∊I で収束先 f(x) が存在するので、これをすべてのxで定義した f は、
 その後の証明のとおり有界関数で、{f_m} の収束先となり証明は完了する。


難くせをつけるようですが、読むのに苦労しているようなので、本証明の欠点をもう一つ。
{f_m} のコーシー列の定義は ∀ε>0 ,∃N:正整数 s.t.∀m,n≧N , ||f_m−f_n||<ε
 とεで表現しているのに、|f_m(x)−f_n(x)|で n→∞ という具合に、
 最終的に |f_m(x)−f(x)|≦…<ε により一葉収束を示さなければ、
 εN論法を用いている意味がないし、特に一葉収束では論理的に不十分である可能性がある。


Re: 有界関数の一様ノルムにおける完備性
名前:hoge    日付:2018/6/4(月) 14:18
返信ありがとうございます。
なんだか色々と間違っているようですね。
ちょっと別の証明を探してみます。
回答ありがとうございました。

解の個数 返信  引用 
名前:眠たい    日付:2018/5/31(木) 9:29
2x^{3} - ax^{2} + 1 = 0 (aは定数)の異なる実数解の個数を求めよ

実数解の個数を問われる問題では、a=f(x)の形に変形して、y=f(x)とy = aの交点の個数で実数解の個数を求めることができると思います。

上記の問題をこのアプローチで解くとうまくいきませんでした。
もしこのアプローチで解けるのならその解法を教えてください。
また、別のアプローチの場合どのような問題でどのアプローチを用いればよいかの判断基準などあれば教えてください。

回答お願いいたします。



Re: 解の個数
名前:LCR    日付:2018/5/31(木) 10:25

2(x^3)−a(x^2)+1 = 0

を a= について解くと
 a = f(x) = (2(x^3)+1) / (x^2)
とf(x)は分数関数になってしまい、
 解法の考え方として正しいですが、
 少なくとも微分の計算が複雑になります。

オーソドックスな解答では、aを式の中に入ったまま
 y = g(x) = 2(x^3)−a(x^2)+1 のグラフ
 y = 0 (x軸)
の交点の個数を求めようと考えます。

 g´(x) = 6(x^2)−2ax = 2x(3x−a)
より、a>0 か a=0 か a<0 か3通りに分けて、
 x=0 , a/3 か x=a/3 , 0 のいずれかで極大値・極小値になるか増減表をかいて、
 x軸との交点の個数を調べてください。


Re: 解の個数
名前:眠たい    日付:2018/5/31(木) 10:46
回答ありがとうございます!
分数関数などグラフが複雑な式になる場合はx軸との交点を考えた方がいいでしょうかね。
助かりました!


Re: 解の個数
名前:ヨッシー    日付:2018/5/31(木) 11:41
>もしこのアプローチで解けるのならその解法を教えてください。
とのことでしたので、最初の方針でもやってみます。

 2x^3−ax^2+1=0
をx≠0の条件下で整理すると
 a=2x+1/x^2
f(x)=2x+1/x^2 (x≠0) とおきます。
微分して、
 f'(x)=2−2/x^3
f'(x)=0 を解くと、x=1
 x<0 で単調増加
 0<x<1 で単調減少
 x=1 で極小値
 1<x で単調増加
となります。
 f(1)=3
であるので、y=f(x) と y=a との交点の数は
 a<3 のとき1個
 a=3 のとき2個
 a>3 のとき3個
となります。

↓グラフ
http://yosshy.sansu.org/junk/2018/nemutai1.gif


Re: 解の個数
名前:眠たい    日付:2018/5/31(木) 13:0
グラフまでつけていただいてありがとうございました!
助かりました!

減衰振動 返信  引用 
名前:トム    日付:2018/5/31(木) 1:36
ばね定数4[N/m]のばねの一端を天井に固定し、他端に質量3[kg]の小球を取り付け、鉛直方向に振動させる。
小球には速度に比例する空気抵抗(比例定数k)が働き、重力加速度g、鉛直上向きにy軸を取り、原点を自然長の位置にする。
(b)小球が減衰振動するときの、kの範囲を求めよ。
運動方程式は 3d^2y/dt^2=-4y-kdy/dt+3gであっていますか?これを変形して
3d^2y/dt^2+kdy/dt+4(y-3g/4)=0として()の部分をzとおいてzに関する微分方程式に直したいのですがd^2y/dt^2とdy/dtをどうしたらよいのかわかりません。
教えてください



Re: 減衰振動
名前:通りすがり    日付:2018/5/31(木) 5:26
定数項は微分で消えるので
dz/dt=dy/dt
(d^2)z/dt^2=(d^2)y/dt^2
です。


Re: 減衰振動
名前:トム    日付:2018/5/31(木) 8:21
ありがとうございます。

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