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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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東大入試2010年理系第6問 返信  引用 
名前:教員志望    日付:2019/4/22(月) 11:49
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/10/t01-21a/15.gif

下から5行目のA'B'//ABの部分の理由がわかりません。
解説お願いできませんでしょうか?
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/10/t01-21a/15.gif



Re: 東大入試2010年理系第6問
名前:けんけんぱ    日付:2019/4/22(月) 18:16
平行でない2つの平面は直線で交わる。

一方の平面を平行移動してできる交線は元の交線と平行である。

図形と計量 返信  引用 
名前:ピヤ    日付:2019/4/21(日) 16:3
平面上に四角形ABCDがあり、AB=5、AC=4、BD=√39、∠BAC=∠CAD=60°を満たしている。このときの、BC、AD、CDを求めよ。

BC=√21 と出ました。残りがわかりません。よろしくお願いします。



Re: 図形と計量
名前:通りすがり    日付:2019/4/21(日) 16:39
条件から
∠BAD=120°
このことから、△ABDにおいて∠BADに関する余弦定理を使って
DAに関する方程式を立て、解きます。
この結果を使い、△ACDにおいて∠CADに注目した余弦定理を
使ってCDを求めます。

列ベクトル 返信  引用 
名前:かわ    日付:2019/4/20(土) 18:14
a.1…a.n-1はn次の列ベクトルであるとき

ai^t・an =0 (i=1.2.…n-1)

となるベクトルanが少なくとも存在する

と書かれてあったのですが、直交とも書かれていないので直感でイマイチわからないのですが、これは本当に成り立つのでしょうか?



Re: 列ベクトル
名前:かわ    日付:2019/4/20(土) 18:15
すみません。a1…an-1の方が見やすいかもしれないのと

少なくとも一つ存在するです。


Re: 列ベクトル
名前:IT    日付:2019/4/20(土) 19:0
もちろんベクトルanは0ベクトルではない。 ですね。


Re: 列ベクトル
名前:IT    日付:2019/4/20(土) 20:16
書き方(転記)が不正確のようですが、成り立つと思います。
n次元線形空間のn-1個のベクトルa[1],…,a[n-1]で生成される部分線形空間(n-1次元以下)に「直交」するベクトルが取れるってことですよね。


Re: 列ベクトル
名前:かわ    日付:2019/4/20(土) 21:26
anを取れると少なくとも一つ存在って意味が違いますよね?

その後そのanを元々あったAを用いてA・an=0としてdim(KerA)を取るのですが、anが少なくとも一つ存在してるということで
dim(KerA)>=1と書いてあったのですが、取れるにしてしまうと不等式は成り立たないようなきがします。少なくとも一つ存在なら確かに成り立ちますが、解説を見ると必ず存在するみたいな感じでかかれてます。


Re: 列ベクトル
名前:IT    日付:2019/4/21(日) 7:11
ここで使った「取れる」というのは、「少なくとも1つあるので、そのうち1つを取れる」という意味です。
場合によっては、「少なくとも1つあるので、そのうち1つを具体的に決める(構成する)ことが出来る。」という意味で使う場合もあると思います。

この問題ではベクトルですから、条件を満たすベクトルが1つあれば定数倍を考えれば無数にあるのは当然ですね。

下記などにも類似の事項が載っています。
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/h26kogi/14la1-14.pdf


Re: 列ベクトル
名前:IT    日付:2019/4/21(日) 8:3
n-1個のベクトルa[1],…,a[n-1]で生成される部分線形空間はn-1次元以下
で、n-2次元の場合もありえます。この場合、条件を満たす線形独立な2つのベクトルが存在することになります。


Re: 列ベクトル
名前:かわ    日付:2019/4/21(日) 22:6
転載までして頂きありがとうございます。
確かに直交補空間があるなら成り立ちますがあくまで部分空間なので直交補空間は必ず存在すると言えるのでしょうか?

ai^t・an=0が一つも存在しないという状況はあるのでしょうかということです。
原点を通るのが部分空間なのでそれはないということですかね?


Re: 列ベクトル
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 19:48
下記の35ページに証明があります。

直交補空間の存在
どんな部分空間 に対しても直交補空間は存在する.
http://fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp/sites/default/files/linear_algebra.pdf


Re: 列ベクトル
名前:IT    日付:2019/4/22(月) 19:59
span()の定義は6ページにありますが
できるだけ 最初のページから読むことをお勧めします。

不等式の両辺2乗 返信  引用 
名前:マカロン    日付:2019/4/19(金) 14:56
【2乗比較】
a>0, b>0のとき,
a^2>b^2ならばa>b
(解説)
a^2−b^2=(a+b)(a−b)
だから,a>0, b>0のときa+b>0だから
a>bならばa^2>b^2…(1)
a^2>b^2ならばa>b…(2)

解説が理解できません。a^2−b^2=(a+b)(a−b)だから,a>0, b>0のときa+b>0(解説の始めの2行)を述べることによって、何を示しているのですか。どなたかお願いします。



Re: 不等式の両辺2乗
名前:マカロン    日付:2019/4/19(金) 14:58
a>0, b>0のとき,
a^2>b^2ならばa>b が成り立つのは理解することができます。


Re: 不等式の両辺2乗
名前:けんけんぱ    日付:2019/4/19(金) 15:39
言葉を補ってみます。

a^2−b^2=(a+b)(a−b)
だから,a>0, b>0のときa+b>0

a>bならばa-b>0だから(a+b)(a−b)>0
したがって、a^2−b^2>0⇔a^2>b^2…(1)
a^2>b^2ならばa^2-b^2>0だから(a+b)(a−b)>0
したがって、a-b>0⇔a>b…(2)


Re: 不等式の両辺2乗
名前:マカロン    日付:2019/4/19(金) 16:19
理解することができました!ありがとうございます。

(untitled) 返信  引用 
名前:FIRE    日付:2019/4/19(金) 0:56
△ABCの重心をGとする。BG=CGのとき、△ABCはAB=ACの二等辺三角形であることを証明しなさい。

この問題を教えて下さい!



Re: (untitled)
名前:B♭コルネット    日付:2019/4/21(日) 13:16
Gが△ABCの重心だから、直線AGはBCの中点Mを通過し、BM=CMで、
仮定:BG=CG  と  GM共通 により △GBM≡△GCM になり、
∠BMG=∠GMC=90°(何故なら、3点B、M、Cは 一直線上にあるから)

∴∠AMB=∠AMC=90°
これと、BM=CM  AM共通 により、△ABM≡△ACM よって、AB=AC

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