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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:あゆみ    日付:2017/7/31(月) 13:14
y軸上の点Pを通る直線Lは放物線y=4分の1x^2と2点A,Bで交わり、放物線y=ax^2(a>4分の1)と2点C,Dで交わっている。
点Bのx座標が2で、BD:DP:PC=1:3:4とする。

(1)aの値を求めよ。
(2)直線Lの式を求めよ。
(3)AP:CPを求めよ。

------
混乱してしまい解けません。お願い致します。



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/7/31(月) 18:56
図が掲載できるサイトで聞かれた方が良いと思います。


Re: (untitled)
名前:Kenji    日付:2017/8/1(火) 3:14
やってみました。答までの道のりが長くなってしまいました。
もっと上手な、スカッとしたやり方があるかもしれません。

P,Bのx座標はそれぞれ0,2である。C,Dのx座標をそれぞれc,dとおく。
このとき
BD:DP:PC=|d-2|:|d|:|c|
これが1:3:4であるから
|d-2|:|d|=1:3
|d|=3|d-2|
d=3または3/2

また|d|:|c|=3:4であるから
3|c|=4|d|
c=±(4/3)|d|
よって
(c,d)=(4,3)または(-4,3)または(2,3/2)または(-2,3/2)

C,Dの座標はそれぞれC(c,ac^2)、D(d,ad^2)であるから
直線Lの方程式はy=a(c+d)x-acdである。
これがB(2,1)を通るから
1=2ac+2ad-acd
1=a(2c+2d-cd)
-1=a(cd-2c-2d)
a=-1/{(c-2)(d-2)-4}
よって
(c,d)=(4,3)のときa=-1/{(2)(1)-4}=1/2
(c,d)=(-4,3)のときa=-1/{(-6)(1)-4}=1/10 これはa>1/4に反する
(c,d)=(2,3/2)のときa=-1/{(0)(-1/2)-4}=1/4 これはa>1/4に反する
(c,d)=(-2,3/2)のときa=-1/{(-4)(-1/2)-4}=1/2
よって
(a,c,d)=(1/2,4,3)または(1/2,-2,3/2)

(a,c,d)=(1/2,4,3)のとき
C,Dの座標はC(4,8),D(3,9/2)であるから直線Lの方程式はy=(7/2)x-6
よって点Pの座標はP(0,-6)
また
放物線y=(1/4)x^2と直線L:y=(7/2)x-6の交点は(2,1)と(12,36)であるから、
点Aの座標はA(12,36)である。
y軸上の点P(0,-6)を通る直線L:y=(7/2)x-6は
放物線y=(1/4)x^2と2点A(12,36),B(2,1)で交わり、
放物線y=(1/2)x^2と2点C(4,8),D(3,9/2)で交わっている。
点Bのx座標が2で、BD:DP:PC=|3-2|:|3|:|4|=1:3:4
よってこれは題意を満たしている。
このとき
AP:CP=|12|:|4|=3:1

(a,c,d)=(1/2,-2,3/2)のとき
C,Dの座標はC(-2,2),D(3/2,9/8)であるから直線Lの方程式はy=-(1/4)x+3/2
よって点Pの座標はP(0,3/2)
また
放物線y=(1/4)x^2と直線L:y=-(1/4)x+3/2の交点は(2,1)と(-3,9/4)であるから、
点Aの座標はA(-3,9/4)である。
y軸上の点P(0,3/2)を通る直線L:y=-(1/4)x+3/2は
放物線y=(1/4)x^2と2点A(-3,9/4),B(2,1)で交わり、
放物線y=(1/2)x^2と2点C(-2,2),D(3/2,9/8)で交わっている。
点Bのx座標が2で、BD:DP:PC=|2-3/2|:|3/2|:|-2|=1:3:4
よってこれは題意を満たしている。
このとき
AP:CP=|-3|:|-2|=3:2

(答)
(1) a=1/2
(2) y=(7/2)x-6またはy=-(1/4)x+3/2
(3) 3:1または3:2


Re: (untitled)
名前:由香    日付:2017/8/1(火) 13:46
放物線y=ax^2(a>4分の1)と2点C,Dで交わっている。
ことから、d=3はありえないとおもうのですが。。

BD:DP:PC=1:3:4 から BP:PC=1:1 です。 よってCのx座標は−2
また、Dのx座標は、Bのx座標の3/4(これはPD/BPです)ですから、3/2
これで、C(−2,4a) D(3/2,9a/4)が出てきます。
直線Lの式は、y=(−a/2)x+3a と出て、
点B(2,1)の通過より、a=1/2
これから、直線Lが確定しますので、
放物線y=(1/4)x^2とのもうひとつの交点Aが出ます。

AP:CPを求めるには、直接AP,CPを求めずともPがy軸上にあることから
A,Cのそれぞれx座標がわかればその絶対値で出せます。  3:2


Re: (untitled)
名前:Kenji    日付:2017/8/2(水) 2:44
同じ内容ですが、答案を書き直してみました。このサイトは投稿の修正が出来ませんので、再投稿とします。

P,Bのx座標はそれぞれ0,2である。C,Dのx座標をそれぞれc,dとおく。
このとき
 BD:DP:PC=|d-2|:|d|:|c|=1:3:4
が成り立つ。
|d-2|:|d|=1:3であるから|d|=3|d-2| ∴d=3または3/2
|d|:|c|=3:4であるから3|c|=4|d| ∴c=±(4/3)|d|
よって
 (c,d)=(4,3)または(-4,3)または(2,3/2)または(-2,3/2)

(c,d)=(4,3)のとき
C,Dの座標はC(4,16a),D(3,9a)であるから直線Lの方程式はy=7ax-12a
これがB(2,1)を通るから1=14a-12a ∴a=1/2
よってC(4,8)、D(3,9/2)、直線L:y=(7/2)x-6、P(0,-6)
放物線y=(1/4)x^2と直線L:y=(7/2)x-6はx=3,12で交わるからA(12,36)
これらは題意を満たす。
このときAP:CP=|12|:|4|=3:1

(c,d)=(-4,3)のとき
C,Dの座標はC(-4,16a),D(3,9a)であるから直線Lの方程式はy=-ax+12a
これがB(2,1)を通るから1=-2a+12a ∴a=1/10 これはa>1/4に反する。

(c,d)=(2,3/2)のとき
C,Dの座標はC(2,4a),D(3/2,9a/4)であるから直線Lの方程式はy=(7/2)ax-3a
これがB(2,1)を通るから1=7a-3a ∴a=1/4 これはa>1/4に反する。

(c,d)=(-2,3/2)のとき
C,Dの座標はC(-2,4a),D(3/2,9a/4)であるから直線Lの方程式はy=-(1/2)ax+3a
これがB(2,1)を通るから1=-a+3a ∴a=1/2
よってC(-2,2)、D(3/2,9/8)、直線L:y=-(1/4)x+3/2, P(0,3/2)
放物線y=(1/4)x^2と直線L:y=-(1/4)x+3/2はx=-3,2で交わるからA(-3,9/4)
これらは題意を満たす。
このときAP:CP=|-3|:|-2|=3:2

(答)
(1) a=1/2
(2) y=(7/2)x-6またはy=-(1/4)x+3/2
(3) 3:1または3:2


Re: (untitled)
名前:由香    日付:2017/8/2(水) 12:46
失礼しました

点Pが、y軸上正位置と勘違いしていました。
負の場合もあり、前記と同様にして求めます。

BD:DP:PC=1:3:4 から BD:PB:CD=1:2:1がわかりますので
PB:BC:PD=2:2:3になり、
従って、Cのx座標=2x2=4です。また、Dのx座標は、2x3/2=3です。
これから、直線Lの式は、y=7ax−12a と出て、点Bを通過することから
y=(7/2)x−6
放物線y=(1/4)x^2とのもうひとつの交点Aは、x座標=12になります。
AP:PC=12:4=3:1


Re: (untitled)
名前:あゆみ    日付:2017/8/3(木) 9:54
ありがとうございました!

数学的帰納法 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/7/30(日) 20:19
nが自然数のとき n/3^n<1/(n+1)  を数学的帰納法で示せ。

お手上げです。お願いできますでしょうか



Re: 数学的帰納法
名前:IT    日付:2017/7/30(日) 21:34
分数式でなくしたほうが分かりやすいかも知れません。
自然数nについて,n/3^n<1/(n+1) ⇔ n(n+1)<3^n です。

n(n+1)<3^n …(1)
(n+1)(n+2)<3^(n+1)=3^n+2*3^n …(2)

n=1 のとき(1) が成立することを示す。
自然数nについて(1)を仮定して(2) を示せばいいです。

任意の自然数nについて 3^n=(1+2)^n>2n≧n+1 …(A)を使えば出来ると思います。


Re: 数学的帰納法
名前:ハロー    日付:2017/7/30(日) 21:57
言われたように、指数の式と一次式の大小関係を使ったらできました!(と思う)。
ありがとうございました。

うまく微分できません 返信  引用 
名前:HOT    日付:2017/7/30(日) 18:16
(log(V)-log(A)-1/B*V)^2/D^2を
log(V)で微分した場合と1/Bで微分した場合の答えはどうなりますか?



Re: うまく微分できません
名前:通りすがり    日付:2017/7/30(日) 23:55
問題の式をfとすると
df/d(logV)={dV/d(logV)}df/dV=V(df/dV)
=…
df/{d(1/B)}={dB/{d(1/B)}}df/dB=(-B^2)df/dB
=…


Re: うまく微分できません
名前:HOT    日付:2017/7/31(月) 1:41
ありがとうございます.

積分 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2017/7/30(日) 10:28
∫(0→1)1/(e^x + 2e^(-x) +3)dx を積分しようとして、e^x=t と置き、x:0→1のとき、t:1→eと
して計算していたら、与式=log(e^e+1)(e+2)/(e^e+2)(e+1) という見慣れない式が出てしまいました。
解答がありませんが、こういう式は何かもっと簡単に書けるのでしょうか。



Re: 積分
名前:通りすがり    日付:2017/7/30(日) 11:20
計算を間違えています。

e^x=t
と置くと
(与式)=∫[1→e]dt/{t(t+2/t+3)}
=∫[1→e]dt/(t^2+3t+2)
=∫[1→e]dt/{(t+1)(t+2)}
=∫[1→e]{1/(t+1)-1/(t+2)}dt
=[log(t+1)-log(t+2)][1→e]
=log(e+1)-log(e+2)-log2+log3
=log{3(e+1)/{2(e+2)}}


Re: 積分
名前:ハロー    日付:2017/7/30(日) 17:41
ありがとうございます。これを元に、もう一度計算をやり直してみます。

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