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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled) 返信  引用 
名前:新一年    日付:2017/4/15(土) 11:57
A,Bは同じサイズの正方行列である。
1.A,Bが正則ならばA+Bも正則
2.Aが正則、Bが正則でないならばA+Bは正則
これらについて真なら証明し、偽なら反例をあげよ。

全く分からないです、教えてください。



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/4/15(土) 12:18
1(反例)A: 正則行列、 B=-A 
2(反例)A:単位行列、B:1行1列のみ-1、他は0


Re: (untitled)
名前:新一年    日付:2017/4/15(土) 12:28
解答ありがとうございます。
Bが正則でないのは何故でしょうか?
正則である条件はB•X=I となる行列Xが存在することだったと思うのですがどのようにしてXが存在しないことを示すのでしょうか…?


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2017/4/15(土) 12:52
B^2=-B
BX=Iとすると
(B^2)X=B
-BX=B=-I 矛盾

2次正方行列について具体的に調べても出来ます。


Re: (untitled)
名前:新一年    日付:2017/4/15(土) 12:58
ありがとうございます!
理解できました。

(untitled) 返信  引用 
名前:はなお    日付:2017/4/15(土) 10:53
(1) X+Y=【1 0 2】



Re: (untitled)
名前:はなお    日付:2017/4/15(土) 10:56
ミスりました。すみません。
X+Y=【1 0 2】 , X-Y=【3 2 0】
-2 2 -1 2 4 1
を満たす行列X,Yの求め方が分かりません。お願いします。


Re: (untitled)
名前:はなお    日付:2017/4/15(土) 10:58
ちょっと分かりづらくなってしまいましたが、
最初の1,0,2の下が-2,2,-1で、3,2,0の下が2,4,1です。


Re: (untitled)
名前:WIZ    日付:2017/4/15(土) 13:5
Rは実数全体を表すものと解釈して回答します。

「x ∈ R」というのは、「xは実数である」というの数学的には同じ意味です。
これはRを数直線つまり1次元と見なせば、xは数直線上の点になります。
R^2は2次元でxy座標平面と見なせます。
つまり、R^2の元は(x, y)のような実数のペアとなります。
このことから、「f:R^2→R^2」は実数のペアから実数のペアへの写像、
或いはx, y, u, vを実数として、(u, v) = f(x, y)となる座標から座標への関数と見なせます。

次に、全射というのは写像の終域に含まれる任意の元に対して、
逆写像し得る始域の元が1つ以上存在することです。
つまり、(u, v) ∈ R^2ならば、(u, v) = f(x, y)となる(x, y) ∈ R^2が存在するということです。
f(x, y) = (x^2, -x+y^2)だと、例えば(-1, 0) ∈ R^2なのに、
(-1, 0) = (x^2, -x+y^2)を満たす実数x, yは存在しませんよね?
なので、f(x, y) = (x^2, -x+y^2)は「f:R^2→R^2」としては全射ではないということになります。


Re: (untitled)
名前:WIZ    日付:2017/4/15(土) 15:43
管理人さんへ
私の2017/4/15(土) 13:5の書き込みは別スレへの回答でした。
本スレの2017/4/15(土) 13:5の書き込みと本書き込みの削除をお願いしたく。
御手数掛けて申し訳ございません。

線形代数 返信  引用 
名前:大学一年    日付:2017/4/15(土) 9:44
写像f;R^2→R^2  ってどういう意味ですか?
実数から実数に移すという意味でしょうか?
あまりよくわかりません。



線形代数演習
名前:タカ    日付:2017/4/15(土) 9:59
f(x,y)=(x^2、−x+y^2)が全射でないのはなぜですか?

x^2はxで表せると思うのですが・・・・・


Re: 線形代数
名前:WIZ    日付:2017/4/15(土) 15:40
Rは実数全体を表すものと解釈して回答します。

「x ∈ R」というのは、「xは実数である」というの数学的には同じ意味です。
これはRを数直線つまり1次元と見なせば、xは数直線上の点になります。
R^2は2次元でxy座標平面と見なせます。
つまり、R^2の元は(x, y)のような実数のペアとなります。
このことから、「f:R^2→R^2」は実数のペアから実数のペアへの写像、
或いはx, y, u, vを実数として、(u, v) = f(x, y)となる座標から座標への関数と見なせます。

次に、全射というのは写像の終域に含まれる任意の元に対して、
逆写像し得る始域の元が1つ以上存在することです。
つまり、(u, v) ∈ R^2ならば、(u, v) = f(x, y)となる(x, y) ∈ R^2が存在するということです。
f(x, y) = (x^2, -x+y^2)だと、例えば(-1, 0) ∈ R^2なのに、
(-1, 0) = (x^2, -x+y^2)を満たす実数x, yは存在しませんよね?
なので、f(x, y) = (x^2, -x+y^2)は「f:R^2→R^2」としては全射ではないということになります。


Re: 線形代数
名前:タカ    日付:2017/4/16(日) 12:7
x^2に含まれる任意の元に対して逆写像しうるxが見つかればよいということなら、x^2で表せるものは非負である以上、負を考える必要がないのではないのでしょうか?
下手な質問で申し訳ございません。


Re: 線形代数
名前:WIZ    日付:2017/4/16(日) 13:19
「x^2に含まれる任意の元」の意味が分かりませんが、「R^2に含まれる任意の元」の書き間違いでしょうか?

スレ主さんは「終域」と「像の取り得る値(の集合)」を混同してませんか?
「像の取り得る値(の集合)」とは無関係に「終域」は定義されるものです。
そして、全射とは「終域」と「像の取り得る値(の集合)」が一致することに他なりません。

本質問の写像では「f:R^2→R^2」ということなので、
終域はあくまでR^2であり、これはu, vを任意の実数として(u, v)と表される元の集合になります。
つまり、u < 0である場合も終域に含まれます。

言い換えれば、本質問の写像の像はx, yを実数として(x^2, -x+y^2)と表される元の集合であり、
これは終域のR^2の真部分集合となり、終域には一致しないということですね。


Re: 線形代数
名前:タカ    日付:2017/4/16(日) 13:34
かなり混同していました。ということは

f(x,y)=(x^2、−x+y^2)ってどういうことを表すのですか?

高校数学しかやったことがなく、この式の意味が分かりません。

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