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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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整数の性質 返信  引用 
名前:AirK    日付:2018/7/30(月) 12:52
1620のすべての正の約数の積を2進法で表すと、末尾には0が連続していくつ並ぶか求めよ。
この問題の解き方がわかりません。宜しくお願いします。



Re: 整数の性質
名前:ヨッシー    日付:2018/7/30(月) 13:40
1620=2^2×3^4×5 であるので、約数の数は
 (2+1)×(4+1)×(1+1)=30
です。これら30個の約数は
 1と1620、2と810、3と540・・・
のように、掛けて1620 になる2つの数の組に分けられ、その組は
 30÷2=15(組)
出来ます。つまり、全約数の積は
 1620^15=2^30×3^60×5^15
です。

これを2進法で表したとき、末尾に0がいくつ並ぶかは、この数が
2で何回割れるか、という数と同じですので、(以下略)
http://yosshy.sansu.org/


Re: 整数の性質
名前:理学部生    日付:2018/7/31(火) 3:23

ヨッシーさん、約数の個数を2進法で表す、ではなく約数の積を2進法で表す、ですよ。読み間違いかと。
HPのどこに書いてあるか調べるのは苦手。この回答の後でも、ブログのほうが間違いが少ないでしょうから、改めて解説の部分を紹介してもらえると有難いです。

(1) 1620の約数を書き出して席を計算する段階
 1620 = 2^2 × 3^4 × 5^1
と素因数分解できるので、その約数のすべては
d(L,m,n) = 2^L × 3^m × 5^n
   (L=0,1,2 ; m=0,1,2,3,4 ; n=0,1)
と表すことができる。

これらの3×5×2=30個の約数の積を計算するが、いきなりすべてかけるのではなく、
 mとnを1通りに固定して、Lだけ =0,1,2 と3通りに変化させてかけ算する。
P(m,n) = d(0,m,n)×d(1,m,n)×d(2,m,n)
= (2^0×3^m×5^n)×(2^1×3^m×5^n)×(2^2×3^m× 5^n)
= 2^(0+1+2) × (3^m)^3 × (5^n)^3
= 2^3 × 2^3m × 5^3n
このP(m,n) をさらに m=0,1,2,3,4 ; n=0,1 と10通りに変化させて掛け算するのですが、
 (2)で述べるとおり2の何乗か?だけ判ればよいので、
すべての積 P
= P(0,0)×P(0,1)×P(1,0)×・・・×P(4,0)×P(4,1)
= (2^3×3^0×5^0)×・・・×(2^3×3^12×5^3)
= (2^3)^10 × 3^○ × 5^○
= 2^30 × 3^○ × 5^○

(2) 2進法で末尾に0が何個続くか?
例えば、2進法で「11011000」だったら、
 「11011」は10進法で 16+8+2+1=27 であり、
 「11011000」は 128+64+16+8=27×8
上の2つの2進数を比較すると、下は末尾に「000」が付いている分だけ 2^3=8倍 になります。
本題ですが、積P = 2^30×(整数) ですから、
 (整数)を2進法で表してその末尾に「0」を30個付けたものです。
よって、答えは30個です。

自分で解けるか?
席を計算するなんてやったことがない、と諦めずに、
簡単な数、(1)なら例えば「12の約数のすべての積」を考えてみる。
 1×1 , 2×1 , 4×1
 1×3 , 2×3 , 4×3
2の何乗か?を知りたいのなら、3個づつ横にかけ算すれば、各行の積は
 2^0×2^1×2^2 = 2^(0+1+2) = 2^3
すべての積 (2行の積)は (2^3)^2=2^6 となります。
(2)の「11011000」と自分で勝手に例を考えるのも同様です。


Re: 整数の性質
名前:ヨッシー    日付:2018/7/31(火) 7:9
読み間違えてないです。

答え30個 を出す直前まで示してあります。

↓これは「続きはこちら」という意味ではありません。
http://yosshy.sansu.org/


Re: 整数の性質
名前:理学部生    日付:2018/8/1(水) 3:51
ヨッシーさん、返信ありがとうございます。
本レスは解答の導入であって、読み間違いではないようですね。失礼しました。
それにしても熱心さには驚嘆しました。


Re: 整数の性質
名前:理学部生    日付:2018/8/1(水) 4:57

質問者さんへ
ヨッシーさんの初めのレスの解答のほうが理解が容易です。

ヨッシーさん、初めの解答を誤解していました。
(1×1620)×(2×810)×(3×540)×・・・×(30×54)×(36×45)
= 1620^15 = 2^30×3^○×5^○
は、1620の約数を数えるためではなく、約数の積そのものとやっと理解できました。

私の解答は、本レスを通じて
(1.1) 等比数列の積 r×r^2×…×r^n = r^(1+2+…+n)
(1.2) 2重の積だけでなく2重のΣを考えるときも、たされる項すべてを書き出したほうが理解しやすい
(1.3) 1620の約数のすべての和 S=(1+2+4)×(1+3+9+27+81)×(1+5)
などに応用が利くという自信がありましたが、
とりあえず本スレの問題の解決には、このサイトの性質上、ヨッシーさんのほうが指導が優れていると思います。


Re: 整数の性質
名前:AirK    日付:2018/8/1(水) 8:51
ヨッシーさん、理学部生さんありがとうございました。理解することができました。

数列の漸化式 返信  引用 
名前:ソフィー・ジェルマン素数    日付:2018/7/30(月) 11:33
問、数列{a[n]}を次の漸化式で定めるとき、Σ [i,n] a[i] をnを用いて表せ。

a1=1, a[n+1]=a[n]/2 -n^2 +n

この漸化式の解き方が分かりません。宜しくお願いします。



Re: 数列の漸化式
名前:ソフィー・ジェルマン素数    日付:2018/7/30(月) 11:35
訂正します
Σ[i,n] a[i]→Σ[i=1,n] a[i]


Re: 数列の漸化式
名前:WIZ    日付:2018/7/31(火) 17:39
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

A, B, Cを定数として
b[n] = a[n]+A(n^2)+Bn+C・・・・・(1)
とおきます。

(1)を漸化式に代入すると、
a[n+1] = a[n]/2-n^2+n
⇒ b[n+1]-A((n+1)^2)-B(n+1)-C = {b[n]-A(n^2)-Bn-C}/2-n^2+n
⇒ b[n+1]-A(n^2)-(2A+B)n-(A+B+C) = b[n]/2-(A/2+1)(n^2)-(B/2-1)n-C/2

上記両辺のn^2とnの係数及び定数項が消えてしまうようにA, B, Cの値を定めます。
A = A/2+1・・・・・(2)
2A+B = B/2-1・・・・・(3)
A+B+C = C/2・・・・・(4)

(2)より
A = 2・・・・・(5)

(5)を(3)に代入して
2*2+B = B/2-1 ⇒ B = -10・・・・・(6)

(5)(6)を(4)に代入して
2-10+C = C/2 ⇒ C = 16・・・・・(7)

(5)(6)(7)より
b[n] = a[n]+2(n^2)-10n+16
とおけば、漸化式は
b[n+1] = b[n]/2
と変形できます。

b[1] = a[1]+A(1^2)+B*1+C = 1+2-10+16 = 9
なので、
b[n] = 9*((1/2)^(n-1))
となります。

よって
a[n] = b[n]-A(n^2)-Bn-C = 9*((1/2)^(n-1))-2(n^2)+10n-16
です。

a[n]の一般項の形が分かったので、Σ[i=1,n]{a[i]}も計算できますよね?

# 問題文ではa[n]の形を求めることは要求していないので、
# S[n] = Σ[i=1,n]{a[i]}とおくと、漸化式より
#
# a[n+1] = a[n]/2-n^2+n
# a[n] = a[n-1]/2-(n-1)^2+(n-1)
# a[n-1] = a[n-2]/2-(n-2)^2+(n-2)
# ・・・
# ・・・
# a[2] = a[1]/2-1^2+1
#
# 上記の左辺の和と右辺の和を考えれば
# S[n+1]-a[1] = S[n]/2-Σ[k=1,n]{k^2+k}
# = S[n]/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
# = S[n]/2-n(n+1)(n-1)/3
#
# 上記式からa[n]の形を求めたのと同じ手法でS[n]の形も求められると思います。

複素三角関数 返信  引用 
名前:雪見大福    日付:2018/7/30(月) 9:10
cos(z)の絶対値が1以下になるか調べる方法を教えて頂けないでしょうか?

問題作成について。 返信  引用 
名前:コルム    日付:2018/7/29(日) 15:11
三角形と、余弦定理と、2倍角の公式と、対称な点を使って、問題を作っていただけないでしょうか?教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。答えていただけると幸いなのですが。

不等式の最大値、最小値 返信  引用 
名前:KK    日付:2018/7/28(土) 22:44
実数x、yが不等式
(x^2+y^2-9)(x^2+y^2+4x+2y-11)<=0
を満たすとき、x^2+y^2-6yの最大値と最小値をそれぞれ求めよ。
この問題の解き方がわかりません。教えてください。



Re: 不等式の最大値、最小値
名前:IT    日付:2018/7/28(土) 23:6
(x^2+y^2-9)(x^2+y^2+4x+2y-11)<=0…@ が表す範囲をグラフに描きます。
x^2+y^2-9<=0かつx^2+y^2+4x+2y-11>=0
または
x^2+y^2-9>=0かつx^2+y^2+4x+2y-11<=0 です。

なお、x^2+y^2-9=0,x^2+y^2+4x+2y-11=0 はそれぞれ円の方程式です。

x^2+y^2-6y=k…A がどんなグラフか考えます。

@とAが共有点を持つkの範囲を調べます。

(untitled) 返信  引用 
名前:理学部生    日付:2018/7/28(土) 6:52

統計の基本的な質問です。
統計を知らない方でも、関数f : R→R のリーマン積分の計算で解けるように下記に書いておきました。

課題
実数地確率変数X,Y が独立で、それぞれ期待値μ・分散σ^2 の正規分布に従うとき、
X+Y は期待値 2μ・分散 2(σ^2) の正規分布に従うことを証明したい。

不完全な私の解答
X+Y の期待値は、E(X+Y) = E(X)+(Y) = 2μ、
 分散は、X,Y は独立より、V(X+Y) = V(X)+V(Y) = 2(σ^2)
は解けますが、正規分布に従うことは結果しか知りません。
X+Y の密度関数が
 f(x) = α´・exp−{(x−2μ)^2 / (2・2(σ^2))}   (α´= 1 / (√(2π) (σ√2)))
これを証明していただけませんか。

統計を知らない方に 積分の計算で解けるかと・・・
関数f : R→R とする。
f(x) = α・exp−{(x−μ)^2 / 2(σ^2)}   (α= 1/(√(2π))σ)
 D {(x,y)∊R^2|x+y≦t} とする。
P(X+Y≦t)
 =∬_D f(x)f(y) dxdy
 =∫[−∞,∞] {∫[−∞,t−y] f(x)f(y) dx} dy
を解いてもらえれば良いのかと思います。

ちなみに、Dではなく R^2 内での定積分は、
∫[−∞,∞]∫[−∞,∞] exp−{(x^2+y^2) / 2} dxdy
 =∫[0,∞]∫[0,2π] exp−{r^2/2} r dθ dr
 = 2π
より、∫[−∞,∞] exp-{x^2/2} dx = 1/(2/π) と計算できますが、
D内の定積分ではうまくいきません。



Re: (untitled)
名前:理学部生    日付:2018/7/28(土) 9:26
訂正
「ちなみに」ですが、
∫[−∞,∞] exp-{x^2/2} dx = √(2/π)
でした。

追記
後半の定積分の計算による解法ですが、
d/dx P(X≦x) = f(x) = α・exp−{(x−μ)^2 / 2(σ^2)}
 (α= 1/(√(2π)σ) を用いて、
d/dt P(X+Y≦t) = α´・exp−{(x−2μ)^2 / (2・2(σ^2))}
 (α´= 1 / (√(2π) (σ√2)))
となる結果は知っているので、P(X+Y≦t) ではなく
微分した上記が正しいことを示してもらえばよいことになります。

統計が解る方も含めて、
X+Y の期待値は 2μ・分散は 2(σ^2) と判っているので、
分布の型が正規分布であることを直観的に説明していだだいてもかまいません。

この質問に近いHPを探しましたが見つかりません。URLを載せていだだいてもかまいません。


Re: (untitled)
名前:aaa    日付:2018/7/28(土) 17:25
>訂正
>「ちなみに」ですが、
>∫[−∞,∞] exp-{x^2/2} dx = √(2/π)
>でした。

∫[−∞,∞] exp(-x^2/2) dx = √(2π)
だと思います。

P(X+Y≦t)=∬_D f(x)f(y) dxdy

Z=X+Y,W=Y と変数変換するとヤコビアンは1なので
P(Z≦t)=∫[-∞:t]dz∫[-∞:∞]dw f(z-w)f(w)
これを計算すると
P(Z≦t)=∫[-∞:t]dz∫[-∞:∞]dw φ(w-z/2,σ^2/2)φ(z-2μ,2σ^2)
となります。(ただし、φ(x,σ^2)=(1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2)))
よって、この右辺をwについて積分すると
P(Z≦t)=∫[-∞:t]φ(z-2μ,2σ^2)dz
となるので
(d/dz)P(Z≦z)=φ(z-2μ,2σ^2) よりZ(=X+Y)が正規分布に従うことが分かると思います。

ちなみにX,Yが正規分布に従うならば、その平均、分散が異なっていてもZ=X+Yは正規分布に従います。
講義の中などで特性関数と密度関数に一対一の対応があることが証明済みならば、特性関数を計算する方法もあります。


Re: (untitled)
名前:理学部生    日付:2018/7/29(日) 5:37
>  P(Z≦t)=∫[-∞:t]dz∫[-∞:∞]dw f(z-w)f(w)   (A)
>  P(Z≦t)=∫[-∞:t]dz∫[-∞:∞]dw φ(w-z/2,σ^2/2)φ(z-2μ,2σ^2)   (B)
>  P(Z≦t)=∫[-∞:t]φ(z-2μ,2σ^2)dz   (C)

回答ありがとうございます。
定積分の書き方ですが、(A),(B) はともに、
f・f , φ・φ に右から dxdy または dwdz を付けたもの、
つまり f・f , φ・φ を xとyで または wとzで積分したと読んで良いでしょうか。 

その場合、(A)から(B)へは、expの分子の展開・平方完成がやや複雑でしたが、
f(z−w)f(w) =φ(w−z/2,σ^2/2)φ(z−2μ,2σ^2) はできましたが、
(B)から(C)へは、∫[−∞,∞] φ(w−z/2,σ^2/2) dw = 1 となるということのようですが、
∫[−∞,∞] φ(w−z/2,σ^2/2) dw = 0−0 ではないですか。疑問はここだけだと思います。

特性関数を用いずに直接計算するのは面倒になると聞いていますが、
私は特性関数はまだ習得できていません。
その分回答は計算が面倒なだけでなく、ここではタイプも難渋だと思います。
お手間おかけしています。


Re: (untitled)
名前:理学部生    日付:2018/7/29(日) 8:9
解決しました。
fだけでなくφも密度関数ですから、∫φφ dw=1 は当然ですね。
基本的な課題が解決できて、本当にありがとうございました。

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