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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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複素数 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/10/5(金) 16:10
 下の問題なのですが、関数f(x)の逆関数の-1を書く場所に1と書いて問題が始まっています。また、同じ場所にnや(n-1)が書いてあります。私が不勉強なのかもしれませんが、これは累乗かと思いそのように書かせてもらいましたが、違うかもしれません。
どなたか、その意味をご教示願えないでしょうか。出来れば、解答もお願いしたいです。何をして良いのか分かりません(解答がありません)

 複素数zに対してf(z)=αz+βとする。ただし、α,βは複素数の定数でαは1ではないとする。
f^1(z)=f(z), f^n(z)=f(f^(n-1)(z)) (n=1,2・・・)
と定める。次の問に答えよ。
(1) f^n(z)をα、β、z、 nを用いて表せ。
(2)|α|<1のとき、すべての複素数zに対して
lim(n→∞)|f^n(z)-δ|=0
が成立するような複素数の定数δを求めよ。
(3))|α|=1とする。複素数の列{f^n(z)}に少なくとも3つの異なる複素数が現れるとき、これらの
f^n(z) (n=1,2,・・・)は複素数平面内にある円Cz上にある。円Czの中心と半径を求めよ。



Re: 複素数
名前:ast    日付:2018/10/5(金) 18:7
> その意味をご教示願えないでしょうか。
意味は
> f^1(z)=f(z), f^n(z)=f(f^(n-1)(z)) (n=1,2・・・)
と書いてあることそのものがその意味ですよ (左辺を右辺によって定義する). なので, 意味を知るのに特にほかの資料を何か調べるとかは必要ないと思います.
# 反復合成や反復 (iteration) などとも呼ばれる, 写像の合成を乗法とする意味での累乗です. 合成の○記号 (∘) を左に付けて f^{○n} などとも書きます.

> 何をして良いのか分かりません
まずもっとも単純な合成 f^2 = f∘f (f^2(z) = f(f(z)) を計算することから始めるべきでしょう. f(f(z)) はお判りでしょうか?

# --- 脱線 ---
#左辺の記号(未知)を右辺(既知の内容のみで書かれた式)で定義することを明示する場合は
# f^1(z) := f(z), f^n(z) := f(f^(n-1)(z))
#のようにコロンを付ける記法もよく使われます.
#この記法だと左右を逆にして 
# f(z) =: f^1(z), f(f^(n-1)(z)) =: f^n(z)
#と書けば, 右辺の記号(未知)を左辺(既知の内容のみで書かれた式)で定義するような文にできます.


Re: 複素数
名前:IT    日付:2018/10/5(金) 18:13
> どなたか、その意味をご教示願えないでしょうか。
> f^1(z)=f(z), f^n(z)=f(f^(n-1)(z)) (n=1,2・・・)
> と定める。
とありますから、その意味は分かるのでは?
たとえば、f^2(z)=f(f(z)),f^3(z)=f(f(f(z))) ということです。


Re: 複素数
名前:ハロー    日付:2018/10/5(金) 18:18
 ということは、ここで問題の作者が定義したということですね。

f(f(z)) はお判りでしょうか?

 これは、合成関数なのでf(z)=αz+βならば f(f(z))=α(αz+β)+βと理解しています。しかし、問題は左辺にn、右辺に(n-1)が付いて区別しているようですが、それはどういうことなのか理解できません。

 


Re: 複素数
名前:ハロー    日付:2018/10/5(金) 18:23
たとえば、f^2(z)=f(f(z)),f^3(z)=f(f(f(z))) ということです。

 これは、教えて頂くと納得できるのですが、文字nになるとどう処理して良いのか分かりません。(n-1)回合成を繰り返すというと、どう数式で表現すれば良いのでしょうか。


Re: 複素数
名前:IT    日付:2018/10/5(金) 19:25
f(f(z))=α(αz+β)+β
これは、もう少し計算が必要です。

また、f(f(f(z))) 、(f^4)(z) も計算してみてください。
面倒でも f^4 ぐらいまで計算すると、規則性が見えてくるのでは。


Re: 複素数
名前:ハロー    日付:2018/10/5(金) 19:33
 なるほど!4までやってみたら、f^n(z)=α^nz+(1+α+・・+α^(n-1))βらしいことが分かりました。
これを帰納法で確認しておけば良さそうです。


Re: 複素数
名前:ハロー    日付:2018/10/5(金) 19:35
 (2)(3)も考えてみます。何とかなったら、これで消えます。
ヒントをどうも有り難う御座いました(どうにもならなくなったら、また改めて質問させてもらいます)

「三角形の決定条件」 返信  引用 
名前:あきお    日付:2018/10/5(金) 11:46
お世話になります。

A=135°、a=4√(2),b=4 の条件下では、「三角形の決定条件」である
(1)3辺 (2)2辺夾角 (3)1辺両端角 のいずれも満たしません。ですが、この場合は三角形は一意に決まるように思われます。

この変化どのように考えればいいのでしょうか?
「三角形の決定条件に」当てはまらなくても、一意に定まる場合と、定まらない場合があるのでしょうか?


ご教示お願い致します。



Re: 「三角形の決定条件」
名前:あきお    日付:2018/10/5(金) 11:48
×”この変化” → ○ ”この辺は”


Re: 「三角形の決定条件」
名前:del    日付:2018/10/7(日) 1:54
この条件の場合、余弦定理によって残りの一辺の長さが一意に求められるので
三角形の決定条件を満たします。

平面図形(三角形) 返信  引用 
名前:国際薩摩チェスト学院    日付:2018/10/5(金) 8:30
問.△ABCにおいて、4つの点P,Q,R,Sを以下の条件を満たすようにとる。このとき,△ABCと△PRSの面積比を求めよ。

条件
・点Pは辺BCを3:1に内分する
・四角形ABPQと△CPQの面積比が5:1となるように辺AC上に点Qをとる
・点Rは線分APと線分BQの交点である
・点Sは線分PQと線分CRの交点である

図示してみたのですが、線が多すぎてどこに着目していいか分かりません。
図形のどこの部分に着目し、何を用いて解を導くか、解は何か教えてくれれば幸いです。よろしくお願いします!



Re: 平面図形(三角形)
名前:s    日付:2018/10/5(金) 11:24
いきなり△ABC:△PRSを求めるのは大変なので△ABCからスタートして,どんどん小さい三角形と面積比較していけばいいです

たとえば
△ABC:△APC
△APC:△APQ
△APQ:△QRP
△QRP:△PRS
と順に面積比を求めていく,ということです

# △ABC:△APC
これは簡単ですね 3:1

# △APC:△APQ
比AQ:QCが分かればいいわけですが,点Qを取ったときの条件から
CP*CQ:CB*CA = 1:6
CQ : 4CA = 1:6 (6CQ = 4CA)
CQ : CA = 2:3
よって△APC:△APQ = CA:AQ = 3:1

# △APQ:△QRP
これはPR:RAが分かればいいのでメネラウスの定理を使えばいいです
(CB/BP)*(PR/RA)*(AQ/QC)=1
(4/3)*(PR/RA)*(1/2)=1
PR:RA = 3:2
よって△APQ:△QRP=AP:PR=5:3

# △QRP:△PRS
これはQS:SPが分かればいいので,やはりメネラウスの定理です
(メネラウスの定理を使うときにQR:RBを知っている必要があり,この比を求めるためにもう一度メネラウスの定理を使う必要があります)


Re: 平面図形(三角形)
名前:由香    日付:2018/10/6(土) 11:39
途中よりベクトルでの解法もありますが、2つの三角形で高さ共通時に底辺と面積の比が等しいこと、底辺共通時に面積比=高さの比 を使ってみます。
(私は、メネラウスの定理は何回覚えてもすぐ忘れます)

△BPR:△CPR=3:1と、四角形ABPQ:△CPQ=5:1 より
△ABQ:△BPQ:△CPQ=2:3:1
AR:RP=2:3 および AQ:QC=2:4=1:2 が得られますから
△APQ=(1/2)△CPQ
△PRQ=(3/5)△APQ
△CPQ=(1/6)△ABC
∴ △PRQ=(1/20)△ABC
です。

いま、PS:SQ=x:y として
△APS:△ASQ=△CPS:△CSQ=x:y
△ASR:△PSR=2:3    △APQ:△CPQ=1:2だから、
△APS=kとすると、 △ASQ=ky/x   △CPS=2k   △CSQ=2ky/x
また、△PSR=3k/5   △ASR=2k/5 ですから、
△CRA=△CSQ+△ASQ+△ASR=2ky/x+ky/x+2k/5
△CPR=△CPS+△PSR=2k+3k/5

△CRA:△CPR=AR:RP=2:3  より y/x=4/9 が得られて、
△PSR=(x/(x+y))△PRQ=(9/13)△PRQ=(9/260)△ABC

(untitled) 返信  引用 
名前:中3    日付:2018/10/5(金) 0:32
例えばBCADCのように、4種類の文字A,B,C,Dでできた5文字の列を考える。
ただし、BBABAのように、A〜Dのうちで使われない文字があっても良い。
このとき、同じ種類の文字が少なくとも1カ所は隣り合っている5文字の列は全部で何通りあるか。


解答よろしくお願いします。また答えを持っていないので、解法も載せていただけると嬉しいです。



Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/10/5(金) 18:40
同じ種類の文字が1カ所も隣り合っていない5文字の列が全部で何通りあるか
考えるほうが簡単です

(untitled) 返信  引用 
名前:ぽん    日付:2018/10/4(木) 15:21
(1) In=(0,1/n)とするとき∩n∈N Inを求めよ。
(2) Dn={(x,y)∈R^2│(x-1/n)^2+y^2<1/n^2}とするとき∩n∈N Dnを求めよ。

解答よろしくお願いします。



Re: (untitled)
名前:next    日付:2018/10/4(木) 23:49
前回の疑問は解決したんですか?

(untitled) 返信  引用 
名前:ガーナ    日付:2018/10/3(水) 17:6
f(x)=(a-b-1)x+3(b-a)とする。(a,bは実数の定数)

-1〈x〈1で、f(x)の符号が一定であるためのa.bに関する条件を求めよ。

条件の求め方を平易に求める方法をご教授ください。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2018/10/3(水) 17:36
問題のf(x)は-1<x<1において単調であるので
求める条件は
f(-1)f(1)≧0
∴{4(b-a)+1}{2(b-a)-1}≧0
となるので、求める条件は
b-a≦-1/4,1/2≦b-a

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