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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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絶対値の展開 返信  引用 
名前:ハロー    日付:2018/4/2(月) 10:44
 すみません。下の方で質問したものですが、以下の展開ができません。

 (|x|+|y|)(|x|-|y|) =|x^2-y^2|

これはx,y の正負を4通り調べて展開したら 全て x^2-y^2 となりませんか?
どうして絶対値が付くのでしょう?下で質問した方がいいのですが、埋もれてしまいそうなのでお願いします。



Re: 絶対値の展開
名前:けんけんぱ    日付:2018/4/2(月) 14:36
(|x|+|y|)(|x|-|y|) =|x^2-y^2|

これがどこの質問で出てきた式なのかわかりませんでしたが
左辺はマイナスになり得るので、上記式は成り立たないと思います。


Re: 絶対値の展開
名前:ハロー    日付:2018/4/2(月) 16:23
 6コ下の問題なのですけど、どう考えたらいいのかお分かりなら教えて頂きたいです。


Re: 絶対値の展開
名前:IT    日付:2018/4/2(月) 19:59
元の質問の方に回答しました。


Re: 絶対値の展開
名前:通りすがり    日付:2018/4/2(月) 20:33
外側の絶対値の記号が足りません。
>>(|x|+|y|)(|x|-|y|) =|x^2-y^2|
ではなくて
||x|+|y||||x|-|y||=|x^2-y^2|
です。


Re: 絶対値の展開
名前:通りすがり    日付:2018/4/2(月) 20:48
舌足らずの説明でしたので、元の回答の中の展開の計算を
もう少し詳しくしておきます。

{||x|+|y||+||x|-|y||}^2
=||x|+|y||^2+2||x|+|y||||x|-|y||+||x|-|y||^2
=(|x|+|y|)^2+2|(|x|+|y|)(|x|-|y|)|+(|x|-|y|)^2
=(|x|^2+2|x||y|+|y|^2)+2||x|^2-|y|^2|+(|x|^2-2|x||y|+|y|^2)
=2(|x|^2+|y|^2)+2||x|^2-|y|^2|
=2(x^2+y^2)+2|x^2-y^2|

となります。


Re: 絶対値の展開
名前:ハロー    日付:2018/4/2(月) 21:42
けんけんぱさん、ITさん、通りすがりさん、親切にどうもありがとうございます。
教えていただいたことをもとに考えてみます。

2次方程式 返信  引用 
名前:ぶたねこ    日付:2018/4/2(月) 6:35
2次方程式x^2-x+1=0の2つの解をa,bとするとき、a^3+b^3=ア
a^49+b^49=イ、a^50+b^50=ウである。

ア=-2 イ=7 ウ=の解き方が分かりません
よろしくお願いします。



Re: 2次方程式
名前:Delta    日付:2018/4/2(月) 10:16
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) より a^3=b^3=-1 となります。
また、解と係数の関係より a+b=1,ab=1 が成立します。

これらを使えば a^3+b^3=-2,a^49+b^49=-2, a^50+b^50=2 を導くことができると思います。


Re: 2次方程式
名前:Delta    日付:2018/4/2(月) 12:55
答え、全然違いましたね...
正しくは a^49+b^49=1 a^50+b^50=-1 です。
失礼いたしました。


Re: 2次方程式
名前:ぶたねこ    日付:2018/4/4(水) 16:47
理解できました、ありがとうござます。
お礼が遅くなりすみませんでした。

(untitled) 返信  引用 
名前:こんばんは    日付:2018/4/1(日) 23:27
こんばんは。
数学3の質問です。
実数全体で定義された関数f(x)が第二次導関数f’’(x)を持つとする。
次のことを微分係数の考え方を利用して示せ。

(1) y=f(x)のグラフが直線x=aに関して対称であれば
f’(a)=0

(2) y=f(x)のグラフが点(a,f(a))に関して対称であればf’’(a)=0



よろしくおねがいします。



Re: (untitled)
名前:WIZ    日付:2018/4/3(火) 20:52
(1)
tを実数とすれば、f(a+t) = f(a-t)ということです。
つまり、f(a+t)-f(a-t) = 0なので、

0 = lim[t→0]{(f(a+t)-f(a-t))/(2t)}
= (1/2)lim[t→0]{(f(a+t)-f(a))/t+(f(a)-f(a-t))/t}

u = -tとおけば、t→0のときu→0なので、

0 = (1/2){lim[t→0]{(f(a+t)-f(a))/t}+lim[u→0]{(f(a)-f(a+u))/(-u)}}
= (1/2){lim[t→0]{(f(a+t)-f(a))/t}+lim[u→0]{(f(a+u)-f(a))/u}}
= (1/2){f'(a)+f'(a)}

よって、
0 = f'(a)
となります。

(2)
tを実数とすれば、f(a+t)+f(a-t) = 2f(a)ということです。

両辺をtで微分すると、
f'(a+t)+(-1)f'(a-t) = 0

⇒ f'(a+t) = f'(a-t)
とななります。

すると(1)の結果が使えて (f(x)の代わりにf'(x)になっていますが)
0 = f''(a)
となります。

尚、以下に別解もあります。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1098111300

(untitled) 返信  引用 
名前:微分    日付:2018/4/1(日) 23:5
∀x,y∈Rにおいて、関数f(x)がつぎの条件を満たすとき、
f’(x)を求めよ。

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)
f(0)=0

よろしくおねがいします。



Re: (untitled)
名前:カップめん    日付:2018/4/2(月) 13:37
問題のf(0)=0は、最初の式でx=y=0とすれば自動的に出てくる式なのでf’(0)=0の間違いではありませんか?

1つ目の式より
(f(x+y)-f(x))/y=(f(y)+xy(x+y))/y
左辺はy→0とすればf’(x)
右辺は(f(y)+xy(x+y))/y=(f(y)-f(0))/y+x(x+y)と変形できるのでy→0とすればf’(0)+x^2

(untitled) 返信  引用 
名前:極限    日付:2018/4/1(日) 22:37
lim[x→2]{(ax^2+by-3)/x-2}=1となる

a,bの条件の求め方をお教えお願いします。



Re: (untitled)
名前:WIZ    日付:2018/4/3(火) 21:6
lim[x→2]{(a(x^2)+bx-3)/(x-2)} = 1の書き間違いと解釈して回答します。
もし、式に書き間違いが無い場合は、私の書き込みは無視してください。

lim[x→2]{(a(x^2)+bx-3)/(x-2)}が極限を持つ為には、
x→2のときa(x^2)+bx-3→0でなくてはなりません。
a(2^2)+b*2-3 = 4a+2b-3 = 0・・・・・(1)

ロピタルの定理を使うと、
lim[x→2]{(a(x^2)+bx-3)/(x-2)} = lim[x→2]{(2ax+b)/1} = 4a+b = 1・・・・・(2)

(2)より、b = 1-4aで、これを(1)に代入すると、
4a+2(1-4a)-3 = 0 ⇒ -4a = 1 ⇒ a = -1/4
よって、b = 1-4*(-1/4) = 2


Re: (untitled)
名前:IT    日付:2018/4/4(水) 19:41
ロピタルの定理を使わないなら
f(x)=ax^2+bx-3とおく
f(2)=0でないといけないので f(x)はx-2を因数に持つ
よってf(x)=(ax+3/2)(x-2) ,b=-2a+3/2
lim[x→2]{f(x)/(x-2)} =lim[x→2](ax+3/2)=2a+3/2=1
∴a=-1/4
∴b=2

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