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66624.y=xを回転軸とした回転体の体積 返信(3)
[曲線のショコラ]2019年7月15日(月) 21時31分
【問題】
放物線y=-x(x-3)と直線y=xで囲まれた図形をSとする。
Sを直線y=xの周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
----------------------------------------------------------------
【解答】
0≦x≦2の範囲で,放物線上の点P(x,-x(x-3))から
直線y=xにおろした垂線の足をH,Pからx軸におろした垂線と
直線y=xとの交点をQとする。

PH=hとおくと,△PHQはPH=QHの直角二等辺三角形であるから
(√2)h=-x(x-3)-x
h=(-x^2+2x)/(√2)

OH=tとおくと,

t=OQ+QH=(√2)x+h=(√2)x+(-x^2+2x)/(√2)
∴t=(-x^2+4x)/(√2)
dt={(-2x+4)/(√2)}dx

よって,

V=∫_[0,2(√2)](πh^2)dt
=∫__[0,2](π・{(-x^2+2x)^2/(√2)^2}・{(-2x+4)/(√2)}dx)
=(π/(√2))∫__[0,2](-x^5+6x^2-12x^3+8x^2)dx
=(π/(√2))[-x^6/6+6x^5/5-3x^4+8x^3/3]_[0,2]
=8(√2)π/15・・・(答)

--------------------------------------------------------------------------------------------------
【解答?】
上の解答で

(√2)h=-x(x-3)-x



(√2)h=x-{-x(x-3)}
h=(x^2-2x)/(√2)と勘違いし,
計算を進めていくと,

t=(x^2)/(√2)
dt={(2x)/(√2)}dx

V=∫_[0,2(√2)](πh^2)dt
=∫__[0,2](π・{(-x^2+2x)^2/(√2)^2}・{(2x)/(√2)}dx
=(π/(√2))∫_[0,2](x^5-4x^4+4x^3)dx
=(π/(√2))[x^6/6-4x^5/5+x^4]_[0,2]
=8(√2)π/15
(社会人/質問者)
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66605.二つの二次方程式の共通解について 返信(5)
[佐々木]2019年7月15日(月) 13時33分
こんにちは。質問よろしいでしょうか。

問題
次の2つの2次方程式が共通な実数解をもつとき、定数αの値と共通解を求めよ。
x^2+αx-3=0
x^2-3x+α=0


解答

共通解x=βとおく。
β^2+αβ-3=0-@
β^2-3β+α=0-A
@-Aより
(α+3)β-3-α=0
(α+3)(β-1)=0
∴α=-3,β=1

@α=-3のとき
x^2+αx-3=0
x^2-3x+α=0に代入して
どちらもx^2-3x-3=0となる。
同じ式だから解も共通。

Aβ=1のとき
x^2+αx-3=0に代入するとα=2
すると
x^2+2x-3=0
x^2-3x+2=0となるので確かにx=1は共通解となる。

α=2のとき、共通解 1
α=-3のとき、共通解 (3±√21)/2



ここで質問なのですが、問題文で「定数αの値と共通解を求めよ」とありますよね。
つまり定数と実数(実数解)を求めろといっているのですよね。
解答中にある、共通解を代入した二式で連立方程式をすると出てくる「(α+3)(β-1)=0」この式にもやっとしてしまいます。
αは定数、βは実数、を表していますよね。定数と実数が同時に解として出てくることにもやつくのだと思います。
ごく普通の連立方程式は、未知数xyが二つあり(xyが揃って未知数)、その2式を連立すると片方の未知数が求まり、
それをもう片方の未知数に代入して、二つの未知数x=、未知数y=、が求まりますよね。
しかし今回の二次方程式が共通解を持つ問題では、連立して求まるのは定数と実数と不揃いであり、こんなことが起こっていいの
かな?としっくりきません。

不明瞭な質問ではありますが、この部分のご解説をいただければ幸いです。
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66611.三角関数の微分法 返信(4)
[数学にがてー]2019年7月15日(月) 15時18分
質問失礼します
初めてなので至らないところがあると思いますが、よろしくお願いします

問題)y=2sin^2x-cos^2x

です
最初から何をすればいいか分かりません(`;ω;`)
回答よろしくお願いします。
(高校 3 年/質問者)
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