求める積分をI,∫1/(x^2+4)dxをJとおく。
Iを直接、部分積分で求めるのは筋違いのようです。
Jに部分積分を使ったらIが出てくるという方向でしょう。
J=∫1/(x^2+4)･x'dx=x/(x^2+4)-∫(-2x)/(x^2+4)^2･xdx=x/(x^2+4)+2∫x^2/(x^2+4)^2dx
∫x^2/(x^2+4)^2dx=∫(x^2+4-4)/(x^2+4)^2dx=J-4I 従ってJ=x/(x^2+4)+2J-8I
∴I=1/8･{x/(x^2+4)+J}+C=1/8･{x/(x^2+4)+1/2･arctan(x/2)}+C
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