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1110.Re: ルベーグ積分 F可測であることの証明  
名前:ast    日付:2020年6月25日(木) 21時48分
f, g がそれぞれ動くのは煩わしいので, ヒントは丸っと無視して, fg=(f+g)^2/2-f^2/2-g^2/2 と書くと「可測函数 φ= f+g, f, g に対して φ^2 が可測」であればいい, ということになるので,
 (vii-2) 任意の可測函数 f に対してその平方 f^2 が可測
を言えばよいと思います.

ヒントのほうはよくわからないけど「ヒントA通りにやると {x|f(x)g(x)<r}=∪_[qp=r]({x|f(x)<q}∩{x|g(x)<p}) で {x|f(x)<q}∩{x|g(x)<p} が可測 (可測集合の共通部分は可測集合) なのは既知とすれば, ∪_[qp=r] を可算和にできるかどうかだけの問題に帰着できる」というような感じの解法を考えたいということになるのでしょうか……?
# {(x,y)| xy<r} は R^2 の開集合なので区間塊の可算和で覆える, というのはリンデレーフの被覆定理でいいのかな?
# 他の問題と比べると, あんまり自明な方針には見えてこないんだけど
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1106.ルベーグ積分 F可測であることの証明  
名前:ぽむ    日付:2020年6月25日(木) 9時34分
大学数学掲示板に投稿したのですが、投稿した内容が見られなかったためこちらで失礼します。

f,g,fn:Ω→R∪{-∞,∞}がF可測(n>=1)のとき
a,b∈Rに対して次の関数もF可測であることを示せ。

(i)sup(n>=1)fn
(ii)inf(n>=1)fn
(iii)limsup(n>=1)fn
(iv)liminf(n>=1)fn
(v) lim(n>=1)fn
(vi)af+bg
(vii)fg

(i)~(vi)までは証明済み、(vii)fgの部分を証明したいです。

〇ヒント
@f,gが単純関数列の極限で表せるから、cf,f+g,fgも単純関数列の極限で表せる。
Af(x)g(x)<rであることと(f(x),g(x))がxy<rの表す領域にあることは同値ですね。xy<rの表す領域は(-∞,q)×(-∞p), q,pはqp<rなる有理数、という集合の可算和で書けます。

@は教科書、Aは先生からです。
どうかわかる方いましたら、よろしくお願いいたします。
勉強してはいますが、どうも難しく、ヒントの意味もよく理解できないくらいです。申し訳ないですが、お願いします。
(大学 3 年/質問者)
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「1106.ルベーグ積分 F可測であることの証明」への返信

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