大学数学掲示板に投稿したのですが、投稿した内容が見られなかったためこちらで失礼します。
f,g,fn:Ω→R∪{-∞,∞}がF可測(n>=1)のとき
a,b∈Rに対して次の関数もF可測であることを示せ。
(i)sup(n>=1)fn
(ii)inf(n>=1)fn
(iii)limsup(n>=1)fn
(iv)liminf(n>=1)fn
(v) lim(n>=1)fn
(vi)af+bg
(vii)fg
(i)~(vi)までは証明済み、(vii)fgの部分を証明したいです。
〇ヒント
①f,gが単純関数列の極限で表せるから、cf,f+g,fgも単純関数列の極限で表せる。
②f(x)g(x)<rであることと(f(x),g(x))がxy<rの表す領域にあることは同値ですね。xy<rの表す領域は(-∞,q)×(-∞p), q,pはqp<rなる有理数、という集合の可算和で書けます。
①は教科書、②は先生からです。
どうかわかる方いましたら、よろしくお願いいたします。
勉強してはいますが、どうも難しく、ヒントの意味もよく理解できないくらいです。申し訳ないですが、お願いします。
(大学 3 年/質問者)
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