大学数学掲示板に投稿したのですが、投稿した内容が見られなかったためこちらで失礼します。
f,g,fn:Ω→R∪{-∞,∞}がF可測(n>=1)のとき a,b∈Rに対して次の関数もF可測であることを示せ。
(i)sup(n>=1)fn (ii)inf(n>=1)fn (iii)limsup(n>=1)fn (iv)liminf(n>=1)fn (v) lim(n>=1)fn (vi)af+bg (vii)fg
(i)~(vi)までは証明済み、(vii)fgの部分を証明したいです。
〇ヒント @f,gが単純関数列の極限で表せるから、cf,f+g,fgも単純関数列の極限で表せる。 Af(x)g(x)<rであることと(f(x),g(x))がxy<rの表す領域にあることは同値ですね。xy<rの表す領域は(-∞,q)×(-∞p), q,pはqp<rなる有理数、という集合の可算和で書けます。
@は教科書、Aは先生からです。 どうかわかる方いましたら、よろしくお願いいたします。 勉強してはいますが、どうも難しく、ヒントの意味もよく理解できないくらいです。申し訳ないですが、お願いします。 (大学 3 年/質問者)
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