条件の対称性から a[1]≤a[2]≤…≤a[n] と置いても一般性を失わないので, (1) は本質的に (2) に含まれ (n=2の場合), (2) を調べればいいことになります.
ただし (2) は実際には偽で, 反例として a[1]=a[2]=…=a[n]=0 を挙げれば終わりです. 「a[1]=a[2]=…=a[n]=0 は(2)の仮定をすべて満たすが, a[1]^2+…+a[n]^2=0 < n^2 である」とでも書いておけばいいと思います.
# (1) をちゃんと調べると原点が飛び地のようになっているのが分かるはずです.
# とくに a^2+b^2 は "0 または 4≤a^2+b^2≤8" という値をとりますから, 0 を除くと (2) の主張通り (不等式は厳密な評価になっている).
-- で, これだけでは何なので --
仮定に "少なくとも一つの a[k] は 0 でない" あたりを加え, 定石通り a[1]^2+a[2]^2+…+a[n]^2 = k^2 とおいて k を n-1 次元球面の半径と思うと, 条件の示す領域を (面倒だけど) 求められたと仮定したうえで話をすれば, 求めた領域はどのみち a[1],…,a[n] に関して対称なのと, 最大最小はどうせ境界上でとるのだから面倒臭い不等号は等号のところだけ考えればいいので, a[k]^2=a[1]+…+a[n] (k=1,…,n) および a[1]=…=a[n] がすべて交わる (このとき, すべての k=1,…,n に対して a[k]^2=n*a[k] (≠ 0) なので, a[k]=n) (a[1],a[2],…,a[n])=(n,n,…,n) で最大値 n*n^2=n^3 をとり, a[1]+…+a[n]=a[k]^3 および a[1]=…=a[n] の交点 (同様に a[k]^3=n*a[k] から a[k]=√n) (a[1],a[2],…,a[n])=(√n,√n,…,√n) で最小値 n*(√n)^2=n^2 をとるので, 求める結果を得ます. ((1) で実際にそうなっていることの確認くらいならそこまで難しくない)
### (というのはまあ冗談で, これでは証明のスケッチにすらならないわけだが……)
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