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1153.Re: 最大最小  
名前:まきまき    日付:2020年7月5日(日) 10時43分
ありがとうございます。

コーシーシュワルツの不等式とかが使えると思って頑張っていたのですが
無理だったので諦めていました。
(高校 2 年/質問者)
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1147.Re: 最大最小  
名前:黄桃    日付:2020年7月4日(土) 19時42分
#こういう類だと(1)を利用して(2)を数学的帰納法にもちこむパターンが多いのですが、これはそうではないようです。
#そういう時は(1)の他の解法を考えてみるのも一法です。
#やってみると、複雑な条件式に見えますが、簡単な評価であっさり解けてしまう、という意味で手品的というか、ずるい気がします。

(1)をやってみますが、同様に(2)もいえます。
a,bが共に0でない、と仮定します。いずれか一方が0なら、他方も0になるのは明らかなので、いずれも0でないとします。
b^2≦b^3, b≠0 より、b≧1 です。
a≦b, b^2≦a+b より、b^2≦a+b≦2b であり、b>0より、b≦2 です。
よって、a=b=2 となることがあれば、a^2+b^2 は最大で、実際にすべての条件をみたします。
同様に、2a≦a+b≦a^3 より、a≧√2 なので、a=b=√2となることがあれば、それが最小で、実際この時すべての条件を満たします。

#図形的な手法で、いつ最大最小になるか最初に見当がついている方が気づきやすいかもしれません。

(2)も a[1]≦a[2]≦...≦a[n] とすれば、(1)と同様です(いずれか1つは0でない、という仮定は必要です)。
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1144.Re: 最大最小  
名前:ast    日付:2020年7月4日(土) 8時55分
すみません, 実は原点を考慮するのが抜けていることが言いたかっただけで, 問題自体が解けたわけではない (n=3の場合に限っても全然分からない) ので, 本当に先のレスは冗談なのです (でも(1)は平面に図示してどの交点で最大化できるか見る方法だとそんな感じになるというつもりはあります). 最初は ((1)は図示して何とかしたうえで) n に関する数学的帰納法かなと思ったのですが, 帰納ステップでうまく帰着方法が思いつかない.
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1143.Re: 最大最小  
名前:まきまき    日付:2020年7月3日(金) 23時46分
少なくとも一つは0でないという条件があったとすると
そう言った考え方から解答しないといけないのでしょうか?
(高校 2 年/質問者)
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1142.Re: 最大最小  
名前:ast    日付:2020年7月3日(金) 23時28分
条件の対称性から a[1]≤a[2]≤…≤a[n] と置いても一般性を失わないので, (1) は本質的に (2) に含まれ (n=2の場合), (2) を調べればいいことになります.
ただし (2) は実際には偽で, 反例として a[1]=a[2]=…=a[n]=0 を挙げれば終わりです. 「a[1]=a[2]=…=a[n]=0 は(2)の仮定をすべて満たすが, a[1]^2+…+a[n]^2=0 < n^2 である」とでも書いておけばいいと思います.
# (1) をちゃんと調べると原点が飛び地のようになっているのが分かるはずです.
# とくに a^2+b^2 は "0 または 2≤k≤8" という値をとります.

-- で, これだけでは何なので --
仮定に "少なくとも一つの a[k] は 0 でない" あたりを加え, 定石通り a[1]^2+a[2]^2+…+a[n]^2 = k^2 とおいて k を n-1 次元球面の半径と思うと, 条件の示す領域を (面倒だけど) 求められたと仮定したうえで話をすれば, 求めた領域はどのみち a[1],…,a[n] に関して対称なのと, 最大最小はどうせ境界上でとるのだから面倒臭い不等号は等号のところだけ考えればいいので, a[k]^2=a[1]+…+a[n] (k=1,…,n) および a[1]=…=a[n] がすべて交わる (このとき, すべての k=1,…,n に対して a[k]^2=n*a[k] (≠ 0) なので, a[k]=n) (a[1],a[2],…,a[n])=(n,n,…,n) で最大値 n*n^2=n^3 をとり, a[1]+…+a[n]=a[k]^3 および a[1]=…=a[n] の交点 (同様に a[k]^3=n*a[k] から a[k]=√n) (a[1],a[2],…,a[n])=(√n,√n,…,√n) で最小値 n*(√n)^2=n^2 をとるので, 求める結果を得ます.
### (というのはまあ冗談で, これでは証明のスケッチにすらならないわけだが……)
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1140.最大最小  
名前:まきまき    日付:2020年7月3日(金) 14時35分
nを2以上の自然数、a、b、a_k(k=1〜n)を実数とする。
(1)a≦b、a^2≦a+b≦a^3、b^2≦a+b≦b^3が成り立つ時a^2+b^2の最大値を求めよ。
(2)a_k^2≦ Σa_i(i=1〜n) ≦a_k^3 k=1〜n)が成り立つとき、n^2≦ Σa_i^2(i=1〜n)≦n^3が成り立つ事を示せ。

(1)はab平面にグラフを書いて求めようとしたけど煩雑になってしまいました。
(2)は変数が多過ぎてグラフでは解けないです。
解き方を教えて下さい
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