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1159.Re: 全微分と偏微分について  
名前:名無し    日付:2020年7月5日(日) 17時8分
∂f/∂t (x(a,t),a,t) は導関数に代入の意味で使われることが多い(多い)ということですね。

ありがとうございます。
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1158.Re: 全微分と偏微分について  
名前:さる    日付:2020年7月5日(日) 16時43分
合成関数の微分法を考えればわかるように、「代入する」という作業と、「(偏)微分する」という作業は、安易に順序を交換できません。

これは、逆に言えば、代入が先か、微分が明確に区別するべきということでもあります。区別できないなら、合成関数の(偏)微分の公式が書けません。

もちろん、記述は楽な方が使われるので、あいまいな書き方が出てきてしまうことはあるし、記述については様々な流儀があるので、流儀によって意味が変わることはあるだろうけれど。

ポイントとしては、微分作用素(微分するという作業)と導関数(微分した結果出てくる関数)を区別するということです。

ついでに、私の感覚だと、
∂f/∂t (x(a,t),a,t) 
と書かれていたら、導関数に代入したものにしか見えませんね。
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1156.Re: 全微分と偏微分について  
名前:名無し    日付:2020年7月5日(日) 15時48分
そうですね。全微分は1変数のときに使う語でした。

∂f/∂t (x(a,t),a,t) という表記が
 ・f(x,a,t)をtで偏微分してx=g(a,t)を代入したものか
 ・h(a,t)=f(x(a,t),a,t)をtで偏微分したものか
については文脈次第ということですね。

わざわざ長文での回答していただきありがとうございます。
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1155.Re: 全微分と偏微分について  
名前:ast    日付:2020年7月5日(日) 13時50分
ある種のFAQのような気はしますが……. (以下の回答は個人的な雑感なのであまりまとまっていません)
@: それはある種の記号の濫用 (abuse of notation; 意味のオーバーライド) が慣用的に用いられているため, その表記をし続ける限り見た目だけからは区別できません, 文脈によります (というか, 誤解の虞があるので区別できるように書いた文脈でないと安易に使えない).
# 誤解されかねなくても記号の濫用を用いるのは, やたらに文字を使いすぎて議論の途中で
# 文字が足らなくなるのを避けたいとかそういうことがわりとポピュラーな理由です.
## 思えば, 変数 x に函数 x(a,t) を代入する (とくに代入した函数を引数省略して単に x と書く) などというのも
## 記号の濫用だけど, 使用する文字を増やさずに別モノを代入できるうえに何をどこに代入するか直観的に理解しやすい.

前者は, 一般には, もとの引数と変換後の引数の間に何らの関係式も成立しないような場合, たとえば f(x,a,t)=f(x(u,v),a(u,v),t(u,v)) という一般の設定のときの ∂f/∂u を想定した状態で, たまたま a(u,v)=a, t(u,v)=t (その意味で u=a, v=t, x(u,v)=x(a,t)) となる場合に ∂f/∂t:=∂f/∂v と言っているというような話になっているので, 第 1-引数 x, 第 2-引数 a, 第 3-引数 t として f の第 i-引数に関する f の偏微分を ∂f_i(x,a,t) (i=1,2,3), つまり ∂f/∂t =: ∂f_3 のように書けばある程度安心して計算できるのではないでしょうか.

後者は本来 g(a,t):=f(x(a,t),a,t) として定義される 2-引数函数 g について述べている (そのうえで ∂f/∂t:=∂g/∂t としている) のだから, g に置き直して ∂g/∂a=g_a, ∂g/∂t=g_t を考えるとすればおそらく誤解されずにすむでしょう.

A: は自明な代入 x=x(x,a,t):=x,a=a(x,a,t):=a,t=t(x,a,t):=t (これも記号の濫用が酷いからよくわからんな^^;; 3-変数 x,a,t を引数とする函数として第 i-引数への射影 π_i を考えるとき, x=π_1(x,a,t), a=π_2(x,a,t), t=π_3(x,a,t) として代入するという意味) を考えればその区別に意味がないことがわかります. @で f のもともとの引数に関する微分か代入後の引数に関する微分かを区別できている, あるいは f と g (名無しさんの記号で f∘φ) の区別をしているのであれば, それぞれの意味で全微分を書くことができるはずだと思います.

厳密な書き分けについては, 個人のかたのブログ (ブログ主は計算機寄りの人っぽい) ですが檜山正幸のキマイラ飼育記: 微分計算、ラムダ計算、型推論 あたりを, また, 本質問に関連する内容と思われる記事として同ブログの 微分幾何におけるヤコビ行列の書き方: 因習の擁護, 古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化: 因習的微分幾何とその構造 など (ほかにも参考になる記事はあるかも) も参照してみてください.
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1154.全微分と偏微分について  
名前:名無し    日付:2020年7月5日(日) 12時26分

fを写像f: R^n×R^n×R → R^n   
    (x , a , t) |→ f(x,a,t)      として,

@
f(x(a,t),a,t)をtで偏微分する,つまり ∂f/∂t (x(a,t),a,t)  と言った時には,
xのt依存性を考慮して連鎖律のように微分するのですか?

それとも,∂f/∂t (x(a,t)a,t) というのは,
f(x,a,t) についてx,a,t を独立な変数と見てtで微分した後にxにx(a,t)というa,t依存性を与える(xをa,tで表したようなxの表示を代入する)ということでしょうか?


A
(1番の質問と似た話ですが,)
tで偏微分することと,tで(全)微分することの違いがわからなくなっています.
x,a,tを変数にもつfに対しては「tで偏微分」という概念があって,「tで全微分」の概念はなく,

一方.xをa,tに依存する変数と見る,つまりfをφ:(a,t) |→ x(a,t)で引き戻したものとみた f⚪φ があるときに初めて「tで全微分」という概念が生まれるのでしょうか?
fのtでの全微分df/dtとは,∂(f⚪φ)/∂t のことになるのでしょうか?
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