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1160.(untitled)  
名前:名無し    日付:2020年7月6日(月) 11時22分

「A⊂B: 整拡大,p⊂A:Aの素イデアルとする.
このとき,pの上に乗っているBの素イデアルq,q'についてq⊂q'⇒q=q' 」

命題14.17 https://mathematics-pdf.com/pdf/commutative_ring.pdf

という命題があるのですが,pの上に乗っているBの素イデアルたちが包含関係を持たないだけでなく,さらに強く「pの上に乗っているBの素イデアルは一個のみ」が言えるのではないかと思ったのですが,探してもそう書かれている文献がないので多分間違っていて,証明の何が誤りなのかわかりません.わかる方いましたら教えて欲しいです.

(どこかに誤りがあるであろう)pf
p⊂Aの上にのっている素イデアルq⊂Bが存在することはfactとして認めます.
pの上に乗っているqとq'についてq∩q'を考えると,これは素イデアルの共通部分なので素イデアルであり,さらに(q∩q')∩A=(q∩A)∩(q'∩A)=p∩p=p よりpの上に乗っている.
q∩q' ⊂ q なので,上のpropより q∩q'=q. これはq⊂q'を意味する.
同様に,qとqを入れ替えることでq'⊂q . よって,q=q'.  
よって,pの上に乗っているBの素イデアルqは一個のみ.
112-69-20-147f1.shg1.eonet.ne.jp (112.69.20.147)
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