以下の二つの不等式の証明をお願いいたします。
(1)0<a<1,0<b<1に対して,ab≦e^(b-1)
(2)a>1,0<b<1に対して,ab≦alog(a)+e^(b-1)
必要に応じて以下の命題を使ってもいいです。
命題）y=f(x)が[0,∞)で狭義増加関数かつf(0)=0とし、a,b∊℞に対し、f∊C^1[a,b]とする。
このとき、ab≦∫(0~a)f(x)dx+∫(0~b)f^(-1)(y)dyが成り立つ。
ただし、f^(-1)はfの逆関数である。
上の不等式の証明において、g(x)=log(x)+1 (x>1), 1(0<x≦1)、 h(y)=e^(y-1) (y>1), 1(0<y≦1) と定義し、 g^*(x)=g(x+1)-1, h^*(y)=h(y+1)-1 と定義すると、
g^*(x)の逆関数はh^*(y)である。
読みづらいかもしれませんが、よろしくお願いいたします(T_T)
(大学 4 年)
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