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145.Re: IB用の複素数の問題  
名前:マサル    日付:2019年11月8日(金) 13時31分
>複素数の問題では,この様な考え方を行った方が筋が良い場合も多いので,今後の勉強の参考にしてください.

詳しく分かり易い以下の補足説明、誠に有り難うございました。
今後、複素数の問題を解く際に役立てていきたいと思っております。
(社会人/質問者)

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143.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月7日(木) 19時55分
仰る通りですが,若干の補足をいたします.

> ここで n が 0 になれないのは、もし n が 0 だとz = icot(0)になってしまい cot(x)=cos(x)/sin(x)なので分母にあるsin(x)が 0 になってしまうためですね。

そうではなく,122 に記載した

w := (z+1)/(z-1) とおき,w^5 = 1 を解けば

 w = cis(2nπ/5) (n = 1,2,3,4)   (※)

の時点で n は 0 になり得ません.z ≠ 1 を満たす(分母が z - 1 である複素数を考える為に必要な条件)複素数 z に対し

 ( z + 1 ) / ( z - 1 ) = 1 + 2/(z-1) ≠ 1

となりますので,w ≠ 1 であり,w は 1 以外の全ての複素数の値を取り得ます(2/(z-1) は 0 以外の全ての複素数の値を取り得るので).従って,w^5 = 1 を満たす複素数 w を求める際は,w ≠ 1 という条件の下で考える必要があり,このとき解は (※)の 4 つだけとなります.n が 0 とならないのは,w ≠ 1 という制約が原因です.

採点者の主観や採点の付け方により差があると思いますが,記述式の場合,このあたりの論述を正確に書かなければ,減点対象となる可能性があると思います.

> = [cis(t) + cis(-t)]/[cis(t) - cis(-t)]
> = [cos(t)+isin(t)+cos(-t)+isin(-t)]/[cos(t)+isin(t)-cos(-t)-isin(-t)]
> = [cos(t)+isin(t)+cos(t)-isin(t)]/[cos(t)+isin(t)-cos(t)+isin(t)]
> = 2cos(t) )/2i・sin(t)

ここの計算は正しいですが,もし私が採点者ならば,次の様な考察をすることを期待します.

複素数 z = a + bi (a,b は実数)に対し,複素数 z^-(z の上に - を付けたもの)を z^- = a - bi と定め z の複素共役と呼ぶことに注意して下さい.複素数 z = a + bi とその複素共役 z^- に対し,

 z + z^- = 2a,z - z^- = 2bi (※※)

です.この等式は複素数において基礎的かつ重要なものなので,おさえておくことをお勧めします.例えば

 z が実数 <=> z = z^-,
 z が純虚数 <=> z = -z^-

の話をする際に上述の等式が利用されますし,「複素数…が実数(或いは純虚数)であることを示せ」等といった問題を解く際にも活躍します.

今回の場合,cis(-t) は cis(t) の複素共役ですから(z・z^- = |z|^2 なので,一般に,|z| = 1 である複素数 z に対し,z^- = z^(-1) が成立します),直ちに

 cis(t) + cis(-t) = 2 cos(t),cis(t) - cis(-t) = 2i sin(t)

となります.

私が 122 にて

> z = (cis(t) + cis(-t))/(cis(t) - cis(-t))
>  = ( 2cos(t) )/( 2i・sin(t) )

といきなり変形して書いたのも,この考察を期待してのことです.

ついでなので,(※※)の「心」についても述べておきます(あくまで主観です).複素数は a + bi の様に,2 の実数 a,b からなるものですが,複素数 z に関する情報は「z と z^- で書ける」,つまり,わざわざ z = a + bi の様に,「z の具体的な形を参照する必要はない」ことを(※※)は語っています.

例えば,上述の「z が実数 <=> z = z^-」はその顕著な例です(「z が実数が否か」,つまり,「z = a + bi の b が 0 か否か」は z と z^- の関係性のみで完全に決定される).

複素数の問題では,この様な考え方を行った方が筋が良い場合も多いので,今後の勉強の参考にしてください.
(回答者)
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141.Re: IB用の複素数の問題  
名前:マサル    日付:2019年11月7日(木) 14時13分
丁寧に説明してくださったおかげで、やっと理解できました。
ありがとうございます。

z = ... = -icot(nπ/5)から以下のように続けてみました。

-icot(nπ/5)
= i[- cot(nπ/5)]
= icot(π - nπ/5)
= icot[(5 - n)π/5]
= icot(mπ/5) where m = 5 - n and n = 1, 2, 3, 4
= icot(nπ/5) where n = 5 - m and m = 1, 2, 3, 4 (i.e. n = 1, 2, 3, 4)

ここで n が 0 になれないのは、もし n が 0 だとz = icot(0)になってしまい、cot(x)=cos(x)/sin(x)なので分母にあるsin(x)が 0 になってしまうためですね。また、n が5の倍数になれないのも同様で、sin(x)はπごとに 0 になってしまいます。最後に、cotの周期はπなので、n = 6 以降は n = 1, 2, 3, 4の場合と同じです。

それから、z = ( cis(2nπ/5) + 1 )/( cis(2nπ/5) - 1 )の説明もよくわかりました。

t = nπ/5にすると、
z = ( cis(2nπ/5) + 1 )/( cis(2nπ/5) - 1 )
= (cis(2t) + 1) / (cis(2t) - 1)
= (cis(2t) + 1) cis(-t)/ (cis(2t) - 1)cis(-t)
= [cis(2t - t) + cis(-t)]/[cis(2t - t) - cis(-t)]
= [cis(t) + cis(-t)]/[cis(t) - cis(-t)]
= [cos(t)+isin(t)+cos(-t)+isin(-t)]/[cos(t)+isin(t)-cos(-t)-isin(-t)]
= [cos(t)+isin(t)+cos(t)-isin(t)]/[cos(t)+isin(t)-cos(t)+isin(t)]
= 2cos(t) )/2i・sin(t)
= 2icos(t)/2(i^2)sin(t)
= -i・cot(t)(これ以下は上記の説明と同じ)

辛抱強くご指導してくださって誠に有り難うございました。
(社会人/質問者)

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138.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月7日(木) 11時28分
> 行っているのは,x ≠ 0 のとき
>
>(x^2 + 1) / (x^2 - 1) = (x + x^{-1}) / (x + x^{-1})
>
> と計算するのと同じです.

を以下の様に訂正します.失礼しました.

行っているのは,x ≠ 0, -1, 1 のとき

(x^2 + 1) / (x^2 - 1) = (x + x^{-1}) / (x - x^{-1})

と計算するのと同じです.
(回答者)
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136.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月7日(木) 3時3分
> そもそも、どうしてz = ( cis(2nπ/5) + 1 )/( cis(2nπ/5) - 1 )が t = nπ/5 とすると、z = (cis(t) + cis(-t))/(cis(t) - cis(-t))になるのでしょうか?

2nπ/5 = 2t ですから,

 z = (cis(2t) + 1) / (cis(2t) - 1)

です.この後,単に分母・分子に cis(-t) を掛けただけです.

尚,この様な問題に挑戦されている以上,

 cis(x) cis(y) = cis(x+y)

であることを十分ご承知であると想定して回答しています.

行っているのは,x ≠ 0 のとき

(x^2 + 1) / (x^2 - 1) = (x + x^{-1}) / (x + x^{-1})

と計算するのと同じです.

> + 1 はcis(0)のはずですが、どうしてcis(-t)になるのか

この局所的な部分に固執しすぎているのではありませんか?

> 最後に上記の説明の中で z = i・cot(π-t) = i・cot(mπ/5) (m = 1,2,3,4)とありますが、n が抜けてどうしてここで いきなりm が出てくるのでしょうか …(以下略)

m は入力ミスではありません.

 i・cot(π-t)

の π - t をきちんと紙に書いて計算し,n に (t = nπ/5 に注意)1,2,3,4 を代入してみてください.


おこなっているのは,n = 1,2,3,4 のときに

 1 - n/5 = m/5 (m = 1,2,3,4)

と書くのと同じです.
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133.Re: IB用の複素数の問題  
名前:マサル    日付:2019年11月5日(火) 19時49分
>122 で私が提示しました別解の等式をご覧ください.

>z = ( cis(2nπ/5) + 1 )/( cis(2nπ/5) - 1 )

>t = nπ/5 とおいて,

>z = (cis(t) + cis(-t))/(cis(t) - cis(-t))
>= ( 2cos(t) )/( 2i・sin(t) )
>= -i・cot(t)
>= i・cot(π-t)
>= i・cot(mπ/5) (m = 1,2,3,4)

正直言って、以上の等式が私には「全く」理解できません。

そもそも、どうしてz = ( cis(2nπ/5) + 1 )/( cis(2nπ/5) - 1 )が t = nπ/5 とすると、z = (cis(t) + cis(-t))/(cis(t) - cis(-t))になるのでしょうか?途中の計算過程がかなり省略されているようですので、私にはとてもわかりずらいです。

+ 1 はcis(0)のはずですが、どうしてcis(-t)になるのか全然わかりません。また、cis(2nπ/5)がどうしてcis(t)に???
t = nπ/5 とおくとcis(t)はcis(nπ/5)ではないんですか?

最後に、上記の説明の中で z = i・cot(π-t) = i・cot(mπ/5) (m = 1,2,3,4)とありますが、n が抜けてどうしてここで いきなりm が出てくるのでしょうか?!n は一体どこに行っちゃったんですか? それとも、これは n のつもりで m と入力したような入力ミスでしょうか?

しかし、これが例え入力ミスであったとしても、どうしてi・cot(π-t) = i・cot(nπ/5)なのか全然わかりません。この等式には明らかに「cot(t) =」 が 「i・cot(π-t) =」 の直後にあるはずですが、cot(π-t)は - cot(t)であって、cot(t)ではありません。

従って、私には以上の等式が全く意味を成さず、理解できません。
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131.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月4日(月) 20時29分
> cotのidentityは、-cot(x) = cot(-x)ですので、上記の -icot(nπ/5)は > icot(-nπ/5)になってしまい、icot(nπ/5)になりません。
> わたしの上記の計算過程に何か問題があるのでしょうか?

すみません.細かい計算過程の確認は遠慮させていただきます.

計算過程については確認しておりませんが,- がついても解としては問題ありません.

122 で私が提示しました別解の等式をご覧ください.
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129.Re: IB用の複素数の問題  
名前:マサル    日付:2019年11月4日(月) 17時7分
ご教授誠に有り難うございました。

z = [cis (n2π/5) + cis (0)] / [cis (n2π/5) + cis (π)]の時点ですぐ質問の前半部分を利用すればよかったのですね。それを、何とかして分数でない cis(x) + cis(y)の形にしようとした私の頭が固すぎました...

しかし、以下のように、私の答えは質問の答えと一致しません。どうしてもマイナス(−)の符号がついてしまいます。

z = [ cis(2nπ/5) + 1 ]/[ cis(2nπ/5) - 1 ]
= [cis (n2π/5) + cis (0)] / [cis (n2π/5) + cis (π)]
= [2cos{(2nπ/5 - 0)/2}[cis{(2nπ/5 + 0)/2}/[2cos{(2nπ/5 - π)/2}[cis{(2nπ/5 + π)/2}
= [cos(nπ/5)cis(nπ/5)] / [cos(nπ/5 -π/2 )cis(nπ/5 + π/2)]
= [cos(nπ/5)cis(nπ/5)] / [cos(π/2 - nπ/5)cis(nπ/5 + π/2)]
= [cos(nπ/5)/cos(π/2 - nπ/5)][cis(nπ/5)/cis(nπ/5 + π/2)]
= [cos(nπ/5)/sin(nπ/5)][cis(nπ/5 - (nπ/5 + π/2)]
= cot(nπ/5)cis(-π/2)
= cot(nπ/5)[cos(-π/2)+ isin(-π/2)]
= cot(nπ/5)[cos(π/2) - isin(π/2)]
= cot(nπ/5)[0 - i]
= - icot(nπ/5)

cotのidentityは、-cot(x) = cot(-x)ですので、上記の -icot(nπ/5)は icot(-nπ/5)になってしまい、icot(nπ/5)になりません。

わたしの上記の計算過程に何か問題があるのでしょうか?
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128.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月4日(月) 16時23分
念のために,付け加えておきます.非負実数 r, r',並びに,実数 Θ, Θ' に対し

 r cis(Θ)/( r' cis( Θ' )) = (r/r') cis( Θ - Θ' )

です.なので「(極形式)/(極形式)と変形できればなぁー」と願いたくなります.
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127.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月4日(月) 16時17分
すみません.125 のお返事内容をきちんと読めていませんでした.

z = ( cis(2nπ/5) + 1 )/( cis(2nπ/5) - 1 )
 = ( cis(2nπ/5) + cis(0) )/( cis(2nπ/5) + cis(π) )

ですから,後はこれを極形式に変換することを考えて下さい.「i」や「cot」等に惑わされて,本質が見えにくくなっているかもしれませんが,この問題で問われているのは,

 「方程式を解き,その解を極形式で表せ」

です.

という訳で,

( cis(2nπ/5) + cis(0) )/( cis(2nπ/5) + cis(π) )

を極形式で表したいのですが,その際に「困った部分」がありませんか?その部分を解決してくれるのが,前半の

 cis(x) + cis (y) = 2 cos( (x-y)/2 ) cis( (x+y)/2 )

という主張です.
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126.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月3日(日) 3時23分
全ての複素数は実数Θ,非負実数 r を用いて r・cis(Θ)と表せます.1, -1 を極形式で表すとどうなるでしょうか?それを考えると自ずと分かるかと存じます.
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125.Re: IB用の複素数の問題  
名前:マサル    日付:2019年11月2日(土) 20時43分
z = [ cis(2nπ/5) + 1 ]/[ cis(2nπ/5) - 1 ]まではわかるのですが、
それから問題の前半の等式をどのように利用すればよいのかわかりません。

[(z +1)/(z -1)]^5 = 1 = cis [0 + n2π] where n = 0, 1, 2, 3....
So, (z + 1)/(z -1) = cis [(1/5)*(0 + n2π)] = cis (n2π/5)
So, z + 1 = (z - 1)*cis (n2π/5)
So, z - z*cis (n2π/5) = - 1 - cis (n2π/5)
So, z [1 - cis(n2π/5)] = - 1 - cis (n2π/5)
Thus, z = [cis (n2π/5) + 1]/[cis (n2π/5) - 1]

この後は、自分でしたら以下のようにしますが、どうしても行き詰ってしまいます(*の記号は掛け算のXとして以下に使いました)。

z = [cis (n2π/5) + cis (0)] / [cis (n2π/5) + cis (π)]
= [cis (n2π/5) +cis (0)]*cis (n3π/5) / [cis (n2π/5) + cis (π)]*cis (n3π/5)
= [cis (n2π/5 + n3π/5) +cis (0 + n3π/5)] / [cis (n2π/5 +n3π/5 ) + cis (π + n3π/5)]
= [ cis (nπ) + cis (n3π/5) ] / [cis (nπ) + cis (π + n3π/5)]
= [ cis (nπ) + cis (n3π/5) ] / [{cis (π)}n + cis (π + n3π/5)]
= [ cis (nπ) + cis (n3π/5) ] / [( - 1 )^n + cis (π + n3π/5)]

以上では cis(x) + cis(y)の形になっていないので、前半部分の等式を使うことができません。

前半の等式はz = [ cis(2nπ/5) + 1 ]/[ cis(2nπ/5) - 1 ]以降、どのように利用するのでしょうか?
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122.Re: IB用の複素数の問題  
名前:通りすがり    日付:2019年11月1日(金) 17時56分
質問をされる際は,記号や用語の定義をきちんと書いてくださると幸いです.恐らく

i は虚数単位を表し,cis(x) = cos(x) + i・sin(x),cot(x) = 1/tan(x) と定める

ということかと思いますので,これを想定した回答を提示します.

w := (z+1)/(z-1) とおき,w^5 = 1 を解けば

 w = cis(2nπ/5) (n = 1,2,3,4)

です.上記の等式は同値な変形により

 z = ( cis(2nπ/5) + 1 )/( cis(2nπ/5) - 1 )

となります.ここから問題の前半の等式を利用すればよいかと存じます.

とはいえ,問題の前半のような等式など利用せずとも,t := nπ/5 とおいて,

 z = (cis(t) + cis(-t))/(cis(t) - cis(-t))
  = ( 2cos(t) )/( 2i・sin(t) )
  = -i・cot(t)
  = i・cot(π-t)
  = i・cot(mπ/5) (m = 1,2,3,4)

と計算すれば,後半の主張を示せます.
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120.IB用の複素数の問題  
名前:マサル    日付:2019年10月31日(木) 18時50分
以下はIB(国際バカロレア)数学 High Level用の問題です。

Prove that cis(x) + cis (y) = 2 cos [(x-y)/2]cis[(x+y)/2]. Hence show that [(z+1)/(z-1)]^5 = 1 has solutions of the form z = i cot [n(pi)/5] for n = 1, 2, 3, and 4.

前半部分の問題は三角関数のProduct-To-Sum Identitiesを使って何とか解くことができました。等式のRHS(右側)から始めると以下のように解きやすいです。

RHS
= 2cos[(x-y)/2]cis[(x+y)/2]
= 2cos[(x-y)/2]*[cos[(x+y)/2] + isin[(x+y)/2]]
= 2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] + i2sin[(x+y)/2]]*cos[(x-y)/2]
= cos[(x+y)/2 + (x-y)/2] + cos[(x+y)/2 - (x-y)/2] + i [sin[(x+y)/2 + (x-y)/2] + sin [(x+y)/2 - (x-y)/2]]
= cos(x) + cos(y) + i[sin(x) + sin(y)]
= [cos(x) + isin(x)] + [cos(y) + isin(y)]
= cis(x) + cis(y)
= LHS

しかし、問題なのは"Hence..."から始まる後半部分で、どのようにしてよいか全くわかりません。お手上げ状態です。"Hence"とあるので、前半部分の等式を利用して後半部分を解くのですが、前半部分を利用しなくても解けない有り様です。

どなたか、この問題の解き方かヒントなどを教授できる方がいてくだされば助かります。
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