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1217.Re: 素数の有理数乗  
名前:箱寝    日付:2020年7月22日(水) 9時13分
確かにそのとうりですね。参考になります、ありがとうございます!
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1201.Re: 素数の有理数乗  
名前:らすかる    日付:2020年7月20日(月) 12時0分
基本的には問題ないと思いますが、些細な問題があります。
先頭行の右端で「与式は」と書かれていますが
与式はp^a≠qですからp^(m/n)=qは与式ではありません。

あと、
a≦0のときp^a≦1なのでp^a≠q
を先に言っておけば、m,nを互いに素な自然数にできますので
すっきりすると思います。

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1200.素数の有理数乗  
名前:箱寝    日付:2020年7月20日(月) 10時56分
命題「p, qが異なる素数, aが有理数のとき, つねに p^a≠q である」の証明は次でよろしいでしょうか?

有理数aは互いに素な整数m,nを用いてa=m/nと表せるので(n≠0)与式は
p^(m/n)=q ⇔ p^m=q^n・・・(※)
@ m>0 のとき
p^m>1 より等しい右辺もq^n>1なのでn>0
このとき左辺は素因数pのみ、右辺は素因数qのみ持ち、pとqは異なる素数なので(※)は不成立。
Am=0のとき
(※)はq^n=1 ∴n=0 これはn≠0に矛盾。
Bm<0のとき
@同様にしてn<0
ここで-m=M>0、-n=N>0と置き換えて
(※) ⇔ 1/p^M=1/q^N ⇔ p^M=q^N
これが成立しないことは@で示した。

感覚的に成り立ちそうですが, aの条件とか特定のp, qによっては成立するのでしょうか?
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