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1227．Re: 確率の問題  
名前：タヌキ    日付：2020年7月25日(土) 13時11分
皆さんありがとうございます！
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1226．Re: 確率の問題  
名前：IT    日付：2020年7月25日(土) 8時41分
（別解) 略解
tachikawa さんの　p49≦1/21を使います。

100C1＜100C2＜....＜100C49＜100C50 と　4/9＜1/2　であることから
　p[1]+p[2]+...+p[48]+p[49]＜2p[49]≦2/21＜1/10
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1222．Re: 確率の問題  
名前：らすかる    日付：2020年7月24日(金) 3時54分
別解
ちょうどn回勝利する確率はp[n]=100Cn・(9/13)^n・(4/13)^(100-n)
100C50=100!/(50!)^2
=(100・99)/(50^2)・(98・97)/(49^2)・(96・95)/(48^2)・…・(2・1)/(1^2)
＜(100・100)/(50^2)・(98・98)/(49^2)・(96・96)/(48^2)・…・(2・2)/(1^2)
=4^50
なので
p[50]=100C50・(9/13)^50・(4/13)^50
＜4^50・(9/13)^50・(4/13)^50
=(144/169)^50
＜(144/168)^50
=(6/7)^50
=(36/49)^25
＜(36/48)^25
=(3/4)^25
=(243/1024)^5
＜(243/972)^5
=(1/4)^5
=1/1024
(勝利する確率)＞1/2から
p[0]＜p[1]＜p[2]＜…＜p[49]＜p[50]なので
Σ[k=0〜49]p[k]＜50p[50]＜50/1024＜50/1000=1/20
よって勝利する回数が50回未満となる確率は1/20より小さいので
1/10よりも小さい。
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1221．Re: 確率の問題  
名前：IT    日付：2020年7月23日(木) 23時24分
勝利する回数が50回未満となる確率は 1/10 以下である。

100回中勝利する回数がちょうどn回の確率を p[n] とおくと
p[0]/p[100]=(4/9)^100＜1/9
p[1]/p[99]=(4/9)^99＜1/9
....
p[47]/p[53]=(4/9)^3＝64/729＜1/9
なので

(p[48]+p[49])/(p[50]+p[51]+p[52])≦1/9 を示せばよい。


左辺=((4^4)(49*50)+(4^3)9(50*52))
　　　/((4^2)(9^2)(51*52)+4(9^3)(50*52)+(9^4)(49*50))
＜(((4^4)+(4^3)9)52)/(((4^2)(9^2)+4(9^3)+(9^4))49)
＜1/9

計算は確認してください。
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1219．Re: 確率の問題  
名前：tachikawa    日付：2020年7月23日(木) 20時12分
1/10 以下 ですが、ちょっと計算は厄介ですね。
もっといいやり方があるかもですが自分のやり方を書いてみます。


100回中勝利する回数がちょうどn回の確率を pn とおくと

pn=(9/13)n(4/13)100-n100Cn

です。

1) で p0+…+p48≦256/6817
2) で p49≦1/21

であることを示します。

1)
100Cn = 100C100-n に注意すれば
pn / p100-n = (4/9)100-2n
したがって n≦48 のとき pn / p100-n≦(4/9)4=256/6561 ここから pn / (pn+ p100-n)≦(4/9)4=256/(256+6561)=256/6817
したがって pn / p100-n
p1+…+p48≦(p0+p100)*256/6817+…+(p48+p52)*256/6817=(p0+p1+…+p47+p48+p52+p53+…+p99+p100)*256/6817≦p0+…+p100)*256/6817=256/6817

2)
pn+1/pn=9(100-n)/(4(n+1)) だから n≦68 のときpn+1/pn≧1 とくに p49≦p50≦…≦p68≦p69 であって p49 から p69 までの総和が1以下であることから p49≦1/21


以上 1) 2) より p0+…+p49≦12193/143157<1/10
よって勝利する回数が50回未満となる確率は 1/10 以下。
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1216．確率の問題  
名前：タヌキ    日付：2020年7月21日(火) 1時50分
勝利する確率が9/13、敗北する確率が4/13の
ゲームを100回繰り返すとき、
勝利する回数が50回未満となる確率は、
1/10よりも大きいか否か。
理由とともに答えよ。

以上の問題を解説お願いします。
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