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1227.Re: 確率の問題  
名前:タヌキ    日付:2020年7月25日(土) 13時11分
皆さんありがとうございます!
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1226.Re: 確率の問題  
名前:IT    日付:2020年7月25日(土) 9時0分
(別解) 略解
tachikawa さんの p[49]≦1/21を使うと、
100C1<100C2<....<100C49<100C50 と 4/9<1/2 であることから
 p[1]+p[2]+...+p[48]+p[49]<2p[49]≦2/21<1/10
(左辺は、初項p[49]公比1/2 の無限等比数列の和より小さい)

1/10以下であることを示すには、これが簡単ですね。

らすかるさんのp[50]<1/1024を使うと、同様に
 Σ[k=0〜49]p[k]<p[50]<1/1024

かなり小さいことが分りますね。
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1222.Re: 確率の問題  
名前:らすかる    日付:2020年7月24日(金) 3時54分
別解
ちょうどn回勝利する確率はp[n]=100Cn・(9/13)^n・(4/13)^(100-n)
100C50=100!/(50!)^2
=(100・99)/(50^2)・(98・97)/(49^2)・(96・95)/(48^2)・…・(2・1)/(1^2)
<(100・100)/(50^2)・(98・98)/(49^2)・(96・96)/(48^2)・…・(2・2)/(1^2)
=4^50
なので
p[50]=100C50・(9/13)^50・(4/13)^50
<4^50・(9/13)^50・(4/13)^50
=(144/169)^50
<(144/168)^50
=(6/7)^50
=(36/49)^25
<(36/48)^25
=(3/4)^25
=(243/1024)^5
<(243/972)^5
=(1/4)^5
=1/1024
(勝利する確率)>1/2から
p[0]<p[1]<p[2]<…<p[49]<p[50]なので
Σ[k=0〜49]p[k]<50p[50]<50/1024<50/1000=1/20
よって勝利する回数が50回未満となる確率は1/20より小さいので
1/10よりも小さい。

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1221.Re: 確率の問題  
名前:IT    日付:2020年7月25日(土) 7時40分
勝利する回数がちょうどn回となる確率を p[n] とおくと,
 p[n]=100Cn・(9/13)^n・(4/13)^(100-n).
100Cn=100C(100-n)であることを使うと,
 p[0]/p[100]<p[1]/p[99]<....<p[47]/p[53]=(4/9)^6<1/9.

また,
 (p[48]+p[49])/(p[50]+p[51]+p[52])
 =((4^4)(49*50)+(4^3)9(50*52))/((4^2)(9^2)(51*52)+4(9^3)(50*52)+(9^4)(49*50))
 <(((4^4)+(4^3)9)52)/(((4^2)(9^2)+4(9^3)+(9^4))49)<1/9.

よって,(p[0]+p[1]+...+p[49])/(p[50]+p[51]+...+p[100])<1/9.
よって,p[0]+p[1]+...+p[49]<1/10.

計算は確認してください。

統計学の問題なら、厳密性は欠けますが、正規分布で近似するのでしょうが
それだと1/10よりずっと小さい値を示すよう出題されそうですね。
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1219.Re: 確率の問題  
名前:tachikawa    日付:2020年7月23日(木) 20時15分
1/10 以下 ですが、ちょっと計算は厄介ですね。
もっといいやり方があるかもですが自分のやり方を書いてみます。


100回中勝利する回数がちょうどn回の確率を pn とおくと

pn=(9/13)n(4/13)100-n100Cn

です。

1) で p0+…+p48≦256/6817
2) で p49≦1/21

であることを示します。

1)
100Cn = 100C100-n に注意すれば
pn / p100-n = (4/9)100-2n
したがって n≦48 のとき pn / p100-n≦(4/9)4=256/6561 ここから pn / (pn+ p100-n)≦256/(256+6561)=256/6817
よって
p1+…+p48≦(p0+p100)*256/6817+…+(p48+p52)*256/6817=(p0+p1+…+p47+p48+p52+p53+…+p99+p100)*256/6817≦p0+…+p100)*256/6817=256/6817

2)
pn+1/pn=9(100-n)/(4(n+1)) だから n≦68 のときpn+1/pn≧1 とくに p49≦p50≦…≦p68≦p69 であって p49 から p69 までの総和が1以下であることから p49≦1/21


以上 1) 2) より p0+…+p49≦12193/143157<1/10
よって勝利する回数が50回未満となる確率は 1/10 以下。
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1216.確率の問題  
名前:タヌキ    日付:2020年7月21日(火) 1時50分
勝利する確率が9/13、敗北する確率が4/13の
ゲームを100回繰り返すとき、
勝利する回数が50回未満となる確率は、
1/10よりも大きいか否か。
理由とともに答えよ。

以上の問題を解説お願いします。
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