※以下、断りの無い変数は全て自然数としておく。
※a^bはaのb乗の事とする。
※文中、次の表記を用いる。
(a,b,c)≡(d,e,f)(mod.g)
a≡dかつb≡eかつc≡f(mod.g)
の意とする。
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双子素数が無限組であると見立ててそれを証明する。
背理法で証明する。
(3,5)以外の双子素数は全て
(6s-1,6s+1)の形をしている事に注意する。
(6s-1,6s+1)が双子素数でない事と同値の
表現を考えると6s-1,6s+1の
少なくともどちらかは合成数になる。
と言う事であるから
/*====================================*/
36s^2-1=t1(s)t2(s)t3(s)
(t1(s),t2(s),t3(s)は全て5以上の奇数)
...[A001]
/*====================================*/
と書ける。と言う事と同値である。
背理法で証明するのであるから
つまり双子素数が有限組と仮定すれば
あるs0が1つとれてs≧s0なる任意の
sに対して[A001]の様に表現できるはずである。
sはs0以上のどこまでも大きな自然数を
とってよいのであるから
/*===============================*/
36s^2-1=t1(s)t2(s)t3(s)
36(2s)^2-1=t1(2s)t2(2s)t3(2s)
...[B001]
/*===============================*/
と書けるはずである。
式形より
36(2s)^2-1
=4(36s^2)-1
=4(t1(s)t2(s)t3(s)+1)-1
=4t1(s)t2(s)t3(s)+3≡-1(mod.36)
4t1(s)t2(s)t3(s)+4≡0(mod.36)
4(t1(s)t2(s)t3(s)+1)≡0(mod.36)
(t1(s)t2(s)t3(s)+1)≡0(mod.9)
t1(s)t2(s)t3(s)≡8(mod.9)
で、
t1(s),t2(s),t3(s)は全て奇数だから
/*==========================*/
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(1,1,17)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(1,5,7)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(1,11,13)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(5,5,5)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(5,11,17)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(5,13,13)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(7,7,11)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(7,13,17)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(11,11,11)
(t1(s),t2(s),t3(s))≡(17,17,17)
(mod.18)
/*==========================*/
のいずれかの形に書けると考えてよい。
（剰余の制約の確認は手計算でもよいが
手数の節約のため、プログラムに拠った。
剰余を
t1(s)の剰余≦t2(s)の剰余≦t3(s）の剰余
に限定し、
(1,7,5）などの組合わせは省略した。
（これでも考察に支障はない。）
/*=========================================*/
今、sについて次の形のものを考えてみる。
s=(5・(m!)) (mは任意の自然数)
このとき、sはどこまでも大きな値をとれるが
X=36s^2-1=36{(5・(m!))^2}-1
=900・(m!)^2-1
(={30(m!)-1}{30(m!)+1})
という式を考え
これが
(18u1+19)(18u2+19)(18u3+17)
(18u1+19)(18u2+ 5)(18u3+ 7)
(18u1+19)(18u2+11)(18u3+13)
(18u1+ 5)(18u2+ 5)(18u3+ 5)
(18u1+ 5)(18u2+11)(18u3+17)
(18u1+ 5)(18u2+13)(18u3+13)
(18u1+ 7)(18u2+ 7)(18u3+11)
(18u1+ 7)(18u2+13)(18u3+17)
(18u1+11)(18u2+11)(18u3+11)
(18u1+17)(18u2+17)(18u3+17)
(u1,u2,u3は非負整数)
のいずれの式でも表せない事を言う。
...[C001]
/*=========================================*/
これが言えると[B001]に対する
反例になりそれがどこまでも大きな
sに対して言える事になるから
背理法の仮定が間違っている、
すなわち、双子素数は無限組存在する
事が言える。
/////////////////
[C001]を証明する。
《パターン１：3因数の形が異なる時》
【(18u1+19)(18u2+5)(18u3+7)に対しては】
18u1+19≦mを満たす全ての18u1+19を小さい順に
18u1(1)+19〜18u1(v1)+19
18u2+5≦mを満たす全ての18u2+5を小さい順に
18u2(1)+5〜18u2(v2)+5
18u3+7≦mを満たす全ての18u3+7を小さい順に
18u3(1)+7〜18u3(v3)+7
とし、積
D1=
{Π[i1=1..v1]{18u1(i1)+19}}
{Π[i2=1..v2]{18u2(i2)+ 5}}
{Π[i3=1..v3]{18u3(i3)+ 7}}
を考えると
(18u1+19)と(18u2+5)と(18u3+7)
がそれぞれ異なる値をとる事より
D1はm!の約数で
30(m!)-1及び30(m!)+1
はD1と互いに素であるから
900{(m!)^2}-1も
D1と互いに素。
すなわち、900{(m!)^2}-1は
(18u1+19),(18u2+5),(18u3+7)
のいずれの形式の約数も持たない。
【(18u1+19)(18u2+11)(18u3+13)に対しては】
【(18u1+ 5)(18u2+11)(18u3+17)に対しては】
【(18u1+ 7)(18u2+13)(18u3+17)に対しては】
上記と全く同様である。
《パターン２：2因数の形が同じ、1つが異なる時》
【(18u1+19)(18u2+19)(18u3+17)に対しては】
18u1+19≦mを満たす全ての18u1+19を小さい順に
18u1(1)+19〜18u1(v4)+19
18u3+17≦mを満たす全ての18u3+17を小さい順に
18u3(1)+17〜18u3(v5)+17
とし、積
D2=
{Π[i4=1..v4]{18u1(i4)+19}}
{Π[i5=1..v5]{18u3(i5)+17}}
を考えると
(18u1+19)と(18u3+17)
がそれぞれ異なる値をとる事より
D2はm!の約数で
30(m!)-1及び30(m!)+1
はD2と互いに素であるから
900{(m!)^2}-1も
D2と互いに素。
すなわち、900{(m!)^2}-1は
(18u1+19),(18u2+19),(18u2+17)
のいずれの形式の約数も持たない。
【(18u1+ 5)(18u1+13)(18u1+13)に対しては】
【(18u1+ 7)(18u1+ 7)(18u1+11)に対しては】
上記と全く同様である。
《パターン３：3因数の形式が全て同じの時》
【(18u1+5)(18u2+5)(18u3+5)に対しては】
18u1+5≦mを満たす全ての18u1+5を小さい順に
18u1(1)+5〜18u1(v6)+5
とし、積
D3=
{Π[i6=1..v6]{18u1(i6)+ 5}}
を考えると
D3はm!の約数で
30(m!)-1及び30(m!)+1
はD3と互いに素であるから
900{(m!)^2}-1も
D3と互いに素。
すなわち、900{(m!)^2}-1は
(18u1+5)
の形式の約数を持たない。
(18u2+5),（18u3+5)に対しても同様である。
【(18u1+11)(18u2+11)(18u3+11)に対しては】
【(18u1+17)(18u2+17)(18u3+17)に対しては】
上記と全く同様である。
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以上の事から背理法の仮定は否定されたので
双子素数が無限組存在する事が証明された。
[Q.E.D.]
と、、、以上、証明を試みましたが何かおかしな所は
ないでしょうか？
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