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1273.Re: 線形代数 証明問題  
名前:ast    日付:2020年8月9日(日) 7時17分
読み返してみると 1271.はあちこちおかしいですね, すみません…….

例えばもともとの A にすべての成分が 0 である行が存在するとき, その行に対応する Q の列の値は任意にとれるので, そのあたりで一意性を確保するのはむりなんじゃないですかね.
# 例えば A=((1,2,3);(0,0,0)) のとき A は既に階段形なので, B=A ですが
# Q=((1,x);(0,y)} は任意の x および y≠0 に対して正則で QA=B です.
それでも A の簡約形 B は一意になりますが (証明は面倒なので「簡約行列の一意性」あたりでWeb検索してください).

実際に P を計算すると, C = (c_1,c_2,…, c_n) と列ベクトルを横に並べた形に書くとき, B および C の作り方から, (c_{j_1}, …, c_{j_r}) と並べたものが r 次単位行列になるような j_1, …,j_r がとれるわけですが, A も同様に A = (a_1,…,a_n) と列ベクトルを横に並べたとき, P = (a_{j_1}, a_{j_2}, …, a_{j_r}) となることが言えるはず (*) なので, 一意性はそこからです.
# 上と同じ例で A=((1,2,3);(0,0,0)), Q^(-1)={{1,-x/y},{0,1/y}} のとき,
# C=(1,2,3), P=(1;0) で A=PC が成り立ちます.
## もう少し大きい行列の例を計算機 (というか, Wolfram Alpha) でいくつか作って
## (*) になるらしいことは実感したが, 理屈がまだよく呑み込めてない
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1272.Re: 線形代数 証明問題  
名前:TTD    日付:2020年8月9日(日) 1時28分
 回答ありがとうございます。ほとんど理解できました。
 ただ、一点分からないことがあるので答えていただけると幸いです。
 Pの一意性を証明するにはQに一意性がある必要があると考えましたがどうなのでしょうか?
 また、Qに一意性がある必要がある場合、それはどのように導かれるのでしょうか?
 
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1271.Re: 線形代数 証明問題  
名前:ast    日付:2020年8月8日(土) 22時46分
着眼点としては, これら (およびその逆) の操作がすべて適当な行列を掛けるという仕方で実現できることを見ればよいです.

 [0] B が A の行簡約行列: m×m 正則行列 Q (行簡約化の行列) が存在して B=QA (⇔ A=Q^(-1)B).
 [i-a] B の下 m-r 行を取り除いた行列が C である: C= RB (ただし, R= (I_r |O_{m-r}) は 左に r 次単位行列, 右に m-r 次零行列を並べた r×m 行列)
 [i-b] B が C の下に m-r 個の行零ベクトルを追加した行列である: B= SC (ただし, S = (I_r ; O_{m-r}) は上に r 次単位行列, 下に m-r 次零行列を並べた m×r 行列)

すなわち, 本問でとるべき P は P=Q^(-1)S (これは Q^(-1) の左側 r 列だけをとった r×n 行列) ということになります.
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1269.線形代数 証明問題  
名前:TTD    日付:2020年8月8日(土) 14時59分
質問です。着眼点すら分からず苦戦しています。どなたかご協力をお願い致します。

Aをm×n行列 r:=rank A、BをAの簡約行列とし、CをBの下の方にある零行ベクトル(があればそれ)をすべて取り除いてできるr×n行列とするこのとき A = PCとなる m × r 行列 P がただ一つ存在することを証明せよ.
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