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1306.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月27日(木) 11時17分
ありがとうございました。
商空間を用いた定義で進めて行く行くは本来?の定義を使っていければと思います。
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1304.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月25日(火) 15時28分
> 1293にいてなのですが …中略… 〜はある同値関係ですか.それとも特定の同値関係ですか.

失礼しました.1293 の

 f := 各 (v,w) ∈ V ++ W を e_(v,w) ∈ U に対応させることで得られる写像 e と,自然な全射 π: U -> U/〜 の合成 πe

に誤りがありましたので,次の様に訂正します.

--------------------------
 f := 各 (v,w) ∈ V ++ W を e_(v,w) ∈ F(V x W) に対応させることで得られる写像 e と,自然な全射 π: F(V x W) -> T = F(V x W)/〜 の合成 πe
--------------------------

上述の誤りの方では,U を F(V x W) と混同して書いておりました.〜は 1287 の同値関係を指しているつもりでした.
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1303.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月25日(火) 13時2分
1302は間違えました.無視してください.
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1302.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月25日(火) 12時57分
写像 f: X → Y は全射とし、関係 ∼ を x ∼ y :⇔ f(x) = f(y) と定めるとこれは同値関係(f の同値核)である。このとき、写像 X/∼ → Y; [x] ↦ f(x) は全単射となる。このときの f もまた商写像、あるいは自然な射影と呼ばれる。
この同値関係のことでしょうか.
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1301.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月25日(火) 12時50分
1293にいてなのですが
f := 各 (v,w) ∈ V ++ W を e_(v,w) ∈ U に対応させることで得られる写像 e と,自然な全射 π: U -> U/〜 の合成 πe
の〜はある同値関係ですか.
それとも特定の同値関係ですか.
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1300.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月25日(火) 9時59分
> テンソル積の存在の所で書いていただいたfはL:V×W→T,(v,w)→e_(v,w)+D同じですか.

読み直してようやく理解できました.L は (v,w) を e_(v,w) の剰余類に写す写像ということですね?
そうであれば,おっしゃる通り f は L と同じです.

最後に,言い忘れがありましたので,ここで追記します.

V, W を k 上の線形空間とし,T := V xx_k W とおき,f:V ++ W -> T を (T,f) がテンソル積となるような双線型写像します.このとき,T と k-同型である線形空間 T' と,k-同型写像 φ: T -> T' に対し,(T',φf) は V と W のテンソル積(つまり,1293 の(※)を満たす)となります(簡単な演習問題です).

こういった経緯から,V, W のあるテンソル積 (T,f) に対し,T と同型である線形空間 T'をテンソル積と呼び,議論を行っても問題が生じないことが多く(必要が生じたら T' の「相方」としてφf を考えればよい),その為,T の構成法を一つ提示し,それを「テンソル積の定義」とする専門書も多数あります(大学初学年向けの書籍ならば,こちらが大多数だと思います).

i さんが 1287 で「複数のテンソル積の定義」を提示されたのも,おそらく上述の状況が起因してのことだと推察します.

従いまして,もし 1293 の私の説明が難しいと感じる場合は,取り合えず 1287 の「基底を用いたテンソル積」,あるいは,「商空間を用いたテンソル積」と同型である線形空間がテンソル積であるとし(両者は同型なので,どちらを選んでも問題はありません),勉強を進めていってもよいと思います.但し,後者の方が線形空間の一般化である環上の加群でも有効な構成法なので,個人的には後者をテンソル積の定義と理解しておくことをお勧めします.
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1299.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月25日(火) 8時52分
繰り返しになりますが,正確な記述をお願いします.

> テンソル積の存在の所で書いていただいたfはL:V×W→T,(v,w)→e_(v,w)+D同じですか.

意味不明です.

> 任意の k-線形空間 X と k-双線形写像 g: V ++ W -> X に対し,k-線形写像 g': T -> X で g = g'L を満たすものが一意的に存在する.
このようなg'を示せばよいということですか.

上述の通り,L の定義が不明なので,お答えでき兼ねますが,L がしかるべきものであれば,それでよいと思います.

最後に 1295 についてですが,まず正確な文章で書いてください.何をおっしゃりたいのか分かりません.
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1298.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月25日(火) 8時46分
> 自由線型空間(自由ベクトル空間?)を勝手にk上のベクトル空間と読み替えてました.

(選択公理の仮定の下)任意の体上の線形空間は自由線型空間なので(つまり,必ず基底が存在するするので)「自由」という言葉はあまり気にする必要はありません.ここで「自由」とつけるのは,X が基底となることを強調するためです.

> 自由線型空間(自由ベクトル空間?)を知らなかったので
https://qiita.com/tamanujan/items/e1ec860f973393df7d11
…以下略

まず,著者が不明の解説は鵜呑みにしないようにしましょう.i さんがその記述内容の正しさをご自分で検証できないのであれば,参考にすべきではありません.しかるべき専門家が書いた専門書を参照すべきです.

ただ,書いてあることは概ねあっていると思います.

k を体,X を空ではない集合とし,直積集合

k^X = {f | f は X から k への写像}

上の加法,k の作用を次の様に定めます.

 f + g := 各 x ∈ X を f(x) + g(x) に対応させることで得られる X から k への写像,
 af := 各 x ∈ X を a・f(x) に対応させることで得られる X から k への写像,

但し,f,g ∈ k^X,a ∈ k です.この加法,作用により k^X は k 上の線形空間となり(簡単な演習問題),その部分集合

 F(X) := { f ∈ k^X | 有限個の x ∈ X を除き f(x) = 0 }

は k^X の部分空間となります.更に,x ∈ X に対し e_x ∈ k^X を

 e_x(y) := δ_{xy}・1_k(y ∈ X,δはクロネッカーのデルタ,1_k は k の単位元)

で定めると,B := { e_x | x ∈ X } は F(X) の基底となることが容易に確かめられます(というわけで,F(X) の基底は X ではなく B ですが,X と B を同一視し,X が基底であるとよく見なします).

この F(X) を X が生成する k 上の自由線形空間などと呼んだりします.

従いまして,i さんが 1287 で提示されている V' は F(V x W) であり,T は「商空間を用いたテンソル積」でご提示のものと全く同じです.

> 具体例のstep∞の所の定義と理解しました.

step ∞ の説明は,私がテンソル積の定義として 1293 にて挙げたようなものと同じで,正確には X が生成する k 上の自由線型空間も「普遍性」と呼ばれる性質によって定義すべきですが,i さんの問を解決するには,ここまで理解していただくは必要ないでしょう.
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1296.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月25日(火) 0時26分
テンソル積の存在の所で書いていただいたfはL:V×W→T,(v,w)→e_(v,w)+D同じですか.

T:=V'/D商ベクトル空間
V':={f:V×W→k|有限個の(v,w)∊V×Wを除いてf(v,w)=0}
V'の標準的な基底を{e_(v,w)}_(v,w)∊V×Wと表す.すなわち
e_(v,w)(v',w')={1(v,w)=(v',w'),0(v,w)≠(v',w')
V,Wはk上のベクトル空間です.
fはただの写像です.
次の形のV'の元全体が生成するV'の部分空間をDとします.
Dはv1,v2∊V,w1,w2∊W,c∊kに対して
e_(v1 + v2, w1)-e_(v1, w1) - e_(v2, w1),
e_(v1, w1 + w2)-e_(v1, w1) - e_(v1, w2),
e_(cv1, w1) − ce_(v1, w1), e_(cv1, w1) − ce_(v1, w1)
L:V×W→T,(v,w)→e_(v,w)+D
とすると,(T,L)はVとWのテンソル積

をテンソル積の定義に即してテンソル積であることを示すには

任意の k-線形空間 X と k-双線形写像 g: V ++ W -> X に対し,k-線形写像 g': T -> X で g = g'L を満たすものが一意的に存在する.
このようなg'を示せばよいということですか.
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1295.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月25日(火) 0時0分
初歩的な質問ですみません.
代数的直和,有限個のベクトル空間 W1, …, Wn の集合としての直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W1, …, Wn の(外部)直和という。これを W := W1 ⊕ ⋯ ⊕ Wn と表す。
ですか.
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1294.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月24日(月) 23時50分
自由線型空間(自由ベクトル空間?)を勝手にk上のベクトル空間と読み替えてました.
有難うございます.
自由線型空間(自由ベクトル空間?)を知らなかったので
https://qiita.com/tamanujan/items/e1ec860f973393df7d11
具体例のstep∞の所の定義と理解しました.
これでは足りないでしょうか.
それとも違いますか.
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1293.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月24日(月) 22時47分
後回しにしたテンソル積の適切な定義を記載しておきます.ただ,これは初学者には非常に捉えにくいと思いますので,理解が困難な場合はとりあえず「テンソル積には適切な定義があり,1287 でお答えいただいたものは,テンソル積の構成法を与えるもの」ということだけお分かり頂ければ十分かと存じます.

------------------------------------
テンソル積の定義はじめ

以下,「xx」でテンソル積の記号(x を〇で囲んだもの),「++」で直和の記号(+ を〇で囲んだもの)を表す.また,写像 f:A -> B,g:B -> C の合成を gf と表す.

V, W を体 k 上の線形空間,とする.このとき,k-線形空間 T と k-双線形写像 f: V ++ W -> T の組 (T,f) で次の条件(※)を満たすもの(混乱の恐れがない場合は,T を)V と W のテンソル積といい,V xx_F W と表す.

(※)任意の k-線形空間 X と k-双線形写像 g: V ++ W -> X に対し,k-線形写像 g': T -> X で g = g'f を満たすものが一意的に存在する(g'f は写像の合成を表す).

テンソル積の定義おわり
------------------------------------

合わせて,テンソル積の存在と一意性についても言及しておきます.

------------------------------------
存在

任意の k-線形空間 V, W に対し,そのテンソル積 (T,f) は必ず存在する.実際に,

 T := 1287 の「商空間によるテンソル積」の U
 f := 各 (v,w) ∈ V ++ W を e_(v,w) ∈ U に対応させることで得られる写像 e と,自然な全射 π: U -> U/〜 の合成 πe

と定めると (T,f) はテンソル積となる.
------------------------------------

------------------------------------
一意性

V, W のテンソル積は次の意味で一意的に定まる.

(T,f), (T',f') が V, W のテンソル積ならば,k-同型 φ:T -> T' で f' = φf を満たすものが(一意的に)存在する.特に,T と T' は k-同型となる.
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1292.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月24日(月) 22時20分
> 構成方法はまだ分かりません.

では,i さんがおっしゃる「基底を用いたテンソル積」や「商空間を用いたテンソル積」は正に「構成方法」であり,実は厳密には「定義」ではありません.適切な定義は初学者には分かりにくいので,後回しにします.

> 下記の定義に当てはめテンソル積であることを示そうとしたのですが自分ではできませんでした.

「商空間を用いたテンソル積(の構成)」とご提示のT = V'/D と全く同じものです.示すべきことは何一つ無いと思います.

恐らくですが,

> デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W)

を曖昧に理解しているのが問題だと思います.「V x W が生成する自由線型空間」と記載していますが,その構成はどのようにして行うのか書いてみてください.
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1287.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月24日(月) 15時20分
テンソル積のことを学び始めたのがつい数日前でしてよくわかっていません.
それ以外の不備は自分の問題です.
今後,そのようなことがないように努力します.

T:=V'/D商ベクトル空間
V':={f:V×W→k|有限個の(v,w)∊V×Wを除いてf(v,w)=0}
V'の標準的な基底を{e_(v,w)}_(v,w)∊V×Wと表す.すなわち
e_(v,w)(v',w')={1(v,w)=(v',w'),0(v,w)≠(v',w')
V,Wはk上のベクトル空間です.
fはただの写像です.
次の形のV'の元全体が生成するV'の部分空間をDとします.
Dはv1,v2∊V,w1,w2∊W,c∊kに対して
e_(v1 + v2, w1)-e_(v1, w1) - e_(v2, w1),
e_(v1, w1 + w2)-e_(v1, w1) - e_(v1, w2),
e_(cv1, w1) − ce_(v1, w1), e_(cv1, w1) − ce_(v1, w1)
L:V×W→T,(v,w)→e_(v,w)+D
とすると,(T,L)はVとWのテンソル積
を下記の定義に当てはめテンソル積であることを示そうとしたのですが自分ではできませんでした.

基底を用いたテンソル積
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B′ = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B′ が生成する nm-次元の自由ベクトル空間
V⊗_F W:=span_F((ξ_i,η_j)|1≤i≤n,1≤j≤m)

商空間を用いたテンソル積
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ⊗ W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_2,w)〜(v_1+v_2,w)
(v,w_1)+(v,w_2)〜(v,w_1+w_2)
c(v,w)〜(cv,w)〜(v,cw)
(v,v_1,v_2∊V;w,w_1,w_2∊W;c∊K)
で与えられる同値関係 ∼ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。言葉を変えれば、テンソル積空間 V ⊗ W は上記の同値関係に関する零ベクトルの属する同値類を N とするときの商線型空間 F(V × W)/N である。

構成方法はまだ分かりません.

また不備があったら指摘していただけいるとありがたいです.
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1286.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月23日(日) 21時56分
独自の表現は避け,正確な表現(多くの数学の専門書で利用されているような表現)で質問してください.曖昧な表現は齟齬の元凶になるばかりか,こちらでそちらの意図がつかめず,返答ができなくなります.

> fを双線型写像としない場合テンソル積の基底、商空間の定義で構成を考えたのですが自分では出来ませんでした。

「何が」出来なかったのですか?

> テンソル積の基底、商空間の定義

そんな「定義」は存在しません.

> 基底、商空間の定義でまたは下記の教えて下さった定義でテンソル積だという事ができるでしょうか。

「基底,商空間の定義でテンソル積だということができる」は,意味不明です.正確に表現してください.また「ということができる」の意味が分かりません.

i さんのご回答を読む限り,テンソル積の定義や標準的なテンソル積の構成法を理解していらっしゃらないように思います.

まずは,

1.テンソル積の「正確な」定義(構成法ではない)

2.体 k 上の線形空間 V, W のテンソル積の標準的な構成方法

を述べてください.
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1285.Re: テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月23日(日) 20時14分
fを双線型写像としない場合テンソル積の基底、商空間の定義で構成を考えたのですが自分では出来ませんでした。
基底、商空間の定義でまたは下記の教えて下さった定義でテンソル積だという事ができるでしょうか。
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1284.Re: テンソルの構成  
名前:通りすがり    日付:2020年8月23日(日) 17時44分
> fは双線型写像です.

e_(v,w)(v',w')={1(v,w)=(v',w'),0(v,w)≠(v',w')

は一般に双線型写像ではないです(例えば,0 = e_(v,w)(2v,w) ,2e_(v,w)(v,w) = 2 なので k の標数が 2 でないならば,e_(v,w) は双線型ではない).

f は単なる写像としないと上手くいかないように思います(とはいえ,それでは,通常の構成法と何ら変わりませんが).

> 基底と商空間のテンソル積の定義の他に有りますか.

いくらでもあります.T を V と W のテンソル積(標準的な構成で得られるもの) とし,X を T と同じ濃度をもつ集合とすると,X と T の間の全単射を利用して,X 上の線形空間の構造と,双線形写像 f: V x W -> X で,(X,f) が V と W のテンソル積となるようなもの(V と W のテンソル積がもつ普遍性をもつもの)が構成できます.

テンソル積は普遍性によって特徴づけられるものであり,(計算機での実装などの特別な用途がない限り)「色んな構成方法」を模索する意味はあまりありません.
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1283.テンソルの構成  
名前:i    日付:2020年8月23日(日) 11時56分
T:=V'/D商ベクトル空間
V':={f:V×W→k|有限個の(v,w)∊V×Wを除いてf(v,w)=0}
V'の標準的な基底を{e_(v,w)}_(v,w)∊V×Wと表す.すなわち
e_(v,w)(v',w')={1(v,w)=(v',w'),0(v,w)≠(v',w')
V,Wはk上のベクトル空間です.
fは双線型写像です.
次の形のV'の元全体が生成するV'の部分空間をDとします.
Dはv1,v2∊V,w1,w2∊W,c∊kに対して
e_(v1 + v2, w1)-e_(v1, w1) - e_(v2, w1),
e_(v1, w1 + w2)-e_(v1, w1) - e_(v1, w2),
e_(cv1, w1) − ce_(v1, w1), e_(cv1, w1) − ce_(v1, w1)
L:V×W→T,(v,w)→e_(v,w)+D
とすると,(T,L)はVとWのテンソル積
の証明を試みたのですができませんでした.
これではテンソル積は構成できないのでしょうか.
基底と商空間のテンソル積の定義の他に有りますか.
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