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152.Re: 最大値と最小値  
名前:コバルオン    日付:2019年11月15日(金) 20時27分
ありがとうございました。
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137.Re: 最大値と最小値  
名前:らすかる    日付:2019年11月7日(木) 11時14分
とりあえず(1)だけ

(1)
Xk=x, Yk=y, Zk=zとおくとX+Y+Z=1,
f=k{(XY)^2+(YZ)^2+(ZX)^2}/{(X+Y)(Y+Z)(Z+X)}となるから
k=1として最大値・最小値を求め、最後にk倍すればよい。
(最大値・最小値をとるx,y,zの値もk倍)
よっていくらか簡単になるのでx+y+z=1の場合を考える。

x≦y≦zとしてy+x=2s,y-x=2tとおくと
x=s-t,y=s+t,z=1-2s,0<s≦1/3,0≦t≦1/4
これをfの式に代入して整理すると
f={(t^2+(1-s)(1-3s))^2+(4s-1)(1-2s)^2}/{2s((1-s)^2-t^2)}
1-s>0, 1-3s≧0なので、sが一定のときfの増減とtの増減は一致する。
よって最大値をとるときt=1/4、最小値をとるときt=0。
[最大値]
t=1/4のときy-x=1/2なので(x,y,z)=(0,1/2,1/2)しかあり得ない。
このときfの値は1/4。
[最小値]
t=0とするとf={(9s-4)^2+2}s/{18(1-s)^2}となり
この式はsが小さいほど小さい。しかしs>0であり
sの最小値が存在しないため、fの最小値も存在しない。

従ってkが一般の値の場合は
(x,y,z)=(0,k/2,k/2),(k/2,0,k/2),(k/2,k/2,0)のとき最大値k/4をとり、
最小値は存在しない。

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132.最大値と最小値  
名前:コバルオン    日付:2019年11月5日(火) 13時10分
x≧0,y≧0,z≧0のとき、次の(1)(2)のそれぞれの条件に対して、f=((xy)^2+(yz)^2+(zx)^2)/((x+y)(y+z)(z+x))の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

(1)x+y+z=k(k:正の定数)のとき
(2)x^2+y^2+z^2=k(k:正の定数)のとき

という問題がわかりません。対称性を利用して何とかいけると思ったけどダメでした。高校数学の範囲で解ける方法を教えてください。
(高校 3 年)
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