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1332.Re: σ関数公式の証明  
名前:らすかる    日付:2020年9月8日(火) 11時28分
mの約数sとnの約数tに対し、stはmnの約数です。
(これはgcd(m,n)と関係なく自明)
逆に、rがmnの約数ならばrの素因数をmに含まれるものと
nに含まれるものに一意的に分けられ(∵gcd(m,n)=1)、
「st=r, sはmの約数, tはnの約数」を満たすs,tはただ一組に決まります。
つまり(mの約数,nの約数)と(mnの約数)が一対一に対応しますので
σ(mn)=Σ[rはmnの約数]r
=Σ[sはmの約数かつtはnの約数]st
=(Σ[sはmの約数]s)×(Σ[tはnの約数]t)
=σ(m)×σ(n)
となります。

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1331.σ関数公式の証明  
名前:もも    日付:2020年9月8日(火) 10時49分
σ関数公式
gcd(m,n)=1ならば
σ(mn)=σ(m)σ(n)

を証明したいです。

☆☆☆

p,qが異なる素数なら
σ(p)=1+p
σ(q)=1+q
σ(pq)=1+p+q+pq

σ(p)σ(q)=1+p+q+pq=σ(pq)
なら証明できます。

同様に、m=ab,n=cdにしてもできます。

しかし、これらを一般化して証明することができません。
組み合わせとかかな…?とも思いましたがうまく行きませんでした。
ご教授お願いします、、、
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