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1375.Re: 漸化式と数学的帰納法について  
名前:ひろし    日付:2020年10月8日(木) 16時34分
お二人ともありがとうございます。
n=k+1のnは推測した一般項におけるnで、与えられた漸化式におけるnではないんですね。
やっと理解できました。
本当にありがとうございますm(_ _)m
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1374.Re: 漸化式と数学的帰納法について  
名前:けんけんぱ    日付:2020年10月8日(木) 12時53分
>解答では数学的帰納法を用いた証明の流れで、n=kのとき@が成り立つと仮定した後、
>「n=k+1のときを考えると条件より
>a[k+1]=a[k]/1+a[k+1]」
>といった箇所があるんです。

>解答部分の下から3行目の箇所です。与えられた漸化式の左辺はa[n]ではなくa[n+1]なので、そのままn=k+1を代入したら、左辺はa[n+1]=a[(k+1)+1]=a[k+2]となり、
>右辺は4a[k+1]-9/a[k+1]-2となりますよね?
>なんでn=k+1のときを考えているのに左辺はa[k+1]となるのですか?

らすかるさまの説明でご理解いただけていると思いますが、私からは単純なことを。
n=k+1のときを考える、けど、n=kのとき@が成り立つと仮定しているので
a[k+1]=a[k]/1+a[k+1]」が成り立つ
と言う具合に、
n=k+1の時の説明ですが、(n=kで)成り立つと仮定した式a[k+1]=a[k]/1+a[k+1]がでてくるだけだと思います。
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1373.Re: 漸化式と数学的帰納法について  
名前:らすかる    日付:2020年10月8日(木) 11時39分
示したいのは「n=k+1のときにa[n]=(12n-5)/(4n-3)が成り立つことの証明」ですから、
nを代入するのはこの式だけです。
元の式のa[n+1]=(4a[n]-9)/(a[n]-2)のnは同じ記号ですが違う意味です。
もし
「次の漸化式で定義される数列{a[n]}の一般項を求めよ.
  a[1]=7, a[n+1]=(4a[n]-9)/(a[n]-2)」

「次の漸化式で定義される数列{a[n]}の一般項を求めよ.
  a[1]=7, a[m+1]=(4a[m]-9)/(a[m]-2)」
となっていても問題の意味は全く同じであり、
問題の「a[n+1]=(4a[n]-9)/(a[n]-2)」という式は
「a[n+1]=(4a[n]-9)/(a[n]-2)のnと書いてあるところにどんな自然数(あるいは
自然数を表す記号など)を代入しても成り立ちますよ」という意味でしかありません。
「n=k+1」のnは
「a[n]=(12n-5)/(4n-3)のnにkを代入したものが成り立つときに、
 a[n]=(12n-5)/(4n-3)のnにk+1を代入したものも成り立つことを示す」
ために、この式のnだけに代入するものです。

# わかりにくい、というのは理解できますが、
# 数列以外でも「同じ文字でも場所によって意味が異なる記号」は
# 出てきますので、感覚として慣れるしかないと思います。

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1372.Re: 漸化式と数学的帰納法について  
名前:ひろし    日付:2020年10月8日(木) 6時56分
ありがとうございます。
解答部分の下から3行目の箇所です。与えられた漸化式の左辺はa[n]ではなくa[n+1]なので、そのままn=k+1を代入したら、左辺はa[n+1]=a[(k+1)+1]=a[k+2]となり、
右辺は4a[k+1]-9/a[k+1]-2となりますよね?
なんでn=k+1のときを考えているのに左辺はa[k+1]となるのですか?
よろしくお願いします。
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1371.Re: 漸化式と数学的帰納法について  
名前:らすかる    日付:2020年10月8日(木) 0時16分
そのリンクの中ではn=k+1をきちんと代入していますね。
何が疑問ですか?

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1369.Re: 漸化式と数学的帰納法について  
名前:ひろし    日付:2020年10月7日(水) 20時32分
ありがとうございます。別にこの問題でなくてもいいのです。
https://examist.jp/mathematics/recurrence-formula/suisokuzenkasiki/
違う問題ですが、このタイプの数学的帰納法で漸化式を解く問題で、n=k+1を与えられた漸化式に代入したら
a[n+1]=a[(k+1)+1]=a[k+2]
となってしまうのではないかというのが疑問です。宜しくお願いします。
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1368.Re: 漸化式と数学的帰納法について  
名前:らすかる    日付:2020年10月7日(水) 19時12分
写真でも良いので、解答の全文をアップしてもらえませんか?
一部だけだとよくわかりません。

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1367.漸化式と数学的帰納法について  
名前:ひろし    日付:2020年10月7日(水) 18時41分
漸化式と数学的帰納法の分野で分からない点があります。
「次の数列a[n]の一般項を求めよ
a[n]=2、a[n+1]=a[n]/1+a[n+1]…@」
といったタイプの問題です。
解答では数学的帰納法を用いた証明の流れで、n=kのとき@が成り立つと仮定した後、
「n=k+1のときを考えると条件より
a[k+1]=a[k]/1+a[k+1]」
といった箇所があるんです。
これは@のn+1をk+1に変えたものだと思うんですが、指示どおり@のnにk+1を代入すると、a[k+2]=a[k+1]/1+a[k+2]」となりますよね。
どうしてこうなるのでしょうか?
わからなくて困っています。どなたかご回答いただけると嬉しいです。よろしくお願いします。
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