> なぜ転値しなければいけないのか分かりません。
むしろ解答のほうが, なぜ転置しないといけないような表示をわざわざ挟んでるのか、その意図がさっぱりわからないです. 4つの成分 p_{11},p_{12},p_{21},p_{22} の並びは初めから最後の表示のように並べるもので, 転置は必要ありません.
> この解法も身につけたいため
まるで二種類の解法があるかのように仰いますが, その二つの中身は全く同じ手続きなので, 別解法ではありません.
• AP=B を P,B の対応する列ベクトルごとに (係数行列 A は共通で) 見たものが解答にある二つの連立方程式であり,
• 逆にそれら二つの連立方程式を横に並べて行列の形にしたものが AP=B です.
また,「A^(-1) を掛ける」操作は「A を単位行列 E にする行基本変形 (いくつかの行基本変形を施した操作をまとめたもの)」で連立方程式の言葉では「加減法で解いた」ことに相当します.
なので, 上で述べたこととも重なりますが, (p_{11},p_{21}) や (p_{12},p_{22}) は P の列ベクトルになるように成分を並べます.
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