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1472.Re: 関数方程式  
名前:関数    日付:2020年11月18日(水) 20時59分
h(x+1)-h(x)=0の形を作り周期関数をいうのですね。ありがとうございます。
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1471.Re: 関数方程式  
名前:らすかる    日付:2020年11月18日(水) 20時18分
すべての実数でg(x+1)-g(x)=aを満たす関数g(x)=axはf(x)の解の一つ。
f(x+1)-f(x)=aからg(x+1)-g(x)=aを引くと
{f(x+1)-g(x+1)}-{f(x)-g(x)}=0
h(x)=f(x)-g(x)とおくと
h(x+1)-h(x)=0
これを任意の実数で満たす関数h(x)は周期1(周期1/nを含む)の任意の周期関数。
よってf(x)=g(x)+h(x)=ax+h(x)となる。

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1470.Re: 関数方程式  
名前:関数    日付:2020年11月18日(水) 19時21分
返信ありがとうございます。
確かにそうですね。
nは整数,mは自然数
f(n)=f((n/m)×m)をf(x+1)-f(x)=aを使って計算するところで間違えていました。この問題の場合、どう考えて結論を導けばよいのですか。
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1469.Re: 関数方程式  
名前:らすかる    日付:2020年11月18日(水) 18時50分
どうやって、というのはどのように解くとどこで出現するか、という意味でしょうか。
それならば逆にお聞きしますが、
自然数→整数まででf(x)=ax+f(0)というのはわかりますが、
ここから有理数にするときになぜf(x)=ax+f(0)という結論になるのでしょうか?

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1468.Re: 関数方程式  
名前:関数    日付:2020年11月18日(水) 15時47分
f(x)=ax+g(x)(g(x)はすべての実数で定義されている周期1の連続な周期関数)のg(x)はどうやって出てくるのですか?
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1467.Re: 関数方程式  
名前:らすかる    日付:2020年11月18日(水) 12時59分
「関数方程式の解としてよい」のではなく
「関数方程式の解としなければならない」と思います。
一般解はf(x)=ax+g(x)(g(x)はすべての実数で定義されている周期1の連続な周期関数)
となりますね。

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1466.関数方程式  
名前:関数    日付:2020年11月18日(水) 11時31分
すべての実数xに対してf(x+1)-f(x)=aを満たす連続関数関数f(x)を求めよ。
という問題で、
xを自然数→整数→有理数と考えてるとf(x)=ax+f(0)となり一次関数になったのですが、
ある区間b<=x<=b+1に適当な関数(f(b+1)-f(b)=aを満たす)g(x)とする。このグラフを平行移動したx軸方向に1,y軸方向にa平行移動した関数も条件を満たすので、ある幅1の区間を平行移動した区間関数は条件を満たしてしまいます。このような区間関数を集めたものを関数方程式の解としてよいのですか?
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