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1474.無理数の証明  
名前:Mシステム    日付:2020年11月19日(木) 23時26分
合っているかどうか教えて下さい。
お願い致します。

[ステップ1]
x:正整数とする.
f(x)=Γ((x!)^cos((sin(x!))/(x!)!)-(x!)+1)
と定義する.

3<π<4である.

分母の階乗の意味を考えてみる.
sin(x!)=0のとき
分母の階乗は関係ないから
cos((sin(x!))/(x!)!)=1.

sin(x!)≠0のとき
1/(x!)!≦((sin(x!))/(x!)!<0,0<((sin(x!))/(x!)!≦1/(x!)!.
((sin(x!))/(x!)!≠2π,-2π.
よって
cos((sin(x!))/(x!)!)≠1.

(sin(2!))/(2!)!≦1/2<π/6<π/2なので
x≠1のとき
cos(π/6)≦cos((sin(x!))/(x!)!).

x≠1のとき
(x!)^cos((sin(x!))/(x!)!)-(x!)≠x-1.
なぜならば
(x!)^cos((sin(x!))/(x!)!)≠x+(x!)-1
だからである.

[ステップ2]
x=1 ⇔ Γ((x!)^cos((sin(x!))/(x!)!)-(x!)+1)=(x-1)!.…(1)

[ステップ3]
a,bを正整数とし
π=b/a(既約分数)の有理数と仮定する.
b>aである.

sin((b!π)!)
=0
=0/((b・b!/a)!)!
=sin((b・b!/a)!)/((b・b!/a)!)!.

b・b!/a≠1は正整数である.

x=b・b!/aとすると
f(b・b!/a)
=Γ(((b・b!/a)!)^cos((sin((b・b!/a)!))/((b・b!/a)!)!)-((b・b!/a)!)+1)
=1
=0!
=Γ((1!)^cos((sin(1!))/(1!)!)-(1!)+1).…(2)

(1)はx=1のときのみ成り立つ.
(2)はx=b・b!/a≠1のときに成り立つ.
(1)より(2)は不合理.
したがってπは有理数でない.
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