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1478.Re: 整数問題  
名前:らすかる    日付:2020年11月23日(月) 4時7分
通りすがりさんの最初の部分をパクらせて頂いて・・・
任意の整数aに対してa^3≡a(mod3)なので
2x+y≡5x+7y≡(7z-4x-2y+9)^3≡7z-4x-2y+9≡z+2x+y(mod3)
よってz≡0(mod3)でzは素数なのでz=3
代入して5x+7y=(30-4x-2y)^3=8(15-2x-y)^3
両辺正なので15-2x-y>0、またy≧2なのでx≦5すなわちx=2,3,5
任意の整数aに対してa^3≡0,1,6(mod7)であり、
5x+7y≡5x(mod7)にx=2,3,5を代入すると順に5x≡3,1,4(mod7)なので
成り立つ可能性があるのはx=3のみ。
このとき15+7y=8(9-y)^3となり9-y>0からy≦7なので15+7y≦64
これより9-y≦2なのでy=7
(x,y,z)=(3,7,3)は問題の条件を満たすので、これが唯一の解。

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1477.Re: 整数問題  
名前:通りすがり    日付:2020年11月23日(月) 3時13分
言ったそばから誤字を発見しました.

> x = 5 のとき,(*) より 25 + 7y = 8(5 - y)^3 なので,y ≦ 9,y ≡ 1 mod 8 となるが,これを満たす素数 y は存在しない.

y ≦ 9 ではなく,y ≦ 5 です.

いずれにせよ,軽微なミスについてはご愛敬で願います.
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1476.Re: 整数問題  
名前:通りすがり    日付:2020年11月23日(月) 3時12分
詳細は確認しておりませんので,誤りがあるやもしれません.

任意の整数 a,b に対し,a^3 ≡ a mod 3 なので,

x,y,z を問題の仮定を満たす素数 x,y,z とすると,

 2x + y ≡ 5x + 7y ≡ (7z - 4x - 2y + 9)^3 ≡ 7z - 4x - 2y + 9 ≡ z + 2x + y mod 3

である.従って,z ≡ 0 mod 3 であり,z は素数なので,z = 3 となる.

よって,

 5x + 7y = (30 - 4x - 2y)^3 = 8(15 - 2x - y)^3 (*)

であり,x, y が素数であることから 24 ≦ 5x + 7y なので,3 ≦ (15 - 2x - y)^3 が成立する.従って 2 ≦ 15 - 2x - y なので,2 ≦ y ≦ 13 - 2x となり,よって 2x ≦ 13 が成立する.よって,x = 2, 3, 5 である.

 x = 2 のとき,(*) より 7y は偶数であり,よって y も偶数なので y = 2 であるが,このとき,(*) は成立しない.

 x = 3 のとき,(*) より 15 + 7y = 8(9 - y)^3 なので,y ≦ 9,y ≡ 7 mod 8 であり,y が素数であることから,y = 7 となる.

 x = 5 のとき,(*) より 25 + 7y = 8(5 - y)^3 なので,y ≦ 9,y ≡ 1 mod 8 となるが,これを満たす素数 y は存在しない.

≦より,(x,y,z) = (3,7,3) である.

逆に,(x,y,z) = (3,7,3) のとき,

 5x + 7y = 64 = (7z - 4x - 2y + 9)^3

となり,問題の条件を満たす.

以上より,(x,y,z) = (3,7,3) である.
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1475.整数問題  
名前:相田俊一    日付:2020年11月23日(月) 1時17分


5x+7y=(7z-4x-2y+9)^3 を満たす素数x、y、zを求めよ。

解法を教えてください。
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