詳細は確認しておりませんので，誤りがあるやもしれません．
任意の整数 a，b に対し，a^3 ≡ a mod 3 なので，
x,y,z を問題の仮定を満たす素数 x,y,z とすると，
2x + y ≡ 5x + 7y ≡ (7z - 4x - 2y + 9)^3 ≡ 7z - 4x - 2y + 9 ≡ z + 2x + y mod 3
である．従って，z ≡ 0 mod 3 であり，z は素数なので，z = 3 となる．
よって，
5x + 7y = (30 - 4x - 2y)^3 = 8(15 - 2x - y)^3 (*)
であり，x, y が素数であることから 24 ≦ 5x + 7y なので，3 ≦ (15 - 2x - y)^3 が成立する．従って 2 ≦ 15 - 2x - y なので，2 ≦ y ≦ 13 - 2x となり，よって 2x ≦ 13 が成立する．よって，x = 2, 3, 5 である．
x = 2 のとき，(*) より 7y は偶数であり，よって y も偶数なので y = 2 であるが，このとき，(*) は成立しない．
x = 3 のとき，(*) より 15 + 7y = 8(9 - y)^3 なので，y ≦ 9，y ≡ 7 mod 8 であり，y が素数であることから，y = 7 となる．
x = 5 のとき，(*) より 25 + 7y = 8(5 - y)^3 なので，y ≦ 9，y ≡ 1 mod 8 となるが，これを満たす素数 y は存在しない．
≦より，(x,y,z) = (3,7,3) である．
逆に，(x,y,z) = (3,7,3) のとき，
5x + 7y = 64 = (7z - 4x - 2y + 9)^3
となり，問題の条件を満たす．
以上より，(x,y,z) = (3,7,3) である．
p744156-ipngn200902fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (58.92.108.156)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0
|
|