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1491.Re: 素数問題  
名前:通りすがり    日付:2020年11月24日(火) 5時6分
> 問題は「相異なる素数」なので

すっかり見落としていました.この場合,(2) は生じえませんので,(2) は丸々カットできますね.

因みに,25 は素数ではないので,(a,b,c,d) = (2,3,25,25),(3,2,25,25) は,この点からもおかしいですね.
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1483.Re: 素数問題  
名前:相田俊一    日付:2020年11月23日(月) 13時53分
ありがとうございます。問題は「相異なる素数」なので答えは(3、2、5、7)ですね。
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1482.Re: 素数問題  
名前:通りすがり    日付:2020年11月23日(月) 13時25分
1480 の脱字:

従って,-c+2d = 3c-2d 「= ± 1」 となるが,これを満たす素数 c,d は存在しない.
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1481.Re: 素数問題  
名前:通りすがり    日付:2020年11月23日(月) 13時20分
つづき:

(2) のとき,2a(c-d)^2 = 0 なので,c = d であり,更に,2(a^2+b^2) = 2c なので,a^2 + b^2 = c が成立する.(1) で行った 4 を法とする合同の議論,3 を法とする合同の議論と同様にすれば,

 ・a ≡ 0 mod 4 または b ≡ 0 mod 4,即ち,a = 2 または b = 2
 ・a ≡ 0 mod 3 または b ≡ 0 mod 3,即ち,a = 3 または b = 3

が成立することが分かる.従って,
 
 (a,b,c,d) = (2,3,25,25),(3,2,25,25)

となる.逆に,このとき,a,b,d,d は問題の条件を満たす.

以上より,

 (a,b,c,d) = (3,2,5,3),(3,2,5,7),(2,3,25,25),(3,2,25,25)

である.
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1480.Re: 素数問題  
名前:通りすがり    日付:2020年11月23日(月) 13時7分
a,b,c を問題の条件を満たす素数とすると,

 c^2 = (a^2+b^2)^2 - a^2(c-d)^4 = ( a^2+b^2-a(c-d)^2 )( a^2+b^2+a(c-d)^2 )
である.よって,素因数分解の一意性と a^2+b^2+a(c-d)^2 > 1 より

 (1) a^2+b^2-a(c-d)^2 = 1 かつ a^2+b^2+a(c-d)^2 = c^2
 (2) a^2+b^2-a(c-d)^2 = a^2+b^2+a(c-d)^2 = c

のいずれかが成立する.

 (1) のとき,

 c^2+1 = 2(a^2+b^2) (*1)
 c^2-1 = 2a(c-d)^2 (*2)

である.任意の整数 n に対し,n^2 ≡ 0, 1 mod 4 なので,(*1) より,a^2 ≡ 0 mod 4 または b^2 ≡ 0 mod 4,よって,a = 2 または b = 2 が成立する.

 a = 2 のとき,(*2) より c^2 - 1 = 4(c-d)^2,即ち

 (-c+2d)(3c-2d) = 1

である.従って,-c+2d = 3c-2d となるが,これを満たす素数 c,d は存在しない.

 b = 2 のとき,(*1) より

 c^2 = 2a^2+7 (*3)

であり,任意の整数 n に対し n^2 ≡ 0, 1 mod 3 であることと,

 c^2 ≡ 2a^2+1 mod 3

であることから,a ≡ 0 mod 3,または,c ≡ 0 mod 3,即ち,a = 3 または c = 3 が成立する.ここで,(*3) より c^2 > 9 なので,c = 3 はありえない.よって a = 3 であり,このとき,再び (*3) より c = 5 となる.更に,a = 3,c = 5 を (*3) に代入して整理すると 4 = (5-d)^2 となることから d = 3, 7 が得られる.よって,

 (a,b,c,d) = (3,2,5,3), (3,2,5,7)

であり,逆に,このとき,a,b,c,d は問題の条件を満たす.

長くなりましたので,一旦,ここで切ります.
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1479.素数問題  
名前:相田俊一    日付:2020年11月23日(月) 9時9分
解答ありがとうございます。
以下の問題もお願いします。


(a^2+b^2)^2=(a^2)×(c-d)^4 +c^2 を満たす、相異なる素数a、b、c、dを求めよ。

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