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1491．Re: 素数問題  
名前：通りすがり    日付：2020年11月24日(火) 5時6分
> 問題は「相異なる素数」なので

すっかり見落としていました．この場合，(2) は生じえませんので，(2) は丸々カットできますね．

因みに，25 は素数ではないので，(a,b,c,d) = (2,3,25,25)，(3,2,25,25) は，この点からもおかしいですね．
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1483．Re: 素数問題  
名前：相田俊一    日付：2020年11月23日(月) 13時53分
ありがとうございます。問題は「相異なる素数」なので答えは(3、2、5、7)ですね。
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1482．Re: 素数問題  
名前：通りすがり    日付：2020年11月23日(月) 13時25分
1480 の脱字:

従って，-c+2d = 3c-2d 「= ± 1」 となるが，これを満たす素数 c,d は存在しない．
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1481．Re: 素数問題  
名前：通りすがり    日付：2020年11月23日(月) 13時20分
つづき:

(2) のとき，2a(c-d)^2 = 0 なので，c = d であり，更に，2(a^2+b^2) = 2c なので，a^2 + b^2 = c が成立する．(1) で行った 4 を法とする合同の議論，3 を法とする合同の議論と同様にすれば，

　・a ≡ 0 mod 4 または b ≡ 0 mod 4，即ち，a = 2 または b = 2
　・a ≡ 0 mod 3 または b ≡ 0 mod 3，即ち，a = 3 または b = 3

が成立することが分かる．従って，
　
　(a,b,c,d) = (2,3,25,25)，(3,2,25,25)

となる．逆に，このとき，a,b,d,d は問題の条件を満たす．

以上より，

　(a,b,c,d) = (3,2,5,3)，(3,2,5,7)，(2,3,25,25)，(3,2,25,25)

である．
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1480．Re: 素数問題  
名前：通りすがり    日付：2020年11月23日(月) 13時7分
a,b,c を問題の条件を満たす素数とすると，

　c^2 = (a^2+b^2)^2 - a^2(c-d)^4 = ( a^2+b^2-a(c-d)^2 )( a^2+b^2+a(c-d)^2 )
である．よって，素因数分解の一意性と a^2+b^2+a(c-d)^2 > 1 より

　(1) a^2+b^2-a(c-d)^2 = 1 かつ a^2+b^2+a(c-d)^2 = c^2
　(2) a^2+b^2-a(c-d)^2 = a^2+b^2+a(c-d)^2 = c

のいずれかが成立する．

　(1) のとき，

　c^2+1 = 2(a^2+b^2)　(*1)
　c^2-1 = 2a(c-d)^2　(*2)

である．任意の整数 n に対し，n^2 ≡ 0, 1 mod 4 なので，(*1) より，a^2 ≡ 0 mod 4 または b^2 ≡ 0 mod 4，よって，a = 2 または b = 2 が成立する．

　a = 2 のとき，(*2) より c^2 - 1 = 4(c-d)^2，即ち

　(-c+2d)(3c-2d) = 1

である．従って，-c+2d = 3c-2d となるが，これを満たす素数 c,d は存在しない．

　b = 2 のとき，(*1) より

　c^2 = 2a^2+7　(*3)

であり，任意の整数 n に対し n^2 ≡ 0, 1 mod 3 であることと，

　c^2 ≡ 2a^2+1　mod 3

であることから，a ≡ 0 mod 3，または，c ≡ 0 mod 3，即ち，a = 3 または c = 3 が成立する．ここで，(*3) より c^2 > 9 なので，c = 3 はありえない．よって a = 3 であり，このとき，再び (*3) より c = 5 となる．更に，a = 3，c = 5 を (*3) に代入して整理すると 4 = (5-d)^2 となることから d = 3, 7 が得られる．よって，

　(a,b,c,d) = (3,2,5,3), (3,2,5,7)

であり，逆に，このとき，a,b,c,d は問題の条件を満たす．

長くなりましたので，一旦，ここで切ります．
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1479．素数問題  
名前：相田俊一    日付：2020年11月23日(月) 9時9分
解答ありがとうございます。
以下の問題もお願いします。


(a^2+b^2)^2=(a^2)×(c-d)^4 +c^2　を満たす、相異なる素数a、b、c、dを求めよ。
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