(右辺)=q(p+q)・(p-q)^2=q(p^2-q^2)・(p-q)＜p・p^2・p=p^4なので
左辺がp^4より小さくなるためにはq＜4でなければならない。よってq=3,r=2。
代入して整理すると2p^3-9p^2-27p+72=2^p
p=12のとき2p^3=3456＜4096=2^pであり
p≧12のとき{2(p+1)^3}/{2p^3}≦(13/12)^3=2197/1728＜2＜2^(p+1)/2^pだから
p≧12のとき2p^3＜2^p
従ってp≧12のとき2p^3-9p^2-27p+72＜2p^3-9p^2-21p-6(p-12)＜2p^3＜2^pとなるのでp＜12
pもqも奇素数なので(右辺)≡0(mod8)
q^r=9≡1(mod8), r^p≡0(mod8)なのでp^q≡7(mod8)でなければならない。
よってp≡7(mod8)なのでp=7。
(p,q,r)=(7,3,2)は問題の式を満たすので、これが(唯一の)解。
i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
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