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1494.Re: 素数問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月24日(火) 8時25分
素早い解答ありがとうございます。いろいろな解法があるものですね。
KD182251252016.au-net.ne.jp (182.251.252.16)
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1493.Re: 素数問題2  
名前:らすかる    日付:2020年11月24日(火) 7時56分
(右辺)=q(p+q)・(p-q)^2=q(p^2-q^2)・(p-q)<p・p^2・p=p^4なので
左辺がp^4より小さくなるためにはq<4でなければならない。よってq=3,r=2。
代入して整理すると2p^3-9p^2-27p+72=2^p
p=12のとき2p^3=3456<4096=2^pであり
p≧12のとき{2(p+1)^3}/{2p^3}≦(13/12)^3=2197/1728<2<2^(p+1)/2^pだから
p≧12のとき2p^3<2^p
従ってp≧12のとき2p^3-9p^2-27p+72<2p^3-9p^2-21p-6(p-12)<2p^3<2^pとなるのでp<12
pもqも奇素数なので(右辺)≡0(mod8)
q^r=9≡1(mod8), r^p≡0(mod8)なのでp^q≡7(mod8)でなければならない。
よってp≡7(mod8)なのでp=7。
(p,q,r)=(7,3,2)は問題の式を満たすので、これが(唯一の)解。

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1492.素数問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月24日(火) 6時51分
p^q + q^r + r^p =q(p+q)・(p-q)^2 かつ p>q>r を満たす素数p、q、rを求めよ。
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