a≦b≦cとする。
a≧2だとa!,b!,c!がすべて偶数になり不都合なのでa=1。
a=1が3で割り切れないので、b≧3だと左辺が3で割り切れず不適。
従ってb=1またはb=2。
b=1のとき、左辺が3で割り切れるためにはc=1でなけれぱならない。
よって(a,b,c)=(1,1,1)が解の一つ。
b=2のとき、cが6以上だとc!は9の倍数なので
a!+b!+c!は9で割り切れない723以上の数となり不適。
残る可能性は2≦c≦5なので個別に検討する。
(a,b,c)=(1,2,2)→a!+b!+c!=5 不適
(a,b,c)=(1,2,3)→a!+b!+c!=9 n=2で適
(a,b,c)=(1,2,4)→a!+b!+c!=27 n=3で適
(a,b,c)=(1,2,5)→a!+b!+c!=123 不適
従って条件を満たす解は
(a,b,c,n)=(1,1,1,1),
(1,2,3,2),(1,3,2,2),(2,1,3,2),(2,3,1,2),(3,1,2,2),(3,2,1,2),
(1,2,4,3),(1,4,2,3),(2,1,4,3),(2,4,1,3),(4,1,2,3),(4,2,1,3)
の13個。
i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
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