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1515.Re: 整数問題3  
名前:相田俊一    日付:2020年11月27日(金) 9時47分
f(x),g(y),h(z)は非負整数x,y,zの範囲でf(2)=-2を除けば

 

0<f(x)<3 0<g(y)≦2 0<h(z)≦1なので

 

1≦f(x)+g(y)+h(z)≦5になり、とり得る値は1,2,3,4,5にしぼられる。

また、f(x),g(y),h(z)が自然数をとり得る組み合わせは(整数、整数、整数)、(整数、分数、分数)、(分数、分数、分数)のいずれかになる。場合分けしてf(x),g(y),h(z)のなかで最大のものに着目するとしぼることがでる。

 

(15,1,2) (15,3,2) 以外は満たすと思います
KD182251252007.au-net.ne.jp (182.251.252.7)
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1513.Re: 整数問題3  
名前:らすかる    日付:2020年11月27日(金) 6時37分
簡潔に求めるうまい方法が全く思いつきませんでしたので、
非常に長いですが書きます。

考えやすいように先頭の数項を計算しておきます。
f(x)=(3x-8)/(x^2-3)はx=0,1,2,3,4,5,6,7に対して
8/3,5/2,-2,1/6,4/13,7/22,10/33,13/46 (x≧5で単調減少しx→∞で0)
g(y)=(y+2)/(y^2+1)はy=0,1,2,3,4,5,6,7に対して
2,3/2,4/5,1/2,6/17,7/26,8/37,9/50 (y≧0で減少しy→∞で0)
h(z)=(z+1)/(2z^2+1)はz=0,1,2,3,4,5,6,7に対して
1,2/3,1/3,4/19,5/33,2/17,7/73,8/99 (z≧0で減少しz→∞で0)
x≧3のとき0<f(x)<1/3
y≧5のとき0<g(y)<1/3
z≧3のとき0<h(z)<1/3
なので、x≧3かつy≧5かつz≧3のときは整数にならない。
従って
0≦x≦2の場合
0≦y≦4の場合
0≦z≦2の場合
についてそれぞれ検討すればよい。
※0≦x≦2かつ0≦y≦4かつ0≦z≦2ではないことに注意
このうちいずれかが整数になるものをまず考える。
すべてが整数になる場合
(x,y,z)=(2,0,0)に限られ、このとき与式の値は1なのでこれは適解。
一つだけ整数の場合
f(x)だけが整数のときその値は-2であり、-2+3/2+2/3=1/6から
g(y)とh(z)の整数以外のどれを足しても1未満のため、解は存在しない。
g(y)だけが整数のとき、f(x)とh(z)の小数部の最大はいずれも
2/3なので、値が1/3未満であるx≧3とz≧3は解にならず、
x=0,1とz=1,2の組み合わせだけ考えればよい。
すると(x,y,z)=(0,0,2)のとき5という適解がみつかる。
h(z)だけが整数のとき、f(x)の小数部の最大は2/3、g(y)の小数部の
最大は4/5。ただしf(x)の分母x^2-3が5の倍数になることはないので
4/5は除外できて、g(y)の残りの小数部の最大1/2を考えればよく、
x=0,1とy=1〜4の組み合わせを考えればよい。
共通の分母は2しかないので、適解は(x,y,z)=(1,1,0)のとき(値5)と
(x,y,z)=(1,3,0)のとき(値4)とわかる。
これでf(x),g(y),h(z)のいずれかが整数になるものは終わったので
残りはx=0,1の場合、y=1〜4の場合、z=1,2の場合のみ。
なお
f(x)の小数部の最大は2/3なので、g(y)+h(z)の小数部が1/3未満の場合は不適
g(y)の小数部の最大は4/5なので、f(x)+h(z)の小数部が1/5未満の場合は不適
h(z)の小数部の最大が2/3なので、f(x)+g(y)の小数部が1/3未満の場合は不適
であることを考慮すれば少し簡単になる。

x=0すなわちf(x)=8/3の場合
小数部が2/3なので、y=1〜6の場合とz=1〜3の場合を考えればよい。
(∵g(7)+h(4)<1/3)
f(0)+g(1)=25/6→小数部が1/3未満なので不適
f(0)+g(2)=52/15→h(z)は8/15にならないので不適
f(0)+g(3)=19/6→小数部が1/3未満なので不適
f(0)+g(4)=154/51→小数部が1/3未満なので不適
f(0)+g(5)=229/78→h(z)は5/78にならないので不適
f(0)+g(6)=320/111→h(z)は13/111にならないので不適
f(0)+h(1)=10/3→g(y)の小数部は1/3にならないので不適
f(0)+h(2)=3→「いずれかが整数になるもの」の中で検討済み。
f(0)+h(3)=164/57→g(y)の小数部は7/57にならないので不適
x=1すなわちf(x)=5/2の場合
小数部が1/2なので、y=1〜4の場合とz=1,2の場合を考えればよい。
(∵g(5)+h(3)<1/2)
f(1)+g(1)=4→「いずれかが整数になるもの」の中で検討済み。
f(1)+g(2)=1/2→h(z)は1/2にならないので不適
f(1)+g(3)=3→「いずれかが整数になるもの」の中で検討済み。
f(1)+g(4)=97/34→h(z)は5/34にならないので不適
f(1)+h(1)=19/6→小数部が1/5未満なので不適
f(1)+h(2)=17/6→g(y)の小数部は1/6にならないので不適
y=1すなわちg(y)=3/2の場合
小数部が1/2なので、x=0,1の場合とz=1〜3の場合を考えればよい。
(∵f(2)は整数でf(3)+h(4)<1/2,f(4)+h(4)<1/2,f(5)+h(4)<1/2)
しかしx=0,1の場合は前に検討済みなのでz=1〜3の場合だけでよい。
g(1)+h(1)=13/6→小数部が1/3未満なので不適
g(1)+h(2)=11/6→f(3)とf(15)の2つのみ小数部が1/6となるので
(x,y,z)=(3,1,2)と(x,y,z)=(15,1,2)が適解(いずれも値は2)。
g(1)+h(3)=65/38→f(x)の小数部は11/38にならないので不適
y=2すなわちg(y)=4/5の場合
f(x)もh(z)も分母が5の倍数にならないので、
どれを足しても整数になることはない。
y=3すなわちg(y)=1/2の場合
g(1)-g(3)=1から、y=1の場合に2以上の自然数になったものが
そのまま解になるので、(x,y,z)=(3,3,2)と(x,y,z)=(15,3,2)が
適解(いずれも値は1)。
y=4すなわちg(y)=6/17の場合
x=0,1の場合とz=1,2の場合を考えればよい。
(∵それ以外はf(x)+h(z)の小数部<11/17)
しかしx=0,1の場合は前に検討済みなのでz=1,2の場合だけでよい。
g(4)+h(1)=52/51→f(x)の分母は17の倍数にならないので不適
g(4)+h(2)=35/51→f(x)の分母は17の倍数にならないので不適
z=1すなわちh(z)=2/3の場合
x=0,1,3〜10の場合とy=1〜9の場合を考えればよい。
(∵それ以外はf(x)+g(y)の小数部<1/3)
ただしx=0,1とy=1〜4の場合は前に検討済みなので除外。
h(1)+f(3)=5/6→g(y)の小数部は1/6にならないので不適
h(1)+f(4)=38/39→g(y)の小数部は1/39にならないので不適
h(1)+f(5)=65/66→g(y)の小数部は1/66にならないので不適
h(1)+f(6)=32/33→g(y)の小数部は1/33にならないので不適
h(1)+f(7)=131/138→g(y)の小数部は7/138にならないので不適
h(1)+f(8)=170/183→g(y)の小数部は13/183にならないので不適
h(1)+f(9)=71/78→g(y)の小数部は7/78にならないので不適
h(1)+f(10)=260/291→g(y)の小数部は31/291にならないので不適
h(1)+g(5)=73/78→f(x)の小数部は5/78にならないので不適
h(1)+g(6)=98/111→f(x)の小数部は13/111にならないので不適
h(1)+g(7)=127/150→f(x)の小数部は23/150にならないので不適
h(1)+g(8)=32/39→f(x)の小数部は7/39にならないので不適
h(1)+g(9)=197/246→f(x)の小数部は49/246にならないので不適
z=2すなわちh(z)=1/3の場合
x=0,1の場合とy=1〜4の場合を考えればよい。
(∵それ以外はf(x)+g(y)の小数部<2/3)
ただしx=0,1の場合とy=1〜4の場合はいずれも前に検討済みなので終了。

以上により、条件を満たす解は
(x,y,z)=(0,0,2)のとき5
(x,y,z)=(1,1,0)のとき5
(x,y,z)=(1,3,0)のとき4
(x,y,z)=(2,0,0)のとき1
(x,y,z)=(3,1,2)のとき2
(x,y,z)=(3,3,2)のとき1
(x,y,z)=(15,1,2)のとき2
(x,y,z)=(15,3,2)のとき1
の8組。

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1505.整数問題3  
名前:相田俊一    日付:2020年11月24日(火) 17時57分
(3x-8)/(x^2-3) + (y+2)/(y^2+1) + (z+1)/(2・z^2+1)が自然数になる時、その値と非負整数(x、y、z)の組を求めよ。
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