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1597.Re: 素数問題4  
名前:相田俊一    日付:2020年12月13日(日) 18時13分
a^(b-2)+b^a =c^(2d)を満たす素数a、b、c、dを求めよ。

この問題はcが2の時は、お手上げなのでcの部分が奇数になるように置き換えて以下の式の形にすれば普通に解けるようになりますね。

 a^(b-2)+b^a =(2c-1)^(2d)を満たす素数a、b、c、dを求めよ。
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1510.Re: 素数問題4  
名前:らすかる    日付:2020年11月27日(金) 2時8分
d<bからbは奇素数
(右辺)≡0(mod4)だが
2^a≡12^c≡0(mod4),7^b≡3(mod4)なので
(左辺)≡0(mod4)となるためにはdは偶数でなければならない。
よってd=2
d<b<3dからbは3または5
7^3≡23,7^5≡7(mod32)
23^2≡17(mod32)
a=2ならば2^a≡4,a=3ならば2^a≡8,a≧5ならば2^a≡0(mod32)
c=2ならば12^c≡16,c≧3ならば12^c≡0(mod32)
7+17≡24,23+17≡8(mod32)で2^a以外を足すと16k+8になるので
2^a≡16k+8(mod32)でなければならない。よってa=3
2^3≡2,7^b≡1,12^c≡0,23^2≡1(mod3)なので(左辺)≡1(mod3)
(右辺)≡1(mod3)となるためにはa+b+c+dは偶数でなければならないので、
cは偶数。よってc=2。
2^3+7^3+12^2+23^2=1024=2^(3+3+2+2)
2^3+7^5+12^2+23^2=17488≠4096=2^(3+5+2+2)
なので、適解は(a,b,c,d)=(3,3,2,2)のみ。

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1509.素数問題4  
名前:相田俊一    日付:2020年11月26日(木) 23時57分
2^a+7^b+12^c+23^d=2^(a+b+c+d) 
かつ d<b<3d を満たす素数a、b、c、dを求めよ。
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