[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS
大学以上の内容は DS 数学 BBS・2(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



1547.Re: コンパス問題2  
名前:らすかる    日付:2020年12月2日(水) 9時22分
なるほど、よくわかりました。ありがとうございます。
i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1546.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年12月2日(水) 9時1分
<格子点について>

 

@一辺の長さが1の正三角形を繰り返し作ることにより、x軸上の格子点ができる。

A一般に、それぞれ点(-1,0)、点(1,0)を中心に半径√(n+1)の円を描き、その交点をCnとすると

 

原点O(0,0)と点Cn(0,√n)の距離、すなわちOCnの長さは√nになる。

 

1を除く自然数で二乗根が整数になるのは4なのでn=3から始め、同様の操作を繰り返すと

 

2=√4→√3→√2→√1の順でそれぞれOC3、OC2、OC1の長が求められる。

したがって原点Oと点C1(0,1)を基準にして@と同様にy軸上の格子点が求められる。

 
KD182251252005.au-net.ne.jp (182.251.252.5)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1545.Re: コンパス問題2  
名前:らすかる    日付:2020年12月1日(火) 22時16分
はい、合ってますね。
格子点の作り方も教えてください。
(私も書きましたが、私が書いた方法は多分ベストな方法ではないですよね?)

i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1544.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年12月1日(火) 21時29分
格子点を既知とする。

 

中点、1/nの長さの作図

 

@点P(2,0)を中心とし半径2の円と点O(0,0)を中心とし半径1の円の交点を点Qとする。X軸に対して反対側に点Qと対称な点をQ’とする。それぞれ点Q、点Q’を中心とする半径1の円の交点を点Rとすると二等辺三角形OPQと二等辺三角形ORQの相似比は2:1になるのでRは線分OPの中点となる。

 

 

同様の操作を点P(n)(n,0)に対して行い、点R(n)を求めれば、線分O R(n)の長さは1/nになる。

 

A√nと自然数の和の長さの作図

 

格子点を既知とする。それぞれ点A(1,0)、点B(-1,0)を中心とし半径√(n+1)の円を描き、その交点の一つを点Cとする。線分OCの長さは√nとなるので点C(0,√n)と点(0.-1)の距離は

√n + 1となる。

 

 

B線分AC(=長さb)を直径とする円を描く。点Aを中心とし、半径(=長さc)の円を描き、二つの円の交点の一つを点Bとする。三角形ABCは直角三角形となり、

b2=a2+c2が成り立つので線分BC(=長さa)がわかる。

 

これで合ってますか?
KD182251252012.au-net.ne.jp (182.251.252.12)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1543.Re: コンパス問題2  
名前:らすかる    日付:2020年12月1日(火) 19時52分
その考え方は合っていますが、「コンパスだけで描く」問題で
そこは重要なポイントではないと思います。
(「コンパスだけで描く」方法を思いつくのと比較すればその式は簡単ですから)
それと、√を作るのにはもっとよく知られた方法があります。
・直線上に点A,B,Cをこの順に、AB=a,BC=1となるようにとる
・ACを直径とする円を描く
・直線ACに垂直でBを通る線と、その円の交点をDとすればBD=√a
これをコンパスだけで描く方法は存じませんが、「定規を使って
描けるものは定規がなくても描ける」という定理がありますので
この方法で描けるはずですね。

「コンパスだけで描く」問題で、上記のことよりも重要なのは
・コンパスだけでどうやれば中点を作図するのか
・コンパスだけでどうやれば2数の和と差を作れるのか
・コンパスだけでどうやれば斜辺と他の一辺がわかっている直角三角形の
 残りの一点を作図することができるのか
だと思います。
式より前にこれらの方法を示して欲しいところです。
「定規とコンパスによる作図」は一般的ですから、「コンパスだけ」という
条件がなければ√√の作り方の方が重要になりますけどね。

i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1542.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年12月1日(火) 19時8分
3の四乗根の長さの作図法、ありがとうございました。

コンパスの使用回数の最小値という観点は考えていませんでした。

 

<nの四乗根の作図法について> nは自然数

 

格子点と中点の作図および、自然数と√nの和と差の長さの作図を既知とした場合:

 

直角三角形の斜辺と、もう一辺がわかれば残りの辺を作図できることから

 

{(n+1)/2}2-{(n-1)/2}2=n=(√n)2・・・@

 

@の式を用いて√nの長さが作図できる。

 

@の式でnと√nを置き換えることにより、

 

{(√n+1)/2}2-{(√n-1)/2}2=√n=(√√n)2・・・A

 

√n±1の長さが作図できるのでのAの式よりnの四乗根の長さが作図できる。

 

この考え方で合ってますか?

 
KD182251252013.au-net.ne.jp (182.251.252.13)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1538.Re: コンパス問題2  
名前:らすかる    日付:2020年11月30日(月) 20時21分
間隔が1である2点が与えられているときにコンパスのみで√√3を作図するのに、
コンパスは7回で済むことがわかりました。(6回では不可能です。)
以下は今回の問題の完全解答です。

与えられている2点をA(0,0),B(1,0)とします。
(1)A(0,0)を中心としてB(1,0)を通る円x^2+y^2=1を描きます。
(2)B(1,0)を中心としてA(0,0)を通る円(x-1)^2+y^2=1を描き、
 (1)の円との2交点をC(1/2,√3/2),D(1/2,-√3/2)とします。
(3)A(0,0)を中心として半径がCDである円x^2+y^2=3を描き、
 (2)の円との交点の一つをE(3/2,√3/2)とします。
(4)A(0,0)を中心として半径がDEである円x^2+y^2=4を描き、
 (2)の円との交点(接点)をF(2,0)とします。
(5)B(1,0)を中心として半径がCDである円(x-1)^2+y^2=3を描き、
 (3)の円との交点の一つをG(1/2,√11/2)とします。
(6)F(2,0)を中心としてGを通る円(x-2)^2+y^2=5を描き、
 (1)の円との交点の一つをH(0,1)とします。
(7)F(2,0)を中心として半径がEHである円(x-2)^2+y^2=4-√3を描き、
 (2)の円との交点の一つをI(√3/2,√(4√3-3)/2)とします。
これでAI=√√3が作図できました。

(追記)
「接する」だと作図しにくいので
(4)は
C(1/2,√3/2)を中心としてDを通る円(x-1/2)^2+(y-√3/2)^2=3を描き、
 (2)の円との新しい交点をF(2,0)とします。
にした方がよいかも知れません。

i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1537.Re: コンパス問題2  
名前:らすかる    日付:2020年11月29日(日) 8時44分
コンパスで「格子点が作図できること」と「2点の中点が作図できること」を
既知として良ければ、以下のようにするのが簡単だと思います。
(1)格子点上に一辺が1の正方形ABCDをとる。
(2)Aを中心としてDを通る円とDを中心としてAを通る円を描くことにより、
△EADが正三角形になるように正方形の外部に点Eをとる。
(3)CとEの中点をFとする。
(4)Fを中心としてC,Eを通る円とCを中心としてAを通る円の交点の一つをGとすれば、EG=√√3。

i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1536.Re: コンパス問題2  
名前:通りすがり    日付:2020年11月29日(日) 0時13分
詳細について記載してくださり,ありがとうございます.

> 3の四乗根についてのみ可能な方法を思いついたので出題してみました。

> しかし、それが正しいのかどうか、「正当な」解法の記述はどうすればいいのかわからず、質問しました。

出題する必要性はありません.更にいえば,あなたは私の回答に対し,評価のごとき発言をしています(例: 「定規を使わないところが、この問題のポイントです」と述べ,「解答例」を提示する).

1535 のあなたの質問の意図と発言が一致していません.

その様な意図ならば,問題と共にご自分の思う解答例を挙げ,「これで問題はないか?」と聞けばよいだけです.回答に納得がいかない点があるならば,それについて更に質問すればよいだけです.

最後に作図の問題について,『「正当な」解法」』とおっしゃってますが,私には意味が分かりません.解法に「正当」も「不当」もありません.
p744156-ipngn200902fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (58.92.108.156)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1535.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月28日(土) 21時12分
失礼しました。コンパス問題については、昔、「二点が与えられた時に、コンパスだけを用いて中点を求めよ。」という問題があったことを思い出し、1/nの長さの点を作図することも可能であると気づきました。とするとm倍の長さの点を作図することも可能なので有理数点も可能ではないかと思いました。それが@、Aです。Bは特に3の四乗根についてのみ可能な方法を思いついたので出題してみました。しかし、それが正しいのかどうか、「正当な」解法の記述はどうすればいいのかわからず、質問しました。その他の求値問題については自作ですが、問題として成立しているのかどうか、不備があるかのどうか確信が持てないので質問しました。
KD182251252007.au-net.ne.jp (182.251.252.7)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1531.Re: コンパス問題2  
名前:通りすがり    日付:2020年11月28日(土) 15時5分
訂正:

そこが質問の本質ならば,その旨を記載すべきです.
p744156-ipngn200902fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (58.92.108.156)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1529.Re: コンパス問題2  
名前:通りすがり    日付:2020年11月28日(土) 14時59分
> 正解があるのかどうか、よりよい解法があるのかどうか、問題の設定が不備なのかどうか、など確信が持てずに質問しています

そこが質問の本質ならば,なぜその旨を記載すべきです.
p744156-ipngn200902fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (58.92.108.156)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1527.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月28日(土) 9時23分


素人で申し訳ありません。自分で思いついた問題なので一応、答えは考えてますが、正解があるのかどうか、よりよい解法があるのかどうか、問題の設定が不備なのかどうか、など確信が持てずに質問しています。いつも厳密で丁寧な回答をいただいて感謝しております。
KD182251252001.au-net.ne.jp (182.251.252.1)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1526.Re: コンパス問題2  
名前:通りすがり    日付:2020年11月28日(土) 8時12分
追記

> 定規を使わないところが、この問題のポイントです。

と主張する割には,あなたはいともたやすく

 二等辺三角形や直角三角形を描く

と書いています.それを定規を使わずしてどうやって行うのか(つまり,残りの頂点をどうやって円を描くだけで求められるのか)が問題なのですから,1522 は肝心なところが一切書かれていないということになりますね.

尚,あなたはコンパスの使用法について何も言及しておられませんが,コンパスはあくまで,

 ・これまでに得られた点の内の一つを中心とし,これまでに得られた点の内の一つを通る円を描く

という操作のみが許されていると解釈した上で回答しています(これが一般的な解釈です).

最後に,そもそもあなたの「質問」は一体何なのですか?

http://www.ezbbs.net/15/03/

にある通り,ここは数学の「質問」を行うところです.解答をご存知なのであれば,質問をする(つまり,わからないことや疑問点を等を問う)必要性はないと思います.
p744156-ipngn200902fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (58.92.108.156)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1525.Re: コンパス問題2  
名前:らすかる    日付:2020年11月28日(土) 8時11分
> @1+√3の長さを作図する。
> A直角二等辺三角形を用いて(1+√3)/√2の長さを作図する。

これは直接(1+√3)/√2を作図した方が簡単な気がします。

# というより、そもそも「コンパスだけ」という指定なので、
# 1+√3の長さをコンパスだけでどうやって作図するかを
# 書く必要があると思いますが…

i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1524.Re: コンパス問題2  
名前:通りすがり    日付:2020年11月28日(土) 7時42分
定規を使うとは書いていません.よく読んでください.定規を使う部分をモール–マスケローニの定理証明に倣ってコンパスを用いて書けばよいだけと書いています.

また,1522 の回答と私の回答の簡潔さはさほど変わりません(私の回答も直角三角形を 2 回作図します).
p744156-ipngn200902fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (58.92.108.156)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1523.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月28日(土) 3時54分
訂正

A直角二等辺三角形を用いて(1+√3)/√2の長さを作図する。
p986130-ipoe.ipoe.ocn.ne.jp (153.243.87.129)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1522.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月28日(土) 3時39分
簡単な作図法


@1+√3の長さを作図する。

A二等辺三角形を用いて(1+√3)/√2の長さを作図する。

B(1+√3)/√2を斜辺、他の辺が1の直角三角形を作図すると、もう一辺の長さは√(√3 +1)となる。

C√(√3 +1)を斜辺、他の辺が1の直角三角形を作図すると、もう一辺の長さは√(√3 )となる。
p986130-ipoe.ipoe.ocn.ne.jp (153.243.87.129)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1521.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月28日(土) 2時38分
モールマスケローニの定理は知りませんでした。ありがとうございます。
p986130-ipoe.ipoe.ocn.ne.jp (153.243.87.129)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1520.Re: コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月28日(土) 2時35分
定規を使わないところが、この問題のポイントです。
p986130-ipoe.ipoe.ocn.ne.jp (153.243.87.129)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36

1519.Re: コンパス問題2  
名前:通りすがり    日付:2020年11月28日(土) 2時30分
3 の 4 乗根は定規とコンパスを用いて次の事実から作図可能.

正の実数 a に対し,(a,0) が作図可能ならば,(√a,0) も作図可能.実際,
 ・仮定から(0,a) も作図可能であり
 ・(0,-1) も作図可能
 ・(0,a),(0,-1) を端点とする線分の中点 M も作図可能
 ・M を中心とし,(0,-1) を通る円をコンパスで書き,(0,0),(1,0) を通る直線との交点の内の一つが (√a, 0) となる.

あとは,「定規とコンパスによる作図はコンパスのみで作図できる」ことを主張するモール–マスケローニの定理証明,例えば,

 http://pds8.egloos.com/pds/200807/17/25/a-short-elementary-proof.pdf

を参考にすればよいだけ.
p744156-ipngn200902fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (58.92.108.156)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:83.0) Gecko/20100101 Firefox/83.0

1512.コンパス問題2  
名前:相田俊一    日付:2020年11月27日(金) 6時0分
xy平面上の(0、0)を点o、(1、0)を点pとする。

点o、点pの二つの点だけが与えられている時、コンパスだけを用いて


3の4乗根の長さを作図せよ。
p986130-ipoe.ipoe.ocn.ne.jp (153.243.87.129)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SCV38 Build/QP1A.190711.020; wv) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Version/4.0 Chrome/86.0.4240.198 Mobile Safari/537.36 Line/10.20.1/IAB


「1512.コンパス問題2」への返信

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

公序良俗に反する投稿は無予告削除対象です。
   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb