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1574.Re: 素数問題6  
名前:相田俊一    日付:2020年12月9日(水) 8時57分
ありがとうございます。bakerの定理など調べてみたいと思います。
KD182251252007.au-net.ne.jp (182.251.252.7)
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1573.Re: 素数問題6  
名前:blue cat    日付:2020年12月9日(水) 0時1分
>>1570
なんでも使っていいのなら既存の結果だけで解けるとおもいます
ただし方法は いわゆる"グローバル"であり
とくに modで考えるとか そういうものではないので
求められているものとは違うかなとおもいます
素数という条件は不要で単に自然数で問題ないですし

とにかく上界を得る方法を記しておこうとおもいます


[問題]
ある計算可能な定数Cが存在していて,
a + 3^a = 4^d を満たすどのような自然数a,dの組に対しても
a,dはC未満となっていることを示せ

[概略]
a + 3^a = 4^d が自然数a,d(a>1)に対して成立していとする
まず すぐわかるように a>d がいえる

baker の定理により
https://en.wikipedia.org/wiki/Baker%27s_theorem#Statement

次の条件を満たす計算可能定数Kが存在する:
d*log(4) - a*log(3)>0 ならば
d*log(4) - a*log(3)>a^(-K)
(Kはaにもdにも依存しない)

これは さっきのリンク先のStatementの項の最下部にある
explicit result のところに当てはめれば得られます
記号のタイプが大変なのでここでは説明を略します
当てはめは難しくないので気になるのなら考えてみてください

a + 3^a = 4^d の両辺を 3^a で割り算して対数を取れば
0<log(1 + a/3^a) = d*log(4) - a*log(3)

よって, log(1 + a/3^a)>a^(-K) となっている

ここで log(1 + a/3^a) < a/3^a だから
あわせて a^(-K) < a/3^a ⇔ 3^a/a < a^K

対数を取り a*log(3)-log(a) < K*log(a)
よって a/log(a) < (K+1)/log(3) を得る

したがって 題意は従う
(たとえば, C=K^2 が条件を満たす)
125x103x78x129.ap125.ftth.ucom.ne.jp (125.103.78.129)
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1570.Re: 素数問題6  
名前:相田俊一    日付:2020年12月7日(月) 18時27分
大変失礼しました。c=2で、a、bともに3の倍数でない場合はmod3で除外できたのですが、どちらか一方が3の場合がうまくいきません。

たとえばb=3の時、

a+3^a=4^d これを満たす奇素数は存在しないということが証明できません…お手上げです。

ちなみにcが奇数という条件をつければ(a、b、c、d)=(2、7、3、2)になります。
p986130-ipoe.ipoe.ocn.ne.jp (153.243.87.129)
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1567.Re: 素数問題6  
名前:らすかる    日付:2020年12月5日(土) 0時36分
不備ではなく、自分には全く無理そうでした。
aとbが大きい(奇)素数でc=2である解が存在しないことを
証明できる気がしません。
ABC予想とか使えば証明できるのかも知れませんが。

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1566.Re: 素数問題6  
名前:相田俊一    日付:2020年12月4日(金) 23時29分
どうもありがとうございました。1518の問題は、いろいろと考えて工夫したのですが、不備がありましたか?
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1565.Re: 素数問題6  
名前:らすかる    日付:2020年12月4日(金) 23時0分
dが奇素数の場合は
2^(a-2)=k^2+ak+2
を解くことになり、下に書いた解に対応する
(a,k)=(3,0),(5,1),(7,3)は見つかりますが、
aやkが大きいときに解がないことを示すのは難しそうですね。
k<10^100では上記以外の解はありませんでしたが、
それ以上のときに存在しないとも限りません。
ちょっとお手上げです。

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1563.Re: 素数問題6  
名前:相田俊一    日付:2020年12月4日(金) 17時59分
ありがとうございます。限定条件がなかった場合の解のしぼり方がわかりませんでした。dが奇素数の場合も解が増えるのでしょうか?
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1562.Re: 素数問題6  
名前:らすかる    日付:2020年12月4日(金) 16時48分
条件がなければ答えは変わります。
例えば(a,b,c,d)=(3,3,5,2)という解が増えますね。

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1561.Re: 素数問題6  
名前:相田俊一    日付:2020年12月4日(金) 14時2分
ありがとうございます。
感覚的には後半の条件、つまり2a≧d≧a≧bがなくても同じ答えを導き出せると思うのですが、その証明がうまくいきません。アドバイスをお願いします。
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1559.Re: 素数問題6  
名前:らすかる    日付:2020年12月4日(金) 12時20分
右辺が偶数ならばd=2なので条件からa=b=2となるが成り立たない。
よって右辺は奇数であり、左辺が奇数になるためにはa,bのうちどちらか一つだけ2。
従ってb=2でa≧3。
b=2かつa≧3のときa^b≡1,b^a≡0(mod4)なので(左辺)≡1(mod4)
もしcが奇数だとすると(右辺)≡3(mod4)となり成り立たないのでc=2。
ここまでわかったものを代入すると
a^2+2^a=8+d^2
条件から2a≧dなのでa^2+2^a=8+d^2≦8+4a^2
よって2^a≦3a^2+8なのでa≦7
a=3,5,7を順に代入することにより
(a,b,c,d)=(3,2,2,3),(5,2,2,7),(7,2,2,13)
の4解を得る。

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1548.素数問題6  
名前:相田俊一    日付:2020年12月2日(水) 12時52分
a^b+b^a=2c^2+d^2  かつ 2a≧d≧a≧b を満たす素数a、b、c、dを求めよ。
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