直線である線分PQがあり、その長さは３０センチである。
大、小２つのさいころを同時に１回投げ、大きいさいころの出た目の数を a, 小さいさいころの出た目の数を b とし、出た目の数によって、となり合う点と点との距離がすべて等しくなるように、２点P,Q間に（a + b）個の点を線分PQ上にとる。点Pから a 番目の点と、点Pから b 番目の点との距離について考える。大、小２つのさいころを同時に１回投げるとき、次の問いに答えなさい。ただし、大、小２つのさいころはともに、１から６までのどの目がでることも同様に確からしいものとする。
となり合う点と点との距離を整数で表すことができる確率を答えなさい。ただし、距離の単位はセンチで考えること。
上記は平成３１年度の神奈川県公立高校入試追試験題問５です。問題用紙には「例」もあるので、もし上記の問題の意味がわかりずらかったら、URLをご覧ください。実際の問題用紙がダウンロードできます。
さて、正式な正答表によると上記の解答は１/３なのですが、私の答えはどうしても１/３になりません。下記のように４/９になってしまいます。
私の解法に何か見落としか問題があると思いますが、自分だけでは何度見直しても同じ答えになってしまいます。
以下が私の解法です。
大、小のさいころは各 1 ~ 6 までの数がでるから、2<= (a + b) <=12
a + b = 2の場合：
aとbの組み合わせを（a, b)として表すと、(1,1)のみ。
３０センチの直線を２＋１＝３等分することになるから、一つの目盛りは３０/３＝１０センチで、整数。a,bともに左から数えて１番目の目盛りにあるから、距離は０（整数）。従って、（１，１）は条件を満たす。
a + b = 3の場合：
(1,2)と(2,1)。距離は３０/４で、これは整数でないので条件を満たさない。
a + b = 4の場合：
(1, 3), (3, 1), (2, 2)。それぞれのマス目の距離は３０/５＝６で整数だから、この場合これらすべての組み合わせが条件を満たす。
a + b = 5の場合：
(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) 。それぞれのマス目の距離は３０/６＝５で整数だから、この場合もこれらすべての組み合わせが条件を満たす。
a + b = 6の場合：
(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)。それぞれのマス目の距離は３０/７で、整数にならない。３０/７にaとb間にあるマス目の数である 4あるいは 3 を掛けても整数にならないから、距離が０（整数）になる(3, 3)のみが条件をあてはめる。
a + b = 7の場合：
(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4),(4, 3)。各マス目の距離は30/8になり、それに６−１＝５、５−２＝３、４−３＝１を掛けても整数にならないので、条件を満たさない。
a + b = 8の場合：
(2, 6), (6, 2), (3, 5),(5, 3), (4, 4)。上記のように考えると、 (4, 4)だけが距離が整数（この場合０）になる。
a + b = 9の場合：
(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)。各マス目の距離は３０/（９＋１）＝３で整数。従って、この場合はすべての組み合わせが条件を満たす。
a + b = 10の場合：
(4, 6), (6, 4), (5, 5)。(5, 5)のみが距離が整数（０）になる。
a + b = 11の場合：
(5, 6), (6, 5)。距離は双方とも３０/１２で、整数でないので条件を満たさない。
a + b = 12の場合：
(6, 6)。距離は６−６＝０。０は整数なので条件を満たす。
従って、条件を満たす組み合わせは、(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)の計１６通りなので、確率は１６/３６、すなわち４/９になってしまいます。
私の解法のどこがが間違っているのでしょうか?
(社会人/質問者)
http://www.pref.kanagawa.jp/docs/dc4/nyusen/nyusen/gakuryokukensa/h31.html
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