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1593.Re: 三角形の面積  
名前:相田俊一    日付:2020年12月13日(日) 6時23分
ありがとうございます。なるほど、むしろ(4)を出すまでの計算過程が楽になるわけですね。後は、自然数、鋭角三角形、3辺の大小の条件から、効率よくしぼることでしょうか。
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1591.Re: 三角形の面積  
名前:らすかる    日付:2020年12月12日(土) 2時15分
誘導がない場合、以下のように解くと思います。

△ABCでAB=c,BC=a,CA=b(a>b>c)とし、辺CA上にCP=tである点P、
辺BC上にCQ=tである点QがあってPQ=6であるとする。
(PとQが最短辺以外の2辺になければならないことと
 最小のときCP=CQであることの証明は前に書いたのでここでは省略)
∠C=θとすると
△ABCに関する余弦定理からc^2=a^2+b^2-2abcosθ … (1)
△CPQに関する余弦定理から36=(2t^2)(1-cosθ) … (2)
2△CPQ=△ABCから2t^2=ab … (3)
(1)(2)(3)からtとcosθを消去して整理すると
c^2=(a-b)^2+72 … (4)
△ABCは鋭角三角形でなければならないので
a^2<b^2+c^2=b^2+(a-b)^2+72=a^2-2ab+2b^2+72
整理して (a-b)<36/b … (5)
(4)に代入して c^2=(a-b)^2+72<(36/b)^2+72
整理して (c^2-72)b^2<36^2
b>cなので
(c^2-72)c^2<(c^2-72)b^2<36^2
これを解いて c≦9なので
(4)と合わせてc=9
よってa-b=√(c^2-72)=3
これと(5)からb<12なのでb>cと合わせて9<b<12となり、
条件を満たす解は(a,b,c)=(13,10,9),(14,11,9)

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1583.Re: 三角形の面積  
名前:相田俊一    日付:2020年12月11日(金) 8時45分
どうもありがとうございます。この問題は誘導がありますが「3辺の長さが相異なる自然数で表される鋭角三角形の面積が、そのいずれか2辺の線上にある2点を結ぶ線分で二等分されている。その線分の長さの最小値が6になる時、各辺の長さを求めよ。」という文章にした方が、思考のプロセスを限定しないので、より面白いかもしれません
ね。
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1582.Re: 三角形の面積  
名前:らすかる    日付:2020年12月11日(金) 1時15分
@
例えばPがAB上、QがBC上にあるとき(BP/AB)(BQ/BC)=1/2なので
2BP・BQ=AB・BC=2△ABC/sin∠B
PQ^2=BP^2+BQ^2-2BP・BQ・cos∠B
=(BP+BQ)^2-2BP・BQ・(1+cos∠B)
≧4BP・BQ-2BP・BQ・(1+cos∠B) (∵相加相乗平均、等号はBP=BQのとき)
=2BP・BQ・(1-cos∠B)
=2△ABC(1-cos∠B)/sin∠B
=2△ABC√{2/(1+cos∠B)-1}
よってPQの最小値は三角形の面積とP,Qがある2辺に挟まれた
角の大きさで決まり、その角が小さいほど小さくなる。
従ってPQが最小となるのはPとQがAB上とCA上にあって
AP=AQ=√(AB・CA/2)のときなので、
PQ^2=2AP^2-2AP^2・cos∠A
=AB・CA{1-(AB^2+CA^2-BC^2)/(2AB・CA)}
=AB・CA-(AB^2+CA^2-BC^2)/2
=(a+b-c)(a-b+c)/2
からPQの最小値は√{(a+b-c)(a-b+c)/2}

A
√{(a+b-c)(a-b+c)/2}=6から
(a+b-c)(a-b+c)=72
a+b-c<a-b+cでa+b-cとa-b+cの偶奇が同じであることを考えると
(a+b-c,a-b+c)=(6,12),(4,18),(2,36)
よって(a,b,c)=
(9,n,n+3) (n≧10),
(11,n,n+7) (n≧12),
(19,n,n+17) (n≧20)
となるが、△ABCは鋭角三角形なので、条件に合うものは
(a,b,c)=(9,10,13),(9,11,14)
の二つ。

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1580.三角形の面積  
名前:相田俊一    日付:2020年12月10日(木) 17時37分
鋭角三角形ABCのいずれか2辺上に点を持つ線分PQが三角形ABCの面積を2等分している。ただし、AB=c、BC=a、CA=b、a<b<cとする。

@線分PQの長さの最小値をa、b、cで表せ。

A最小値が6の時、自然数(a、b、c)の組を求めよ。

 
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