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1600.Re: 素数問題8  
名前:blue cat    日付:2020年12月14日(月) 11時0分
ちょっとだけ考えてみました

a=2 のときの考察:

5 + b^c = 2^(b+d) ...(●)
が素数b,c,dに対して成立していたとする

まず bは明らかに奇素数である
5 + b^2 は4で割り切れないので cは奇素数とわかる
等式●を modulo b すると 2^b≡2 (mod b) だから
5 ≡ 2^(d+1) (mod b) を得る

d=2 とすると 5≡8 (mod b) だから b=3 となり
このときは すぐわかるように c=3 である
逆に b=c=3, d=2 のときは 考察対象の方程式を満たしている

dが奇素数のときを考える
5 ≡ 2^(d+1) (mod b) かつ d+1は偶数より
(5/b) = 1 がいえるので b≡±1 (mod 5)がいえる
(ここではルジャンドル記号(./.)を計算しましたが
b≡±1(mod 5) は mod 5だけからでも導出可能です)

●を modulo 8 すれば
b^c≡b (mod 8)より b≡3 (mod 8) を得る

●を modulo 3 すれば
b^c≡b (mod 3) と 2^(b+c)≡1 (mod 3) から
5 + b ≡ 1(mod 3) すなわち b≡2 (mod 3)

以上をまとめると
a=2 のときは b,c,dはすべて奇素数で決まり,
らすかるさんの 1598 の結果にくわえて,
b≡±1 (mod 5) という追加の条件を得ました.
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1599.Re: 素数問題8  
名前:相田俊一    日付:2020年12月14日(月) 10時30分
ありがとうございます。また素数問題6と同様、解を絞りきれない問題を作ってしまいました。お手数をかけて申し訳ありません。dが偶数(またはbが3)になるような細工を仕損なってしまいました。
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1598.Re: 素数問題8  
名前:らすかる    日付:2020年12月14日(月) 4時19分
(a,b,c,d)=(3,3,2,2),(2,3,3,2) という2解は見つけました。
b,c,dが奇素数の場合は
a=2ならばb≡11(mod24)
a≠2ならばb≡17(mod24)
というところまでは導出しましたが、それ以上の絞り方がわかりません。

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1596.素数問題8  
名前:相田俊一    日付:2020年12月13日(日) 14時23分


a^3-a+b^c-2^(b+d)=1を満たす素数a、b、c、dを求めよ。
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