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1608.Re: 三角形の面積2  
名前:相田俊一    日付:2020年12月16日(水) 9時15分
丁寧な説明ありがとうございます。やっと理解できました。自分には正三角形ABCの大きさを可変にするという発想はなく、考え方が間違っていることがわかりました。これに懲りず、ご指導よろしくお願いします。
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1607.Re: 三角形の面積2  
名前:らすかる    日付:2020年12月16日(水) 4時0分
なぜですか?
面積比だけが問題ですから、正三角形ABCの大きさを可変としてBとPを固定し、
B(0,0),C(2b,0),A(b,(√3)b),P(1,√3),Q(a,0)と設定できるはずです。
P(1,√3),Q(a,0)としたとき、△PQRが正三角形という条件から
Rは自動的に((a+4)/2,(√3)a/2)と決まり、
このとき条件から(Rのx座標)=(Aのx座標)ですから、
A((a+4)/2,(√3)(a+4)/2),B(0,0),C(a+4,0),
P(1,√3),Q(a,0),R((a+4)/2,(√3)a/2)
(ただし0≦a≦4)
のようにすればパラメータ一つで
△ABCと△PQRの任意の位置関係が設定できています。

実際、この設定でk=3/7となるとき
A(14/5,14√3/5),B(0,0),C(28/5,0),P(1,√3),Q(8/5,0),R(14/5,4√3/5)
となりますが、計算が簡単になるように全部5倍にして
A(14,14√3),B(0,0),C(28,0),P(5,5√3),Q(8,0),R(14,4√3)
とすると
(AB)^2=14^2+(14√3)^2=784
(BC)^2=28^2+0^2=784
(CA)^2=14^2+(14√3)^2=784
(PQ)^2=3^2+(5√3)^2=84
(QR)^2=6^2+(4√3)^2=84
(RP)^2=9^2+(√3)^2=84
により△ABCも△PQRも正三角形
(Aのx座標)=(Rのx座標)かつ(Bのy座標)<(Rのy座標)<(Aのy座標)なのでRはMA上にある
A,P,Bはこの順にy=(√3)x上にあるのでPはAB上にある
B,Q,Cはこの順にy=0上にあってQはAよりも左となっているのでQはBM上にある
のようになっていて、確かに問題の条件を満たしています。
そして△PQR:△ABC=(PQ)^2:(AB)^2=84:784=3:28となり
3/28<1/9ですから、1/9は最小ではありません。

# それとも、私が何か勘違いしていますか?

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1606.Re: 三角形の面積2  
名前:相田俊一    日付:2020年12月15日(火) 21時20分
最初に点P、Q、Rの座標をaというパラメーター1つで設定するのは三角形PQRが正三角形であるという条件と齟齬が生じると思います。答は1/9だと思いますが、いかがでしょうか。
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1605.Re: 三角形の面積2  
名前:らすかる    日付:2020年12月15日(火) 18時45分
P(1,√3),Q(a,0),R((a+4)/2,(√3)a/2)である正三角形PQRを考え、
(PQ)^2/(Rのx座標)^2=(4a^2-8a+16)/(a^2+8a+16)=kとおいて整理すると
(k-4)a^2+8(k+1)a+16(k-1)=0となり、解を持つ条件は
D/4=112k-48≧0からkの最小値は3/7
よって(PQ)^2/(BM)^2が最小のとき(PQ)^2:(BM)^2=3:7なので
△PQR:△ABC=(PQ)^2:(BC)^2=3:28

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1604.三角形の面積2  
名前:相田俊一    日付:2020年12月15日(火) 12時21分
正三角形ABCでBCの中点をMとし、三角形ABMの各辺AB,BM,MA上に三角形PQRが正三角形になるように、それぞれ点P,Q,Rをとる。正三角形PQRの面積が最小になる時、面積比△PQR:△ABCを求めよ。

 
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