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1613.Re: 素数問題10  
名前:blue cat    日付:2020年12月17日(木) 15時25分
さすがに消したのはまずかったかもしれないので
最初に投稿した別解も復活させておきます(再掲)
(別解は煩雑なので消してしまったけど役立つかもしれないので)
1番簡単な方法は最初の投稿を参照してください
別解は mod 3の情報を使ってないのが特徴的です
以下の補題1,2は円分多項式の性質にちなんだものです


[補題1]
x,yを互いに素な正の整数,nを奇数の正の整数とする.
gcd(x+y,(x^n+y^n)/(x+y)) = gcd(x+y, n)

[証明]
d=gcd(x+y,(x^n+y^n)/(x+y)), e=gcd(x+y,n) とおく
もし gcd(x,d)>1ならば,x,dをともに割り切る素数pが存在するが
まず p|d かつ d|x+y より p|x+y だから p|x とあわせて p|y
これは gcd(x,y)=1 に反するので gcd(x,d)=1 であることがいえる

(x^n+y^n)/(x+y) = Σ[i=0,n-1]x^i*y^(n-i-1) だから
y≡ -x (mod d) とあわせて 0≡(x^n+y^n)/(x+y)≡n*x^(n-1) (mod d)
よって gcd(x,d)=1 とあわせて d|n がいえる
よって d|gcd(x+y,n) がいえた. つまり d|e.

e|d も同様に示せる.
y≡ -x (mod e) であるから (x^n+y^n)/(x+y)≡n*x^(n-1) (mod e)
e|n とあわせて (x^n+y^n)/(x+y)≡0 (mod e)
よって e|(x^n+y^n)/(x+y) だから e|d もいえた.



[補題2]
x,yを互いに素な正の整数,pを奇素数とする.
(x^p+y^p)/(x+y) はp^2で割り切れない

[証明]
(x^p+y^p)/(x+y) がpで割り切れたとする
このとき少なくとも分子はpで割り切れるので
0≡x^p+y^p≡x+y(mod p)だから p|x+y がいえる
(もし,p|x とすれば p|y となり gcd(x,y)=1に反する
よって,gcd(p,x)=1 であることがいえる)
x+y=p^e*d を満たす正の整数d,eの組が取れる
ただし,dとpは互いに素であるとする.
x^p+y^p=x^p+(p^e*d-x)^p≡p^(e+1)*d*x^(p-1) (mod p^(e+2))
gcd(p,dx)=1 とあわせて x^p+y^pはpでちょうどe+1回割り切れる
したがって,(x^p+y^p)/(x+y)はpでちょうど1回割り切れる



本題の回答の続きとなる
d=2とすれば d^3-d=6(a^2+e) から 1=a^2+e で不可能
よって,dは奇素数であるから,a,bの片方だけが奇素数.
まずcが奇素数のときを考える
このとき, x=a, y=b^2 とおけば
a^c+b^(2c) = (x+y)*(x^c+y^c)/(x+y) と変形できる
簡単のため, A=x+y, B=(x^c+y^c)/(x+y) とおくと,
補題2から gcd(A,B)=gcd(A,c)
cは素数だから gcd(A,c)は1またはcである
しかし gcd(A,c)=1 は明らかにありえない
というのも A,Bは明らかにともに1より大きいので
互いに素だとすると ABは少なくとも2つ以上の異なる素因数を持ってしまい
素数べきになることはなく,とくに d^(a-1) に一致することはないから.
よって,gcd(A,c)=c がいえる. ここで補題1より B = c を得る.
m=max(x,y)とおくと m≧4 であり,
(x^c+y^c)/(x+y)>m^c/(2m)≧4^(c-1)/2=2^(2c-3)
しかし c≧3 より 2^(2c-3)>c となるので これは不可能である
以上より,c=2 であることが示せた.
次に a=2 のときを考える.
b^4 + 4 = d より (b^2+2b+2)(b^2-2b+2)=d
b^2-2b+2, b^2+2b+2 はともに1より大きいので これは不可能である
よって,a=2は不適なので b=2 になるしかない.
b=2 より a^2+16=d^(a-1)
aは奇数だから a^2+16は奇数の平方数である.
よって とくに (a+2)^2 以上となるので
a^2+16≧(a+2)^2 より 12≧4a, すなわち a≦3
aは奇素数なのだから a=3 がいえる
よって, 25=d^2 から d=5 がいえる
最後に d^3-d=6(a^2+e) に a=3,d=5 を代入すれば d=11 を得る
以上より (a,b,c,d,e)=(3,2,2,5,11) が示せた.
(逆にこれが解になることは容易に確認される)

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1612.Re: 素数問題10  
名前:相田俊一    日付:2020年12月17日(木) 14時34分
補足説明ありがとうございます。もう少し体系的に勉強してみようかと思いました。問題の表現が不備で申し訳ありませんでした。
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1610.Re: 素数問題10  
名前:blue cat    日付:2020年12月17日(木) 14時5分
前提として a^c+b^2c=d^(a-1) を
a^c+b^(2c)=d^(a-1) と解釈させてもらいます
(さもなくば異様に難しい問題の予感)

素数a,b,c,d,eに対して問題の方程式が成立していたとする
このとき, (a,b,c,d,e)=(3,2,2,5,11) となることを示す

d=2,3がありえないことはすぐわかる
よって,d>3であり,a,bのどちらかは2である
a=2 のとき b>3 とすれば 2^c+1≡d (mod 3)より
c=2 がいえる(さもなくば 3|d となり不適)
よって 4+b^4 = d だから
(b^2+2b+2)(b^2-2b+2)=d と変形して
b^2-2b+2, b^2+2b+2 はともに1より大きいので これは不可能
よって, a=2が不適であり b=2 かつ a>2 がいえる.
a^c + 2^(2c) = d^(a-1) を mod 3 でみれば a^c≡0 (mod 3)
これより a=3 がいえて 3^c + 4^c = d^2
cが奇数ならば 7|3^c+4^c より d=7
しかし 3^c+4^c≧3^3+4^3>49 だから 不適である
よって, c=2, そして, d=5 がいえる
最後に d^3-d=6(a^2+e) に a=3,d=5 を代入すれば e=11 を得る
以上より (a,b,c,d,e)=(3,2,2,5,11) が示せた.
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1609.素数問題10  
名前:相田俊一    日付:2020年12月17日(木) 11時58分
a^c+b^2c=d^(a-1) 、d^3-d=6(a^2+e) を同時に満たす素数a、b、c、d、eを求めよ。
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