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1631.Re: 素数問題11  
名前:blue cat    日付:2020年12月22日(火) 21時12分
実はこの問題はかなりシンプルなのですが
それでも普通の高校生には難しいものなので
回答例を 私が つけておきます

一番のポイントは次の補題Aとなります
これは平方剰余の第1補充法則と呼ばれるものに相当します
数オリ系の問題では よく使いますね

[補題A]
xを整数,pを奇素数として
x^2+1≡0 (mod p) ならば
p≡1(mod 4)が必ず成立する

続いてもう1つの補題Bです
これはもっと有名な定理で
整数の問題では頻繁に利用します
(大学入試ではこれを証明する問題が有名ですが
数オリ系では これは当たり前の話として
問題を解くために積極的に利用することになります)

[補題B] (実質フェルマの小定理に相当)
pを素数, aを整数とするとき,
a^p≡a (mod p) が常に成立する

この2つの補題から問題は簡単に解けます:

問題の等式: p+2^p = n^2+3 ・・・(☆)
がある素数pと整数nに対して成立していたとする
(背理法のための仮定)

p=2 とすれば 6 = n^2+3 で明らかに不可能
よって pは奇素数である
補題Bより 2^p≡2 (mod p) だから
☆の両辺を mod p でみることで
2 ≡ n^2+3 (mod p)
すなわち n^2+1≡0 (mod p)を得る
補題Aより p≡1 (mod 4) がいえる
最後に☆の両辺を mod 4 でみれば
左辺≡1+0 に注意して 1≡n^2+3 (mod 4)
よって n^2+2≡0 (mod 4) となるが
これは明らかに不可能である
したがって題意は示せた

125x103x78x129.ap125.ftth.ucom.ne.jp (125.103.78.129)
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1611.素数問題11  
名前:blue cat    日付:2020年12月17日(木) 14時26分
[問題]
p+2^p = n^2+3 を満たす素数pと整数nは存在しないことを示せ

----

いわゆる初等整数論の範疇だとおもいます
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