問題がそのまま解釈で正しい場合 An+An-1+An-2+An-3=0 から 4An-6=0 ∴An=3/2 (n≧4) よって数列は cosθ,sinθ,(任意の値),3/2,3/2,3/2,・・・ となり、 An・An-1・An-2・An-3=An^2-3An-3=(An-3/2)^2-21/4なので An=3/2のとき最小値-21/4 An=3/2(n≧4)なので、最小値は-21/4となります。
問題が 数列a[n]がa[n]+a[n-1]+a[n-2]+a[n-3]=0 (4≦n) a[1]=cosθ,a[2]=sinθ(-π/2<θ<0)を満たしている。 a[n]a[n-1]a[n-2]a[n-3]の最小値および、その時のθを求めよ。 という意味の場合 条件から周期4の数列ですから、任意のn≧4に対して (a[n]a[n-1]a[n-2]a[n-3])=a[1]a[2]a[3]a[4] です。よって問題は a+b+sinθ+cosθ=0のときにabsinθcosθの最小値を求める という問題と同値です。 -π/2<θ<0からsinθ<0,cosθ>0であり absinθcosθ<0⇔ab>0 ですから、最小値をとるのはaとbが同符号でabが最大の場合です。 aとbが同符号でa+bが一定のときにabが最大となるのはa=bの場合ですから、 2a+sinθ+cosθ=0のときの(a^2)sinθcosθの最小値 を求めればよく、このときa=-(sinθ+cosθ)/2ですから -π/2<θ<0のときのsinθcosθ(sinθ+cosθ)^2/4の最小値 を求めることになります。 sinθcosθ(sinθ+cosθ)^2/4 ={(4sinθcosθ+1)^2-1}/32 からsinθcosθ=-1/4のときに最小値-1/32をとります。 sinθcosθ=-1/4からθ=-π/12,-5π/12ですが θ=-π/12のときsinθ+cosθ=1/√2 θ=-5π/12のときsinθ+cosθ=-1/√2 なのでθ=-π/12のときa=b=-1/(2√2),θ=-5π/12のときa=b=1/(2√2)です。
従ってまとめると、a[n]a[n-1]a[n-2]a[n-3]は (θ,a[3],a[4])=(-π/12,-1/(2√2),-1/(2√2)) または (θ,a[3],a[4])=(-5π/12,1/(2√2),1/(2√2)) のときに (nによらず)最小値-1/32をとります。
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