問題がそのまま解釈で正しい場合
An+An-1+An-2+An-3=0 から
4An-6=0
∴An=3/2 (n≧4)
よって数列は
cosθ,sinθ,(任意の値),3/2,3/2,3/2,・・・
となり、
An・An-1・An-2・An-3=An^2-3An-3=(An-3/2)^2-21/4なので
An=3/2のとき最小値-21/4
An=3/2(n≧4)なので、最小値は-21/4となります。
問題が
数列a[n]がa[n]+a[n-1]+a[n-2]+a[n-3]=0 (4≦n)
a[1]=cosθ,a[2]=sinθ(-π/2＜θ＜0)を満たしている。
a[n]a[n-1]a[n-2]a[n-3]の最小値および、その時のθを求めよ。
という意味の場合
条件から周期4の数列ですから、任意のn≧4に対して
(a[n]a[n-1]a[n-2]a[n-3])=a[1]a[2]a[3]a[4]
です。よって問題は
a+b+sinθ+cosθ=0のときにabsinθcosθの最小値を求める
という問題と同値です。
-π/2＜θ＜0からsinθ＜0,cosθ＞0であり
absinθcosθ＜0⇔ab＞0
ですから、最小値をとるのはaとbが同符号でabが最大の場合です。
aとbが同符号でa+bが一定のときにabが最大となるのはa=bの場合ですから、
2a+sinθ+cosθ=0のときの(a^2)sinθcosθの最小値
を求めればよく、このときa=-(sinθ+cosθ)/2ですから
-π/2＜θ＜0のときのsinθcosθ(sinθ+cosθ)^2/4の最小値
を求めることになります。
sinθcosθ(sinθ+cosθ)^2/4
={(4sinθcosθ+1)^2-1}/32
からsinθcosθ=-1/4のときに最小値-1/32をとります。
sinθcosθ=-1/4からθ=-π/12,-5π/12ですが
θ=-π/12のときsinθ+cosθ=1/√2
θ=-5π/12のときsinθ+cosθ=-1/√2
なのでθ=-π/12のときa=b=-1/(2√2),θ=-5π/12のときa=b=1/(2√2)です。
従ってまとめると、a[n]a[n-1]a[n-2]a[n-3]は
(θ,a[3],a[4])=(-π/12,-1/(2√2),-1/(2√2)) または
(θ,a[3],a[4])=(-5π/12,1/(2√2),1/(2√2)) のときに
(nによらず)最小値-1/32をとります。
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